2024年2月廣東省高三數(shù)學(xué)高考適應(yīng)性模擬試卷附答案解析

2024年2月廣東省高三數(shù)學(xué)高考適應(yīng)性模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

c.^+￡=i逅

2.若橢圓m2的離心率為3,則橢圓C的長軸長為（）

2^/6_

A.6B.3或2次c,2瓜D.2四或2后

3.記S”為等差數(shù)列｛“"｝的前〃項和，若。3+。7=10，%%=35,則凡二（）

A.20B.16C.14D.12

4.已知m、n是兩條不同直線，a、B、7是三個不同平面，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃夕，n//a,則皿〃"B.若々，夕，°工了，則?！ㄏ?/p>

C.若“Z〃a,mB,則7〃0D.若加，1,n1.a?貝|J加〃〃

5.2023年10月23日，杭州亞運(yùn)會歷時16天圓滿結(jié)束.亞運(yùn)會結(jié)束后，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)排成一

排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

6.若。是“Be所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足陛一"卜阿+"一2叫則的形狀為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

（A

1a-/3a-p

l+tan(a-￡)tan———二6

…一乜22tanatan3

tan------M=，則cos（4c+46）=（）

7.已知I27

_79794949

由

A.81B.81c.D.8?

=1(〃〉0,6〉0)

8.已知耳、瑪分別為雙曲線/"的兩個焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離為6,且

$也!）小耳=35."尸耳￡,則該雙曲線的漸近線方程為（）

y*x尸土與

y=±y/2x口y

A.2B.2Q-±V3x

1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

/（%）=2sin|2a）x+—\—

9.函數(shù)13八的圖象如圖所示，將其向左平移6個單位長度，得到〉=g（x）的

0）=-------,U

A.2B.函數(shù)“幻的圖象關(guān)于點(diǎn)I3J對稱

7T（\兀、71兀

x=一y=g|2%H——,一

C.函數(shù)V=g（x）的圖象關(guān)于直線6對稱D.函數(shù)’I3J在L99」上單調(diào)遞減

10.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為e"=cosx+isinx,i虛數(shù)單位，將指數(shù)

函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”小為

自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）

.兀

A.復(fù)數(shù)"為純虛數(shù)

B.復(fù)數(shù)屋對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)的在共軌復(fù)數(shù)為々"一丁i

D.復(fù)數(shù)/（0e【°，兀］）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓

11.已知函數(shù)”無）定義域為R,滿足""+2）=5小），當(dāng)時，〃幻=國,若函數(shù)昨/（x）的

圖象與函數(shù)父⑺一修（一2023V2023）的圖象的交點(diǎn)為卜珀，（巧，打），…（招⑴，（其中國表

示不超過x的最大整數(shù)），則（）

20121011

（、f.Y,=0yZ.=2-2-

A.g⑴是偶函數(shù)B."=2024c.iD.石

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.已知的定義域為A,集合8={xeRll<ax<2},若B±A,則實數(shù)a的取值范圍

是

13.已知四面體/一白力，其中NO=8C=2,CD=AB=45tAC=BD=^,E為CO的中點(diǎn)，則直

線4D與BE所成角的余弦值為；四面體外接球的表面積為

21n(x-l)

p"(Y)------------------------

14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，P,Q分別是函數(shù)/(x)=axe'Tn(ax)和x圖象上的動點(diǎn)，

若對任意。有忸。白冽恒成立，則實數(shù)m的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

f(x)=lnx+—GR

15.已知函數(shù)》.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

J_

(2)若"=2，%>,證明：仆)<".

16.多項選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從A,B,C,。四個選項中選出所有正確的答案(四個選

項中至少有兩個選項是正確的)，其評分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

⑴甲同學(xué)有一道多項選擇題不會做，他隨機(jī)選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；

11

(2)現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗，每道題乙同學(xué)得5分的概率為2,得2分的概率為4；丙同學(xué)

11

得5分的概率為6,得2分的概率為2.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2

道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.

17.如圖，在三棱柱/Bl44G中，48=羽=后，BC=B1C=6,網(wǎng)=2,二面角/-胡-Q的

大小為60°.

⑴求四邊形的面積；

V21

(2)在棱4月上是否存在點(diǎn)“，使得直線CM與平面/4G所成的角的正弦值為4—？若存在，求出4M

的長；若不存在，說明理由.

3

18.已知拋物線C"2=2加⑺>0)的焦點(diǎn)為尸，過廠的直線/交于48兩點(diǎn)，過尸與/垂直的直線交于

兩點(diǎn)，其中反。在了軸左側(cè)，M，N分別為的中點(diǎn)，且直線MV過定點(diǎn)(0,3).

(1)求拋物線°：/=2py｛p>0)的方程；

(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)；

(i)證明G在定直線上；

(ii)求AMGN面積的最小值.

19.若數(shù)列｛"J滿足：%e｛°，l｝，"eN*,且4=1,則稱｛%｝為一個X數(shù)列.對于一個X數(shù)列｛4｝,若

(1)若X數(shù)列｛%｝中，出=1，。3=09=1,寫出其伴隨數(shù)列｛￡｝中&4也的值;

⑵若㈤｝為一個X數(shù)列，上｝為｛4｝的伴隨數(shù)列

①證明："｛%｝為常數(shù)歹廣是“｛a｝為等比數(shù)列的充要條件；

②求為)23的最大值.

1.B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)離心率的計算公式，分焦點(diǎn)的位置，討論即可求解.

_V62-m2

c---

【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在了軸時，由3亞，解得加一3,符合題意，此時橢圓c的長軸長為2啦;

A/6y/m-2

e-————

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時，由3&解得"?=6,符合題意，此時橢圓C的長軸長為2詬=2".

故選：D.

3.D

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得出,然后依次求得義,公差，最后求得黑.

【詳解】?.?｛4｝是等差數(shù)列,

_a5a6_j

“6——

.。3+。7=2a5=10。5=5所以。5

4

公差4二七一%=2,

?a1=%—4d=-3

56=6X(-3)+-^X2=12

2,

故選：D.

4.D

【分析】利用長方體中線面的關(guān)系，逐一確定各選項.

【詳解】

A選項：令平面/8C。為平面口，為直線沉，4c為直線〃，

有：m//a,n//a,但=A錯誤；

B選項：令平面/BCD為平面,，令平面ABC。為平面

令平面4幺84為平面/,有：a，/3,B'Y,而B錯誤；

C選項：令平面/5CO為平面a,令平面為平面戶，為直線加，

有：m//a,m"B,則夕〃萬，而C錯誤；

D選項：垂直與同一平面的兩直線一定平行，D正確.

故選：D

5.C

【分析】分類當(dāng)丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.

【詳解】由題意可知，當(dāng)丙站在左端時，有A；=6種站法；

當(dāng)丙不站在左端時，有C；A；A；=24種站法.

由分類加法計數(shù)原理可得，一共有6+24=30種不同的站法.

故選：C.

6.D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出W'+'C卜曰'一'01進(jìn)而得到在,刀，由此可判斷出的

形狀.

5

［詳解］-：OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC>

...W+就卜牌一就I,兩邊平方，化簡得萬〃=0;.方，耐

A/8C為直角三角形.

因為不一定等于"C,所以不一定為等腰直角三角形.

故選：D.

7.A

【分析】結(jié)合二倍角公式和兩角和差公式化簡即可求得.

ct—(32tan")

1-tan2.......-

1a-pa-/}

----汗―tan1+tan(cr-/?)tan二621+---2------=6

a-ptaSa-P

tan221-tan2

【詳解】2722J

Jtalf2tanf

2cos(a一夕)

22=6

sin(a-/?)1x2a—B

1-tan.......-

27

Ix2a—(3、

1+tan.....—

2cos(a-⑶________2_

=62cos(a-/?)

sin(tz-12a—B1

1-tan-------x_________=6

【2Jsin(cr-y0)cos(a-0

sin(a-/?)=|sinacos0-cosasin尸二；

tanatanM=3

又因為,所以sinacos,=3cosasin’,

2

cosasin/?--,sine?cos/?=-sin(a+夕)=sinacosP+cosasin0=

則62,所以3

4i

cos(2cr+2/?)=l-2sin2(cir+y0)=l-2x—=—

79

cos(4cr+4y0)=2cos2(2ctf+2y0)-l=2x--1

8181

故選：A

8.A

【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)sinD刊笆=3sinD尸/笆得出歸凰=3|尸用，

\HP\=^

根據(jù)雙曲線的定義得出颶再然后根據(jù)熙「+歸°舊時得出"吵=90。以及

,根據(jù)

1222IT/Ol-"2y2%2_]

期2=1°d得出I7；最后將尸點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線/7一中，通過化簡即可得出結(jié)果.

6

【詳解】設(shè)￡為雙曲線的下焦點(diǎn)，月為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像,

如圖，過點(diǎn)P作尸"片工于點(diǎn)"，

因為sinDPg片=3sinDP耳g

㈣33

所以附|吶"叫=3附

因為陶-幽=2。,所以幽=。,

因為雙曲線上的點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離為6,即盧°卜方，且l°El=c,

2

所以歸且「+歸°|2=/+廿="=|0q,DOPF2=90°；

故;穌叫|FF2|=^I|OF2|\HP\\HP\=^

因為的所以阿4,

片.t=1

將代入雙曲線/b2中，

[4pr

\CJ_V__CJ=]_2/2,72\

24

即a2b，化簡得=孔2,°”一。（。+b）,

￡￡.

b4-a2b2-2a4=0,//?n，

4=2-=V2-=—

解得?；騎（舍去），。,b2,

j；=±-x=±—x

則該雙曲線的漸近線方程為b2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查雙曲線定義以及等面積法的靈活應(yīng)用，考查計算能

7

力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.

9.ABD

【分析】首先化簡函數(shù)/（X）,再根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷A,

B；利用圖象平移求函數(shù)名口）的解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷C,D.

c兀

/(x)=2sinZXDXH--

【詳解】函數(shù)3

COTI兀7T

——+—=—+2kit,左￡ZCD——F6k,左￡Z

此時332

1/(x)=2sin|x+—

co=-所以‘I3

因為所以2故A正確;

［-二］=2sin（-&+火］=2sin0=0（、［一工

13）I33J,所以“X）關(guān)于點(diǎn)I3J對稱，故B正確;

烏g（x）=2sinx+—+—=2cosx

函數(shù)圖象向左平移6個單位長度后得到LI6J3J

x=一g(x)=2cos—=Vs<、x=—

g(町-2C0SYX,當(dāng)6時，'/6,所以函數(shù)了=8。)的圖象不關(guān)于直線6對稱，故C

錯誤；

g[2x+^]=2cos(2x+工]xe—2x+—e—(z[0,7i]

I3jI31當(dāng)[99」時，3199J-L」，

g2,XH----,一

所以函數(shù)I3J在L99」上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ABD

10.ABD

【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項分析判斷即得.

.允

1不兀..兀.k

e2=cos—+isin—=ii-

【詳解】對于A,22，則e2為純虛數(shù)，A正確；

對于B,e13=cos3+isin3,而萬,"71,即cos3<0,sin3>0,則復(fù)數(shù)/對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正

確；

《n..Tt1V3.1V3.

對于C,3322,復(fù)數(shù)e3的共粗復(fù)數(shù)為22,c錯誤；

對于D,S"=cos^+isin0,\e10|=|cosO+isin。|=1,

8

復(fù)數(shù)0"(。€[°，兀])在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1的半圓，D正確.

故選：ABD

11.BC

【分析】舉例說明判斷A；分析函數(shù)"X)與g")的性質(zhì)，作出部分函數(shù)圖象，結(jié)合圖象與性質(zhì)推理、計

算判斷BCD.

1[―2]1

g(x)=(-)(-2023(x42023)/“1g⑴」,八小(、

【詳解】函數(shù)2,顯然g(T)=l,而2,即g(-D*g⑴，因此g(x)不

是偶函數(shù)，A錯誤；

函數(shù)”刈定義域為R,滿足+當(dāng)-14X<1時，仆)=國，

..,7“If(x)=^-f(x-2)=^-\x-2\

當(dāng)1W3時，-I<x-2<1,22,

當(dāng)24_1?X<2左+1KEN時,TWx—2左<],

/(X)=1/(x-2)=^/(x-4)=L=l-f(x-2k)=j-\x-2k\

當(dāng)一3〈x<—1時，—]<x+2<],/(x)=2/(%+2)=21x+21,

當(dāng)一2左_l?x<_2左+1,左EN時，TWx+2左<]

/(x)=2f(x+2)=2?/(x+4)=L=df(x+2后)=2,x+2左|

因此當(dāng)xe[2/T2/+l),/eZ時，函數(shù)“幻=f》一？力在即-1,2力"eZ上遞減,

1

在[2,2j+l)j￡Z上遞增，當(dāng)x=2/-1,/EZ時，/(、)取得最大值萬，

當(dāng)年尤<1時，”苫1°X+1

『=0送。)=1

7,%+171「X+"http://\1

<_yg(x)=m

當(dāng)2左一1?x<2左+1,左￡N時,k<k+l[―^―]=k,

當(dāng)一2人T4x<-2左+1/eN時，一心〒<一左+1,[亍]=一左，g(x)=2*

因此當(dāng)xe[2JT2/+l),/eZ時，函數(shù)g0°=W,

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)了=1(尤)/=g(x)的部分圖象，如圖,

9

(27-1——)7GZ

當(dāng)xe[2/-l,2/+l),/eZ時，函數(shù)y=〃x),y=g(x)的圖象有唯一公共點(diǎn)‘2，’」'

1

因為-20134x42013,因此人.=-1°11,7max=012)而滿足T011V/V1012的整數(shù)有2024個，即

“=2024,B正確;

顯然陽=2/-1/=j+1012,-10U<j<1012,jeZ

2024

=(-2013)+(-2011)+…+(-2)+(-l)+l+2+???+2011+2013=0

所以T,C正確;

V.=—,z=y+1012,-1011<j<1012,jeZ{—}(-1011<j<1012,jeZ)1

2，J，數(shù)列2」八是首項為2皿，公比為2的

等比數(shù)列,

2011

20242[1-]

__21012_2-1012

Z=11--

所以2,D錯誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求兩個分段函數(shù)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該

段的解析式求值是關(guān)鍵.

12.5

【分析】先求出/(”的定義域得到集合A,再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.

【詳解】卜-1N0,則X21或xW-1,即4={x|x21或xW-1}.

①當(dāng)。=0時，B=0,滿足Bq/,符合題意;

5={xeR|—<x<—}

②當(dāng)a>0時，aa,所以若8=/,

->1-<-l

則有。或。(舍)，解得°<aVl；

S={xeR|—<x<—}八，

③當(dāng)a<0時，aa,所以若3=/,

10

則有q一或々一（舍），解得一I4a<°.

綜上所述，a?S1」.

故答案為：［T1］

5后二后

13.34##3487t

【分析】將四面體/一BCD補(bǔ)成長方體/MCN-PBQZ）,根據(jù)勾股定理求出/W、AN、NP的長，以點(diǎn)

A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AMAN、NP所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可

求出直線/。與班所成角的余弦值，求出四面體外接球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)

果.

［詳解］在四面體力一■8c。中，AD=BC=2,CD=AB=0AC=BD=5,

將四面體/-BCD補(bǔ)成長方體AMCN-PBQD,

AD2=AP2+AE2=4{AP=\

<AB2=AP2+AM2=5\AM=2

則I"<6=7,解得

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AMAN、/尸所在直線分別為x、>、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）、。（0,百」）、3（2,0,1）、“13己

BE=(-1,43,--

所以，而=（。,圖）,

5

AD-IE5_5舊

cosAD,BE=

、后一34

曲.國2x---

則2

5厲

所以，直線/。與8E所成角的余弦值為FT

11

長方體AMCN-PBQD的體對角線長為AQ=^AM2+AN2+AP2=J4+3+1=2行,

所以，四面體"-BCD外接球半徑為故四面體外接球的表面積為收)=8)

5后

故答案為：飛“；8兀.

372

14.2

【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造w(x)=e'-x,得到其單調(diào)性，得到axe'-ln(ax)-,再構(gòu)造

j(x\=%_21n(x-l)尸(%q“e”一皿⑼)，。[/""D]

'x,求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)I'A

\PQ\>—

利用基本不等式得到?2,求出答案.

［詳解］axQX~--ex+lnax-(x+Inax)w(x)=ex-x

則皿)=1

當(dāng)xe(0,”o)時，M(x)>0,w(x)=e，r單調(diào)遞增，當(dāng)xe(ro,0)時，M(x)<0,?、?丁彳單調(diào)遞

減，

故w(x)=e-x在工=0處取得極小值，也是最小值，故網(wǎng)司“。-0=1,

故axe*_ln(ax)-x=eL_(x+ln?;)2］,當(dāng)且僅當(dāng)x+lnax=0時，等號成立,

令、)x,%>1,

7Y7Y

--21n(x-l)X2--+21n(x-l)

/(x)=l-~5-----------=---------------

則》曠，

2x

k(x)=x2-----+2ln(x-1)

令1,

7,/、2x—2—2x222

k(%)=2x--------z—I------2xH-------yH----->0

則—I)1(I)1在(1，+⑹上恒成立,

2Y

1

k{x)=x-----+2ln(x-1)A

故xT在口+叼上單調(diào)遞增，

又發(fā)(2)=0,故當(dāng)xe(L2)時，躍x)<o,當(dāng)xc(2,+oo)時，左(切>0,

12

故xe（l,2）時，/（尤）<0,?。﹩握{(diào)遞減，當(dāng)xe（2,+co）時，〃x）>0,?。﹩握{(diào)遞增,

故x在》=2處取得極小值，也時最小值，最小值為八2）=2,

P^n,ane"―皿“〃））,/J”"__

設(shè)I，人

|PQ|2=（/-?）2+-ln（ari^、皿’~|

由基本不等式得，I'>

n

“-21n(：T)+ane-Inan-nj

-(2-+--1-)2=一9

-222,

7nsM一迎產(chǎn)

t—n=(anen

當(dāng)且僅當(dāng)'t=2,〃+lna〃=0時，等號成立,

故7

372

故答案為：2

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)e*與Inx,通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題

axeTn（ax）-x變形得到ei-（x+Inax）,從而構(gòu)造明）=e*-x進(jìn)行求解.

15.（1）答案見解析（2）證明見解析

【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)。進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；

」->1,

（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=/（x）一依，在條件"一下，判斷g'（x）的符號，得到g（x）<g⑴=°，得證.

,/x1ax—a

【詳解】（1）“X）的定義域（0，+8），⑴一7了一丁，

若a40,/'（x）>0,則f（x）在（0,+動上單調(diào)遞增；

若a>0,當(dāng)xe（O,a）時，/3<0,則/3單調(diào)遞減，丫€（氏+8）時，/（x）>0,則/'（x）單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)aWO時，/（X）在（°，+"）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；

當(dāng)。>0時，/（X）在（°，。）上單調(diào)遞減，/（X）在3+°°）上單調(diào)遞增.

a=-,x>\g(x)=/(x)-ax=Im-^-則"「。

⑵因2,設(shè)2

13

則g(x)在(1，+8)上單調(diào)遞減，g(x)<g(l)=O,故/(尤)〈辦

16.(1)11(2)36

【分析】(1)求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計算公式即可求解.

(2)由互斥加法以及獨(dú)立乘法公式即可求解.

【詳解】(1)甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：

AS,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD,其中正確選項只有一個,

樣本空間。={/B,NC,/D,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD}

共H個基本事件，

P=—

所以他猜對本題得5分的概率為11.

111,111

1----------=-1-----------——

(2)由題意得乙得0分的概率為244,丙得0分的概率為623,

乙比丙剛好多得5分的情況包含：

事件8：乙得10分，丙得5分，則

P(C)=lxi+lx-LxLxULxlkL

事件c：乙得7分，丙得2分，則［2442)12332)12

P(D)=-x-+-x-x-x-=—

事件。：乙得5分，丙得0分，則(2442J3336.

P=P(JB+C+Z))=—+—+—=—

所以乙比丙總分剛好多得5分的概率36123636.

3」

17.(1)2^3；(2)存在，5.

【分析】(1)取的中點(diǎn)。，連接由給定條件結(jié)合余弦定理求出/C,再推證即

可求出四邊形面積.

(2)由已知可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】(1)在三棱柱A"。-48c中，取8片的中點(diǎn)。，連接“3。，

在A/AS］中，由48=48］=石，BB1=2,得40_1_54，^D=2,

在ACA8］中，由BC=BC=6,BB、=2,得CDLBB、,CD=\,

則/ADC為二面角/一BB「G的平面角，即乙4DC=60°,

14

AC2=22+12-2x2xlx-=3

在△A/℃中，由余弦定理得2,解得/C=jr3,

又4DCDC=D,AD,DCu平面/DC,則84,平面而/Cu平面/OC,于是班

顯然BBJ/CC、則CCJ/C

所以平行四邊形NCG4的面積S=NCxCC|=^x2=2百

22

(2)由(1)知AC=6,B1C=也,AB、=#!AB^=AC+BtC則NC_LC4

同理NC,CB,又BC=B、C=4i,BB、=2,即B2；=+80?,則5cLe4

以C為原點(diǎn)，直線C%C8,C4分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

/(0,0,石)S(0,V2,0)耳(亞,0,0)場=赤=(0,血,0)

,，，，

函=(a,0,-百)=a4=(0,-V2,V3)

，，

假設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意，不妨設(shè)B,M=4A4(0V4<1),

則CM—CB、+B、M=CB]+%8[4=(V2,—x/2/l,■xf^九)

n-AB=y/2x-VJz=0

<i

設(shè)平面/C的法向量為￡=("/),則[萬<8]=岳=0,令x=6得"=(百,0,&),

-?/-不7\?In'CMI>/6+V62V2T

sin0n=1cos〈%CM)|=---:=——/=---

設(shè)直線CN與平面44G所成的角為。，則\n\-\CM\后,53+25,

解得5，此時?55

3—

所以存在點(diǎn)M滿足題意，且4"的長為虧

18.⑴i=4y⑵⑴證明見解析；(ii)8

/r)F*y——x+—IAR-y—kx+-

【分析】(1)設(shè)出直線2,和2的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出

15

M（pk,pH當(dāng)iV（--,4-+-）y-{pk-+-）=（k--）（x-pk）

2,k片2,從而求出直線兒W為2k,再利用條件，即

可求出結(jié)果；

⑵⑴根據(jù)條件得出叱尸?+6-卜巧和/皿y=3+x加-卜z,聯(lián)立方程，結(jié)合⑴

中的韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果；（ii）過點(diǎn)G作G0//P軸，交直線兒加于點(diǎn)°,得出A”GN的面積為

S=~\XM_%/瓦一%

,再利用幾何關(guān)系及基本不等式即可求出結(jié)果.

I.r,y=kx+—l:y=—x+—

【詳解】（1）易知直線直線。E斜率均存在，且不為0,設(shè),2,nFk2,

,乂),B(X2,%),E(X3,%),。(匕,乂)，

y—kx+—

2

-=2py,消y得至產(chǎn)2_2p而一夕2=0,由韋達(dá)定理得到項+迎=2P左,項%2=-4

由

所以必+為=以%+￡）+°=2請+°,得至產(chǎn)武四十萬）,

同理可得％+寸學(xué)陽-￡我+乳

=7

pk+1

kk+k

所以

故直線班為I請+9=(1)。5),又直線跖V過定點(diǎn)(。,3),

3-(pk2+-)=(k——)(-pk)=-pk2+p-P=3c

所以27k八",得到2',故。=2,

所以拋物線0的方程為，=4y.

（2）（i）因為4項，%），8（%2，％），磯%3，%），。?4，%），

如：尸”乂（彳一（）+%22

則退一%,又尤1=4%,%=4%,

Z：y="I；（1z、1

所以4?-x了=~(辦+4)%匕4%

71Z、1

一,/小〉=:(%4+”一72%4

同理可得44

16

1z、1

y=-(x4+x2)x--x2x4

11_XXX+%214再一XXX~XXX

y=—(X3+%)x——y=--2---4---3----------------x--3---2-;---x--3---4

44消x得到XXXX

由4(4-3+2-J