含參函數(shù)極值與最值得講義

函數(shù)的極值與最值講義例1．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．解析由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，據(jù)此可得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，結(jié)合題意可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B．例2．若函數(shù)在處有極大值，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．或 C． D．【答案】D解析函數(shù)，，函數(shù)在處有極大值，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處有極小值，不合題意.當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處有極大值，符合題意.綜上可得，.故選：D例3．已知函數(shù)．則的極值點(diǎn)有個(gè).【答案】0或1解析由題知,,,①當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),不存在極值點(diǎn);②當(dāng)時(shí),令,則,故在上為增函數(shù),又因?yàn)楫?dāng),,,所以必存在,使,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以是的極小值點(diǎn),綜上,當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極值點(diǎn),故的極值點(diǎn)有0個(gè)或1個(gè).故答案為:0或1例4．設(shè)函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).解析（1）函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．，，在處的切線方程：，即．（2）令，，解得，．當(dāng)時(shí)，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間，或，可得，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，，．的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)．例5．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)函數(shù)y＝f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.解析（1）解：f'（x）＝3x2﹣2ax+3，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x3﹣ax2+3x+m在x＝3處取得極值，所以f'（3）＝0，即27﹣6a+3＝0，解得a＝5，經(jīng)檢驗(yàn)符號(hào)題意；（2）因?yàn)閒（x）＝x3﹣5x2+3x+m，令f'（x）＝3x2﹣10x+3＝0，得或，由f'（x）＞0，得或，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，由f'（x）＜0，得，此時(shí)f（x）為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，當(dāng)x＝3時(shí)，f（x）取得極小值，即f（x）極小值＝f（3）＝m﹣9，f（x）極大值＝f（）＝m+，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，所以，即，解得，故m的范圍是.例6．已知函數(shù).討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；解析（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，由得，或，由得，或；由得，.所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為.綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.例7．已知函數(shù)（且為常數(shù)）.討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；解析函數(shù)的定義域?yàn)?，則.令，則，由，可得，列表如下：減極小值增所以，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，則，由，可得，列表如下：減極小值增且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：（i）當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)；例8．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．討論函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；和兩種情況討論得解；解析：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．．當(dāng)a≤0時(shí)，≤0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．f（x）在（0，+∞）上沒有極值點(diǎn)．當(dāng)a＞0時(shí)，由＞0得x，所以，f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，即f（x）在x處有極小值．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)極值點(diǎn)．例9．已知函數(shù)，.討論函數(shù)的極值點(diǎn)；解析，函數(shù)的定義域?yàn)?，，，①?dāng)，即時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)根，，解得，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為例10．已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示．x＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以有一個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)．例11．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值點(diǎn).解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，，又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）解：令，解得或，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：，100單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；②當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，即不存在極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：1，00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，變化