中考數學總復習《二次函數與不等式的綜合應用》訓練（附答案）

中考數學總復習《二次函數與不等式的綜合應用》專題訓練(附答案)

學校:班級：姓名：考號：

1.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x2+bx+c的圖象與y軸交于點A(0,3),交x軸于點

B(3,0).

(1)求拋物線的解析式，并根據該圖象直接寫出y>3時x的取值范圍；

(2)將線段OB向左平移m個單位，向上平移n個單位至O'B'(m,n均為正數)，若點O',B'

均落在此二次函數圖象上，求m,n的值.

2.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=/-2/?x.

(1)當拋物線過點(2,0)時，求拋物線的表達式；

(2)求這個二次函數的對稱軸(用含6的式子表示)；

(3)若拋物線上存在兩點A(b-1,y/)和8(6+2,x)，當2Vo時，求匕的取值范圍.

3.二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x=-l.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)求該圖象的頂點坐標；

(3)觀察圖象，當y>0時，求自變量x的取值范圍.

4.某園林專業(yè)戶王先生計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤弘與投資量x

成正比例關系，如圖1所示；種植花卉的利潤當與投資量x成二次函數關系，如圖2所示(圖中實線部

分)

圖1圖2

(1)分別求出y與%關于投資量x的函數解析式；

(2)王先生以總資金9萬元投入種植花卉和樹木，且投入種植花卉的資金不能超過投入種植樹木資金

的2倍.設王先生投入種植花卉資金m萬元，種植花卉和樹木共獲利W萬元，求W關于m的函數解析

式，并求他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

(3)若王先生想獲利不低于26萬，在(2)的條件下，直接寫出投資種植花卉的資金m的范圍.

5.二次函數的圖象經過點A(2,0),B(3,0),C(l,6).

(1)求二次函數解析式；

(2)求當y>4時，自變量x的取值范圍.

6.二次函數y=ax?+bx+c(a/0)的圖象如圖所示.

(2)當y>0時，求x的取值范圍.

(3)當y隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍.

(4)若方程ax?+bx+c=k有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

7.某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每個掛件的

進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進25個.

(1)求第二批每個掛件的進價；

(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發(fā)現，

當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能

賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

8.在平面直角坐標系xOy中，拋物線丁=如2一2如一3(m與x軸交于A,B兩點，且點A的坐標

為(3,0).

(1)求點B的坐標及m的值；

(2)求出拋物線的頂點坐標，并畫出此函數的示意圖；

(3)結合函數圖象直接寫出當y>0時x的取值范圍.

9.對于拋物線y=ax2-4x+3(a>0)

(1)若拋物線過點(4,3)

①求頂點坐標；

②當0WX/6時，直接寫出y的取值范圍為；

(2)已知當0<x<m時,l<y<9,求a和m的值.

10.如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c圖象的頂點A坐標為(1，-1),與直線y=^x相交于

0、B兩點，點O是原點.

(1)求二次函數的解析式；

(2)求點B的坐標；

(3)直接寫出不等式ax2+bx+c<-x的解.

2

11.如圖二次函數y="2+辰+，的圖象與x軸交于點(1,0)、(3,0),根據圖象解答下列問題:

(1)寫出方程ax2+b^\-c、=0的兩個根;

(2)當x為何值時，y>0?當x為何值時，y<0?

(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.

12.如圖為二次函數y=-x2-x+2的圖象，試根據圖象回答下列問題:

(2)當y>0時，x的取值范圍是；

(3)當-3<x<0時，y的取值范圍是.

(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標.

(2)當2時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍.

14.在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-2mx+l(m為常數)的圖象與y軸交于點A.

(1)求點A的坐標.

(2)當此拋物線的頂點恰好落在x軸的負半軸時，求此拋物線所對應的二次函數的表達式，并寫出

函數值y隨x的增大而增大時x的取值范圍.

31

(3)當x?—m時，若函數y=x2-2mx+l(m為常數)的最小值一，求m的值.

22

(4)已知RSEFG三個頂點的坐標分別為E(m,m)、F(0,m),G(m,m-10).若設拋

物線y=xJ2mx+l(m為常數)與△EFG的較短的直角邊的交點為P,過點P作x軸的平行線，與拋物線

的另一個交點為Q，過點A作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為B.若AB=2PQ,直接寫出m的

值，

15.如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+4x-3的圖象的頂點是A，與x軸交于B,C

兩點，與y軸交于點。.點8的坐標是(1，0).

(1)求A,C兩點的坐標，并根據圖象直接寫出當y>0時x的取值范圍.

(2)平移該二次函數的圖象，使點。恰好落在點A的位置上，求平移后的圖象所對應的二次函數的

表達式.

16.如圖，已知二次函數,=一/+法+?的圖像經過A(-2,-1),3(0,7)兩點.

(1)求該拋物線的解析式及對稱軸；

(2)當x為何值時，y>0?

(3)在x軸上方作平行于x軸的直線I,與拋物線交于C,D兩點(點C在對稱軸的左側)，過點

C,D作x軸的垂線，垂足分別為F,E.當矩形為正方形時，求C點的坐標.

17.閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務.

小麗學習了方程、不等式、函數后提出如下問題：如何求不等式/一工一6<0的解集？

通過思考，小麗得到以下3種方法：

方法1：方程必―％—6=0的兩根為％=-2,%=3,可得函數y=—6的圖象與x

軸的兩個交點橫坐標為-2、3,畫出函數圖象，觀察該圖象在x軸下方的點，其橫坐標的

范圍是不等式/一萬—6<0的解集.

方法2：不等式f一％—6<0可變形為/<%+6,問題轉化為研究函數y=V與y=x+6

的圖象關系.畫出函數圖象，觀察發(fā)現：兩圖象的交點橫坐標也是-2、3；y=V的圖象在

y=x+6的圖象下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集.

方法3：當x=0時，不等式一定成立；當x〉0時，不等式變?yōu)橛取?<9；當x<0時，不

X

等式變?yōu)閄-1>9.問題轉化為研究函數y=x-i與>=￡的圖象關系…

XX

任務：

（1）不等式f—x—6<0的解集為;

（2）3種方法都運用了—數學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；

A.分類討論B.轉化思想C.特殊到一般D.數形結合

18.已知二次函數y=x2+ax+a（a為常數，a^O）.

（1）當a=2時，求二次函數的對稱軸.

（2）當0<。<4時;求該二次函數的圖象與x軸的交點個數.

（3）設M（Xpyj,N&必）是該函數圖象上的兩點，其中為<々，當xt+x2>4時，都

有/<必，求a的取值范圍.

19.如圖是北京冬奧會舉辦前張家口某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x

軸，過跳臺終點作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線Ci：y=-+3近

822

似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好者小張從點O正上方A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：

y=--x2+bx+c運動.

4

(1)當小張滑到離A處的水平距離為8米時，其滑行高度為10米，求出b,c的值；

(2)在(I)的條件下，當小張滑出后離的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為是

2米？

2

(3)若小張滑行到坡頂正上方，且與坡頂距離不低于4米，求b的取值范圍.

20.已知拋物線y=ax2+3ax+c(a/))與y軸交于點A

(1)若a>0

①當a=l,c=-1,求該拋物線與x軸交點坐標；

②點P(m,n)在二次函數拋物線y=ax?+3ax+c的圖象上，且n—c>0,試求m的取值范圍；

(2)若拋物線恒在x軸下方，且符合條件的整數a只有三個，求實數c的最小值；

(3)若點A的坐標是(0,1),當一2c<x<c時，拋物線與x軸只有一個公共點，求a的取值范圍.

21.已知拋物線y=x?+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點的坐標為A(-1,0),與y軸的交點坐

標為C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個交點B的坐標；

(2)根據圖象回答：當x取何值時，y<0?

(3)在拋物線的對稱軸上有一動點P,求PA+PC的值最小時的點P的坐標.

22.已知二次函數y=ax2+Zzr+c(aR0).

(1)若。=-1,且函數圖象經過(0,3),(2,-5)兩點，求此二次函數的解析式；并根據圖象直接寫

出函數值y23時自變量x的取值范圍;

(2)在(1)的條件下，已知拋物線丁="2+加+。(。/0)與*軸交于人，B兩點(點A在點B的

左側)，將這條拋物線向右平移m(m>0)個單位，平移后的拋物線于x軸交于C,D兩點(點C在點

D的左側)，若B,C是線段AO的三等分點，求m的值.

(3)已知a^b=c=\,當％=〃，q(p,q是實數，P豐q)時，該函數對應的函數值分別為P,

Q.若〃+q=2,求證P+Q>6.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：將A(0,3),B(3,0)代入二次函數y=-x2+bx+c,

^{-9+3h+c=0'

b=2

解得

c=3

???拋物線的解析式為y=-/+2尤+3,

如圖，過點A作ACx軸交拋物線于點C,

A與C兩點關于對稱軸對稱,

C(2,3),

由圖象可得，當0VxV2時，y>3；

(2)解：?.?將0(0,0),B(3,0)向左平移m個單位，向上平移n個單位后至O'、B',

/.(J(-m,ri),〃)，

?.,點0=B'均落在此二次函數圖象上,

.(—m2-2m+3=n

(—(3-m)2+2(3—m)+3=

整理得「源『"3=好，

I-m2+4m=n(2)

②一①得6加一3=0,解得加=g,

I7

將〃2=］代入②式，解得〃=)，

17

m=—,n=—.

24

2.【答案】(1)解：把(2)0)代入解析式y(tǒng)=x2-2bx,

0=4-4/?,

解得b=\,

拋物線的解析式為：y^x2-2x.

-2h

(2)解：二次函數的對稱軸為直線：x=-----=b,

2x1

2

(3)解：將A(b-1,yi)和B(b+2,y2)代入y=x-2bx得,

y=3—1)2—2b3—1),必=3+2)2—2伙人+2)

整理得：乂=1一〃，%=4一〃，

當y-y2<0時，則%%=(1-勿(1+勿(2-勿(2+與<0,

(1—勿(1+勿(2—份(2+份<0,

S—DS+DS—2)3+2)<0,

令0-1)(/?+1)(/?-2)0+2)=0,

解得：b、=-2,b2--1,83=1，仇=2,

根據高次不等式的求解法則，

y?%=(1->)(1+協(xié)(2-b)(2+/)<0的解集為，

-2<Z?<-1或\<b<2.

3.【答案】(1)解：設拋物線解析式為y=a(x+1)2+k,

0-4a+k

將(-3,0),(0,3)代入y=a(x+1)2+k得《，

3=a+k

a——1

解得「,，

?=4

：.y=-(x+1)2+4.

⑵解:Vy=-(x+1)2+4,

拋物線頂點坐標為(-1,4).

(3)解：?.?拋物線經過(-3,0),對稱軸為直線x=-1,

二拋物線經過(1,0),

，-3<x<l時，y>0.

4.【答案】(1)解：設種植樹木的利潤M與投資量x的解析式為x="，種植花卉的利潤y2與投資量x

的解析式為

由題意得：k=2,4。=4,

:?k=2,a=\

2

y=2x,y2=x；

(2)解：,?王先生投入種植花卉資金m萬元，則其投入種植樹木資金為(9-根)萬元,

W—2(9—+-m2—2/n+18=(m—l)-+17,

???投入種植花卉的資金不能超過投入種植樹木資金的2倍，

0<m<6>

Vl>0,

當根=1時，％小=17,當機=6時，％大=(6—I)?+17=42,

他至少獲得17萬元利潤，他能獲取的最大利潤是42萬元；

(3)當時，王先生獲利不低于26萬

5.【答案】(1)解：設拋物線解析式為y=a(x+2)(x-3),

把C(l,6)代入得6=ax3x(—2),解得a=T,

所以拋物線的解析式為y=-(x+2)(x-3),

即y=-x2+x+6；

(2)解：把y=4代入y=-x?+x+6得，4=-x2+x+6,

解得x=2或x=-l,

二交點為(2,4),(-1,4),

:拋物線y=-x2+x+6開口向下，

.?.當y>4H寸，自變量x的取值范圍為T<xV2.

6.【答案】(1)解：?.?拋物線與x軸的交點為(1,0),(3,0),

二方程ax2+bx+c=0的兩個根為％=1,%=3；

(2)解：由圖象可知，當l<x<3時，y>0；

(3)解：?.?拋物線的對稱軸為直線x=2,

...當x>2時，y隨著x的增大而減??；

（4）解：方程必2+法+c=后有兩個不相等的實數根，即函數>=公2+加+4。。0）與y=z有兩個交

點，如圖所示:

當4>2時，y=ar?+加+。（。彳0）與y=左無交點；

當々=2時，>=公2+加+0（。工0）與3；=々只有一個交點；

當z<2時，函數y=以2+云+?。。0）與y=&有兩個交點,

故攵<2.

7.【答案】（1）解：設第二批每個掛件進價是每個x元,

33004000”

根據題意得------23

l.lxx

解得x=40,

經檢驗，x=40是原方程的解，也符合題意,

x=40,

答：第二批每個掛件進價是每個40元;

（2）解：設每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤W元,

每周最多能賣90個,

60-m

40+10x<90，

解得加255，

根據題意得W=（加一40）［40+10x”皆U-10（/〃-52y+1440

-10>0，

???當〃后52時，y隨X的增大而減小，

m>55,

當加=55時，W取最大，此時W=70x（55—52）2+1440=1350.

當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元.

8.【答案】（1）解：把A（3,0）代入y=-2/nx-3,

得9m-6m-3=0,解得m=l,

???拋物線解析式為y=d-2x-3,

當y=0時，X2-2X-3=0，解得X=T，々=3,

所以B點坐標為（一1,0）；

（2）解：y=x2-2x-3=（x-l）2-4,則拋物線的頂點坐標為（1，-4））,

列表如下:

X-2-10123

y50-3-4-30

（3）解：由函數圖象可知，當y>0時，x<-l或x>3,即x的取值范圍是x<-l或x>3.

9.【答案】（1）解:①把（4,3）代入得，16a-16+3=3.\a=l

y=x2-4x+3=（x-2）2—1

二頂點坐標為（2,-1）；

②-iwy*.

（2）解：拋物線與y軸交于點（0,3）,

由題意當OWxWm時，拋物線經歷了下降再上升的過程

12a-16_

-4a-=1

am2—4m+3=9

a=2,m=3

10.【答案】(1)解：解：??,二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過原點O(0,0),頂點A(1,-1),

???對稱軸為x=l,c=0,

???點(2,0)也在圖象上，

y=ax(x-2),

.".-l=a(1-2),

a=l,

2a

Ab=-2,

???二次函數的解析式為y=x2-2x；

(2)解：???B為拋物線和直線的交點，

「1

/.x2-2x=-x,

2

5、

Ax(X--)=0,

2

.?.點B的橫坐標為?，

2

.?.點B得縱坐標為2

4

,55、

..B(一，一)；

24

(3)解：0<x<一

2

11.【答案】(1)解：二次函數>=32+區(qū)+44/0)的圖象與x軸交于(3,0)、(1,0),

,or?+Zzx+c=0的根為：玉=3,々=1;

(2)解：.二次函數y=加+歷t+c(aH0)的圖象與x軸交于(3,0)、(1,0)

觀察圖象可知：當l<x<3時，圖象總在x軸的上方.

不等式y(tǒng)>0的解集為：1<%<3.

觀察圖象可知：當x>3或x<l時，圖象總在x軸的下方.

??.當x>3或x<l時，，y<0,

(3)解：二次函數〉="2+法+4。。0)的圖象與*軸交于(3,0)、(1,0),

，該圖象的對稱軸為直線x=2,

圖象開口向下，

???當x>2時，y隨x的增大而減小.

即y隨x的增大而減少時x>2.

12.【答案】(1)玉=-2,x2=1

(2)一2a<1

9

(3)-4<y?-

-4

13.【答案】(1)解：?.?二次函數y=/+以+c圖象經過點A(l,-2)和B(0,-5).

c--52

，解得:

1+b+c=-2

.?.拋物線為y=f+2x-5=(%+1)2-6,

???頂點坐標為：(-1，-6)；

(2)-3<x<l

14.【答案】(1)解：?.,拋物線y=x2-2mx+l(m為常數)的圖象與y軸交于點A,

.?.另x=0,貝ijy=l

...點A的坐標是(0,1)

(2)解:另y=0,則x2-2mx+l=0,

?/拋物線的頂點恰好落在x軸的負半軸，

；?△=b2-4ac=(-2m)2-4x]x]=0,B|Jm=±1,

_b-2m

又二”=----二------=m<0,

2a2

m=-l

則此拋物線所對應的二次函數的表達式為y=x2+2x+l,

由于該拋物線開口向上，對稱軸為直線x=?l,

???函數值y隨x的增大而增大時x的取值范圍為x"l

(3)解：,:拋物線y=x2-2mx+l=(x-m)2+l-m2

???該拋物線的對稱軸為直線x=m,頂點坐標為(m,l-n?)

31

當時，若函數y=xZ2mx+l(m為常數)的最小值大，分兩種情況：

22

若m>0,則l-m2=,，解得111=也或m=-它(舍去);

222

若mVO,則當x=3"z,y=(—m)2-2mx—m+l=—,解得(舍去)或m=-Y^

222233

綜上可知，m的值為史或-邁。

23

2

(4)m=-2或m=—

3

15.【答案】⑴解:將點B(L0)代入y=ax2+4x-3,

得a+4-3=0,

解得a=-l,

.?.二次函數的解析式為:y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

.?.點A(2,1),

令y=0得-x2-4x-3=0,

解得Xl=l,X2=3,

.?.點C(3,0)；

.?.當y>0時，x的取值范圍為：I<x<3；

(2)解：?.?y=-x2+4x-3中，當x=0時,y=3,

.?.點D(0,-3),

：平移該二次函數的圖象，使點D恰好落在點A的位置上，

.?.拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，

???平移后拋物線的解析式為：y=-(x-2-2)2+l+4=-(x-4)2+5.

16.【答案】(1)解：二次函數了=一/+法+。的圖像經過A(-2,-l),8(0,7)兩點.

.(-1——4—2b+c

Ic=7

解得：[b=L

k=7

=-(x2-2x)+1,

=-[(X2-2X+1)-1]+7,

-(X-1)2+8,

，對稱軸為：直線x=l.

(2)解：當y=0,

0=-(-V-1)2+8,

x-1=+2V2>

=

%11+2>/2?%2=1-2>^2)

，拋物線與x軸交點坐標為：(1-20,0),(1+20,0),

,當1—20<x<l+2拒時，y>。；

(3)解：當矩形CDEF為正方形時，

假設C點坐標為(x,--+2尤+7),

.:。點坐標為(一一+2x+7+x,-x2+2x+7),

即：(-f+3x+7,-X2+2X+7),

對稱軸為：直線x=l,D到對稱軸距離等于C到對稱軸距離相等,

-+3x+7—1———x+1,

解得：％=-1,々=5(不合題意舍去)，

%=-1時，-*2+2X+7=4，

.?.C點坐標為：(T，4).

17.【答案】(1)-2<x<3

(2)D

18.【答案】(1)解：..“=2,

y=x2+2x+2=(x+1)2+1,

二次函數的對稱軸為x=-l；

(2)解：V0<a<4,

.,.A=b2-4ac=a2-4a=a(a-4)<0,

...二次函數圖象與x軸無交點；

2

(3)解：：y=x2+ax+a=(x+—)2+a--,

24

.,.對稱軸為x=-：,

2

.?.當時，y隨x的增大而增大，

Vxi<x2,當m；”?>2時,總有yi<y2,

..?對稱軸需要在M和N點中點坐標的左側,

a-

--W2,

2

*,?a2-4,

又,:又0,

???近-4且a#0.

19.【答案】(1)解：由題意可知拋物線C2：y=-'x2+bx+c過點(0,4)和(8,10)

4

4=c

將其代入得:1

10=——x892+8b+c

4

c=4

解得，Lii

b-——

I4

11

b=——，c=4

4

(2)解：由(1)可得拋物線Cq解析式為：y=-!x2+?x+4,

44

設運動員運動的水平距離為m米時，運動員與小山坡的豎直距離為2米，依題意得:

2

1211,,1,33、5

448222

解得：mi=l(),m2=0(舍)，

故運動員運動的水平距離為1()米時，運動員與小山坡的豎直距離為為之米.

2

(3)解：?拋物線C2經過點(0,4),

/.c=4,

1331o

拋物線Ci：y=—x0H—x-\—=—(x—6廠+6

8228

當x=6時，運動員到達坡項，

即x62+6b+4%+6.

4

,15

.?bN—

6

20.【答案】(1)解：①當。=1,。=一1時，

y=x2+3x-l,

當y=0時，X2+3X-1=0,

解得：-3+V13,土巫，

'22

.??拋物線與x軸的交點坐標(士史，0),(土正，0)；

22

②〃一c>0,。〉0,

/.airr+3am+c-c>0,

解得：m>0或根<一3；

(2)解：?.,拋物線恒在x軸下方,

叱=9<0,解得U<a<。，

???符合條件的整數a只有三個，

4c

.\-4<—<-3,

9

27

解得：-9<c<一一

4

的最小值為?9,

(3)解：?，點A的坐標是(0,1),

c=l,

/.y-ax2+3ax+1,

又???當-2avl時，拋物線與x軸只有一個公共點,

當x=-2時，y=4。-6a+1=-2a+1,

當％=1時，y=。+3。+1=4。+1,

①當。>0時，

a>0?

-2a+l<0,解得：a>~,

、4a+1>02

(a>0

或者卜2a+1>0,無解

I4a+1<0

②當a<0時，

a<0

-2CL+140,無解，

.4Q+1>0

a<0j

或者—2Q+1>0,解得：aS—,

.4a4-1<04