山東省學(xué)情2024年高一3月月考數(shù)學(xué)試題含答案

山東學(xué)情高一下學(xué)期第一次階段性調(diào)研

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=----則Z的共軌復(fù)數(shù)彳的虛部為（）

1-i

A.-4iB.4iC.-4D.4

2.已知向量加=（4,—3）,麗=（-3,—2）,則向量恁的坐標是（）

A.（l,-5）B.（7,-l）C.（-7,l）D.（7,l）

3.已知。團是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）

=e

A.a=2q+e2,b~i+52

B.a=4e,-2e2,b=e2-2q

C.a=3,+3e2,b=^+

D.a=e1-2e2,b=2e1+4e2

4.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取48兩點，從A,3兩點測得樹尖的仰角分別為30。和

45°，且A3兩點之間的距離為80m,則樹的高度為（）

A.（40+40V3）mB.（40+2073）mC.（20+40V3）mD.（20+4V3）m

5.已知/=（匕-1）&=（8,2—左）,若法與］方向相同,則實數(shù)左等于（）

A.2B.4C.-2或4D.-2

6.符合下列條件的三角形有且只有一個的是（）

A.a=1,c=4,A=30°

B.〃=2"0=6,A=30。

C.a=2,b=V2,c—5

D.a=b=1,B=30°

7.在口48。中，若C+QCOSC=/?+QCOSB,則口48。的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

8汝口圖，在口45。中，。為的中點，玄=2反,AD與BE交于點F,若麗=》而+丁/，則下

面對于乂丁的描述正確的是（）

①.2%+3y=-1②.2%-3y=1

@.x-y=l④.％+y=—l

A.①③B.②③C.①④D.②④

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)4/2，則下列結(jié)論正確的是（）

A」zJ=㈤

B.2]+Z2=Z]+z2

C.若|zj=|Z?|,則Z；=2；

zzzz

o.li+2|^lil+l2|

10.已知口45。中，角C的對邊分別為a,瓦c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若。2+02〉。2,貝i]DA5C為銳角三角形

B.若sinA:sinB:sinC=2:3:M，貝！I口ABC的最大角是120°

C.若/—/=A,5=45。，則口ABC為等腰直角三角形

一4__?__.__.__.

11.已知平行四邊形43?！辏镜拿娣e為3,＜：05/84。=—1，且。C=4EC,5C=CE,則（）

15

A?福+同的最小值為2

B.麗?麗的最小值為5#-10

—?--19

C.當?shù)Z在而上的投影向量為一詬時，EAFA=—

4

D.當?shù)Z在而上的投影向量為—而時，ABAC=-

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,則|z-4+3i|的最大值是.

13.在口ABC中，。是3C的中點，AD=6,BC=1Q,則礪.無心=.

14.DABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,0,c,（sinA+sinC）2=sin^+sinAsinC,則B=

若。=26，則a+gc的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知復(fù)數(shù)4=a+4i,Z2=4+3i,其中a是實數(shù).

（1）若％=iz2,求。的值；

（2）若」是實數(shù)，求a的值；

Z2

（3）若復(fù)數(shù)4馬在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求a的取值范圍.

16.（15分）

已知乙B夾角6=手，且同=1，W=2.

(1)求和131+43

（2）求己+B與3G+43夾角的余弦值cosa.

17.（15分）

兀一B

□ABC的內(nèi)角A,氏C的對邊分別為a,b,c,滿足asm-----=bsinA

2

（1）求5；

（2）NA3C的角平分線與AC交于點。,5。=有，求2a+c的最小值.

18.（17分）

如圖，圓C的半徑為3,其中A3為圓C上的兩點.

（1）若cos/CAB=g,當左為何值時，無亍+2而與日花—而垂直？

（2）若G為口ABC的重心，直線/過點G交邊A3于點尸，交邊AC于點Q,且

11

AP=2AB,AQ=//AC.iiEHI：力+7為定值;

（3）若時+f祠的最小值為1,求網(wǎng)的值.

19.（17分）

克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.他一生有很多發(fā)明和貢獻，

其中托勒密定理和托勒密不等式是歐幾里得幾何中的重要定理.托勒密不等式內(nèi)容如下：在凸四邊形

A5CD中，兩組對邊乘積的和大于等于兩對角線的乘積，即+AC-3D,當ABC。

四點共圓時等號成立.已知凸四邊形A3CD中，AB=AD=1.

（1）當口BCD為等邊三角形時，求線段AC長度的最大值及取得最大值時口3。。的邊長；

（2）當2sin2/D3C+3sinVBDC=2smZDBCsmZBCDsmZCDB+si^ZBCD時，求線段AC

長度的最大值.

高一數(shù)學(xué)答案

1-8CBDABDCA

9.ABD10.BCD11.ABD

12.613.1114.事15.（73,273）

5+3i（5+3i）（l+i）__

1.C【詳解】2=7一='/=1+半,彳=1一半,，4的虛部為一4.故選：C.

2.B【詳解】?.?麗=（—3,—2）,標=（3,2）,.?.或+標=讖=（7,-1）.故選：B.

3.D【詳解】A選項，因為己=4人所以五B共線，不能作為基底.B選項，因為己=-23,

所以共線，色很不能作為基底c選項，因為己=33,所以共線，不能作為基底.故選：D.

4.A【詳解】方法一：在口248,/248=30°,/428=45°—30°=15°,48=80,

又sinl5°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=—-,

\,22224

由正弦定理得：=所以必=40（6+收），

sin300sinl5°\'

5

所以樹的高度為P3sin45°=40x（遙+亞卜拳=卜0+40君）m，故選：A.

方法二：設(shè)樹高為h,則=—力=80，則丸=卜0+406）111,故選：A.

5.B【詳解】由）與B方向相同，左（2—左）+8=0,即左2_2左一8=0,解得左=—2或左=4,當

左=—2時，萬=（—2,—1）石=（8,4）而與B方向相反，不符合題意.故選：B.

nC

6.D【詳解】A選項，因為——=----，所以sinC=4sin30°=2>1，故A錯誤；

sinAsmC

a

c3T工E、Ib.八6sin30°J3.

B選項，因為----=-----，所以sniB=------——>sinA,4

sinAsinB2A/32

且所以B>A,所以5=60°或120°，故有兩解，故B錯誤;

C選項，2+行<5故。錯誤;

D選項，因為〃=匕=1,所以A=B=30°,C=120°,有一解，故。正確.故選：D.

7.C【詳解】c+acosC=6+acos5

由.正弦定理可得：sinC+sinAcosC=sinB+sinAcosB,

即sin(A++sinAcosC=sin(A+C)+sinAcosB

即sinAcosB+sinBcosA+sinAcosC=sinAcosC+sinCcosA+sinAcosB,

化簡得：sinBcosA=sinCcosA,即cosA(sinB-sinC)=0

cosA=0或sinB=sinC,r.A為直角或3=C,

.〔□ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：C

8.A【詳解】CF=xAB+yAC=x(^CB-CAj+yAC=xCB-(x+y)CA,因為衣=2前，

所以畫=3屈，即而=x^—3(x+y)Q,由f8E三點共線，所以x—3(x+y)=l,

即2x+3y=—1,故(1)正確；又。為3c的中點，所以赤=2①，即而=2x而—(x+,

由R、DA三點共線，所以2x—(x+y)=l,即x—y=l,故(3)正確.故選：A

9.ABD【詳解】A選項正確：B選項，設(shè)Z]=。+歷/2=c+di(a,dc,deR),

因為4+z2=a+c-(b+d)i,Z]+z2=a+c-(b+d)i,所以4+z2=Z[+z2,故8正確；

設(shè)Z]=l+i,Z2=",則閔=目=后,2；=(l+i)2=2i,Z；=(")2=—2,不滿足Z；=Z；,故選項C

錯誤；

對于D,設(shè)4/2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為鬲，區(qū)，由向量加法的幾何意義知

|dzi+dz2|<|dz；|+|dz；|,故匕+22|三同+兇，故選項。正確；

10.BCD【詳解】A選項，解得，A為銳角，口45。不一定為銳角三角形，所以A選項錯誤.

B選項，根據(jù)已知條件，由正弦定理得：a:b:c=2:3:曬，

2.r22-1

最大角C的余弦值為：cosC=-------=——,.-.C=120°,故3正確;

2ab2

小譙高n+C2-b2C2+bcb+c兀應(yīng)用不H7r-

C選項，cosB=----------=------=----=cos—=——，得到Z?+C=A/2〃，

2aclacla42

平方可得，b2+2bc+c2=2a2<即/+2(/一/)+,2=2/,即k=。2,臺=。=45。,

即口45。為等腰直角三角形，故C正確.

AB_AC

D選項，彳可表示而方向的單位向量；彳司表示AC方向的單位向量，

ABAC

----1-----

根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知網(wǎng)因與NBAC的角平分線共線,

(__,__,\

ABAC__?

由【產(chǎn)網(wǎng)=[+]=[?=?？芍?BAC的角平分線與JBC垂直,

所以三角形ABC是等腰三角形.

ABAC1141n兀

而可,閆=1X1XC°SA=COSA=J〉°，所以A為銳角，且人=—，

\AB\|AC|23

所以三角形ABC是等邊三角形.故選：BCD

43

11.ABD【詳解】因為cos/R4D=—1，所以sin/A4D=不

設(shè)網(wǎng)碼=6,則"sin/84D=|aO=3,解得ab=5,

1515、。5c[a=l

A選項，=r+曰=一+122工=2,當且僅當<時，等號成立，A正確.

\AB\\AD\ab\abb=5

B選項，因為反=4或，反=行，所以而=赤+而=赤+2而

__?__,__>3__?__?

AE=AD+DE=-AB+AD,

4

[荏+呵.例+2碼

所以EA-FA=AE-AF=

3—..__..5—?■

=-\AB\2+21AD|-+-ABAD；：,

42

=-cr+2b2+—tzZjxf--,

42I5)

—10=瓜6—10=56—10,

21076

-a=---

3o3

當且僅當一片9=2〃時，即《)時，等號成立,

4叫垃

[4

所以麗?麗的最小值為5A/6-10,B選項正確一

如圖，過點B作垂足為〃，則礪在標上的投影向量為而,

4

當而在詬上的投影向量為—詬時，AD=AH=-AB.

5

4oa=一

因為。6=5,所以一4=5,得彳2,

5[b=2

則由B選項解答，

__3__?__?S__?__?332543

EAkK4k=-|AB|2+21AD|2+-AB-AD=-a2+2Z?2-10=-x—+2x4-10=—,故C錯.

4244416

D選項，由C選項解答，則赤?恁=而?(而+標)=a2+"cosNB4D=2,故D對.故選：ABD

12.6

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以。（0,0）為圓心，1為半徑的圓，而4+3i|=|z-（4-3i）|

表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到點A（4,-3）的距離，最大的距離d=O4+r=5+l=6

13.11

【詳解】方法一：由極化恒等式得：ABAC=AD2-BD2=36-25=11

方法：二：2礪=通+/,元=/-而，平方得:

------?2*2*2***2>-2*2*

4AD=AB+AC+2ABAC-BC=AC+ABAC

144=AB'+AC+2AB-AC;100=AC+AB-2ACAB作差得AC=11

方法三：-.-AB=Ai5+DBAC=AD+DC

-----?-----?/------?-----/----------->------>\------*2-----k2

ABAC=^AD+DB\?(AD-DB\=AD-DB=36-25=11

14.y(73,273)

【詳解】由題意可知sin2A+sin2C-sin25=-sinAsinC;

12兀

由正弦定理可得：a?+c?—/=—etc/.cosB——，.二NB——

23

vb=25/3,/B=2,由正弦定理得：。=4sinA,c=4sinC

3

:.a+^c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin[g-=3sinA+V3cosA=2V3sin[A+g

4+會]：!■卜n[A+W]eg,l：a+gce(G,2網(wǎng)

15.解析：(1)a——3(2)a——(3)a<—3

3

(1)a+4i=(4+3i)i=—3+4i,解得。=—3,所以實數(shù)。的值為-3.

?_a+4i_(a+4i)(4-3i)_(4a+12)+(16—3a)i

(2)—=---------------------------------------------------------，

z24+3i2525

416

因為,是實數(shù)，所以：16—3〃=0,解得：a=一

Z23

ci<—3

4a+12<0

(3)Z]Z2=(a+4i)(4—3i)=(4a+12)+(16—3a)i,所以<即116,解得：a<-3.

16—3ci>0ci<—

16.解析：(1)a-b=-l,|3a+4^|=7(2)cosa=4f

(1)a-b=|aa\|\|b\cosO=lx2x

|3)+43|2=國+43)2=9a~+24a-b+16b2=9—24+16x4=49

...慟+4.=7

(2)(a+b\(3a+4b)=3a2+la-b+4b2=3-1+16=12

?.恒+討=示+2)/+廬=1—2+4=3.巾+同=若

.124G

..coscc------尸—-------

7xV37

B

17.解析：(1)由題意得：acos—=hsinA由正弦定理得:

2

B

sinAcos一=sinBsinA

2

..B、,BB..

sinAcos—=2sm—cos—sinA

222

BB

。，萬）,Ae（0,兀）,.:1.cos—w0,sinAw0

2

.B

sin——=

22

竺B_兀

~2~2

^UABD

（2）:SUABC+3口BCD

2a_c[6

Q=1H-----

當且僅當<ca即《2時等號成立

a-\-c=acc=V2+l

18.解析：（1）因為C4=C3=3,cos/CAB='

3

所以余弦定理得OB?=AC2+AB2—2ACxABxcos/C4B，即AB?—2A3=0，所以A3=2,

若就+2而與上亞一而垂直，貝I]（北+2通）.（左恁_而）=0,

所以左恁2+（2左一1）通?恁一2^2=0，所以9左+（2左一I）x2x3xg—8=0,

解得'=《‘即"=《時’就+2而與"正―而垂直；

—k21/—?—?\1—?1—?

（2）因為G為口A3C的重心，所以AG=——[AB+AC]=-AB+-AC,

32、>33

________—.1—.1—,1—.1—.

又因為AP=2A3,