第四章 圓和扇形（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第四章圓和扇形（知識(shí)歸納+題型突破）1.通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)圓的特征，理解圓、圓弧、扇形等概念.2.通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，對(duì)圓的周長(zhǎng)和面積、弧長(zhǎng)與扇形的面積等公式進(jìn)行驗(yàn)證.3.掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積、弧長(zhǎng)與扇形的面積等公式，會(huì)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單度量問(wèn)題的計(jì)算.4.體會(huì)近似與精確的數(shù)學(xué)思想，了解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究方法.5.通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，感悟教材知識(shí)滲透的“化曲為直”和“無(wú)限逼近”的數(shù)學(xué)思想.6.通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，發(fā)展相互合作的意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力.1.圓的周長(zhǎng)通過(guò)操作和計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)都是直徑的固定的倍數(shù)，我們把這個(gè)倍數(shù)叫做圓周率，用字母表示，讀作“pai”；圓周率是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，．圓的周長(zhǎng)直徑=圓周率．用字母C表示圓的周長(zhǎng)，d表示直徑，r表示半徑，那么：或2.弧長(zhǎng)①弧和圓心角的概念如圖，圓上A、B兩點(diǎn)之間的部分就是弧，記作：，讀作：弧AB；稱(chēng)為圓心角．②弧長(zhǎng)公式設(shè)圓的半徑長(zhǎng)為r，n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l，那么：．3.圓的面積圓所占平面的大小叫做圓的面積．設(shè)圓的半徑長(zhǎng)為r，面積為S，那么：圓的面積S=πr×r=πr4.扇形的面積①扇形的概念由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形，叫做扇形．如圖，空白部分記作扇形AOB．②扇形的面積設(shè)組成扇形的半徑為r，圓心角為n°，弧長(zhǎng)為l，那么：S扇形5.重要公式1.圓的周長(zhǎng)：2.半圓的周長(zhǎng)：3.弧長(zhǎng)：4.圓的面積：題型一圓的周長(zhǎng)【例1】(1)一輛自行車(chē)的車(chē)輪半徑0.25米，向前滾動(dòng)6周，車(chē)輪一共前進(jìn)了米（結(jié)果保留）．【答案】【分析】本題主要考查圓的周長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可?！驹斀狻寇?chē)輪一共前進(jìn)了（米）故答案為：(2)甲乙兩個(gè)圓，半徑之比為，面積之比為．【答案】【分析】本題考查圓的面積．根據(jù)圓的面積可以得到，圓的面積比等于半徑比的平方，即可得出結(jié)果．掌握?qǐng)A的面積公式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因?yàn)閳A的面積等于乘以半徑的平方，所以圓的面積比等于半徑比的平方，因?yàn)榧滓覂蓚€(gè)圓，半徑之比為，所以面積之比為；故答案為：．(3)圓的半徑由5cm增加到9cm，那么圓的周長(zhǎng)增加了（

）cmA． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓的周長(zhǎng)，用大圓的周長(zhǎng)減去小圓的周長(zhǎng)即可得出結(jié)果，掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)的計(jì)算公式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：；故選C．反思總結(jié)1.半徑越大，圓的周長(zhǎng)越大；圓的周長(zhǎng)與半徑成正比.2.圓的周長(zhǎng)公式：或鞏固訓(xùn)練：1.如圖，下面關(guān)于圓的周長(zhǎng)的說(shuō)法，正確的是（）．

A．大圓的周長(zhǎng)大于兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的和 B．大圓的周長(zhǎng)小于兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的和C．大圓的周長(zhǎng)等于兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的和【答案】C【分析】本題主要考查了圓的周長(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：設(shè)左邊的小圓半徑為R，右邊的小圓半徑為r，則大院半徑為，兩個(gè)小圓周長(zhǎng)和為：，大圓周長(zhǎng)：，∴大圓的周長(zhǎng)等于兩個(gè)小圓周長(zhǎng)的和，故選：C．2.要畫(huà)一個(gè)周長(zhǎng)是的圓，圓規(guī)的兩腳應(yīng)叉開(kāi)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查圓的周長(zhǎng)公式，熟記圓的周長(zhǎng)公式，知道圓規(guī)兩腳間的距離就是圓的半徑是解答的關(guān)鍵．由于圓規(guī)的兩腳間的距離是半徑，故由圓的周長(zhǎng)公式求出半徑r即可．【詳解】解∶因?yàn)楫?huà)一個(gè)周長(zhǎng)是的圓，所以由，得，解得，即圓規(guī)的兩腳應(yīng)叉開(kāi)．故選：A．3.一輛汽車(chē)輪胎的外直徑是1米，每分鐘轉(zhuǎn)200周，這輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)一座長(zhǎng)3140米的跨江大橋，需要多少分鐘？（取）【答案】這輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)一座長(zhǎng)3140米的跨江大橋，需要5分鐘【分析】本題主要考查了圓的周長(zhǎng)計(jì)算，先根據(jù)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式求出輪胎的周長(zhǎng)，接下來(lái)乘以200即可求出每分汽車(chē)行駛的路程，然后用大橋的長(zhǎng)度除以汽車(chē)每秒行駛的路程即可求出汽車(chē)通過(guò)這座大橋的時(shí)間．【詳解】解：分鐘，答：這輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)一座長(zhǎng)3140米的跨江大橋，需要5分鐘．題型二弧長(zhǎng)【例2】（1）一個(gè)時(shí)鐘的分針長(zhǎng)，從到，這根分針的尖端走了（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓的周長(zhǎng)，根據(jù)“從到”可知這根分針的尖端走了1.5圈，再利用圓的周長(zhǎng)公式求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：從到，這根分針的尖端走了1.5圈，即：，故這根分針的尖端走了．故選：B．（2）在半徑為6的圓中，的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于（結(jié)果保留）．【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接解答即可．【詳解】解：由弧長(zhǎng)公式得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式．（3）若一弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，則它所對(duì)的圓心角是度．【答案】144【分析】由于圓周角為360°，則一弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，那么弧所對(duì)的圓心角是圓周角的，據(jù)此解答．【詳解】，故填：144【點(diǎn)睛】明確圓周角為360度，進(jìn)而根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出圓周長(zhǎng)的所在的圓心角度數(shù)．反思總結(jié)同圓中的之間的關(guān)系：鞏固訓(xùn)練1.如果一個(gè)扇形的圓心角為，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是它所在的圓的周長(zhǎng)的．【答案】【分析】求出扇形的弧長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)這個(gè)扇形的半徑為，一個(gè)扇形的圓心角為,它所在的圓的周長(zhǎng)，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是它所在的圓的周長(zhǎng)的比為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)公式是解本題的關(guān)鍵．2.一個(gè)扇形的半徑為r，中心角為120°，那么它的弧長(zhǎng)為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到扇形的弧長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的，然后求出圓的周長(zhǎng)即可求出扇形的弧長(zhǎng)．【詳解】解：∵一個(gè)扇形的半徑為r，中心角為120°∴它的弧長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出算式求解．3.一段弧所在的圓的半徑為60，這段弧的長(zhǎng)是157，那么這弧所對(duì)的圓心角是度．【答案】【分析】設(shè)圓心角為n度，根據(jù)公式，即可求解．【詳解】解：設(shè)圓心角為n度，根據(jù)公式，得∶．故答案為∶150【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)弧長(zhǎng)求半徑，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．題型三組合圖形的周長(zhǎng)和面積【例3】(1)如圖，的三條邊長(zhǎng)都是18毫米，分別以、、為圓心，18毫米為半徑畫(huà)弧，求這三條弧長(zhǎng)的和．（取3.14）【答案】56.52毫米【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式解答即可；【詳解】毫米．【點(diǎn)睛】考查對(duì)弧長(zhǎng)公式的理解以及運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算．(2)一個(gè)圓形草坪的周長(zhǎng)是31.4米，要在這個(gè)草坪的周?chē)佉粭l2米寬的石子路，這條石子路的面積是多少平方米？【答案】75.36平方米【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，，得出，再根據(jù)圓環(huán)的面積的計(jì)算方法，即用大圓的面積減去小圓的面積，求出環(huán)形石子路的面積即可．【詳解】解：草坪的半徑：（米，石子路的面積：（平方米）；答：石子路的面積是75.36平方米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓環(huán)的面積的計(jì)算方法，即用大圓的面積減去小圓的面積，注意2米是小路的寬度，不是圓的半徑．反思總結(jié)1.圓環(huán)的面積：2.扇形的面積：鞏固訓(xùn)練1.（1）求陰影部分的周長(zhǎng)（結(jié)果保留）．（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】（1）；（2）【分析】此題考查了求陰影面積和周長(zhǎng)，正方形和圓的面積和周長(zhǎng)，（1）根據(jù)正方形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)公式求解即可；（2）用大的圓的面積減去小的半圓的面積求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握方形和圓的面積和周長(zhǎng)公式．【詳解】解：（1）（2）2.如圖，是某個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道圖，每條跑道寬1米，共6個(gè)跑道，最里側(cè)半圓的直徑為18米，直跑道長(zhǎng)90米．（1）若給6條跑道鋪設(shè)塑膠，問(wèn)所需塑膠的面積是多少平方米？（2）若給運(yùn)動(dòng)場(chǎng)非跑道區(qū)域植上價(jià)格為每平方米100元的草皮，共需多少元？【答案】（1）所需塑膠的面積是平方米；（2）共需187434元【分析】（1）根據(jù)所需塑膠的面積等于兩個(gè)長(zhǎng)方形面積加一個(gè)圓環(huán)的面積，利用長(zhǎng)方形及圓環(huán)的面積公式即可得答案；（2）非跑道區(qū)域的面積是一個(gè)長(zhǎng)方形與一個(gè)圓形的面積的和，利用面積公式可求出非跑道區(qū)域的面積，再根據(jù)草坪每平方米100元即可得答案．【詳解】（1）（平方米），（平方米），（平方米）．答：所需塑膠的面積是平方米．（2）（元）．答：共需187434元．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形、圓環(huán)的面積及圓的面積，S長(zhǎng)方形=ab（a、b為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬），S圓=（r為半徑），S圓環(huán)=（R為大圓半徑，r為小圓半徑），熟練掌握常用圖形的面積公式是解題關(guān)鍵．題型五運(yùn)動(dòng)中面積【例5】已知正方形的邊長(zhǎng)為8，圓的半徑為1．（1）如圖①，若圓在正方形的內(nèi)側(cè)沿著正方形的四條邊無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，求圓心經(jīng)過(guò)的路程和圓掃過(guò)區(qū)域的面積；（結(jié)果保留）（2）如圖②，若圓在正方形的外側(cè)沿著正方形的四條邊無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，求圓心經(jīng)過(guò)的路程和圓掃過(guò)區(qū)域的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）路程為24，面積為；（2）路程為，面積為【分析】（1）如圖①，圓心經(jīng)過(guò)的路程，就是邊長(zhǎng)為6的正方形的周長(zhǎng)；圓滾動(dòng)一周，滾不到的面積（陰影部分）是四周的角以及中間的一個(gè)小正方形，四周的角合起來(lái)相當(dāng)于一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形減去一個(gè)半徑為1的圓的面積，中間小正方形的邊長(zhǎng)為，然后用大的正方形面積減去滾動(dòng)不到的面積，即可解得；（2）如圖②，圓形經(jīng)過(guò)的路程，是四周的角和四條長(zhǎng)度為8的線段組成的圖形的周長(zhǎng)，四個(gè)角合起來(lái)相當(dāng)于一個(gè)半徑為1的圓的周長(zhǎng)，然后求和即可解得；如圖③，圓滾動(dòng)一周，掃過(guò)的面積（陰影部分）是四周的角以及四個(gè)長(zhǎng)方形組成，四周的角合起來(lái)相當(dāng)于一個(gè)半徑2的圓的面積，四個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)為8和寬為2，然后將兩部分面積求和，即可解得；【詳解】（1）如圖①，圓心經(jīng)過(guò)的路程=大的正方形面積=中間小的正方形面積=四周角的面積=則圓掃過(guò)區(qū)域的面積=（2）如圖②，圓心經(jīng)過(guò)的路程=如圖③，圓掃過(guò)區(qū)域的面積=【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形和圓的組合圖形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是弄清楚圓心經(jīng)過(guò)的圖形的形狀和圓滾動(dòng)的地方由哪幾部分組成．鞏固訓(xùn)練1.求下列圖形的陰影部分面積（單位：）．（結(jié)果保留）(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查不規(guī)則圖形面積的求解，涉及圓的面積公式、直角三角形面積公式，根據(jù)題中圖形，數(shù)形結(jié)合，間接表示不規(guī)則圖形面積，利用公式代值求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）不規(guī)則圖形可以看著一個(gè)大圓里面含著一個(gè)小圓，利用圓的面積公式代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)圖形，不規(guī)則圖形面積可以看著兩個(gè)半圓與直角三角形面積和去掉一個(gè)大圓的面積，利用圓的面積公式、直角三角形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）．2.在一長(zhǎng)方形草地里有一條寬1米的曲折小路，如圖所示，草坪的面積是平方米．