2024屆北京延慶縣聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆北京延慶縣聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.“已知：正比例函數(shù)％=履比>0）與反比例函數(shù)%=一（m>0）圖象相交于兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是1和

x

-1,求不等式kx〉上的解集.”對(duì)于這道題，某同學(xué)是這樣解答的：“由圖象可知：當(dāng)或-l<x<0時(shí)，%〉%,

X

所以不等式kx〉巴的解集是尤>1或-他這種解決問(wèn)題的思路體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是（）

X

A.數(shù)形結(jié)合B.轉(zhuǎn)化C.類(lèi)比D.分類(lèi)討論

2.如圖，在一次實(shí)踐活動(dòng)課上，小明為了測(cè)量池塘B、C兩點(diǎn)間的距離，他先在池塘的一側(cè)選定一點(diǎn)A,然后測(cè)量出

AB、AC的中點(diǎn)D、E,且DE=10m,于是可以計(jì)算出池塘B、C兩點(diǎn)間的距離是（）

10mC.15mD.20m

3.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足NAEB=90°,AE=3,BE=4,則陰影部分的面積是（)

A.12B.16C.19D.25

2

4.使分式一；有意義的x的值是（）

x-1

A.x—iB.x>lC.x<lD.

5.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）

A.(x+y)2=X2+2xy+y2B.-5(xy)2=-5.x2y2

C.%2+2x+1—+—D.x2—4,2=(x+2y)(x-2j；)

6.如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將4ADE繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到ADCF,

連接EF,則EF的長(zhǎng)為（）

C.2^/6D.2^/10

7.點(diǎn)A、B、C是平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)，點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若A、B、C、D四點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平

行四邊形，則在平面內(nèi)符合這樣條件的點(diǎn)D有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3

8.如圖，及45。的面積為1,分別取AC、5C兩邊的中點(diǎn)4、Bi,則四邊形AiAb?的面積為一，再分別取AC、BiC

4

3333

的中點(diǎn)4、取AiC,B2c的中點(diǎn)43、氏,依次取下去…利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出1+9+至++—=（）

4〃Tn4〃+1

A.1B.C.1--D.--------

4〃4〃4〃

9.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別在AB、AD邊上運(yùn)動(dòng)，且保持BE=AF,

連接OE,OF,在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列結(jié)論：?OE=OF；②NEO產(chǎn)=90°；③四邊形的面積保持不

變；④當(dāng)EF3。時(shí)，EF=2叵，其中正確的結(jié)論是（)

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

10.已知一組數(shù)據(jù)2,3,4,x,1,4,3有唯一的眾數(shù)4,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.高6cm的旗桿在水平面上的影長(zhǎng)為8cm,此時(shí)測(cè)得一建筑物的影長(zhǎng)為28cm,則該建筑物的高為

12.如圖，把RtAABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中NCA3=90。，3c=5,點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,0),將AA3C

沿x軸向右平移，當(dāng)C點(diǎn)落在直線y=2x—6上時(shí)，線段3c掃過(guò)的區(qū)域面積為

a-21

13.若x=3是分式方程------=0的根，則a的值是

xx

14.若反比例函數(shù)y=±的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,3),則y=吏的圖像在_____象限.

xx

15.如圖，已知。是矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且Q4=l,OB=3,OC=4,那么0。的長(zhǎng)為

16.若x=6-1,則代數(shù)式必+2%+1的值為.

17.若關(guān)于％的分式方程也處=4的解是非負(fù)數(shù)，則。的取值范圍是________.

x-22

18.在菱形ABC。中，AB=4,ZABC=m°,E為AO中點(diǎn)，尸為對(duì)角線6。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)E4和PE,則上4+PE

的值最小為.

三、解答題(共66分)

19.(10分)已知點(diǎn)E、F分別是四邊形ABCD邊AB、AD上的點(diǎn)，且DE與CF相交于點(diǎn)G.

(1)如圖①，若AB〃CD,AB=CD,ZA=90°,且AD?DF=AE?DC,求證：DE_LCF：

(2)如圖②，若AB〃CD,AB=CD,且NA=NEGC時(shí)，求證：DE?CD=CF?DA：

DE

如圖③，若BA=BC=3,DA=DC=4,設(shè)DELCF,當(dāng)NBAD=90°時(shí)，試判斷——是否為定值，并證明.

CF

20.(6分)類(lèi)比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊形”.

(1)已知：如圖1,在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABC。中，BC^AB,BDA.CD,AB=3>,BD=4,求的長(zhǎng)；

(2)在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形.請(qǐng)你判斷此結(jié)論是否正確，若

正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例；

(3)如圖2,在△ABC中，AB=AC=e,ZBAC=90°.在A3的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得以A,B,C,P

為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”.若存在，請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊四邊形”的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

k

21.(6分)如圖,已知點(diǎn)A,B在雙曲線y=—(x>0)±,AC，x軸于C,BD_Ly軸于點(diǎn)D,AC與BD交于點(diǎn)P,P是

X

AC的中點(diǎn).

⑴設(shè)A的橫坐標(biāo)為m,試用m、k表示B的坐標(biāo).

⑵試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由.

⑶若4ABP的面積為3,求該雙曲線的解析式.

22.(8分)如圖，在一ABC中，/C=90.

(1)用圓規(guī)和直尺在AC上作點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A、B的距離相等.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明)

(2)當(dāng)滿足(1)的點(diǎn)P到AB、BC的距離相等時(shí)，求/A的度數(shù).

23.(8分)如圖，過(guò)點(diǎn)A(0,3)的一次函數(shù)yi=kx+b(kWO)的圖象與正比例函數(shù)yz=2x的圖象相交于點(diǎn)B,且點(diǎn)B

的橫坐標(biāo)是1.

(2)若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點(diǎn)，求aBOD的面積

(3)當(dāng)yi<y2時(shí)，自變量x的取值范圍為.

24.(8分)甲、乙兩人同時(shí)從P地出發(fā)步行分別沿兩個(gè)不同方向散步，甲以的速度沿正北方向前行；乙以46n//i

的速度沿正東方向前行，

(1)過(guò)7小時(shí)后他倆的距離是多少？

(2)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，他倆的距離是15加2?

x—3(九+1)<3

25.(10分)求不等式組2%-12-%的解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

1

I-----3-------------6----S

xy=-7—a

26.(10分)已知方程組。的解中，”為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù).

x-y=1l+3a

(1)求〃的取值范圍；

(2)化簡(jiǎn)-3|+|a+2|.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、A

【解題分析】

試題分析：根據(jù)數(shù)形結(jié)合法的定義可知.

解：由正比例函數(shù)yi=kx(k>0)與反比例函數(shù)y2=；(m>0)圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是1和-1,然后

結(jié)合圖象可以看出x>l或-l<x<0時(shí)，yi>y2,所以不等式kx>3的解集是x>l或

解決此題時(shí)將解析式與圖象緊密結(jié)合，所以解決此題利用的數(shù)學(xué)思想方法叫做數(shù)形結(jié)合法.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合法是解決函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常采用的一種方法，關(guān)鍵是要

找出圖象與函數(shù)解析式之間的聯(lián)系.

2^D

【解題分析】

根據(jù)三角形中位線定理可得到BC=2DE,可得到答案.

【題目詳解】

?；D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，

.1DE為AABC的中位線，

/.BC=2DE=20m,

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查三角形中位線定理，掌握三角形中位線平行第三邊且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】

根據(jù)勾股定理求出AB,分別求出aAEB和正方形ABCD的面積，即可求出答案.

【題目詳解】

解：I?在Rt2\AEB中,ZAEB=90°,AE=3,BE=4,

由勾股定理得：AB=7AE2+BE2=5'

,正方形的面積=5X5=25,

,/AAEB的面積=-AEXBE=-X3X4=6,

22

/.陰影部分的面積=25-6=19,

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理，正方形的面積以及三角形的面積的求法，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4、D

【解題分析】

分式有意義的條件是分母不等于0,即x-IWO,解得x的取值范圍.

【題目詳解】

若分式有意義，則x-IWO,解得：xWL

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了分式有意義的條件：當(dāng)分母不為0時(shí)，分式有意義.

5、D

【解題分析】

根據(jù)把整式變成幾個(gè)整式的積的過(guò)程叫因式分解進(jìn)行分析即可.

【題目詳解】

A、是整式的乘法運(yùn)算，不是因式分解，故A不正確；

B、是積的乘方，不是因式分解，故B不正確；

C、右邊不是整式乘積的形式，故C不正確；

D、是按照平方差公式分解的，符合題意，故D正確；

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別.

6、D

【解題分析】

先利用勾股定理計(jì)算出OE,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NEZ)F=NAZ>C=90。，DE=DF,則可判斷aOE尸為等腰直角三角

形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算EF的長(zhǎng).

【題目詳解】

為A8的中點(diǎn)，A3=4,：.AE=2,

??,DEZAE'AD?=2石.

???四邊形A3CZ)為正方形，/.ZA=ZADC=90°,：.ZADE+ZEDC=90°.

:△AOE繞點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到△OCF,AZADE=ZCDF,DE=DF,；.NCDF+NEDC=9Q。,1ADEF為

等腰直角三角形，.?.EF=0OE=2，IU.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)一勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7、C

【解題分析】

試題分析：由題意畫(huà)出圖形，在一個(gè)平面內(nèi)，不在同一條直線上的三點(diǎn)，與D點(diǎn)恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，符合這樣

條件的點(diǎn)D有3個(gè).

故選C.

考點(diǎn)：平行四邊形的判定

8、C

【解題分析】

對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)

統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類(lèi)題目中的難點(diǎn).

【題目詳解】

解：?.'Ai、Bi分別是AC、BC兩邊的中點(diǎn)，且^ABC的面積為1,

二AAiBiC

的面積為lx，

4

二四邊形AiABBi的面積=Z\ABC的面積-AAiBiC的面積

二四邊形A2A1B1B2的面積=ziA4c的面積--B2c的面積

_11_3

=7一手=不

...第n個(gè)四邊形的面積

j___

―4_14n-4n

故答案為：c

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.

9、D

【解題分析】

過(guò)O。作OGLAB于G,。//，4。于/1,由正方形的性質(zhì)得到4=/0￡4=/034=90°，求得OH=gAB,

OG=-AD,得到NGOH=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=O尸，故①正確；NECG=NFOH,推出

2

ZE0F=90\故②正確；得到四邊形AE。9的面積二正方形A0G8的面積=2x2=4,四邊形AEOb的面積保

持不變；故③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAEE=NADB=45°

,ZAEF=ZABD=45°?求得AE=AF,得到AE=AF=gAB=2,于是得到取=20,故④正確.

【題目詳解】

解：過(guò)。作OGLAB于G,08，4）于也

?.?四邊形ABC。是正方形,

ZA=ZOHA=ZOGA=90°，

OH//AB,0G//AD,

,點(diǎn)。是對(duì)角線BD的中點(diǎn),

:.AH=DH,AG=BG,

:.0H=-AB,0G=-AD,

22

AD=BA,

:.OG=OH,BG=AH,

二四邊形AGS是正方形，

:.NGOH=90°，

BE=AF,

:.GE=FH,

在_。切與一OEG中，

EG=FH

<NOGE=ZOHF,

OG=OH

:._OFH=^OEG(SAS),

:.OE=OF,故①正確；ZEOG=ZFOH,

ZEOG+ZGOF=ZGOF+ZFOH=90°，

:./EOF=90°，故②正確；

OFH=OEG,

：.四邊形AEOF的面積=正方形AOGH的面積=2x2=4,

二四邊形AEOF的面積保持不變；故③正確；

EF//BD,

NAFE=NADB=45°，ZAEF=ZABD=45°>

:.AE=AF,

BE=AF,

：.AE=BE9

.-.AE=AF=-AB=2,

2

EF=2A/2>故④正確；

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10、B

【解題分析】

根據(jù)題意由有唯一的眾數(shù)4,可知x=4,然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【題目詳解】

???這組數(shù)據(jù)有唯一的眾數(shù)4,

??X-4,

?.?將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1,2,1,1,4,4,4,

.,.中位數(shù)為：1.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，掌握基本定義是關(guān)鍵.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù).當(dāng)有

奇數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，中位數(shù)是從小到大排列順序后位于中間位置的數(shù)；當(dāng)有偶數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，中位數(shù)是從小到大排列順序后位于

中間位置兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).

二、填空題(每小題3分，共24分)

11>21

【解題分析】

6h

【分析】設(shè)建筑物高為hm,依題意得石=褊.

828

【題目詳解】設(shè)建筑物高為hm,依題意得

6_h

8-28

解得，h=21

故答案為21

【題目點(diǎn)撥】本題考核知識(shí)點(diǎn)：成比例性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)成比例.

12、5

【解題分析】

解：如圖所示.???點(diǎn)4、5的坐標(biāo)分別為(1,0)、(4,0),

VZCAB=90°,BC=3,：.AC=4,：.A'C'=4.

?點(diǎn)C'在直線y=4x-6上，.*.4x-6=4,解得x=3.

即OA'=3,：.CC'=3-1=4,，S°BCC?=4X4=5(cm4).

即線段BC掃過(guò)的面積為5cm\故答案為5.

【解題分析】

a-21

首先根據(jù)題意，把x=l代入分式方程--------=0,然后根據(jù)一元一次方程的解法，求出a的值是多少即可.

XX

【題目詳解】

a-21

解：?.?x=l是分式方程--------=0的根，

XX

a-l=O,

??a—X,

即a的值是1

故答案為：1.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎?/p>

式方程的過(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.此題

還考查了一元一次方程的求解方法，要熟練掌握.

14、二、四

【解題分析】

用待定系數(shù)法求出k的值，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷其圖像所在的象限即可.

【題目詳解】

kk

解：將點(diǎn)(一2,3)代入y=—得3=y解得：k=-6

x-2

因?yàn)閗<0,所以y=±的圖像在二、四象限.

x

故答案為：二、四

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，y=-,當(dāng)k>o時(shí)，圖像在一、三象限，當(dāng)k<o時(shí)，圖像在二、四象限，正確掌握該性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15、2夜

【解題分析】

過(guò)O作EF_LAD于E,交BC于F；過(guò)O作GH_LDC于G,交AB于H,設(shè)CF=x,FB=y,AH=s,HB=t,則可得

222222

x<y2=16-9=7,t-s=3-l=8,整理得OD2=x?+s2=(y+t)-1=9-1=8,即可求得AD的長(zhǎng).

【題目詳解】

如圖，過(guò)。作EF_LAD于E,交BC于F；過(guò)O作GH_LDC于G,交AB于H.

DC

/.OG=x,DG=s,

:.OF2=OB2-BF2=OC2-CF2,

即42-x2=32-y2,

x2-y2=16-9=7(D

同理:OH2=l2-s2=32-t2

；.t2-s2=32-12=8②

XVOH2+HB2=OB2,即y2+t2=9；

①-②得(x2+s2)-(y2+t2)=-l,

/.OD2=x2+s2=(y2+t2)-1=9-1=8,

，OD=20.

故答案為20.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了矩形對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì)，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中整理計(jì)算OD的長(zhǎng)度

是解題的關(guān)鍵.

16、5

【解題分析】

先把好+2x+1變形為(x+l)2,再把X=6-1代入計(jì)算即可.

【題目詳解】

x2+2x+l=(x+l)2=(75-1+1)2=5.

故答案為：5.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了求代數(shù)式的值，完全平方公式，以及二次根式的運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式將所給代數(shù)式變形是解答本題的

關(guān)鍵.

17、aNl且

【解題分析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，確定出a的范圍即可.

【題目詳解】

2a-2

去分母得：6x-2a=x-2,即》=三一，

2a-22a-2

由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，得到:一K）,且^^先，

解得：。21且。26,

故答案為：。之1且。26.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18、26

【解題分析】

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，作點(diǎn)E，和E關(guān)于BD對(duì)稱.則連接AE，交BD于點(diǎn)P,P即為所求作的點(diǎn).PE+PA的最小值即為

AE，的長(zhǎng).

【題目詳解】

作點(diǎn)E，和E關(guān)于BD對(duì)稱.則連接AE，交BD于點(diǎn)P,

???四邊形ABCD是菱形，AB=4,E為AD中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)E，是CD的中點(diǎn)，

11

ADE,=-DC=-x4=2,AE'_LDC,

22

AE，=《AD?-DE'2=>/42-22=2A/3?

故答案為2G.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共66分）

19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析

【解題分析】

(1)根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)得到NA=NFDC=90。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

NCFD=NAED,根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

DFDF

(2)根據(jù)已知條件得到ADFGSZ\DEA,推出一=——，根據(jù)ACGDS/^CDF,得到

ADDG

DFCF

——=—,等量代換即可得到結(jié)論；

DGCD

(3)過(guò)C作CN_LAD于N,CM_LAB交AB延長(zhǎng)線于M,連接BD,設(shè)CN=x,ABADg4BCD,推出NBCD=NA=90。,

3

ffiABCM^ADCN,求出。0=-X,在R3CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,解方程得到CN,證出

4

△AED^ANFC,即可得出答案.

【題目詳解】

(1)證明：VAB/7CD,AB=CD,ZA=90°,

四邊形ABCD是矩形，

.?.ZA=ZFDC=90°,

；AD?DF=AE?DC,

.ADCD

"^E~~DF'

.,.△AED^>ADFC,

/.ZCFD=ZAEDs

VZADE+ZAED=90°,

.\ZADE+ZCFD=90o,

.,.ZDGF=90°,

ADEICF；

(2)證明：VZA=ZEGC,ZADE=ZGDF,

.,.△DFG^ADEA,

.DEDF

"~AD~~DG，

VAB/7CD,AB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，NAED=NEDC,

AZB=ZADC,

VADFG^ADEA,

/.ZAED=ZDFG,

；.DFC=NGDC,

VZDCG=ZFCD,

.'.△CGD^ACDF,

.DFCF

"DG~CD

.DE_CF

"AD-CD'

.?.DE?CD=CF?DA；

r）p

（3）解：——為定值,

CF

理由：過(guò)C作CN_LAD于N,CM_LAB交AB延長(zhǎng)線于M,連接BD,設(shè)CN=x,

VZBAD=90°,即AB_LAD,

:.NA=NM=NCNA=90。，

四邊形AMCN是矩形，

；.AM=CN,AN=CM,

AD=CD

,：在ABAD和ABCD中，<A3=3C

BD=BD,

7.△BAD^ABCD(SSS),

.?.NBCD=NA=90°,

.,.ZABC+ZADC=180°,

■:NABC+NCBM=180°,

；.NMBC=NADC,

；NCND=NM=90。，

.,.△BCM^>ADCN,

.CMBC

**CN-CD'

.CM3

??------=—，

x4

3

：.CM=-x,

4

3

在RtZkCMB中，CM=-x,,BM=AM-AB=x-3,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,

4

???(x-3)2+(.=32,

,…、96

x=0(舍去)，x=—,

VZA=ZFGD=90°,

:.NAED+NAFG=180。,

'/ZAFG+ZNFC=180°,

/.ZAED=ZCFN,

VZA=ZCNF=90°,

/.△AED^ANFC,

DFAD425

【題目點(diǎn)撥】

屬于相似三角形的綜合題，考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，

掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

20、(1)5；(2)正確，證明詳見(jiàn)解析；(3)存在，有四種情況，面積分別是：1+"~,1+'~,—+'",—+'~

222222

【解題分析】

(1)根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)度，

(2)根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形判斷，

(3)有四種情況，作輔助線，將四邊形分成兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形或兩個(gè)三角形，相加可得結(jié)論.

【題目詳解】

(1)'：BD±CD

：.ZBDC=90°,BOCD

?.,在“準(zhǔn)等邊四邊形中，BC^AB,

：.AB=AD=CD=3,

VBD=4,

:.BC={CD2+BD。=5,

(2)正確.

如圖所示:

"：AB=AD

...AABO是等腰三角形.

'：AC±BD.

垂直平分

：.BC=CD

：.CD=AB=AD^BC

二四邊形ABC。是菱形.

（3）存在四種情況，

G）如圖2,四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”，過(guò)C作CT，PE于F,則ZCFE=90,

VEP是AB的垂直平分線，

???NAEF=NA=90,

二四邊形AEFC是矩形，

在RtABC中，AB=AC=y/2,BC=2,

B

：.CF=AE=BE=—,

2

,:AB=PC=4^

22

???PF=A/PC-CF二—

2

??S四邊形ABPC=SBEP+S矩形人小。+SCFp

=Lx也x[四+"]+^x立+工義立義通

22(2)2222

3+73

2

3如圖4,四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”,

???AP=BP=AC=41=AB,

???ZXABP是等邊三角形,

2

=SABP+SABC=^-x(V2)+1-xV2xV2=^-+1；

2四邊形ACBP

O如圖5,四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”,

VAB=BP=BC=2,PE是AB的垂直平分線,

APD±AB,E是AB的中點(diǎn),

.1廠11-r~幣

S四邊形ACBP=SAPB+SABC=-XA/2X^—+-xV2xV2=—+1

如圖6,四邊形ABPC是“準(zhǔn)等邊四邊形”，過(guò)P作P尸，AC于F,連接AP,

3

AB=AC=PB=42>

?ME邛,

=SAPB+SAPC=；*0X*+；義應(yīng)*中=冬^

S四邊形A3PC

乙乙乙乙乙

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了四邊形綜合題，矩形和菱形的判定和性質(zhì)，“準(zhǔn)等邊四邊形”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形和矩形解題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題，難度較大，屬于中考?jí)狠S題.

21、(1)B(2m,4)；(2)四邊形ABCD是菱形，理由見(jiàn)解析；(3)y=—.

2mx

【解題分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是m,結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)得到點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，所以由“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”得到四邊形ABCD是菱

形；

(3)由AABP的面積為3,知BP?AP=1.根據(jù)反比例函數(shù)y=8中k的幾何意義，知本題k=OC?AC,由反比例函數(shù)

x

的性質(zhì)，結(jié)合已知條件P是AC的中點(diǎn)，得出OC=BP,AC=2AP,進(jìn)而求出k的值.

【題目詳解】

⑴；A的橫坐標(biāo)為m,AC_Lx軸于C,P是AC的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2m.

又?點(diǎn)B在雙曲線y=&(x>0)上,

X

?B(2m,

(2)連接AD、CD、BC；

???人(3，*軸于?,BD，y軸于點(diǎn)D,

AAC1BD；

kk

???A(m,-),B(2m,—),

m2m

；?P(m,--),

2m

；.PD=PB,

又AP=PC,

四邊形ABCD是菱形；

(3)VAABP的面積為工?BP-AP=3,

2

.,.BPAP=1,

?；P是AC的中點(diǎn)，

?*.A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，

k

又?.?點(diǎn)A.B都在雙曲線y=—(x>0)±,

x

：.B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，

/.OC=DP=BP,

:.k=OCAC=BP-2AP=12.

12

...該雙曲線的解析式是：y=—.

x

【題目點(diǎn)撥】

此題考查反比例函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵在于作輔助線.

22、(1)圖形見(jiàn)解析(2)30°

【解題分析】

試題分析：(1)畫(huà)出線段AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求；

(2)由點(diǎn)P到AB、BC的距離相等可得出PC=PD,結(jié)合BP=BP可證出RtABCP^RtABDP(HL),根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)可得出BC=BD,結(jié)合AB=2BD及NC=90°,即可求出NA的度數(shù).

試題解析：

(1)依照題意，畫(huà)出圖形，如圖所示.

(2)?.?點(diǎn)P到AB、BC的距離相等,

PC=PD.

在RtABCP和RtABDP中,

PC=PD

BP=BP'

RtABCPVRtABDP(HL),

BC=BD.

又PD垂直平分AB,

AD=2BD=2BC.

在RtAABC中,Z