2023年高考考前信息必刷數(shù)學試卷3（全國甲數(shù)學試卷（理））（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年高考數(shù)學考前信息必刷卷3（全國甲卷（理）））一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若復數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．3〖答案〗A〖解析〗，，.故選：A．2．某電影制片廠從2013年至2022年生產(chǎn)的紀錄影片、科教影片的時長（單位；分鐘）如圖所示，則（

）A．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀錄影片時長的中位數(shù)為270分鐘B．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的平均數(shù)小于660分鐘C．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的標準差大于紀錄影片時長的標準差D．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的極差是紀錄影片時長的極差的4倍〖答案〗C〖解析〗A：該廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀錄影片時長從小到大排列為：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A錯誤；B：該廠2013年至2022年科教影片時長的平均數(shù)為：，故B錯誤；C：由圖可知，科教影片時長的數(shù)據(jù)波動程度比紀錄影片時長的大，所以科教影片時長的標準差大于記錄影片時長的標準差，故C正確；D：科教影片時長的極差為，記錄影片時長的極差為，有，故D錯誤.故選：C.3．已知集合，，若且，則（

）A． B． C．0 D．1〖答案〗D〖解析〗當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，又，且，則，故得取值范圍為，故符合條件的.故選：D.4．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．2 B． C． D．4〖答案〗B〖解析〗如圖所示，該幾何體為正方體的一部分，其中四點共面，所以.故選：B.5．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，當時，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因為為上的奇函數(shù),所以，解得，所以當時，當時，單調遞增，又因為為奇函數(shù)，所以當時，單調遞增.由，即，于是，所以是以周期為的一個周期函數(shù)，所以把代入可得，，所以，即.因為在上單調遞增，所以所以.故選：C.6．已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由可得.而，∴，∴在上單調遞減，又，則，所以，則，故不等式的解集為．故選：D．7．如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內部（含邊界）的一個動點，則（

）有且僅有一個點P，使得B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為D．M為的中點，若MP與平面ABCD所成的角為，則點P的軌跡長為〖答案〗D〖解析〗對于A，連接,因為平面,平面,所以,且四邊形為正方形，所以,且，平面,所以平面,所以當點在線段上時，必有平面,則，所以存在無數(shù)個點P，使得，A錯誤；對于B，當點與點重合時，與平面相交，B錯誤；對于C，若，則為中點，連接,則為等腰直角三角形，且，且也為等腰直角三角形，且,且平面平面，所以取中點為，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑為,所以我外接球的表面積為，C錯誤；對于D，連接因為平面，所以為MP與平面ABCD所成的角，所以，所以,所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓弧，所以點P的軌跡長為，D正確，故選:D.8．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關.如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓弧），再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，“蚊香”的長度為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長度為.故選：D.9．如圖，二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為60°，A，B是1上的兩個定點，且AB＝2．C∈α，D∈β，滿足AB與平面BCD所成的角為30°，且點A在平面BCD上的射影H在△BCD的內部（包括邊界），則點H的軌跡的長度等于（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如圖所示：因為AB與平面BCD所成的角為30°，且點A在平面BCD上的射影H，AB＝2，所以，所以點H在以點B為球心，以為半徑的球面上，又點H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側面上，所以點H的軌跡為以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成60°的圓錐側面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因為二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為60°，所以∠EOF=60°，又，所以點H的軌跡的長度等于，故選：A.10．已知點P在以，為左、右焦點的橢圓上，橢圓內存在一點Q在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因為，，不妨設，，，由橢圓定義可知：，，由勾股定理可知：，即，化簡可得：，點在延長線上，且在橢圓內部，所以，，解得：.令在上單調遞增，所以，解得：，，又，且在橢圓內部，所以，則，.故選B．11．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因為，，其中，解得：，則，要想保證函數(shù)在恰有三個零點，滿足①，，令，解得：；或要滿足②，，令，解得：；經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足條件，綜上：的取值范圍是.故選：C.12．設，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗設，，則，其中，且，所以，，所以在上單調遞減，故，即，故，設，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，故在上恒成立，所以在上單調遞增，故在上恒成立，所以在上單調遞增，故，故，即，因為，所以，故，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，滿足，，.設，則___________.〖答案〗〖解析〗法一：設，，則，所以.法二：，又，則.故〖答案〗為：.14．設雙曲線的左、右焦點分別為，，B為雙曲線E上在第一象限內的點，線段與雙曲線E相交于另一點A，AB的中點為M，且，若，則雙曲線E的離心率為________．〖答案〗〖解析〗由，，則在直角三角形中，由且M為AB的中點，則,連接設，則由雙曲線的定義可得：由上兩式聯(lián)立解得：在直角三角形中，,即即，故故〖答案〗為：.15．從正方體的外接球球心和8個頂點中任選4個點，則這4個點在同一平面內的概率為__________．〖答案〗〖解析〗從正方體的外接球球心和8個頂點中任選4個點，有種選法，其中共面的分兩類：一是6個對角面且都過球心，共有種選法，二是6個側面，共有種選法，所以4個點在同一平面內的共有種選法，所以4個點在同一平面內的概率為，故〖答案〗為：.16．在△ABC中，角所對的邊分別為．若，則△ABC的面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗方法1：在△ABC中，以線段所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，設，因為，所以.得，整理得，即是如圖1所示的圓上的動點.如圖2，當點C在y軸上時，即時，△ABC面積最大，故，當時，即時，△ABC面積取得最大值為.方法2：如圖3，CD是△ABC邊AB上的高，設，，，由，得，即，又，得當且僅當時取等號)，所以，又，當且僅當時，等號成立，即，將與代人中，得.所以△ABC面積的最大值為.方法3:由三角形面積公式，得，即，由，得，由余弦定理，得，所以(當且僅當時取等號)，當時，即時，取得最大值，即，所以△ABC面積的最大值為.(也可以用基本不等式求的最大值，即，當時，即時取等號，所以△ABC面積的最大值為.)方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，0極大值即當時，，，所以△ABC面積的最大值為.解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知數(shù)列滿足：，，，.（1）證明：是等差數(shù)列：（2）記的前n項和為，，求n的最小值.（1）證明：證法一：由，得，則，從而.又，所以，即，所以是等差數(shù)列.證法二：由，且，則，得，因為，，所以，即，所以是等差數(shù)列.（2）解：解法一：設等差數(shù)列的公差為d.當時，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.所以，，又；又，則，且，所以n的最小值為10.解法二：設等差數(shù)列的公差為d.當時，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又，所以.當時，，，所以，，又，則，且，所以n的最小值為10.解法三：設等差數(shù)列的公差為d.當時，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.當時，，所以，.又，則，且，所以n的最小值為10.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，點E，F(xiàn)分別是，中點，平面平面．（1）證明：；（2）若，平面平面，且，求直線l與平面所成角的余弦值．（1）證明：取中點G，連接，，∵E，G分別是，中點，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴EF∥平面，∵平面，平面平面，∴．（2）解：由三棱柱為直棱柱，∴平面，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，故以為坐標原點，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，又，則，解得，所以，，則，，設平面法向量為，所以，即，取，得，由（1）知直線，則l方向向量為，設直線l與平面所成角為，則，則，所以直線l與平面所成角的余弦值為．19．（12分）某學校開展投籃活動，活動規(guī)則是：每名選手投籃次（，），每次投籃，若投進，則下一次站在三分線處投籃；若沒有投進，則下一次站在兩分線處投籃．規(guī)定每名選手第一次站在兩分線處投籃．站在兩分線處投進得2分，否則得0分；站在三分線處投進得3分，否則得0分．已知小明站在兩分線處投籃投進的概率為0.7，站在三分線處投籃投進的概率為0.5，且每次投籃相互獨立．（1）記小明前2次投籃累計得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）記第次投籃時，小明站在三分線處投籃的概率為，，2，…，，求的表達式．解：（1）依題意，的所有可能取值為，，．記“小明第次投籃站在兩分線處并且投進”為事件，，，“小明第2次投籃站在三分線處并且投進”為事件．；；．所以的分布列為所以．（2）由題意知，．當時，分兩種情形：①若小明第次投籃站在三分線處，這種情形下小明第次投籃站在三分線處的概率為；②若小明第次投籃站在兩分線處，這種情形下小明第次投籃站在三分線處的概率為．所以，所以，由題易知，當時，也成立，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，即．20．（12分）拋物線C：上的點到拋物線C的焦點F的距離為2，A?B（不與O重合）是拋物線C上兩個動點，且.（1）求拋物線C的標準方程；（2）x軸上是否存在點P使得？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.解：（1）由拋物線的定義得，解得，則拋物線的標準方程為.（2）依題意知直線與直線的斜率存在，設直線方程為，由得直線方程為：，由，解得，由，解得由得，假定在軸上存在點使得，設點，則由（1）得直線斜率，直線斜率，由得，則有，即，整理得，顯然當時，對任意不為0的實數(shù)，恒成立，即當時，恒成立，恒成立，所以軸上存在點使得.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點，．（i）求a的取值范圍；（ii）證明：．（1）解：因為，所以，因為，由有：，由有：，所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，所以函數(shù)無極大值，有極小值.（2）（i）解：由（1）有：函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，若函數(shù)有兩個不相等的零點，，則，解得，所以，因為當時，，所以，所以在上有1個零點，當時，，又“指數(shù)爆炸”，所以，所以在上有1個零點，綜上，當時，函數(shù)有兩個不相等的零點，.（ii）證明：由（i）有：當時，函數(shù)有兩個不相等的零點，，不妨設，構造函數(shù)，因為，所以，因為，所以，當前僅當時取到等號，所以，所以在R上單調遞減，又，所以，即，即，又，所以，又，所以，由(1)有：函數(shù)在單調遞減，所以，即，結論得證.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的直角坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的極坐標方程；（2）射線，和曲線分別交于點，，與直線分別交于，兩點，求四邊形的面積.解：（1）曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為.曲線的直角坐標方程為，根據(jù)，整理得，即.（2）射線，和曲線分別交于點，，與直線分別交于，兩點，如圖所示：所以直線的直角坐標方程為，直線的直線方程為，所以，解得，設直線與軸交于點，將代入，得，即.所以.同理：，解得：，所以，所以.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：（1）；（2）．證明：（1），因為a，b，c都是正數(shù)，，當前僅當取等號，（2），，，當前僅當取等號，由（1）有：，，當前僅當取等號，，當前僅當取等號.2023年高考數(shù)學考前信息必刷卷3（全國甲卷（理）））一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．若復數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．3〖答案〗A〖解析〗，，.故選：A．2．某電影制片廠從2013年至2022年生產(chǎn)的紀錄影片、科教影片的時長（單位；分鐘）如圖所示，則（

）A．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀錄影片時長的中位數(shù)為270分鐘B．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的平均數(shù)小于660分鐘C．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的標準差大于紀錄影片時長的標準差D．該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時長的極差是紀錄影片時長的極差的4倍〖答案〗C〖解析〗A：該廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀錄影片時長從小到大排列為：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A錯誤；B：該廠2013年至2022年科教影片時長的平均數(shù)為：，故B錯誤；C：由圖可知，科教影片時長的數(shù)據(jù)波動程度比紀錄影片時長的大，所以科教影片時長的標準差大于記錄影片時長的標準差，故C正確；D：科教影片時長的極差為，記錄影片時長的極差為，有，故D錯誤.故選：C.3．已知集合，，若且，則（

）A． B． C．0 D．1〖答案〗D〖解析〗當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，又，且，則，故得取值范圍為，故符合條件的.故選：D.4．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．2 B． C． D．4〖答案〗B〖解析〗如圖所示，該幾何體為正方體的一部分，其中四點共面，所以.故選：B.5．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，當時，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因為為上的奇函數(shù),所以，解得，所以當時，當時，單調遞增，又因為為奇函數(shù)，所以當時，單調遞增.由，即，于是，所以是以周期為的一個周期函數(shù)，所以把代入可得，，所以，即.因為在上單調遞增，所以所以.故選：C.6．已知函數(shù)與定義域都為，滿足，且有，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由可得.而，∴，∴在上單調遞減，又，則，所以，則，故不等式的解集為．故選：D．7．如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內部（含邊界）的一個動點，則（

）有且僅有一個點P，使得B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為D．M為的中點，若MP與平面ABCD所成的角為，則點P的軌跡長為〖答案〗D〖解析〗對于A，連接,因為平面,平面,所以,且四邊形為正方形，所以,且，平面,所以平面,所以當點在線段上時，必有平面,則，所以存在無數(shù)個點P，使得，A錯誤；對于B，當點與點重合時，與平面相交，B錯誤；對于C，若，則為中點，連接,則為等腰直角三角形，且，且也為等腰直角三角形，且,且平面平面，所以取中點為，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑為,所以我外接球的表面積為，C錯誤；對于D，連接因為平面，所以為MP與平面ABCD所成的角，所以，所以,所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓弧，所以點P的軌跡長為，D正確，故選:D.8．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關.如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓弧），再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，“蚊香”的長度為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長度為.故選：D.9．如圖，二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為60°，A，B是1上的兩個定點，且AB＝2．C∈α，D∈β，滿足AB與平面BCD所成的角為30°，且點A在平面BCD上的射影H在△BCD的內部（包括邊界），則點H的軌跡的長度等于（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如圖所示：因為AB與平面BCD所成的角為30°，且點A在平面BCD上的射影H，AB＝2，所以，所以點H在以點B為球心，以為半徑的球面上，又點H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側面上，所以點H的軌跡為以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成60°的圓錐側面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因為二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為60°，所以∠EOF=60°，又，所以點H的軌跡的長度等于，故選：A.10．已知點P在以，為左、右焦點的橢圓上，橢圓內存在一點Q在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因為，，不妨設，，，由橢圓定義可知：，，由勾股定理可知：，即，化簡可得：，點在延長線上，且在橢圓內部，所以，，解得：.令在上單調遞增，所以，解得：，，又，且在橢圓內部，所以，則，.故選B．11．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗因為，，其中，解得：，則，要想保證函數(shù)在恰有三個零點，滿足①，，令，解得：；或要滿足②，，令，解得：；經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足條件，綜上：的取值范圍是.故選：C.12．設，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗設，，則，其中，且，所以，，所以在上單調遞減，故，即，故，設，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，故在上恒成立，所以在上單調遞增，故在上恒成立，所以在上單調遞增，故，故，即，因為，所以，故，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，滿足，，.設，則___________.〖答案〗〖解析〗法一：設，，則，所以.法二：，又，則.故〖答案〗為：.14．設雙曲線的左、右焦點分別為，，B為雙曲線E上在第一象限內的點，線段與雙曲線E相交于另一點A，AB的中點為M，且，若，則雙曲線E的離心率為________．〖答案〗〖解析〗由，，則在直角三角形中，由且M為AB的中點，則,連接設，則由雙曲線的定義可得：由上兩式聯(lián)立解得：在直角三角形中，,即即，故故〖答案〗為：.15．從正方體的外接球球心和8個頂點中任選4個點，則這4個點在同一平面內的概率為__________．〖答案〗〖解析〗從正方體的外接球球心和8個頂點中任選4個點，有種選法，其中共面的分兩類：一是6個對角面且都過球心，共有種選法，二是6個側面，共有種選法，所以4個點在同一平面內的共有種選法，所以4個點在同一平面內的概率為，故〖答案〗為：.16．在△ABC中，角所對的邊分別為．若，則△ABC的面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗方法1：在△ABC中，以線段所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，設，因為，所以.得，整理得，即是如圖1所示的圓上的動點.如圖2，當點C在y軸上時，即時，△ABC面積最大，故，當時，即時，△ABC面積取得最大值為.方法2：如圖3，CD是△ABC邊AB上的高，設，，，由，得，即，又，得當且僅當時取等號)，所以，又，當且僅當時，等號成立，即，將與代人中，得.所以△ABC面積的最大值為.方法3:由三角形面積公式，得，即，由，得，由余弦定理，得，所以(當且僅當時取等號)，當時，即時，取得最大值，即，所以△ABC面積的最大值為.(也可以用基本不等式求的最大值，即，當時，即時取等號，所以△ABC面積的最大值為.)方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，0極大值即當時，，，所以△ABC面積的最大值為.解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知數(shù)列滿足：，，，.（1）證明：是等差數(shù)列：（2）記的前n項和為，，求n的最小值.（1）證明：證法一：由，得，則，從而.又，所以，即，所以是等差數(shù)列.證法二：由，且，則，得，因為，，所以，即，所以是等差數(shù)列.（2）解：解法一：設等差數(shù)列的公差為d.當時，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.所以，，又；又，則，且，所以n的最小值為10.解法二：設等差數(shù)列的公差為d.當時，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又，所以.當時，，，所以，，又，則，且，所以n的最小值為10.解法三：設等差數(shù)列的公差為d.當時，，即，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.又.當時，，所以，.又，則，且，所以n的最小值為10.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，點E，F(xiàn)分別是，中點，平面平面．（1）證明：；（2）若，平面平面，且，求直線l與平面所成角的余弦值．（1）證明：取中點G，連接，，∵E，G分別是，中點，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴EF∥平面，∵平面，平面平面，∴．（2）解：由三棱柱為直棱柱，∴平面，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，故以為坐標原點，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，又，則，解得，所以，，則，，設平面法向量為，所以，即，取，得，由（1）知直線，則l方向向量為，設直線l與平面所成角為，則，則，所以直線l與平面所成角的余弦值為．19．（12分）某學校開展投籃活動，活動規(guī)則是：每名選手投籃次（，），每次投籃，若投進，則下一次站在三分線處投籃；若沒有投進，則下一次站在兩分線處投籃．規(guī)定每名選手第一次站在兩分線處投籃．站在兩分線處投進得2分，否則得0分；站在三分線處投進得3分，否則得0分．已知小明站在兩分線處投籃投進的概率為0.7，站在三分線處投籃投進的概率為0.5，且每次投籃相互獨立．（1）記小明前2次投籃累計得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）記第次投籃時，小明站在三分線處投籃的概率為，，2，…，，求的表達式．解：（1）依題意，的所有可能取值為，，．記“小明第次投籃站在兩分線處并且投進”為事件，，，“小明第2次投籃站在三分線處并且投進”為事件．；；．所以的分布列為所以．（2）由題意知，．當時，分兩種情形：①若小明第次投籃站在三分線處，這種情形下小明第次投籃站在三分線處的概率為；②若小