專(zhuān)題5.3平面向量的數(shù)量積-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)寶典（新高考專(zhuān)用）

第五章平面向量和復(fù)數(shù)專(zhuān)題5.3平面向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的定義考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)三數(shù)量積的坐標(biāo)表示考點(diǎn)四投影向量知識(shí)梳理給定兩個(gè)非零向量a，b，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱(chēng)[0，π]內(nèi)的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱(chēng)|a||b|·cos〈a，b〉為向量a與b的數(shù)量積(也稱(chēng)內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(1)設(shè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，過(guò)A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′(如圖)，則稱(chēng)向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))為向量a在直線l上的投影向量或投影.(2)給定平面上的一個(gè)非零向量b，設(shè)b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱(chēng)為a在向量b上的投影，如圖，向量a在向量b上的投影為eq\o(A′B′,\s\up6(→)).一個(gè)向量在一個(gè)非零向量上的投影，一定與這個(gè)非零向量共線，它們的方向既有可能相同，也有可能相反.(3)一般地，如果a，b都是非零向量，則稱(chēng)|a|·cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數(shù)量，投影的數(shù)量與投影的長(zhǎng)度有關(guān)，投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù).a·b等于a在b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特別地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e為單位向量.4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))第一部分核心典例題型一平面向量數(shù)量積的定義1．已知向量與的夾角為60°，其中，，則（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【詳解】.故選：C2．已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，由圖象知：，所以，故選；C3．若均為非零向量，則是與共線的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】一方面：由，可得，此時(shí)與共線;另一方面：由與共線，可得或，此時(shí)有或，即此時(shí)不一定成立.結(jié)合以上兩方面有是與共線的充分不必要條件.故選：A.4．在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，故可為任意三角形.故選：D5．設(shè)是不共線的兩個(gè)向量，若命題p：，命題q：夾角是銳角，則命題p是命題q成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄亢褪遣还簿€的兩個(gè)向量，由，可得，則和的夾角為銳角，反之，若和的夾角為銳角，可得，則，所以命題是命題成立的充要條件．故選：C．題型二平面向量數(shù)量積的運(yùn)算6．已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?，即與的夾角為.故選：D7．已知單位向量是平面內(nèi)的一組基底，且，若向量與垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】為單位向量且，所以，，，向量與垂直，所以，即，即，解得.故選:A8．已知向量與向量的夾角為120°，，則（

）A．3 B． C． D．1【答案】B【詳解】，故選：B9．已知MN是邊長(zhǎng)為的等邊外接圓的一條動(dòng)弦，，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由題意，如圖，設(shè)外接圓的圓心為O，可求得圓O的半徑．設(shè)線段MN的中點(diǎn)為H，連接OH，PM，PN，PH，則．∵，，∴，，當(dāng)?shù)哪骋粭l邊過(guò)點(diǎn)H時(shí)，的最小值為0，當(dāng)?shù)哪骋粋€(gè)內(nèi)角的角平分線過(guò)點(diǎn)H時(shí)，的最大值為，∴．故選：BC．10．若向量，滿足，且，，則（

）．A．2 B． C．1 D．【答案】D【詳解】設(shè)，由已知可得，，所以.又，所以，解得（舍去負(fù)值），所以，.故選：D.題型三數(shù)量積的坐標(biāo)表示11．已知平面向量，滿足，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【詳解】，，因?yàn)?，所以，解?故選：D.12．已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，故，則.故選：B13．已知向量，，，則（

）A．14 B． C．50 D．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以，解得：?故選：C.14．已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．27 B．0 C． D．【答案】D【詳解】解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可知，，，，設(shè)，其中，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.15．已知向量，，且（

）A．5 B． C．11 D．【答案】A【詳解】∵，∴.故選：A題型四投影向量16．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A17．已知向量與的夾角為，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】向量在上的投影為，向量在上的投影向量為.故選：D.18．已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，向量，的夾角為，得，又已知為單位向量，則在上的投影向量是.故選：D.19．已知，為單位向量，若向量與的夾角的正弦值為，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，∴投影向量為．故選：B20．已知△ABC外接圓的半徑為1，其圓心O滿足，，則在上的投影向量的模長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【詳解】如圖，因?yàn)椤鰽BC外接圓的圓心O滿足，所以點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，所以BC是△ABC外接圓的直徑，故，∠BAC＝90°．因?yàn)?，所以△OAC是等邊三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°．在Rt△ABC中，，所以在上的投影向量的模長(zhǎng)為．故選：C．第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】，，，.故選：D.2．已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，則，，，所以，所以在上的投影向量為.故選：C.3．已知平面向量，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，解可得,,則.故選:B.4．已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（）A．1 B． C．3 D．【答案】C【詳解】，故選：C5．已知向量，，，則向量與的夾角大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，而，故，故選：B.6．已知向量，若，則（

）A．10 B． C．8 D．【答案】A【詳解】由題意可知：，因?yàn)?，?所以.故選：A7．已知為單位向量，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，所以向量在向量上的投影向量為:.故選:B.8．已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的夾角為，由及單位向量，得，顯然，且，于是，而，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：C二、多選題9．已知直角中，，，則實(shí)數(shù)可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】在直角中，，，則，若為直角，則，解得；若為直角，則，解得；若為直角，則，解得.故選：BCD.10．已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為（

）．A．﹣12 B．﹣8 C．﹣2 D．0【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，，又，故，又，，故⊥，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，則，因?yàn)椋?，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD三、填空題11．因?yàn)?，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)?，且與的夾角為鈍角，所以，解得，又當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)與的夾角為，所以，綜上可得且，即的取值范圍是.故答案為：12．平面向量，則向量在上的投影向量坐標(biāo)為．【答案】【詳解】由向量，可得，則，，則向量在上的投影向量坐標(biāo)為.故答案為：.四、解答題13．已知向量與滿足，，與的夾角為．(1)求；(2)求．【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，則；（2）.14．已知向量，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值(2)求與的夾角；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，則，∴．（2）