專題04 分式的加法和減法壓軸題八種模型全攻略（解析版）

專題04分式的加法和減法壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一同分母分式加減法】 1【考點二異分母分式加減法】 2【考點三整式與分式相加減】 4【考點四已知分式恒等式，確定分子或分母】 5【考點五分式加減混合運算】 6【考點六分式加減的實際應用】 10【考點七分式加減乘除混合運算】 11【考點八分式化簡求值】 13【過關檢測】 15【典型例題】【考點一同分母分式加減法】例題：（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）化簡的結果是（）A． B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式的加減運算法則進行計算，即分母不變，分子相加減，最后再約分即可．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題主要考查了分式的加減，關鍵是熟練掌握同分母分式的加減運算法則．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┗喌慕Y果是（

）A． B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式加法計算法則求解即可．【詳解】解：，故選A．【點睛】本題主要考查了同分母分式的加法運算，熟練掌握相關計算法則是解此題的關鍵．2．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母的分式加法法則進行計算．【詳解】解：故選：A．【點睛】本題主要考查分式的減法法則，解決本題的關鍵是要熟練掌握分式的減法法則．【考點二異分母分式加減法】例題：（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）計算：_______．【答案】2【分析】根據(jù)分式的加減法則，即可解答．【詳解】解：，故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減法，分式的加減法法則是：同分母分式相加減，只把分子相加減，分母不變；異分母分式相加減，先通分變?yōu)橥帜阜质?，再按同分母分式相加減的法則運算，熟知上述法則是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）計算的結果是______．【答案】/【分析】根據(jù)異分母分式減法運算法則計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查異分母分式的減法運算．熟練掌握其運算法則是解題關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）_____________；（2）___________．【答案】【分析】（1）（2）根據(jù)異分母分式減法計算法則求解即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【點睛】本題主要考查了異分母分式減法，正確計算是解題的關鍵．【考點三整式與分式相加減】例題：（2023春·江蘇·八年級期中）化簡的結果為_________．【答案】【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的加法法則計算即可【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查了分式和整式的減法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級期中）計算的結果是_________．【答案】【分析】根據(jù)分式的加減運算法則，先通分，再加減．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了分式的加減運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．2．（2023春·全國·八年級專題練習）計算的結果是___________．【答案】【分析】先通分再化簡即可．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查了分式的減法運算，平方差公式；當分母不同時，要先通分化成同分母的分式，再相減，最后結果能約分的要約分．【考點四已知分式恒等式，確定分子或分母】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）若，則_________，_________．【答案】21【分析】根據(jù)同分母分式的加減計算，再按對應項相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點睛】本題考查分式的加減，解題關鍵是掌握分式加法的運算法則．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知，則_________________．【答案】7【分析】根據(jù)題意可進行通分，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，①+②得：；故答案為：7．【點睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運算是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若恒成立，則A-B=__________．【答案】2【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，再根據(jù)分式相等的條件即可求出所求．【詳解】解：等式整理得，∴∴A-B＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減，解題的關鍵是通分，對等式進行整理，轉化為分母相同的形式，從而求解．【考點五分式加減混合運算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．【詳解】（1）解：，===1；（2）解：.【點睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運用分式的加減法則進行計算是解此題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進行計算；（2）分式的公分母為，先通分，在進行計算；（3）直接進行通分，在進行計算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項的分母提取負號，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進行計算：分母不變，分子相加減；（2）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進行計算即可；（3）把看成是一項，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進行計算即可；（4）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運算，熟練掌握分式的加減混合運算法則及因式分解是解題的關鍵．【考點六分式加減的實際應用】例題：（2023春·浙江·七年級專題練習）八年級某班同學原來計劃租一倆大巴車去研學，大巴車的租價為800元，實際又增加了3名同學，租車價不變，若設原來計劃參加研學的同學共有x人，實際每個同學比原來少分攤車費______元．【答案】【分析】根據(jù)題意列出分式，然后進行運算即可．【詳解】解：實際每個同學比原來少分攤車費：（元）．故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式加減的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出分式，熟練掌握分式加減運算法則，準確計算．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，一艘輪船在靜水中的速度為a千米/時，水流的速度為b千米/時，輪船往返兩個港口一次共需______小時.【答案】【分析】分別求出順流和逆流時的速度，利用路程、時間、速度之間的關系即可列式求解．【詳解】解：輪船在靜水中的速度為a千米/時，水流的速度為b千米/時，順流速度為千米/時，逆流速度為千米/時，甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，輪船往返兩個港口一次共需時間為：，故答案為：．【點睛】本題考查分式加減的應用，解題的關鍵是計算出輪船順流和逆流時的速度，根據(jù)路程、時間、速度之間的關系列出分式．2．（2023春·全國·八年級專題練習）學校倡導全校師生開展“全科閱讀”活動，小亮每天堅持讀書．原計劃用a天讀完b頁的書，如果要提前m天讀完，那么平均每天比原計劃要多讀__________頁．【答案】【分析】平均每天比原計劃要多讀的頁數(shù)=新工作效率-原工作效率．【詳解】解：按原計劃每天讀頁，實際每天讀頁，故每天比原計劃多讀的頁數(shù)是：，故答案為：．【點睛】此題考查分式加減的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的關系．【考點七分式加減乘除混合運算】例題：（2023·河南漯河·統(tǒng)考二模）化簡：．【答案】【分析】先通分括號內(nèi)的式子，然后計算括號外的除法，然后約分即可．【詳解】解：【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）化簡：【答案】【分析】根據(jù)分式混合運算法則及運算順序直接求解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式混合運算，涉及到因式分解、通分、約分及運算順序，熟記相關運算法則及運算順序是解決問題的關鍵．2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）化簡：．【答案】【分析】先計算括號內(nèi)的，通分后利用同分母的分式運算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到結果．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握相關運算法則和運算順序是解決問題的關鍵．3．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？茧A段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算括號內(nèi)的部分，將除法轉化為乘法，再約分計算；（2）先計算括號內(nèi)的部分，將除法轉化為乘法，再約分計算．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【考點八分式化簡求值】例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據(jù)分式混合運算法則進行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：原式，當時，原式．【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．【變式訓練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．【答案】，【分析】運用乘法公式，分式的性質(zhì)對分式進行化簡，再變形得，，代入計算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，掌握乘法公式與分式混合運算的綜合，方程的變形，代入求值等知識是解題的關鍵．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：，其中：【答案】；【分析】運用因式分解，約分等化簡，后代入求值即可．【詳解】解：；當時，．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡技能是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023·天津南開·統(tǒng)考三模）化簡的結果為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先將改寫為，再進行合并，最后約分化簡即可．【詳解】解：原式；故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的化簡，解題的關鍵掌握分式通分計算的方法和約分的法則．2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計算的結果等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進行計算即可．【詳解】解：；故選：C．【點睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關鍵是按照相關法則進行計算．3．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）若，則代數(shù)式的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘除運算法則把原式化簡，把的值代入計算即可．【詳解】原式，，當時，原式．故選：C．【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．4．（2023春·全國·八年級專題練習）若的值為整數(shù)，則整數(shù)的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的加法運算法則得到，再根據(jù)分式的值為整數(shù)列方程即可解答．【詳解】解：∵的值為整數(shù)，∴，即是整數(shù)，∴，∴，∵在，∴，故選：C．【點睛】本題考查了分式的加法運算法則，分式有意義的條件，掌握分式加法運算法則是解題的關鍵．5．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）對于，，有以下兩個結論：①當時，；②當時，．對于這兩個結論，說法正確的是（

）A．①對②不對 B．①不對②對 C．①②均對 D．①②均不對【答案】B【分析】先運用作差法得到，然后再根據(jù)x的取值分類討論即可解答．【詳解】解：∵∴當時，，則，即①不正確；當，即時，，則，即②正確．故選B．【點睛】本題主要考查了分式的加減、分式的大小比較等知識點，靈活運用分式的加減運算法則是解答本題的關鍵．二、填空題6．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）化簡：的結果為________．【答案】2【分析】根據(jù)同分母分式的減法計算法則解答即可．【詳解】解：；故答案為：2．【點睛】本題考查了同分母分式減法計算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）化簡：________．【答案】/【分析】根據(jù)分式的混合運算法則，先將括號里的通分后，化簡，再算除法，即可解答．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟知計算法則是解題的關鍵．8．（2023春·全國·八年級專題練習）若恒成立，則______．【答案】2【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則將進行變形，繼而由原等式恒成立得到關于A、B的方程組，解方程組即可得．【詳解】解：，又∵∴，解得，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減法，恒等式的性質(zhì)，解二元一次方程組，得到關于A、B的方程組是解題的關鍵．9．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如果，那么代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】直接將括號里面通分運算，再利用分式的乘法運算法則進行化簡，再代入計算得出答案．【詳解】解：，當時，原式．故答案為：．【點睛】本題考查分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運算是解題關鍵．10．（2023春·浙江·七年級專題練習）中國首例商用磁懸浮列車平均速度為，計劃提速，已知從A地到地路程為，那么提速后從A地到地節(jié)約的時間為________________．【答案】【分析】直接根據(jù)題意表示出提速前和提速后所用時間，進而得出答案．【詳解】解∶由題意可得，故答案為∶．【點睛】此題主要考查了列代數(shù)式，分式的減法運算，正確表示出行駛時間是解題關鍵．三、解答題11．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)和法則運算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查分式的混合運算，掌握相關性質(zhì)、法則和方法是解題的關鍵．12．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）化簡：【答案】【分析】首先把括號里的分式進行通分，然后進行約分化簡．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握計算法則是解題關鍵．13．（2023春·江蘇蘇州·八年級星海實驗中學校考期中）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡，然后合并同類項即可；（2）先算括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．14．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習）先化簡：，若，請選取一個合適的整數(shù)作為x的值代入求值．【答案】，取，則原式．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將合適的的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式，，，，0，2，若取，則原式．【點睛】此題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握運算法則．15．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當?shù)恼麛?shù)，代入求值．【答案】，選擇，式子的值為（或選擇，式子的值為1）【分析】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇適當?shù)牡闹?，代入計算即可得．【詳解】解：?/p>