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文檔簡(jiǎn)介
四川省成都市成實(shí)外教育集團(tuán)2024屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理科
試題(二)
學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):
一、單選題
1.已知集合“=3|Inx>0},N={x]-1<x<5},則McN=()
A.{%|x>0}B.{x10<x<5}C.{x11<x<5}D.|x>5J
2.己知復(fù)數(shù)z=a+6i(.,6eR),i是虛數(shù)單位,若z-27=2+3/,則復(fù)數(shù)’的虛部為
()
A-V3B.2GC-V3iD.2后
3.命題“VxeN*,2-x2wo”的否定是()
AxB
-3x0eN*,2?-x^>0-*0eN",2'。—x;>0
C-VxeN*,21-%2<0D-VxeN*,2x-x2<0
4.高三某班學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時(shí)間的頻率分布直方圖如圖,為響應(yīng)國家減負(fù)政
策,若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少0,5小時(shí),則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的說法中正
A.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差減少(J;
B.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的方差減少0.25
C.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在4小時(shí)以上的概率大于io%
試卷第11頁,共33頁
D.減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在2至2.5之間
5.在中,BC=3,AC=5,C=y,貝U=()
A.而B.病C跖D.7
6.現(xiàn)將5個(gè)代表團(tuán)人員安排至甲、乙、丙三家賓館入住,要求同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一
家賓館,且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住.若這5個(gè)代表團(tuán)中48兩個(gè)代表團(tuán)已經(jīng)入
住甲賓館且不再安排其他代表團(tuán)入住甲賓館,則不同的入住方案種數(shù)為()
A.6B.12C.16D.18
7.已知直線/:丘+)-24-1=0與圓0:/+/=8交于42兩點(diǎn),則弦最短時(shí),
k=()
1-2
A.2B.1C.--D.
2
8.已知函數(shù)/(力=25苗(8+0)3>0,時(shí)的部分圖象如圖所示,其中心oj,
①函數(shù)〃x)在[空]上單調(diào)遞減;
_4_
②將函數(shù)/(X)的圖象向右平移2L個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于了軸對(duì)稱;
24
試卷第21頁,共33頁
(5兀
③當(dāng)x曰兀,—
I4
則正確命題的個(gè)數(shù)為()
A.0B.1C.2D.3
9'若。=ln26,6=41n2/n3,c=(l+ln3)2'則凡瓦c的大小關(guān)系是()
AcD
'c<a<ba<b<c?c<b<a-b<a<c
10.已知函數(shù)/3=1口卜+卜2,且/(芭)+/(工2)+2<0,則()
2X+1
A.x,+x2<0B?再+無2>0C?玉+招>-2D?再+/<-2
H.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),綜丹為橢圓c:《+E=l的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在[C上,
43
cos/月朋=|,則兩,尸&=()
AB.ZC.2D.2
-I42
12.函數(shù)/(x)=e"+QsinX,H:,G(―下列說法不正確的是()
A.當(dāng)〃=7時(shí),/(%)〉()恒成立
B.當(dāng)°=1時(shí),〃x)存在唯一極小值點(diǎn)不
C-對(duì)任意“>0,〃x)在xe(F,+oo)上均存在零點(diǎn)
二、填空題
xyx-j;<Qz——2x+y+2024
13.已知,滿足V2x+y>0,貝U目標(biāo)函數(shù)的最大值是
x+j?-l<0
試卷第31頁,共33頁
14,已知向量G*=若貝產(chǎn)石=.
15.如圖,已知球的表面積為]6兀,若將該球放入一個(gè)圓錐內(nèi)部,使球與圓錐底面和
側(cè)面都相切,則圓錐的體積的最小值為.
16.已知雙曲線£=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳工,過耳向圓/+/="
作一條切線/與漸近線分別交于點(diǎn)48,當(dāng)|/劃=百〃時(shí),雙曲線的離心率是.
三、解答題
17.已知數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和為S=30.
"2
⑴求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式%;
(2)記6”=—^,求數(shù)列他J的前”項(xiàng)和.
的“+1
18.如圖,在四棱錐尸中,底面ABCD為矩形,尸工,面
ABCD,PA=AD=4IAB'點(diǎn)"是尸刀的中點(diǎn),
試卷第41頁,共33頁
(1)證明:AMYPC'
(2)設(shè)/C的中點(diǎn)為。,點(diǎn)N在棱尸C上(異于點(diǎn)尸,C),且0N=Q4,求直線4N與
平面/CM所成角的余弦值.
19.某校體育節(jié)組織定點(diǎn)投籃比賽,每位參賽選手共有3次投籃機(jī)會(huì).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,
每位選手投籃投進(jìn)與否滿足:若第左次投進(jìn)的概率為p(o<p<i),當(dāng)?shù)谧蟠瓮哆M(jìn)時(shí),
第左+1次也投進(jìn)的概率保持p不變,當(dāng)?shù)诤蟠螞]能投進(jìn)時(shí),第k+i次能投進(jìn)的概率為
£.
2
(1)若選手甲第1次投進(jìn)的概率為[,求選手甲至少投進(jìn)一次的概率;
2
(2)設(shè)選手乙第1次投進(jìn)的概率為每投進(jìn)1球得1分,投不進(jìn)得0分,求選手得分
X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
20.拋物線G:V=2PMp>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓G“2+16y2=1的短軸長(zhǎng).
(1)求拋物線G的方程;
⑵設(shè)0(11)是拋物線G上位于第一象限的一點(diǎn),過。作£:(》_2)2+/=/(其中
0<r<l)的兩條切線,分別交拋物線G于點(diǎn)M,N,過原點(diǎn)作直線MV的垂線,垂足
為0,證明點(diǎn)0在定圓上,并求定圓方程
21.已知函數(shù)/(x)=Qzl的圖象在(1J(D)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(2,2e?).
試卷第51頁,共33頁
⑴求。的值及函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的不等式人卜3-x)-hue%+Inx<0在區(qū)間(1,+00)上恒成立,求正實(shí)數(shù)2的
取值范圍.
22.在平面直角坐標(biāo)系中,直線/的參數(shù)方程為!X=2T。為參數(shù)),曲線0:
[y=A/3;
].以原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
------1-V=1
2
(1)求直線I的極坐標(biāo)方程和曲線c的參數(shù)方程;
(2)求曲線c上一點(diǎn)N到直線I距離的最小值,并求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo).
23?已知函數(shù)/(彳)=|2%-3花(%)=3-卜-2|
⑴求不等式/(x)Vg(x)的解集N;
(2)設(shè)"的最小數(shù)為〃,正數(shù)“滿足0+6=加,求眩±1+《的最小值.
2ab
試卷第61頁,共33頁
參考答案:
1.c
【分析】
首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合川,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由lnx>0,解得尤>1,所以M={x|lwc>O}={x|x>l},
又"={%|-1<%<5},所以McN={x[l<x<5}?
故選:C
2.A
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算和共軌復(fù)數(shù)的概念得到方程組,解出即可.
【詳角?!縵-2'z=a+bi-2,^a-bi^=-a+3歷=2+3也U
則廠”2,解得!--2,則其虛部為百.
[3b=3百[b=s5
故選:A.
3.B
【分析】
根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.
【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為存在命題,任意變存在,范圍不變,結(jié)論相反,
則命題UVXGN*,2X-X2<0,;的否定是“現(xiàn)YN*,2M-X:>0",
故選:B.
4.D
【分析】
根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)判斷A、B,由頻率分布直方圖分析減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在4.5
小時(shí)以上的概率,即可判斷C,分析減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)位于[2,5,3)之間,即
可判斷D.
答案第11頁,共22頁
【詳解】
依題意若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少05小時(shí),
則平均數(shù)減小0.5小時(shí),方差和標(biāo)準(zhǔn)差均不變,故A、B錯(cuò)誤;
減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在4.5小時(shí)以上的概率為(MxO.5=0.05<10%,
所以減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在4小時(shí)以上的概率為0.卜0.5=0.05<10%,故C錯(cuò)誤;
由頻率分布直方圖可得(0.1+0.3+0,5)X0.5=0.45<0.5,
(0.1+0.3+0.5+0.4)x0.5=0.65>0.5'
所以減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)位于[2,5,3)之間,
所以減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在2至2.5之間,故D正確.
故選:D
5.D
【分析】在“8C中,直接利用余弦定理求解
【詳解】在“8C中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC
=52+32-2x5x3x^-1j=49,
所以/B=71
故選:D.
6.A
【分析】
由題意可知只要將余下的3個(gè)代表團(tuán)安排到乙、丙兩家賓館,且每個(gè)賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)
即可
答案第21頁,共22頁
【詳解】甲賓館不再安排代表團(tuán)入住,
則乙、丙兩家賓館需安排余下的3個(gè)代表團(tuán)入住,
所以一個(gè)賓館住1個(gè)代表團(tuán),另一個(gè)賓館住2個(gè)代表團(tuán).
共有C;A;=6種方法,
故選:A
7.D
【分析】
求出直線所過定點(diǎn)0(2,1),當(dāng)N8時(shí),卻最小,根據(jù)直線垂直與斜率的關(guān)系即可得
到答案.
【詳解】fcc+y-24-1=0變形為左(工-2)+夕-1=0,故直線過定點(diǎn)Q(2,l),
因?yàn)?2+『=5<8,則該定點(diǎn)0(2,1)在圓內(nèi),
而產(chǎn)+y=8的圓心為o(o,o),半徑為2a,設(shè)圓心到該直線的距離為",
因?yàn)閨/同=2\lr2—d~=248-d~,
則當(dāng)“最大時(shí),|/同取得最小值,而當(dāng)OQ_L4B時(shí),"最大,即14刈取得最小值,
因?yàn)長(zhǎng)」,則,
0Q2
故選:D
8.B
【分析】通過圖象求出/(x)的解析式,再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得?
【詳解】由題意可知蚓吆—/一—],7=4—,???、
43124)網(wǎng)2
/兀7。。1。.(711[7171keZ
J=2sin1—k+0J=-2,smI——+</?!=—1?——+=——+2k,,
答案第31頁,共22頁
.兀
夕二一]+2左,,?1同<、,??(p=--,--f(x)=2sinI4x~~71
233
①因此,當(dāng)一強(qiáng)2左44x-§號(hào)k,即譚垮+時(shí)〃x)單調(diào)遞增,
當(dāng)E時(shí),與匹,兀]有交集,故錯(cuò)誤;
②/(X)的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度可得,
24
y
=2sinl4x--=-2cos(4%),關(guān)于軸對(duì)稱,故正確;
③當(dāng)代卜與)時(shí),4x-詈亍}/(x)e(-A2],故錯(cuò)誤.
綜上,只有命題②正確,
故選:.
1R5
9.D
【分析】
做差法比較a,6的大小,利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較兄。的大小.
222
【詳解】a=ln6=(ln2+ln3))c=(lne+ln3)
因?yàn)镮n2+ln3<lne+ln3,所以(In2+ln3)2<(lne+ln3『,即"0,
a=ln26=(ln2+ln3廣^=41n2-ln3-
則a-6=(ln2+ln3)2-41n2Jn3=(ln2—ln3)2>0'即,
所以K"
答案第41頁,共22頁
故選:D.
10.A
【分析】
先判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性,然后結(jié)合單調(diào)性及奇偶性求解不等式.
【詳解】
由已知/(-%)+/(%)=In(Jl+x2.x)—]jx+In(,]+%2+%)一]\
叫(7177一x)(VIZ7+川一^1r一工=一2,
因?yàn)?(再)+/(工2)+2<0,令g(x)=/(工)+1,則定乂域?yàn)镽,
則g(-x)+g(x)=/(-x)+/(x)+2=0,故g(1x)為奇函數(shù),
又y=In(x+G7T),y=-不,在乩+°°)上單調(diào)遞增,
則g(x)在[0,+00)上單調(diào)遞增,又其為奇函數(shù),
所以g(xJ+g(X2)<0,即g(xJ<-g(X2)=g(-X2),
所以演<一馬,即$+/<0,
故選:A.
11.A
【分析】
由橢圓的定義可得盧用+1尸園=<再結(jié)合余弦定理可得戶由叫卜,,然后由向量數(shù)量積
定義得解.
【詳解】由橢圓的定義可得歸國+P閭=4,
答案第51頁,共22頁
在△尸片與中,由余弦定理用閱2=閥「+|尸閱2_2回歸閭cosNK尸工,
又因用=24^=2,cos/G%=:可得:
I尸圖2+|叫2-如/叫=4,即(附|+|%)2=與產(chǎn)周歸閶+4,
即1物歸引+4=42=16,即附歸引=*
則可尾=|可%cos4%=gg=:,
故選:A.
12.C
【分析】
對(duì)于A:代入直接函數(shù)性質(zhì)判斷;對(duì)于B:代入“t,求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性來判
斷;對(duì)于CD:求出/(x)在xe(-兀,+8)上的單調(diào)性和極值,再來判斷即可.
【詳解】對(duì)于A:當(dāng)。=一1時(shí),/(x)=e“-sinx,ii;£(-+8),
當(dāng)工£(一兀,0)時(shí),ex>0,sinx<0,則e”-sinx>0,
當(dāng)xw[0,+8),ex>l,sinxG[-1,1]J則e”-sinx>0,不能取等號(hào),
所以/(x)>0恒成立,A正確;
對(duì)于B:當(dāng)a=l時(shí),/(%)=ex+sine(-則=e*+cosx
令力⑴=e*+cosx,則〃'(x)=e,-sinx,由選項(xiàng)A得/(%)>0恒成立,
則/'(x)在(-兀,+00)上單調(diào)遞增,又((-兀$=Y&兀0,(-0(昌0O),
答案第61頁,共22頁
故存在x°e(-兀,0)使得/'(x0)=0,
所以在(一私修)上單調(diào)遞減,在(%,+8)上單調(diào)遞增,故/(x)存在唯一極小值點(diǎn)飛,
B正確;
對(duì)于CD:令〃x)=e、+asinx,當(dāng)工而次亞,顯然不是零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),令/(x)=0,得〃=_工,
sinx
\'X.y/2excosx+^-1
則令尸(x)=_/£,則9處經(jīng)二^\__D,
I'sin2xsin2x
當(dāng)加超兀[占左)丘時(shí),/(、)<°,尸(X)單調(diào)遞減,
當(dāng)xe[-泊須加e時(shí),尸《)>°,-⑺單調(diào)遞增
此時(shí)有極小值尸卜士兀加"-友e">#4>>
當(dāng)xe叵承,+乂)%時(shí),尸'(、)>°,尸⑺單調(diào)遞增,
當(dāng).]而溫兀,+困時(shí),尸'(、)<°,/⑺單調(diào)遞減,
此時(shí)有極大值尸[4兀加塞卜-L2eE<>
故選項(xiàng)C中任意a>o,/(x)均有零點(diǎn),錯(cuò)誤;
選項(xiàng)D中,存在"°,”》)在酒(-兀,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),此時(shí).=_&/,
答案第71頁,共22頁
故選:C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:一:對(duì)于不等式恒成立問題可以構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來解
決;二:對(duì)于零點(diǎn)問題,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來解決.
1J32028
【分析】
由約束條件作出可行域,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.
xy(x-y<0
【詳解】因?yàn)?,滿足卜x+yNO,作出可行域如下所示:
x+y-l<0
由產(chǎn)+y=0,解得卜=一1,即
[x+y-i=o[y=2
由圖可知,當(dāng)直線z=_2x+y+2024過點(diǎn)A時(shí),z有最大值,
且Zmax=—2x(-1)+2+2024=2028-
故答案為:2028?
14.-/2,5
2
【分析】
首先求出汗-23的坐標(biāo),再由向量垂直得到小(1-23)=°,即可求出“,再根據(jù)數(shù)量積的
坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
答案第81頁,共22頁
【詳解】因?yàn)榉?(1,2),
所以@_23=(1,2)_2(尤,T)=(l_2x,4),
因?yàn)?('_2今,所以晨("2B)=1-2X+2X4=0,解得彳=_|,
一一一一5
所以q?b=x-2=—.
2
故答案為:-
2
1u64.647r
13.——71/------
33
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為7?&>2),圓錐的高為人則母線長(zhǎng)為獷壽,利用圓錐的
軸截面得〃=£,求出圓錐的體積〃4卜2-4+4『,令-4,再利用基本不等
2_4/=—兀-----9---------
「r43/-4
式或利用導(dǎo)數(shù)求最值可得答案.
【詳解】依題意,得球的半徑R=2,設(shè)圓錐的底面半徑為"r>2),圓錐的高為%,
則母線長(zhǎng)為壽,如圖是圓錐的軸截面,
則軸截面的面積S=;x2rx〃=;(2廠+2,2+〃2)尺,
即泌一2r=2而+/,平方整理得〃=4",
r1-^
/_4--4+4)2,令",2_4,
則圓錐的體積14
V=-7l7tm=—
33r2-4-3-一4~
答案第91頁,共22頁
當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)取得最小值,此時(shí)廠=20?
r3(r2-8)
_4r",8
[或求導(dǎo):"―3兀'產(chǎn)_4所以憶=-"-
當(dāng)產(chǎn)-8>0即廠>2四時(shí)/>0,k9)單調(diào)遞增,
當(dāng)尸2-8<0即o</<2后時(shí)憶'<。,/①單調(diào)遞減,
所以當(dāng)〃=2加時(shí)"最小,且最小值為竺兀]
3
故答案為:—71.
3
16.2或2百
3
【分析】依題意可得切點(diǎn)必在漸近線()軸左側(cè))與圓的交點(diǎn),不妨令為A(A在漸近線
y=--x±),分''分別在一、二象限和二、三象限兩種情況討論,分別求出漸近線的斜
a
率,進(jìn)一步計(jì)算離心率.
答案第101頁,共22頁
【詳解】雙曲線1一1=15>0/>0)的漸近線為>=一2工和y=2x,
a'oaa
顯然漸近線與犬+產(chǎn)=/相交,
過耳向圓/+/=/作一條切線/,且切線/與漸近線分別交于點(diǎn)A、B,
yAAZ,
所以切點(diǎn)必在漸近線。軸左側(cè))與圓的交點(diǎn),不妨令為(在漸近線夕=-9》上),
若|典=③,在RtA4O3中,3=凡朋=瓦,儂=2°,
當(dāng)民,分別在一二象限時(shí)(如圖1),//°8=60。,設(shè)>=2x的傾斜角為“,
則tana=—=V3,所以《=£=1^+—=2;
aa\a2
An71a
當(dāng)'分別在二、三象限時(shí)(如圖2),設(shè)>的傾斜角為,
則taiftag鴻,所以e=樣考,
綜上可得雙曲線的離心率為2或拽.
3
故答案為:2或正
答案第111頁,共22頁
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵是分析出切點(diǎn)恰好在漸近線(y軸左側(cè))與圓的交點(diǎn),另
外一點(diǎn)就是分類討論,根據(jù)交點(diǎn)的位置得到不一樣的圖形.
17.(1)??=?
【分析】
⑴根據(jù)巴作差即可得解;
Sn-Sn_l,n>2
(2)由(1)可得L,利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
nn+1
n_+1)
【詳解】(1)數(shù)列的前項(xiàng)和為S”=-------,
2
當(dāng)I時(shí)…=
當(dāng)""2時(shí)〃(及一1)
n—\2
所以a.=S“-九=?-丁=",
又當(dāng)〃=1時(shí),也成立,
:?數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為%=〃.
(2)由(1)可得b“=」一=,1、=1--—
。〃。〃+1磯〃+1)〃〃+1
答案第121頁,共22頁
則北=4+&+&+…+2
22334nn+ln+\n+1
18.(1)證明見解析
【分析】
(1)通過面面垂直的判定定理先得到面面垂直,再利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直,進(jìn)
而得到線線垂直;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法先求出點(diǎn)"坐標(biāo),再利用向量法求線面角.
【詳解】⑴因?yàn)槭?=/",點(diǎn)A/為中點(diǎn),則/M_LPZ)
因?yàn)槭琋_L面/3C0,P/u面P4D,所以面尸面48czp
又底面/BCD為矩豚則CD_LAD,
因?yàn)槊媸?0c面4BCD=4D,CDu面4BC。,
所以0)_1_面尸/。,所以
因?yàn)镻DcCD=。,PD,CDu面PCD,
所以NM1面尸czr又pcu面尸czr
所以MW_LPC;
(2)由已知得/8,/DMp兩兩垂直,設(shè)48=1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則/(0,0,0),8(1,0,0),(7(1,正,0),0(0,后,0),「(0,0,夜),川0,g*,
答案第131頁,共22頁
o,L,J",o),
所以戒=
設(shè)平面4cM的法向量為方=(x,y,z),
足-_/\_6V2__片T亢=(四,-1,1)
則1/1/?〃=(羽乃2)=《->+《-2=0,取,得')
AC?元=x+^[2y=0
又吟,設(shè)N(XN,%,ZJ,麗=2卮=(九收4一行
即卜N,NV,ZN_J^)=(2,J^2,_"D,所以N(2,&;1,a_收2),
又o(士正,o],ON=ON=也,
[22)2
所以+收2-孝+"-/4)=|,解得"5或(舍去),
所以款=12迪迪],
H5,5J
設(shè)直線4N與平面/CM所成角為e,
卜.兩3^/2
則sinO=j_丁一岳
司AN1481810
j2+l+lx〈----1------1----
252525
所以直線/N與平面"CM所成角的余弦值為返.
10
答案第141頁,共22頁
19-⑴言
(2)分布列見解析,期望(
【分析】
(1)記選手甲第上次投進(jìn)為事件4(%=1,2,3),未投進(jìn)為事件④,利用概率的乘法公式求
解即可;
(2)X的取值可為0』,2,3,分別求出對(duì)于的概率,然后再求期望.
【詳解】(1)記選手甲第人次投進(jìn)為事件4(笈=1,2,3),未投進(jìn)為事件無,
則選手甲至少投進(jìn)一次這一事件的概率為1一尸(444),
因?yàn)檠拾?1一1得嗡
(2)選手乙得分X的取值可為0,1,2,3,
記選手乙第k次投進(jìn)為事件B^k=1,2,3),
答案第151頁,共22頁
711
根據(jù)題意,3次都投進(jìn)的概率依次為尸(⑷",尸(8,)=:,尸(四)=,
336
1255
尸(X=0)=—x—x—二
33627
/.2121121217
P(X=1)=—x—x—+—x—x—+—x—x—=
',33333333627
P(X=2)=|212111117
X—X—+—X—X—+—x—x—=
3333333327
所以丫的分布列為
A.
0123
1
2222
c7725
^(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-
v7272727273
20.(l)/=x
(2)D=|
【分析】
(1)直接根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)求出p,進(jìn)而可得拋物線方程;
(2)設(shè)〃■(/,〃),N(/,6),求出直線々W的方程,求出切線。0,DN的方程,然后化歸
為二次方程的根的問題,利用韋達(dá)定理可得直線兒火過的定點(diǎn),進(jìn)而可得點(diǎn)0所在圓的方
答案第161頁,共22頁
程?
【詳解】(1)由橢圓02:/+16「=1可知短軸長(zhǎng)26=]_,
2
所以拋物線C>:y2=2Px(P>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p,,
故橢圓方程為V=x;
(2)因?yàn)镈(i#是拋物線。上位于第一象限的一點(diǎn),所以*=i,又/>0,
所以0(1,1),
設(shè)則直線的方程為y_q=
(Q+b)\7
即%-(a+b)y+qb=0,
因?yàn)镈M:(尸1乂〃2即x_(〃+])y+Q=0與圓£:(工一2)2+/=/相切,
|〃+2]_(r2-l)tz2+(2r2—4)a+2r2-4=0
所以而而二、整理得①,
同理,直線ON與圓E相切可得&2_1)62+(2/_4)6+2/_4=(^
由①②得a,6是方程卜2_]卜2+(2--4b+2/-4=0的兩根,
后”,4-2r2,2r-4
所以Q+6=---,ab----,
r2-lr2-l
2
代入x-(Q+b)y+qb=0整理得++2)r——=0,
令(x+2y+2=0,解得J"。,故直線過定點(diǎn)(O,T),
[-x-4y-4=0[y=-1
答案第171頁,共22頁
所以點(diǎn)。在以(°T)和僅⑼連線為直徑的圓上,且圓的方程為/+,+_LJ=J.;
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛:證明點(diǎn)在定圓上,一般轉(zhuǎn)化為證明直線過定點(diǎn)問題,從而得到點(diǎn)在某兩定點(diǎn)連
線為直徑的圓上.
21.(1)1
⑵匕+8]
【分析】
(1)求導(dǎo),求出切線方程,然后代點(diǎn)(2,2e)求出〃的值,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性即
可;
(2)將不等式變形為士亡二1,然后令'=lnxJ>0,可得利用
InxAx
/(X)的單調(diào)性得到,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求最值即可.
【詳解】(1)函數(shù)/@)=貯二1的定義域?yàn)?/p>
答案第181頁,共22頁
2axe2;(恁2:1),則/⑴=肉+1,又/⑴=娘2-1
則小)
所以“X)在點(diǎn)(1J(l))處的切線/-(ae,-1)=(ae?+l)(x-l),
代入點(diǎn)(2,2e?)得262-(於-1)=體2+1)(2-1),解得。=1;
2xe2x-(e2x-l)2x設(shè)夕(%)=(2x-1)e?"+1,xw0
則八上(2x-l)e+l
則d(x)=4xe2",令d(x)>0,得x>0,令"(x)<0‘得)<°,
所以夕(x)〉夕(0)=0,即/*000在(-8,0)11(0,+8)上恒成山
所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為0),(0,+00),無單調(diào)減區(qū)間;
1
(2)由(1)得〃彳)=上J2.x二1
A(x3-x)-liwe2Al+hu<0在區(qū)間(1,+8)上恒成立,即<e?J
InxAx
令t=lnxJ>0,則e"-1士e"'-1.即〃
tAx
只需要""無,也就是22皿在(L+00)上恒成立,
X
令〉1,則=,
XX
令”(x)〉0得0<x<e,令l(x)<0得、>e,
故〃。入"二刀仁)::,所以24
ce
答案第191頁,共22頁
即正實(shí)數(shù)'的取值范圍是L+”:
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第二問關(guān)鍵是將不等式變形為三1〈亡二*,令"1n陽”°,然后轉(zhuǎn)
InxAx
化為〃/)4/(以),利用函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解答,充分利用了函數(shù)單調(diào)性來解決問
題.
22.(1)直線/的極坐標(biāo)方程為:60cose+psine-2百=0,曲線C的參數(shù)方程為
'/-0C
X=yj2cosa(為參數(shù))
y=sina
⑵石等N2標(biāo)
【分析】
(1)利用消元法求出直線/的直角坐標(biāo)方程,再利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可求出
直線’的極坐標(biāo)方程,直接根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得曲線°的一個(gè)參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)"的坐標(biāo)為N(血cos%sinc),表示出點(diǎn)"到直線’的距離,結(jié)合輔助角公式和
正弦函數(shù)的值域,即可得出距離最小值,進(jìn)而求出點(diǎn)雙的坐標(biāo).
【詳解】
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