高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義立體幾何的綜合運(yùn)用教師

課題：立體幾何的綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)一、直線、平面平行、垂直的性質(zhì)及其判定1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行在已知平面內(nèi)“找出”一條直線與已知直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”平面與平面平行的判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行【考試方向】在選擇題中，主要考查空間直線、平面間的平行與垂直的概念、定理、公理、推論等的辨析及位置判斷；在解答題中主要考查直線與平面間的平行與垂直，主要出現(xiàn)在第1小題中．【技能方法】（1）證明線線平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行或面面平行；（2）證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行（垂直）或面面平行；（3）證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行（垂直）或線面平行．【易錯(cuò)指導(dǎo)】（1）忽視定理的關(guān)鍵條件，如忽視平面與平面平行的判定定理中，兩條直線相交的條件；（2）胡亂推廣平面幾何的結(jié)論而用于證明空間問題；（3）受定勢思維的影響，憑直覺思維主觀臆斷而誤導(dǎo)結(jié)論．2．直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì)：定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”平面與平面垂直的判定一個(gè)平面過另一平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直（滿足條件與垂直的平面有無數(shù)個(gè)）判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個(gè)平面的兩條直線平行。運(yùn)用較少平面與平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個(gè)平面垂直解決問題時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線【考試方向】在選擇題中，主要考查空間直線、平面間的垂直的概念、定理、公理、推論等的辨析及位置判斷；在解答題中主要考查直線與平面間的垂直，主要出現(xiàn)在第1小題中．【技能方法】（1）證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直或面面垂直；（2）證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直或面面垂直；（3）證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直或線面垂直．【易錯(cuò)指導(dǎo)】（1）忽視定理的關(guān)鍵條件，如忽視直線與平面垂直的判定定理中，兩條直線相交的條件；（2）胡亂推廣平面幾何的結(jié)論而用于證明空間問題；（3）受定勢思維的影響，憑直覺思維主觀臆斷而誤導(dǎo)結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)二、空間幾何體的表面積和體積1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π（r1＋r2）lV＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h＝eq\f(1,3)π（req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2）h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)（C＋C′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32．幾何體的表面積：（1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．（2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．【典型例題】【例1】正方體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2），求三棱錐的體積.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.（1）取中點(diǎn)，連接，，有，所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，得證.（2）三棱錐的體積.【例2】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積..【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面所以平?（Ⅱ）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等邊三角形的面積.又因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋匀忮F的體積為.【舉一反三】1．如圖所示，在四棱錐中，是邊長為2的正方形，且，且.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）．試題解析：（1）證明：正方形，，，，，，，，，.（2），，，，，，，，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，【課堂鞏固】1．如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥底面，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.試題解析：（1）取的中點(diǎn)為，連接，，可證明，∴平面．（2）．2．如圖，三棱錐中，，底面為正三角形．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若平面，，，求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，又，∴，∴．（Ⅱ）平面且交于，，∴，即為三棱錐的高．又，，，∴，∴．則三棱錐的體積為．【課后練習(xí)】正確率：________1．如圖，平面，底面為矩形，于，于（1）求證：面；（2）設(shè)平面交于，求證：.（Ⅰ）∵平面，面∴，又，∴面,面，∴∴面,面，∴，又∵,∴面.（Ⅱ）設(shè)平面交于，由（Ⅰ）知面∴,由（Ⅰ）同理面,面，∴∴面,面，∴，2．如圖，四邊形為矩形，四邊形為梯形，,且平面平面，,點(diǎn)為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積.【答案】（Ⅰ）證明過程見解析；（Ⅱ）試題解析：（Ⅰ）四邊形為矩形，且平面平面，平面，，，又平面，又平面，平面平面.（Ⅱ）作，垂足為，由平面平面，平面平面.得平面，即為三棱錐的高.在中，,是正三角形，,由，知，三棱錐的體積為.3．如圖，在四棱錐中，為正三角形，,,,平面.（Ⅰ）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面;（Ⅱ）若,求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）點(diǎn)到平面的距離為..試題解析：（Ⅰ）因?yàn)槠矫妫矫?所以.∵，，所以平面.而平面,∴.,是的中點(diǎn)