2024年廣東省深圳市南山區(qū)育才教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷（附答案解析）

2024年廣東省深圳市南山區(qū)育才教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確的選項(xiàng)用2B鉛筆填涂在答題卡上）

1.（3分）實(shí)數(shù)尸在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列各數(shù)中比實(shí)數(shù)P小的是（）

?T..................一

-3-2-10123

A.-3B.-1C.0D.A/2

2.（3分）積木有助于開發(fā)智力，有利于數(shù)學(xué)概念的早期培養(yǎng).某積木配件如圖所示，則它

的左視圖為（）

A.

C.

3.（3分）人才是深圳城市發(fā)展的重要基因，深圳人才公園是全國第一個(gè)人才主題公園，占

地面積約770000平方米.數(shù)據(jù)770000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.77X104B.7.7X105C.77X103D.7.7X106

4.（3分）在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，“水是生命之源”項(xiàng)目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要

從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取兩人，組成調(diào)查小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，恰

好抽到一名男生和一名女生的概率是（)

A.AB.AC.AD.2

632,3

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.5〃-2"^3〃B.〃2?〃3=〃6

C.(6+1)2=房+1D.(-2〃)3=-8后

6.（3分）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。

的光線相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸為焦點(diǎn).若Nl=155°,N2=30°,則N3的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

7.（3分）樟卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式.如圖，在某燕尾樟中,

樟槽的橫截面ABC。是梯形，其中AO〃2C,AB=DC,燕尾角/B=a,外口寬A￡）=a,

)

C.btma+aD.2btana+〃

8.（3分）明代《算法纂要》書中有一題:“牧童分杏各爭競，不知人數(shù)不知杏.三人五個(gè)

多十枚，四人八枚兩個(gè)剩?問有幾個(gè)牧童幾個(gè)杏？”題目大意是：牧童們要分一堆杏,

不知道人數(shù)也不知道有多少個(gè)杏.若3人一組，每組5個(gè)杏，則多10個(gè)杏.若4人一組,

每組8個(gè)杏，則多2個(gè)杏.有多少個(gè)牧童，多少個(gè)杏？設(shè)共有x個(gè)牧童，則下列方程正

確的是（）

A.3X5x+10=4X8x+2B.-^-x5+10=-X8-2

34

c-卷x5+10=3x8+2D.1-X5-10=yX8-2

OTTJ3

9.（3分）如圖，矩形48C。中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E在3C邊上，連接EA,EA=EC.將

線段EA繞點(diǎn)A逆的針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接CR貝|cos/ACF的值為

）

A.2B.Mc.亞D,則亙

35213

10.（3分）己知二次函數(shù)/=以2-2水+1（aWO）經(jīng)過點(diǎn)（-1,相）、（1,〃）和（3,p）,

若在相，”，〃這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，則a的取值范圍為（）

--l<a<0D.-14<0

3

二、填空題（本題有5小題，每題3分，共15分，把答案填在答題卡上）

11.（3分）因式分解2a2-4a+2=

12.（3分）“每天一節(jié)體育課”成深圳中小學(xué)生標(biāo)配，某校九年級(jí)三班隨機(jī)抽取了10名男

生進(jìn)行引體向上測試，他們的成績（單位：個(gè)）如下：7,11,10,11,6,14,11,10,

11,9.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

13.（3分）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C均在小正方形的

頂點(diǎn)上，且點(diǎn)。在窟上，ZBCD=30°,則俞的長為.

的面積為2,則k的值為

15.（3分）如圖，在正方形ABC。的對角線AC上取一點(diǎn)E,使得AE=2CE,連接BE,將

△BCE沿BE翻折得到△BFE,連接。尸.若3c=4,則。尸的長

為.

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16.（5分）計(jì)算：（-1）-1-2COS45°W8-（K+2024）°-

17.（7分）先化簡（i―?-2,再從不等式組-lWx<3中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?/p>

x-2x-4x+4

數(shù)，代入求值.

18.（8分）科學(xué)教育是提升國家科技競爭力、培養(yǎng)創(chuàng)新人才、提高全民科學(xué)素質(zhì)的重要基

礎(chǔ)，某學(xué)校計(jì)劃在八年級(jí)開設(shè)“人工智能”“無人機(jī)”“創(chuàng)客”“航模”四門校本課程，要

求每人必須參加，并且只能選擇其中一門課程，為了解學(xué)生對這四門課程的選擇情況，

學(xué)校從八年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖

所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）.

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖

調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

請你根據(jù)以上信息解決下列問題：

（1）參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為50名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（畫圖并標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，選擇“創(chuàng)客”課程的學(xué)生占%,所對應(yīng)的圓心角度數(shù)

為;

（3）若該校八年級(jí)一共有1000名學(xué)生，試估計(jì)選擇“航?！闭n程的學(xué)生有多少名？

19.（8分）某社區(qū)采購春節(jié)慰問禮品，購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝.甲種糧油套裝

單價(jià)比乙種糧油套裝單價(jià)多30元，用1200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧

油套裝的數(shù)量相同.

（1）求甲、乙兩種糧油套裝的單價(jià)分別是多少元？

（2）社區(qū)準(zhǔn)備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件，購買乙種糧油套裝不超過甲種糧

油套裝的3倍，且商家給出了兩種糧油套裝均打八折的優(yōu)惠.問購買甲種和乙種糧油套

裝各多少件時(shí)花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少元？

20.（8分）如圖，在△ABC中，以為直徑作交AC、BC于點(diǎn)、D、E,過點(diǎn)。作。G

于點(diǎn)G.交的延長線于點(diǎn)X.

（1）下列條件：

①。是AC邊的中點(diǎn)；

②。是金的中點(diǎn)；

③BA=BC.

請從中選擇一個(gè)能證明直線HG是。。的切線的條件，并寫出證明過程；

（2）若直線"G是。。的切線，且H4=2,HD=4,求CG的長.

c

G

H

21.（9分）科研人員為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無人機(jī)測量小鋼球豎直向上運(yùn)動(dòng)的

相關(guān)數(shù)據(jù).在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個(gè)小鋼球（忽略空氣阻力），科

研人員測量出小鋼球離地面高度為（米）與其運(yùn)動(dòng)時(shí)間r（秒）的幾組數(shù)據(jù)如表:

運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（秒）0123456…

高地面高度（米）0356075807560???

（1）在如圖平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接;

科研人員發(fā)現(xiàn)，小鋼球離地面高度/?（米）與其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，（秒）成二次函數(shù)關(guān)系，請求

出場關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

（2）在彈射小鋼球的同一時(shí)刻，無人機(jī)開始保持勻速豎直上升，無人機(jī)離地面高度灰米）

與小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)間r（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為Q=5r+30.

①在小鋼球運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)無人機(jī)高度不大于小鋼球高度時(shí)，無人機(jī)可以采集到某項(xiàng)相

關(guān)性能數(shù)據(jù)，則能采集到該性能數(shù)據(jù)的時(shí)長為秒；

②彈射器間隔3秒彈射第二枚小鋼球，其飛行路徑視為同一條拋物線.當(dāng)兩枚小鋼球處

于同一高度時(shí)，求此時(shí)無人機(jī)離地面的高度.

h/m八

100--------------------------------

80--------------------------------

60

401

20_____________________

01234567t/s

22.（10分）如圖1,菱形ABCD中，ZB=a,BC=2,E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C

重合），連接。E,點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為C',連結(jié)AC'并延長交直線。E于點(diǎn)

P,尸是AC的中點(diǎn)，連接。C’，DF.

（1）填空：。C'=，/APD=（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,當(dāng)a=90°,題干中其余條件均不變，連接求證：BP=?AF.

（3）在（2）的條件下，連接AC.

①若動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)處時(shí)，△ACC'的面積為—

②在動(dòng)點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△ACC'面積的最大值為一

ADAD

BC

圖1圖2備用圖

2024年廣東省深圳市南山區(qū)育才教育集團(tuán)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確的選項(xiàng)用2B鉛筆填涂在答題卡上）

1.（3分）實(shí)數(shù)尸在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列各數(shù)中比實(shí)數(shù)尸小的是（）

?￡..................一

-3-2-10123

A.-3B.-1C.0D.-v/2

【答案】A

【分析】觀察數(shù)軸判斷實(shí)數(shù)P的大小，然后根據(jù)正負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷-3,-2,-1,0和

加的大小關(guān)系，從而得到答案即可.

【解答】解：觀察數(shù)軸可知：-2c-1,

:正數(shù)〉負(fù)數(shù)>0,

/.-3<-2<-1<0<^2>

???這幾個(gè)實(shí)數(shù)比P小的數(shù)是-3,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用數(shù)軸比較有理數(shù)的

大小.

2.（3分）積木有助于開發(fā)智力，有利于數(shù)學(xué)概念的早期培養(yǎng).某積木配件如圖所示，則它

的左視圖為（）

主視方向

A.

D.

【答案】C

【分析】根據(jù)從左面看到的圖形是左視圖進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：觀察圖形，從左面看到的圖形.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握三視圖的概念是解答的關(guān)鍵.

3.（3分）人才是深圳城市發(fā)展的重要基因，深圳人才公園是全國第一個(gè)人才主題公園，占

地面積約770000平方米.數(shù)據(jù)770000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.77X104B.7.7X105C.77X103D.7.7X106

【答案】B

【分析】將一個(gè)數(shù)表示成aX10〃的形式，其中〃為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做

科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案.

【解答】解：770000=7.7X1（）5,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

4.（3分）在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，“水是生命之源”項(xiàng)目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要

從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取兩人，組成調(diào)查小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，恰

好抽到一名男生和一名女生的概率是（）

A.AB.Ac.AD.2

6323

【答案】D

【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出所選的學(xué)生恰好是一名男生和一

名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算.

【解答】解：畫樹狀圖為：

臺(tái)

共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8,

所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=至=2.

123

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出〃,

再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求出事件A或8的概率.

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.5a-2a—3a2B.cr'a'—c^

C.（6+1）2=lr+\D.（-2a）3=-8a3

【答案】D

【分析】利用合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)塞乘法法則，完全平方公式，積的乘方法則逐項(xiàng)

判斷即可.

【解答】解：5。-2a=3°,則A不符合題意；

則B不符合題意；

（fe+l）2=b2+2b+l,則C不符合題意；

（-2a）3=-8a3,貝l]￡）符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。

的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)廠為焦點(diǎn).若Nl=155°,N2=30°,則N3的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】由平行線的性質(zhì)求出/OEB=25°,由對頂角的性質(zhì)得到/POP=/2=30°,

由三角形外角的性質(zhì)即可求出N3的度數(shù).

【解答】'JAB//OF,

.?.Z1+ZOFB=180°,

VZ1=155O,

：.ZOFB=25°,

:/尸。尸=/2=30°,

AZ3=ZPOF+ZOFB=3Q°+25°=55°.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線

的性質(zhì)求出的度數(shù)，由對頂角的性質(zhì)得到NPOF的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即

可解決問題.

7.（3分）樟卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式.如圖，在某燕尾樟中,

樺槽的橫截面ABC。是梯形，其中AO〃BC,AB=DC,燕尾角/B=a,外口寬AD=a,

樟槽深度是b,則它的里口寬2。為（）

C./?tana+〃D.2Z7tana+〃

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A,。分別作BC的垂線段,垂足分別為E、F,在RtAAEB中,BE=——學(xué)——

tanZABC

在RtzM）FC,CF=——史——，推出四邊形AEFD是長方形，SlfuBC=BE+EF+FC,

tanZDCB

進(jìn)而作答.

【解答】解：過點(diǎn)4。分別作的垂線段，垂足分別為E、F,如圖,

在RtAA￡B中,

BE==_—,

tan/ABCtanCI.

在RtZXDFC,CF=---電——=—L_

tan/DCBtan。

'：AE//DF,AE=DF,

四邊形AE乃D是長方形,

:?EF=AD=a,

2b

：.BC=BE+EF+FC=——+a+——=--+a,

tanCLtanatana

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線.

8.（3分）明代《算法纂要》書中有一題：“牧童分杏各爭競，不知人數(shù)不知杏.三人五個(gè)

多十枚，四人八枚兩個(gè)剩?問有幾個(gè)牧童幾個(gè)杏？”題目大意是：牧童們要分一堆杏，

不知道人數(shù)也不知道有多少個(gè)杏.若3人一組，每組5個(gè)杏，則多10個(gè)杏.若4人一組,

每組8個(gè)杏，則多2個(gè)杏.有多少個(gè)牧童，多少個(gè)杏？設(shè)共有尤個(gè)牧童，則下列方程正

確的是（）

A.3X5J;+10=4X8x+2B.—X5+10=—X8-2

34

c-^-x5+10=^-x8+2D-卷X5-10吟x8-2

J玲OT：

【答案】c

【分析】根據(jù)若3人一組，每組5個(gè)杏，則多10個(gè)杏.若4人一組，每組8個(gè)杏，則多

2個(gè)杏，可以列出方程工義5+10=三*8+2,本題得以解決.

34

【解答】解：由題意可得，

三X5+10=三*8+2,

34

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出

相應(yīng)的一元一次方程.

9.(3分)如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E在8C邊上，連接EA=EC.將

線段及1繞點(diǎn)A逆的針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,連接CH則cos/ACF的值為

()

F

A.2B.MC.亞D,則亙

35213

【答案】D

【分析】先利用勾股定理求出AE的長，再過點(diǎn)F作BC的垂線，利用勾股定理可求出

FC的長，最后過E,尸兩點(diǎn)作AC的垂線，求出垂線段的長即可解決問題.

【解答】解：在RtZ\ABE中，

AB2+BE2=AE2,

因?yàn)锳B=4,8C=8,

則42+(8-AE)2=A￡2,

解得AE=5,

所以BE=8-5=3.

過點(diǎn)尸作BC的垂線，垂足為N,與交于點(diǎn)M,

因?yàn)橛葾E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，

所以AE=AE,NfAE=90°,

所以N2AE+/EAM=/EAM+/R1M=9O°,

所以N8AE=NMAF.

在△朋M和△EAB中，

，ZBAE=ZMAF

<ZB=ZAMF，

AE=AF

所以△物Mg△EAB(44S),

所以AM=A8=4,FM=BE=3.

則EN=3+4=7,NC=8-4=4.

在R3NC中，

^=V72+42=V65-

分別過點(diǎn)E,尸作AC的垂線，垂足為Q,P,

^VXZFAP+ZQAE^ZFAP+ZAFP^9Q°,

所以NQAE=ZAFP.

在△R4P和△AE0中，

,ZFPA=ZAQE

"NQAE=/AFP，

AF=AE

所以△砌P名△AEQ(AAS),

所以PF=AQ.

因?yàn)镋A=EC,EQLAC,

所以AQ=/AC=2泥，

所以PF=2/5.

在RtZXFPC中，

PC=d（倔）2-（2遙）2=3V5，

33a

所以cosZACF=^-=2^=^.

FCV6513

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，能利用圖形的旋轉(zhuǎn)得出全等三角形及過點(diǎn)F

作AC的垂線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）已知二次函數(shù)y=a/-2辦+1Q￥0）經(jīng)過點(diǎn)（-1,機(jī)）、（1,〃）和（3,p）,

若在的w,p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，則。的取值范圍為（）

A-a4AB.a<-1C.-A<tz<0D.-』<0

o3

【答案】A

【分析】由這三個(gè)點(diǎn)在拋物線上的位置即可解決問題.

【解答】解：因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線x=-二四=1,

2a

又因?yàn)?-（-1）=3-1,

所以點(diǎn)（-1,m）和點(diǎn)（3,p）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

則m=p.

又因?yàn)?%「這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，

所以相和p都是非正數(shù)，〃是正數(shù)，

則卜+2a+*0,

解得。之二.

%3

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題有5小題，每題3分，共15分，把答案填在答題卡上）

11.（3分）因式分解2J-4a+2=2（4-1）2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可.

【解答】解：2/-4。+2

=2（a2-2a+l）

—2（a-1）2,

故答案為：2（a-1）2.

【點(diǎn)評】本題考查因式分解，熟練掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解題的

關(guān)鍵.

12.（3分）“每天一節(jié)體育課”成深圳中小學(xué)生標(biāo)配，某校九年級(jí)三班隨機(jī)抽取了10名男

生進(jìn)行引體向上測試，他們的成績（單位：個(gè)）如下：7,11,10,11,6,14,11,10,

11,9.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10.5.

【答案】10.5.

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案.

【解答】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6,7,9,10,10,11,11,11,11,14,

則中位數(shù)是獨(dú)立L=10.5；

2

故答案為：10.5.

【點(diǎn)評】此題考查了中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅?/p>

最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念

掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會(huì)錯(cuò)誤地將這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)當(dāng)作中

位數(shù).

13.（3分）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C均在小正方形的

頂點(diǎn)上，且點(diǎn)。在第上，ZBC￡）=30°,則俞的長為12L.

6

【分析】如圖，圓心為。，連接04,OB,OC,OD.利用弧長公式求解即可.

【解答】解：如圖，圓心為。，連接。4,OB,OC,OD.

：.ZBOD=60°,

ZAOD=90°-60°=30°,

則俞的長為3°兀X奉＞=近兀

_1806

故答案為：返2L.

6

【點(diǎn)評】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心。的位置，屬于中考?？碱}型.

14.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰△ABC的底邊BC在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)A

在反比例函數(shù)y=K（尤＞0）的圖象上，延長A8交y軸于點(diǎn)。，若OC=4O8,ABOD

的面積為2,則k的值為5

【分析】過點(diǎn)A作于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得3E=CE=2BC,設(shè)。B=a,

2

。。=6,根據(jù)的面積為2得"=性，再根據(jù)OC=4OB=4a得BC=3a,

332

OE=_|a，證△B。。和△曲相似AE=|＞b，則點(diǎn)A（＞|a,方），將點(diǎn)A代入反比例

函數(shù)＞=區(qū)之中即可求出人的值.

X

【解答】解：過點(diǎn)A作于E如下圖所示:

y

。7ECX

D\

:等腰△ABC的底邊BC在x軸的正半軸上，

：.BE=CE=^BC,

2

設(shè)OB=a,OD=b,

「△B。。的面積為2,

3

.?102?0D=Z,

23

.?.0小。。=生

3

即ab=匡,

3

'：OC=4OB=4a,

:?BC=OC-0B=3a,

22a

0E=a-k1-a--^-a>

,：ZDOB=90°,AELBC,

J.OD//AE,

:.ABODsABEA,

：.OB；BE=OD：AE,

即a：4a=b：AE>

2

.,.AE——u,

2

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為A得a,—b）>

..?點(diǎn)A在反比例函數(shù)>=區(qū)（x>0）的圖象上,

x

.,5315

??k^-a-ybK=-^-abK>

又；ab=4/3,

故答案為：5.

【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握等腰三角形

的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點(diǎn)E,使得AE=2CE,連接BE,將

△BCE沿2E翻折得到△2FE,連接。F.若BC=4,則。尸的長為生區(qū).

5

【答案］生叵.

5

【分析】延長BE交C。于點(diǎn)G,連接EG、CF,易得△CEGs^AEB,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)可得CG=*"杷,CD進(jìn)而得到CG=OG,由折疊可知CG=FG,于

是/BFC=/BCF,CG=DG=FG,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線逆定理可得

90°,由同角的余角相等可得/8CF=/GD凡進(jìn)而得到尸C=/GZ）F=/

GFD,則可證△BCrs^XGOE,由相似三角形的性質(zhì)得到CF=2OF,再根據(jù)勾股定理即

可求解.

【解答】解：如圖，延長BE交8于點(diǎn)G,連接FG、CF,

?..四邊形ABC。為正方形,

J.AB//CD,

:.ACEGsAAEB,

???C--G=---C-E-_---1，

ABAE2

即點(diǎn)6為CD的中點(diǎn)，

CG=DG,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BC=BF,CG=FG,

：.ZBFC=ZBCF,CG=DG=FG,

：.FG=L(^,NGFD=/GDF,

AZCF￡>=90°,

VZFCG+ZBCF^90°,

ZFCG+ZG￡>F=90°,

ZBCF=ZBFC=ZGDF=ZGFD,

：.△BCFs^GDF,

.CF二BC二2

,?瓦而丁

CF=2DF,

在RtZXCDF中，DF2+CF2=CD2,

：.DF2+(2DF)2=42,

解得：￡)￡=±Z1.

5

故答案為：

5

【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三

角形斜邊上的中線、勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題是解題關(guān)鍵.

三、解答題(本題共7小題，共55分)

16.(5分)計(jì)算：g)-l-2cos45。W8-(n+2024)°-

【答案】1+V2.

【分析】可知cos45。=迎，按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序計(jì)算即可.

2

【解答】解：原式=2-2X耳~+2>/^T

=1+V2.

【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握上

述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

17.（7分）先化簡2X-2再從不等式組-iWx<3中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?/p>

'工支-2'.2

數(shù)，代入求值.

【答案】二2,當(dāng)x=o時(shí)，原式=-1,當(dāng)尤=7時(shí)，原式=-1-2=-3.

【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定無的

值，分別代入計(jì)算即可.

【解答】解：原式=（4+，）.一（爐）、

x-2x-22(x-1)

=xT.(x-2)2

7^22(x-l)

=x-2

~2~)

由題意得：x-l#O,尤-2W0,

：.x^l和2,

在-lWx<3中，尤的整數(shù)解為-1,0,1,2,

當(dāng)x=0時(shí)，原式=-L

當(dāng)x=-i時(shí)，原式=-b2=-3.

【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，熟記分式的混合運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

18.（8分）科學(xué)教育是提升國家科技競爭力、培養(yǎng)創(chuàng)新人才、提高全民科學(xué)素質(zhì)的重要基

礎(chǔ)，某學(xué)校計(jì)劃在八年級(jí)開設(shè)“人工智能”“無人機(jī)”“創(chuàng)客”“航模”四門校本課程，要

求每人必須參加，并且只能選擇其中一門課程，為了解學(xué)生對這四門課程的選擇情況，

學(xué)校從八年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖

所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）.

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖

調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

A人數(shù)

人工智能

航/\

人機(jī)30%

無人機(jī)創(chuàng)客人工智能航模課程

請你根據(jù)以上信息解決下列問題：

（1）參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為50名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（畫圖并標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，選擇“創(chuàng)客”課程的學(xué)生占40%,所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為

144°；

（3）若該校八年級(jí)一共有1000名學(xué)生，試估計(jì)選擇“航?！闭n程的學(xué)生有多少名？

【答案】（1）條形統(tǒng)計(jì)圖見解析過程；

（2）40,144°；

（3）估計(jì)選擇“航?！闭n程的學(xué)生有100名.

【分析】（1）根據(jù)參加問卷調(diào)查的人數(shù)為50名即可解決問題.

（2）根據(jù)（1）中求得的結(jié)果即可解決問題.

（3）求出樣本中選擇“航?！闭n程的百分比即可解決問題.

【解答】解：（1）由題知，

因?yàn)閰⒓訂柧碚{(diào)查的學(xué)生人數(shù)為50名，

所以50-（15+10+5）=20（名），

即參加人工智能的學(xué)生人數(shù)為20名.

條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示，

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖

（2）因?yàn)?0+50=40%,

所以選擇“創(chuàng)客”課程的學(xué)生占40%.

因?yàn)?0%X360°=144°,

所以扇形統(tǒng)計(jì)圖中選擇“創(chuàng)客”課程的學(xué)生部分所對的圓心角的度數(shù)為144°.

故答案為：40,144°.

⑶Mx1000=100（名）

答：估計(jì)選擇“航?！闭n程的學(xué)生有100名.

【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖及用樣本估計(jì)總體，熟知扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形

統(tǒng)計(jì)圖的特征是解題的關(guān)鍵.

19.（8分）某社區(qū)采購春節(jié)慰問禮品，購買了甲、乙兩種類型的糧油套裝.甲種糧油套裝

單價(jià)比乙種糧油套裝單價(jià)多30元，用1200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧

油套裝的數(shù)量相同.

（1）求甲、乙兩種糧油套裝的單價(jià)分別是多少元？

（2）社區(qū)準(zhǔn)備再次購買甲種和乙種糧油套裝共40件，購買乙種糧油套裝不超過甲種糧

油套裝的3倍，且商家給出了兩種糧油套裝均打八折的優(yōu)惠.問購買甲種和乙種糧油套

裝各多少件時(shí)花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少元？

【答案】（1）甲、乙兩種糧油套裝的單價(jià)分別是120元和90元；

（2）購買甲種糧油套裝10件和乙種糧油套裝30件時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是3120元.

【分析】（1）設(shè)甲種糧油套裝的單價(jià)為尤元，則乙種糧油套裝的單價(jià)為（x-30）元，根

據(jù)“用1200元購買甲種糧油套裝和用900元購買乙種糧油套裝的數(shù)量相同”列出方程，

解方程即可；

（2）設(shè)購買甲種糧油套裝機(jī)件，購買乙種糧油套裝（40-%）件，購買總花費(fèi)?元，先

根據(jù)購買乙種糧油套裝不超過甲種糧油套裝的3倍，求出機(jī)的取值范圍，再根據(jù)總費(fèi)用

=甲、乙兩種糧油套裝費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【解答】解：（1）設(shè)甲種糧油套裝的單價(jià)為x元，則乙種糧油套裝的單價(jià)為（x-30）元,

根據(jù)題直：1200=900,

xx-30

解得：x=120,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的根，

Ax-30=90,

答：甲、乙兩種糧油套裝的單價(jià)分別是120元和90元；

（2）設(shè)購買甲種糧油套裝機(jī)件，購買乙種糧油套裝（40-加）件，購買總花費(fèi)w元，

由題意得：40-mW3m,

解得：mN10,

W=120X0.8/T?+90X0.8（40-機(jī)）=24m+2880,

V24>0,

.?.卬隨m的減小而減小.

當(dāng)機(jī)=10時(shí)，w取得最小值3120,

40-機(jī)=30,

答：購買甲種糧油套裝10件和乙種糧油套裝30件時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是3120元.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題

的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一次

函數(shù)解析式.

20.（8分）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作OO交AC、8c于點(diǎn)。、E,過點(diǎn)。作。G

于點(diǎn)G.交54的延長線于點(diǎn)H.

（1）下列條件：

①。是AC邊的中點(diǎn)；

②。是窟的中點(diǎn)；

③BA=BC.

請從中選擇一個(gè)能證明直線HG是。。的切線的條件，并寫出證明過程；

（2）若直線"G是OO的切線，且"A=2,HD=4,求CG的長.

【答案】（1）詳解見解答；

（2）CG=2.

5

【分析】（1）連接根據(jù)三角形中位線定理得到根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

OOLHG,根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；

（2）設(shè)。4=OD=r,則。8=什2,在中由勾股定理得求出r,再利用相似三

角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解:（1）選擇條件為：①。是AC邊的中點(diǎn)；

證明：連接QD,

?.?。是AC邊的中點(diǎn)，

J.AD^DC,

'：AO=OB,

.?.O。是△ABC的中位線，

：.OD//BC,OD=^BC,

2

'：DG±BC,

：.OD±HG,

是。。的半徑，

，直線HG是。。的切線；

(2)解：設(shè)。4=。。=r，則。"=什2,

在RtZ\"。。中，ZODH=90°,由勾股定理得。。2+。序=。),

.-.A42=(r+2)2,

解得：r=3,

：.OA=OD=3,OH=5,

：.BH=S,

\'OD^OA,

：.ZODA=ZOAD,

'：OD//BC,

：.ZODA=ZC=ZOAD,

：.BC^BA^6,

,JOD//BC,

?OD=HO

"BG函’

.J_=_5

"BG京’

.?.8G=N,

5

；.CG=6-21=2

55

c

【點(diǎn)評】本題主要考查了切線的判定，三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定,

等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造中位線和相似三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（9分）科研人員為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無人機(jī)測量小鋼球豎直向上運(yùn)動(dòng)的

相關(guān)數(shù)據(jù).在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個(gè)小鋼球（忽略空氣阻力），科

研人員測量出小鋼球離地面高度（米）與其運(yùn)動(dòng)時(shí)間r（秒）的幾組數(shù)據(jù)如表：

運(yùn)動(dòng)時(shí)間/（秒）0123456…

高地面高度/?（米）0356075807560…

（1）在如圖平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接;

科研人員發(fā)現(xiàn)，小鋼球離地面高度/?（米）與其運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（秒）成二次函數(shù)關(guān)系，請求

出/I關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

（2）在彈射小鋼球的同一時(shí)刻，無人機(jī)開始保持勻速豎直上升，無人機(jī)離地面高度灰米）

與小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)間r（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為勿=5r+30.

①在小鋼球運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)無人機(jī)高度不大于小鋼球高度時(shí)，無人機(jī)可以采集到某項(xiàng)相

關(guān)性能數(shù)據(jù)，則能采集到該性能數(shù)據(jù)的時(shí)長為5秒;

②彈射器間隔3秒彈射第二枚小鋼球，其飛行路徑視為同一條拋物線.當(dāng)兩枚小鋼球處

于同一高度時(shí)，求此時(shí)無人機(jī)離地面的高度.

h/m八

100--------------------------------

80--------------------------------

60

40

20_____________________

01234567"S

【答案】（1）函數(shù)圖象略，h=-5r+40r；

(2)①5；

②57.5米.

【分析】(1)先畫函數(shù)圖象，故設(shè)h=a?+b,將(1,35)、(2,60)即可；

(2)①由題意得：5f+30W-5尸+40/,解得1W/W6,故所求時(shí)長為6-1=5秒；

②由彈射小鋼球的飛行路徑為同一條拋物線h=-5?+40/=-5(r-4)2+80,得第二枚

小鋼球的函數(shù)表達(dá)式為：-5(「4-3)2+80,當(dāng)兩枚小鋼球處于同一高度時(shí)，即-5

G-4)2+80=-5(Z-4-3)2+80,解得+工，將+』代入歷=5什30中，即可

122

得加=57.5米.

【解答】解：(1)

由函數(shù)圖象可知,設(shè)h—ar+b,

將(1,35)、(2,60)分別代入h—a^+b中,

：.h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：h=-5r+40/；

(2)①由題意得：5/+30W-5p+40t,

解得1W/W6,

故所求時(shí)長為6-1=5秒,

故答案為：5.

②：彈射小鋼球的飛行路徑為同一條拋物線丸=-5理+40/=-5G-4)2+80,

,第二枚小鋼球的函數(shù)表達(dá)式為:h=-5(r-4-3)2+80,

當(dāng)兩枚小鋼球處于同一高度時(shí)，即-5(f-4)2+80=-5G-4-3)2+80,

解得t』，

2

將+=-A^i代入/?i=5r+30中，得歷=57.5米.

2

故此時(shí)無人機(jī)離地面的高度為57.5米.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確求函數(shù)表達(dá)式.

22.(10分)如圖1,菱形ABC。中，NB=oc,BC=2,E是邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C

重合），連接DE,點(diǎn)C關(guān)于直線。E的對稱點(diǎn)為C',連結(jié)AC'并延長交直線。E于點(diǎn)

P,尸是AC的中點(diǎn)，連接QC',DF.

（1）填空：DC'=2,/APD=90°-巴（用含a的代數(shù)式表示）；

2

（2）如圖2,當(dāng)a=90°,題干中其余條件均不變，連接8P.求證：BP=-^AF.

（3）在（2）的條件下，連接AC.

①若動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)處時(shí)，△ACC'的面積為A.

5

②在動(dòng)點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△ACC'面積的最大值為2折-2.

圖1備用圖

【答案】⑴2,30°；

（2）結(jié)論：BP+DP=AP.證明見解析;

（3）①生②2a-2.

5

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出A