2023屆邕衡金卷高考第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1邕衡金卷2023屆高考第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，集合，又因為，可得．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），且，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以，由復(fù)數(shù)相等得，在復(fù)平面對應(yīng)點坐標在第四象限，故選：D．3.設(shè)一組數(shù)據(jù)的方差為1.2，則數(shù)據(jù)的方差為（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗A〖解析〗因為的方差為1.2，所以數(shù)據(jù)方差為，故選：A．4.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過（）天．（參考數(shù)據(jù)：，，）A.9 B.15 C.25 D.35〖答案〗D〖解析〗設(shè)經(jīng)過x天“進步”的值是“退步”的值的2倍，則，∴，故選：D．5.拋物線的焦點為F，點，P為拋物線上的動點，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過點P作PH垂直于準線，垂直為H，根據(jù)拋物線的定義，所以當A，P，H三點共線時最小，此時.故選：A．6.已知和是兩個正交單位向量，，且，則（）A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4〖答案〗B〖解析〗因為和是正交單位向量，，，可得，所以，解得或.故選：B．7.在中，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.故選：C．8.現(xiàn)有幾何體Ω，當它內(nèi)部被挖去另一個幾何體時的三視圖如下，則Ω的體積等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，該幾何體是球體被挖去一個圓錐，圓錐底面半徑為，高為6，設(shè)球的半徑為R，可得，解得R=4，所以體積為．故選：B.9.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知得：，所以.故選：A10.已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，又由，可得定點圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B11.已知雙曲線C：，O為坐標原點，過C的右焦點F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點Q，若，則C的離心率為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)漸近線的傾斜角為，則，，則，解得（舍去）或，∴，∴.故選：D．12.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由指數(shù)冪的運算公式，可得，所以，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，當且僅當時取等號，由于，則，則，所以，所以，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗5〖解析〗根據(jù)題意作可行域如圖，作直線，由圖可知，平移直線到l位置，即過點A時，取得最大值.解方程組得，代入，得.故〖答案〗為：514.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是，和棋的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_____．〖答案〗〖解析〗記甲獲勝為事件A，和棋為事件B.易知A，B互斥，所以，甲不輸?shù)母怕蕿椋省即鸢浮綖椋?15.如圖，有一半徑為單位長度的球內(nèi)切于圓錐，則當圓錐的側(cè)面積取到最小值時，它的高為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)，半徑，高，球半徑為單位長度，因為，可得，即，所以，解得，所以側(cè)面積，令，可得，令，可得，解得．當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞減，所以時側(cè)面積有最小值．故〖答案〗為：.16.關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的一個周期是π；②的對稱中心是；③在上的最小值是；④在內(nèi)的所有零點之和為．其中所有真命題的序號是______．〖答案〗②④〖解析〗對①，，故①錯誤；對②，因為，所以關(guān)于點對稱，故②正確；對③，，令，則，當，；，，所以在上的最小值是；又，而，所以，故③錯誤；對④，得或，因為，所以當時，解得，當時，因為在上函數(shù)的對稱軸為，所以它的兩零點之和為，故在內(nèi)的所有零點之和為，故④正確．故〖答案〗為：②④.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列的首項為2，且滿足（且），．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和．解：（1）由得，因為，所以，所以，即，又，所以是以2為首項和公比的等比數(shù)列，所以．（2）由得，18.為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面發(fā)展的素質(zhì)教育理念，某中學(xué)組織同學(xué)們進行了引體向上測試，莖葉圖記錄了甲，乙兩組各四名同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上的次數(shù)，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，在圖中以X表示．（1）如果，求乙組同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)和為18的概率．（1）解：由時，乙組數(shù)據(jù)分別為7，8，9，10，計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.（2）解：記甲組四名同學(xué)為，他們單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)依次為8，9，11，12，記乙組四名同學(xué)為，他們單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)依次為：6，8，9，10，分別從而甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，即：，，，，，，，，，，，，，，，，用C表示：“選出的兩名同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)和為18”這一事件，則C中的結(jié)果有3個，即：，，，故所求概率為．19.如圖，在多面體ABCDE中，平面平面，平面，是邊長為2的正三角形，，．（1）點為線段上一點，求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取中點，連接，因為是邊長為2的正三角形，可得，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，且，又因為平面，所以，因為，可得，所以四邊形為平行四邊形，所以，由，且為中點，可得，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）解：在中，，且，由余弦定理得，所以，如圖所示，過作垂直于，交延長線于點，即，連結(jié)，因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以即為與平面所成角,在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線：，圓：，點F為拋物線的焦點，點A為拋物線上的一點，，且點A的縱坐標為．（1）求拋物線的方程；（2）點P（不是原點）是上的一點，過點P作的兩條切線分別交于M，N兩點（異于點P），E為線段MN中點．若，求點P的坐標．解：（1）由題意可得，解得，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)，，，由題知，，，且切線的斜率存在．設(shè)過點的圓的切線方程為，即．圓心到切線的距離為1，得到，整理得，設(shè)PM，PN的斜率分別為，，則有，，聯(lián)立，得，因為點P是直線與拋物線的一個交點，有，同理可得，因為E為MN中點，則有，又，所以點在PE，從而有，，，所以，解得，所以點P的坐標為.21.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求a的取值范圍．（1）解：當時，函數(shù)，可得，則切線斜率，又因為，所以函數(shù)在點處的切線方程為：，即．（2）解：由題意知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，即有兩個不同的解，即，令，即與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點．，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為∴，又因為，，故與函數(shù)有兩個不同的交點，則滿足，即，即實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且），曲線C與x軸交于A點，與y軸交于B點．（1）求；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求以線段AB為直徑的圓M的極坐標方程．（1）解：令，則，解得或（舍去），則，即．令，則，解得或（舍去），則，即，所以.（2）解：由（1）可知的中點為，則以線段為直徑的圓M的半徑為，所以圓M的直角坐標方程為，即，由，可得，直線的極坐標方程為．23.已知a，b均為正實數(shù)，且，證明：（1）；（2）．（1）證明：由柯西不等式有，又因為，則，當且僅當時，取等號，所以．（2）證明：因為，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，.邕衡金卷2023屆高考第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，集合，又因為，可得．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），且，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以，由復(fù)數(shù)相等得，在復(fù)平面對應(yīng)點坐標在第四象限，故選：D．3.設(shè)一組數(shù)據(jù)的方差為1.2，則數(shù)據(jù)的方差為（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗A〖解析〗因為的方差為1.2，所以數(shù)據(jù)方差為，故選：A．4.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過（）天．（參考數(shù)據(jù)：，，）A.9 B.15 C.25 D.35〖答案〗D〖解析〗設(shè)經(jīng)過x天“進步”的值是“退步”的值的2倍，則，∴，故選：D．5.拋物線的焦點為F，點，P為拋物線上的動點，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗如圖，過點P作PH垂直于準線，垂直為H，根據(jù)拋物線的定義，所以當A，P，H三點共線時最小，此時.故選：A．6.已知和是兩個正交單位向量，，且，則（）A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4〖答案〗B〖解析〗因為和是正交單位向量，，，可得，所以，解得或.故選：B．7.在中，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.故選：C．8.現(xiàn)有幾何體Ω，當它內(nèi)部被挖去另一個幾何體時的三視圖如下，則Ω的體積等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，該幾何體是球體被挖去一個圓錐，圓錐底面半徑為，高為6，設(shè)球的半徑為R，可得，解得R=4，所以體積為．故選：B.9.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知得：，所以.故選：A10.已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，又由，可得定點圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B11.已知雙曲線C：，O為坐標原點，過C的右焦點F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點Q，若，則C的離心率為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)漸近線的傾斜角為，則，，則，解得（舍去）或，∴，∴.故選：D．12.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由指數(shù)冪的運算公式，可得，所以，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，當且僅當時取等號，由于，則，則，所以，所以，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗5〖解析〗根據(jù)題意作可行域如圖，作直線，由圖可知，平移直線到l位置，即過點A時，取得最大值.解方程組得，代入，得.故〖答案〗為：514.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是，和棋的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_____．〖答案〗〖解析〗記甲獲勝為事件A，和棋為事件B.易知A，B互斥，所以，甲不輸?shù)母怕蕿椋省即鸢浮綖椋?15.如圖，有一半徑為單位長度的球內(nèi)切于圓錐，則當圓錐的側(cè)面積取到最小值時，它的高為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)，半徑，高，球半徑為單位長度，因為，可得，即，所以，解得，所以側(cè)面積，令，可得，令，可得，解得．當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞減，所以時側(cè)面積有最小值．故〖答案〗為：.16.關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的一個周期是π；②的對稱中心是；③在上的最小值是；④在內(nèi)的所有零點之和為．其中所有真命題的序號是______．〖答案〗②④〖解析〗對①，，故①錯誤；對②，因為，所以關(guān)于點對稱，故②正確；對③，，令，則，當，；，，所以在上的最小值是；又，而，所以，故③錯誤；對④，得或，因為，所以當時，解得，當時，因為在上函數(shù)的對稱軸為，所以它的兩零點之和為，故在內(nèi)的所有零點之和為，故④正確．故〖答案〗為：②④.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列的首項為2，且滿足（且），．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和．解：（1）由得，因為，所以，所以，即，又，所以是以2為首項和公比的等比數(shù)列，所以．（2）由得，18.為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面發(fā)展的素質(zhì)教育理念，某中學(xué)組織同學(xué)們進行了引體向上測試，莖葉圖記錄了甲，乙兩組各四名同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上的次數(shù)，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，在圖中以X表示．（1）如果，求乙組同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)和為18的概率．（1）解：由時，乙組數(shù)據(jù)分別為7，8，9，10，計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.（2）解：記甲組四名同學(xué)為，他們單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)依次為8，9，11，12，記乙組四名同學(xué)為，他們單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)依次為：6，8，9，10，分別從而甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，即：，，，，，，，，，，，，，，，，用C表示：“選出的兩名同學(xué)單位時間內(nèi)引體向上次數(shù)和為18”這一事件，則C中的結(jié)果有3個，即：，，，故所求概率為．19.如圖，在多面體ABCDE中，平面平面，平面，是邊長為2的正三角形，，．（1）點為線段上一點，求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取中點，連接，因為是邊長為2的正三角形，可得，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，且，又因為平面，所以，因為，可得，所以四邊形為平行四邊形，所以，由，且為中點，可得，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）解：在中，，且，由余弦定理得，所以，如圖所示，過作垂直于，交延長線于點，即，連結(jié)，因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以即為與平面所成角,在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線：，圓：，點F為拋物線的焦點，點A為拋物線上的一點，，且點A的縱坐標為．（1）求拋物線的方程；（2）點P（不是原點）是上的一點，過點P作的兩條切線分別交于