2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 統(tǒng)計(jì) 解析版

第59講、統(tǒng)計(jì)

通過(guò)一、抽樣方法

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為“5<N)的樣本，如

果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫作簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

樣.

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣必須具備以下特點(diǎn)：

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)N是有限的；

(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)N；

(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的；

(4)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣；

(5)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體唄抽取的可能性均為2.

N

2.系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取

一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法。系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間

隔相等，又被稱(chēng)為等距抽樣。

(1)當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣.

(2)將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等。因此，系

統(tǒng)抽樣又稱(chēng)等距抽樣，分段的間隔一般為左=」.

N

(3)預(yù)先制定的規(guī)則指的是在第一段內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編

號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整數(shù)倍即為抽樣編號(hào).

3.分層抽樣：當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，

使總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的部分，每一部分叫作層，在各層中按層

在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫作分層抽樣.

一、樣本容量〃該層抽取的個(gè)體數(shù)

總體的個(gè)數(shù)N該層的個(gè)體數(shù)'

(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比。

通關(guān)二、頻率分布直方圖與莖葉圖

1.畫(huà)出頻率分布直方圖的步驟

(1)計(jì)算極差:找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差；

(2)決定組距與組教;取組距，用禁決定組數(shù)；

(3)決定分點(diǎn):決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組；

(4)列頻率分布表:對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小組的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小

組的頻率；

(5)繪制頻率分布直方圍:以教據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以黑的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖.

組距

小長(zhǎng)方形的面積=組距><誓=頻率.

組距

2.頻率分布折線(xiàn)圖和總體密度曲線(xiàn)

(1)頻率分布折線(xiàn)圖:連結(jié)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，即得頻率分布折線(xiàn)圖.

(2)總體密度曲線(xiàn):隨著樣本容量的增加，圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折

線(xiàn)圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線(xiàn)，即總體密度曲線(xiàn).

3.制作莖葉圖的步驟

⑴將數(shù)據(jù)分為“莖”“葉”兩部分；

(2)將最大莖與最小莖之間的數(shù)宇按大小順序排成一列，并畫(huà)上豎線(xiàn)作為分隔線(xiàn)；

(3)將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線(xiàn)的一側(cè)對(duì)應(yīng)莖處按一定次序同行列出.

通關(guān)三、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)概念

②分類(lèi)變量:可以利用不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量.

②2X2列聯(lián)表:假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和y,它們的可能取值分別為由，龍2|和|力，冽,

其樣本頻數(shù)列聯(lián)表稱(chēng)為2X2列聯(lián)表，如下表所示：

V>2總計(jì)

XIaba+b

X2Cdc+d

總計(jì)b+da+b+c+d

2.K2統(tǒng)計(jì)量:為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量,

n(ad-bc)2

K2=（其中n=a+b+c+d為樣本容量）.

(a+b)(c+d)(a+c)(d+d)

3.兩個(gè)分類(lèi)變量A和B是否有關(guān)系的判斷方法

①當(dāng)K2W2.706時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判定變量A,8有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A,8沒(méi)有

關(guān)聯(lián);

③當(dāng)K2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A,8有關(guān)聯(lián);

④當(dāng)K?>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A,8有關(guān)聯(lián);

⑤當(dāng)K?>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A,8有關(guān)聯(lián);

⑥當(dāng)K?>10.828時(shí)，有99.9%的把握判定變量A,8有關(guān)聯(lián);

通關(guān)四、回歸分析

L"個(gè)觀測(cè)值的“個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，若所求的直線(xiàn)方程為$=啟+<5,其

中二-W同.

八—r—

a=y-bx

2.我們將這個(gè)方程叫作回歸直線(xiàn)方程，b,3叫作回歸系數(shù)，相應(yīng)的直線(xiàn)叫作回歸直線(xiàn).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

其中元產(chǎn),，歹區(qū)刃稱(chēng)為樣本點(diǎn)的中心—

結(jié)論一、抽樣方法中的計(jì)算問(wèn)題的求法

1.系統(tǒng)抽樣中的計(jì)算問(wèn)題:系統(tǒng)抽樣中被抽取的兩個(gè)樣本編號(hào)的間距相等，據(jù)此，若有〃

個(gè)總體，希望抽取比個(gè)體，確定抽樣間距時(shí)，若巴為整數(shù)，則抽樣間距為上否則，一般先

mm

剔除幾個(gè)個(gè)體，使鷲為整數(shù)，抽樣間距一般為不大于萍最大整數(shù).

每層中抽取的個(gè)體數(shù)量_樣本容量?即

2.分層抽樣中的計(jì)算問(wèn)題：分層抽樣滿(mǎn)足本層的總個(gè)體數(shù)量=總體數(shù)量

“胃=仔=弋或4:%：:n=N,：N］；N"，據(jù)此在已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比、

樣本容量、總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè).

【例11交通管理部門(mén)為了解機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員（簡(jiǎn)稱(chēng)駕駛員）對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、

丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員

96人.若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個(gè)社

區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）.

A.101B.808C.1212D.2012

【答案】B

【解析】因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12,所以每個(gè)個(gè)體

被拍到的概率為品18,樣本容量為12+21+25+43=101,所以這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N

為畢=808.故選B.

8

【變式】某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)1,2,1000,從這

些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4

名學(xué)生中被抽到的是（）.

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

【答案】C

【解析】因?yàn)橐獜?000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本，所以系統(tǒng)抽樣的分段間隔為

幽=10.因?yàn)?6號(hào)學(xué)生被抽到，則根據(jù)系統(tǒng)拍樣的性質(zhì)可知，第一組隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為

100

6,以后每個(gè)號(hào)碼都比前一個(gè)號(hào)碼增加10,所有號(hào)碼數(shù)是以6為首項(xiàng)，以10為公差的等差

數(shù)列，設(shè)其數(shù)列為｛“,｝，貝！Ia“=6+10（n-l）=10〃-4.當(dāng)n=62時(shí)，a62=616,即在第62組抽

到的是616號(hào)學(xué)生.故選C.

結(jié)論二、頻率分布直方圖的理解

1.縱軸表示需，即小長(zhǎng)方形的高=禁；

組距組距

2.小長(zhǎng)方形的面積=組距義集=頻率；

組距

3.數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1.

【例2】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布

直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是［17.5,30］,樣本數(shù)據(jù)分組為［17.5,20),［20,22.5),［22.5,

25),［25,27.5),［27.5,30］.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)

的人數(shù)是().

麗］

0.161.............T-.

O.

也|0

08

0.()4

0.002

1732022.52527.530口習(xí)時(shí)間/時(shí)

A.56B.60C.120D.140

【答案】D

【解析】自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為:(0.16+0.08+0.04)x2.5=0.7,故自習(xí)時(shí)間不少于

22.5小時(shí)的頻數(shù)為:0.7x200=140故選D

【變式】某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2019年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)

金額(單位:萬(wàn)元)都在區(qū)間［0.3,0.9］內(nèi)其頻率分布直方圖如圖所示.

鐮率/組距

⑴直方圖中的a=.

(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5,0.9］內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為.

【答案】(1)3(2)6000

【解析】⑴由題意，根據(jù)直方圖的性質(zhì)得(L5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)x0.1=l解得a=3.

(2)由直方圖得(3+2.0+0.8+0.2)x0.1xl0000=6000.

結(jié)論三、莖葉圖

L莖葉圖是統(tǒng)計(jì)中用來(lái)表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生

長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

2對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，但較為集中的一組數(shù)據(jù):若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖,

個(gè)位數(shù)字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將百位、十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)字作葉，樣本數(shù)據(jù)為

小數(shù)時(shí)做類(lèi)似處理.

3莖葉圖通常用來(lái)記錄兩值教的數(shù)據(jù)，它可以用來(lái)分析單組數(shù)據(jù)，也可以對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)

行比較，通過(guò)莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，是否關(guān)于該莖對(duì)稱(chēng)，

是否分布均勻等.

［例3］從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

用莖葉圖表示（如圖所示），設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為以甲，工乙，中位數(shù)分別為外，

叫，貝I（）.

甲乙

8650

884001028

752202337

800312448

314238

A.<x^,m^>m^B.

C.1甲〉％乙,m甲>m乙D.%甲〉工乙,m甲Vm乙

【答案】B

【解析】甲的平均數(shù)

-5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43345

九甲二-------------------------------------------------------=----，

1616

乙的平均數(shù)

-10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48457

X-------------------------------------------------------------------------------------------------，

71616

所以%<X乙.甲的中位數(shù)為20,乙的中位數(shù)為29,所以m甲<m乙，故選B.

【變式】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若

這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）

甲組乙組

659

25617y

X478

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

【答案】A

【解析】由已知中甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65,故乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也為65,即y=5,

則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：66,故x=3,故選A.

結(jié)論四、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)

數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

2.樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差

設(shè)樣本的元素為X,,犯，…,％”，樣本的平均數(shù)為2,則

222

(1)樣本方差：S?=’[(%t-%)+(x2-%)+???+(%-%)]；

n

222

(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s=/—[(%1-%)+(%2-%)+-??+(%n-%)].

3.平均數(shù)、方差的有關(guān)性質(zhì)

(1)若可盧2,…，%的平均數(shù)為與，則mx}+a,7n%2+a,-*-,7nxn+a的平均數(shù)為rat+a；

(2)若勺，42,…，乙的方差為『，則+a,m%2+Q,+a的方差為m2s2.

【例4】如圖所示，樣本A和6分別取自?xún)蓚€(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為又7、

XB,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為與，SB，則()

〈

A.XA>XR,SA>SBB.XAXB，SA>SB

C.您〉癮，SA<SBD.X^<X^,SA<SB

【答案】B

【解析】:樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10,而樣本8的數(shù)據(jù)均不小于10,

顯然京<耳，由圖可知A中數(shù)據(jù)波動(dòng)程度較大，3中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，

sA>sB.故選：B.

【變式】為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單位:

?。┓謩e是石，%，…，%下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的

是（）

A.不，x2,的平均數(shù)B.玉，x2,...?x“的標(biāo)準(zhǔn)差

C.再，x2,x“的最大值D.%，x2,x“的中位數(shù)

【答案】B

【解析】在A中，平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指

標(biāo)，故不可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度；

在3中，標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度，故可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程

度；

在。中，最大值是一組數(shù)據(jù)最大的量，故不可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度；

在。中，中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”，

故不可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度.故選：B.

結(jié)論五、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.獨(dú)立性檢驗(yàn)原理只能解決兩個(gè)對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象有兩類(lèi)屬性的問(wèn)題，所以對(duì)于一個(gè)

實(shí)際問(wèn)題，我們首先要確定能否用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想加以解決；

2.如果確實(shí)屬于這類(lèi)問(wèn)題，要科學(xué)地抽取樣本，樣本容量要適當(dāng)，不可太小,根據(jù)數(shù)據(jù)列出

2x2列聯(lián)表；

3.提出假設(shè)Ho：所研究的兩類(lèi)對(duì)象（X,Y）無(wú)關(guān);

4.根據(jù)公式計(jì)算K2=------"(ad-be*-------的值;

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

5.比較觀測(cè)值k與臨界值表中相應(yīng)的檢驗(yàn)水平，根據(jù)小概率原理肯定或者否定假設(shè)，即

判斷X,Y是否相關(guān).

【例5】某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商

場(chǎng)的服務(wù)給出滿(mǎn)意或不滿(mǎn)意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表:

滿(mǎn)意不滿(mǎn)意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿(mǎn)意的概率;

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

附：心"(ad-bc)】.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2*)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【解析】⑴由題中數(shù)據(jù)可知，男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿(mǎn)意的概率尸嗡.

女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿(mǎn)意的概率尸嗡3

5

…100(40x20-30xlO)2100“

(2)由題意可知，K=----------------------------=---?4.762>3.841,

70x30x50x5021

故有95%,的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【變式】某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的

生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20

人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)

的工作時(shí)間(單位：加譏)繪制了如下莖葉圖:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)加和

不超過(guò)加的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過(guò)加不超過(guò)加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

付.K2=n(ad-be，

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.0500.0100.001

P(K>k0)

“03.8416.63510.828

【解析】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，第一種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在72~92之間，

第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在65~85之間，所以第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少

些，效率更高;

(2)這40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大的順序排列后，排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是

79和81,計(jì)算它們的中位數(shù)為=

由此填寫(xiě)列聯(lián)表如下;

超過(guò)加不超過(guò)加總計(jì)

第一種生產(chǎn)方式15520

第二種生產(chǎn)方式51520

總計(jì)202040

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，計(jì)算

n(ad-be)2_40x(15x15-5x5)2

=10>6.635,

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)20x20x20x20

.-.能有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

結(jié)論六、回歸直線(xiàn)方程

1.利用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判定兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；

2.列表求出￡,歹,ix%；

i=1i=1

3.利用相應(yīng)公式計(jì)算"石；

4.寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

線(xiàn)性回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心（工?。?，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、判斷

結(jié)論的正確性。

【例6】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得

到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：

收入龍（萬(wàn)元）8.28.610.011.3