專題04“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版）

專題04“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．如圖，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，則BD的長為．2．如圖，一塊含45°的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)A與矩形ABCD的頂點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)E落在邊BC上，另一頂點(diǎn)F恰好落在邊CD的中點(diǎn)處，若BC＝12，則AB的長為．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．4．感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．（2）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點(diǎn)C到AB邊的距離．5．如圖，△ACB在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．6．已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC上一點(diǎn)，CE⊥AD于E，若CE＝2，則S△BEC＝．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B在第四象限．（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若AB交x軸于點(diǎn)D，BC交y軸于點(diǎn)M，N是BC上一點(diǎn)，且BN＝CM，連接DN，求證CD+DN＝AM；（3）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，連接EF交x軸于P點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，CP的長度是否變化？若變化，請說明理由，若不變化，請求出其長度．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長線于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小美將矩形ABCD紙片先對折，展開后折痕是EF，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M作MN⊥AM交CD于點(diǎn)N．將△MCN沿MN翻折，點(diǎn)C恰好落在線段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的長為．10．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)G在CD上，且DG＝1，AE＝2，則EG＝；（2）如圖2，若F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)N，連接EN，求證：∠AEF＝∠FEN；（3）如圖3，若AE＝AD，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．12．問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動(dòng)（每個(gè)小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬AD＝6．動(dòng)手實(shí)踐：（1）如圖1，騰飛小組將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)A'處，折痕為DE，連接A'E，然后將紙片展平，得到四邊形AEA'D．試判斷四邊形AEA'D的形狀，并加以證明．（2）如圖2，永攀小組在矩形紙片ABCD的邊BC上取一點(diǎn)F，連接DF，使∠CDF＝30°，將△CDF沿線段DF折疊，使點(diǎn)C正好落在AB邊上的點(diǎn)G處．連接DG，GF，將紙片展平，①求△DFG的面積；②連接CG，線段CG與線段DF交于點(diǎn)M，則CG＝