2024屆高考數(shù)學(xué)（理科）精英模擬卷 【全國卷】含答案

2024屆高考數(shù)學(xué)（理科）精英模擬卷【全國卷】【滿分：150分】一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集，集合，集合，則()A. B.C. D.2.若，則()A. B. C. D.3.已知函數(shù)，若的最小值為m，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在處的切線方程是()A. B.C. D.4.設(shè)有下面四個命題：，；，；，；，.其中真命題為()A. B. C. D.5.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則()A.2 B.3 C.4 D.66.設(shè)向量a，b滿足，，a與b的夾角為，則()A. B. C. D.37.已知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，則為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象()A.向左平移1個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移1個單位長度 D.向右平移個單位長度8.為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有()A.54種 B.240種 C.150種 D.60種9.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的表面積為()A. B.C. D.10.已知圓，為圓C的動弦，且滿足，G為弦MN的中點(diǎn)，兩動點(diǎn)P，Q在直線上，且，運(yùn)動時，始終為銳角，則線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是()A. B.C. D.11.已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A，線段與C交于點(diǎn)M.若與C的焦距的比值為，則C的離心率為()A. B. C. D.12.如圖，已知菱形ABCD中，，，E為邊BC的中點(diǎn)，將沿AE翻折成（點(diǎn)位于平面ABCD上方），連接和，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是()①平面平面②與的夾角為定值③三棱錐體積最大值為④點(diǎn)F的軌跡的長度為A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件發(fā)生的概率為__________.14.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為________.15.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若對任意給定的實(shí)數(shù)，，恒成立，則不等式的解集是___________.16.已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求C；（2）記面積為S，求的取值范圍.18.（12分）如圖，三棱錐中，，，E為BC的中點(diǎn).（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值.19.（12分）已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且.（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，交C于A，B兩點(diǎn)，交C于M，N兩點(diǎn).求證：為定值.20.（12分）某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同.甲每道題自己有把握獨(dú)立答對的概率為，若甲自己沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團(tuán)尋求幫助，其親友團(tuán)每道題能答對的概率為p，假設(shè)每道題答對與否互不影響.（1）當(dāng)時，①若甲答對了某道題，求該題是甲自己答對的概率；②甲答了4道題，記甲答對題目的個數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）乙答對每道題的概率為（含親友團(tuán)），現(xiàn)甲、乙兩人各答2道題，若甲答對題的個數(shù)比乙答對題的個數(shù)多的概率不低于，求甲的親友團(tuán)每道題答對的概率p的最小值.21.（12分）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.（10分）[選修4?–?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C和直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線C分別交于O，A兩點(diǎn)，直線與曲線C分別交于O，B兩點(diǎn)，求的面積.23.（10分）[選修4?–?5：不等式選講]已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，若存在，使得成立，求的取值范圍.

答案以及解析1.答案：D解析：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)槿?，所?故選D.2.答案：D解析：，所以，故選D.3.答案：B解析：由題得，的最小值.，，曲線在處的切線方程是，即.故選B.4.答案：C解析：，，所以命題為假命題；當(dāng)時，，所以命題為假命題；當(dāng)時，均為非負(fù)整數(shù)，所以命題為真命題；因?yàn)?，所以命題為假命題.故選C.5.答案：B解析：由題意，，解得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選B.6.答案：B解析：，①.又，②.由①②得，，.7.答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個對稱中心為，所以，，所以，，又，所以，所以.因?yàn)?，所以為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度.8.答案：C解析：根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A，B，C三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況：①三組人數(shù)為1、1、3，此時有種方法；②三組人數(shù)為2、2、1，此時有種方法.所以不同的報名方法有種.9.答案：D解析：由多面體的三視圖得到多面體的直觀圖如圖所示：它可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成.其中三角形的底，高為，所以其面積為；梯形與梯形全等，上底，下底，高為，所以其面積為；三角形ABC的底，高為3，所以其面積為；底面為矩形，，，其面積為.所以該多面體的表面積.故選D.10.答案：A解析：由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)椋珿為弦MN的中點(diǎn)，可得，又由兩動點(diǎn)P，Q在直線上，且，設(shè)PQ的中點(diǎn)，當(dāng)M，N在圓C上運(yùn)動時，且恒為銳角，可得以C為圓心，以2為半徑的圓與以E為圓心，以2為半徑的圓相外離，則，即，解得或，所以線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是.故選A.11.答案：D解析：設(shè)雙曲線的半焦距為c，因?yàn)橐詾閳A心的圓過，故該圓的半徑為2c，故其方程為，令，則，結(jié)合A在y軸正半軸上，得，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，由題意知，故，整理得，故，故，所以，故，解得或，又因?yàn)椋瑒t，則，.故選D.12.答案：C解析：對于①：由，，E為邊BC的中點(diǎn)知且，易知，，而，EC，面，故面，又面，所以面面，故①正確；對于②：若是的中點(diǎn)，又F為的中點(diǎn)，則且，而且，所以且，即為平行四邊形，故，所以與的夾角為或其補(bǔ)角，若G為AB中點(diǎn)，即，由①分析易知，故與CF的夾角為，故②正確；對于③：由上分析知：翻折過程中當(dāng)面ABCD時，最大，此時，故③錯誤；對于④：由②分析知：且，故F的軌跡與G到的軌跡相同，由①知：B到的軌跡為以E為圓心，為半徑的半圓，而G為AB中點(diǎn)，故G到的軌跡為以AE中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，所以F的軌跡長度為，故④正確.故選C.13.答案：解析：隨機(jī)拋擲一枚骰子共有6種不同的結(jié)果，其中事件A“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”包括出現(xiàn)2，4兩種結(jié)果，，事件B“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”的對立事件為，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案為.14.答案：2解析：由約束條件作出可行域，如圖陰影部分，結(jié)合圖可知，平移直線，當(dāng)平移到經(jīng)過點(diǎn)A時，直線在y軸上的截距最小，即取得最小值，聯(lián)立，得，即，將的坐標(biāo)代入直線，即得的最小值為2，故答案為：215.答案：解析：因?yàn)楹瘮?shù)對任意給定的實(shí)數(shù)，，恒成立，即恒成立，所以函數(shù)在R上為減函數(shù).又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，則由不等式，得或即或解得.所以原不等式的解集為.16.答案：解析：因?yàn)楹瘮?shù)，所以當(dāng)時，.因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，所以，所以1，同理可得，令，則，所以，故.17.答案：（1）60°（2）解析：（1），由正弦定理得，，又，，，，；（2），其中，，銳角，，從而得；綜上，，.18.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：連接AE，DE，，E為BC的中點(diǎn)，.又，，與均為等邊三角形，，.又，平面，平面，平面，又平面，.（2）設(shè)，則，，，.又，，平面，平面，平面.以E為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則.設(shè)二面角的平面角為，則.又，，二面角的正弦值為.19.答案：（1）；（2）證明見解析.解析：（1）拋物線C的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得或，而，則，所以拋物線C的方程為.（2）由（1）知，直線，的斜率均存在，不妨設(shè)直線的方程為，，，由消去y得，顯然，則，，因此，由，得直線的斜率為，同理得，所以.20.答案：（1）見解析（2）解析：（1）①記事件A為“甲答對了某道題”，事件B為“甲自己答對了某道題”，則，，所以.②隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，由①知，則，所以，則隨機(jī)變量X的概率分布為X01234P故.（2）記事件為“甲答對了i道題”，事件為“乙答對了i道題”，，1，2，其中甲答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為，則，，，，所以甲答對題的個數(shù)比乙答對題的個數(shù)多的概率，所以，即甲的親友團(tuán)每道題答對的概率p的最小值為.21.答案：（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）解析：（1），，.令，，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2），，令，則，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.設(shè)，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，即，，又，存在唯一的，使得，即①.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，.又函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，，