搶分通關(guān)07 銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題（2易錯(cuò)7題型）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)搶分秘籍（解析版）

第第頁(yè)搶分通關(guān)07銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題（2易錯(cuò)7題型）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）銳角三角形函數(shù)值題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，運(yùn)算和實(shí)際問題是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須提高運(yùn)算能力。2．從題型角度看，以解答題的第五題或第六題為主，分值8分左右，著實(shí)不少！易錯(cuò)點(diǎn)一含銳角三角形值求值【例1】（2024·廣東深圳·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查的是零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算零次冪，再合并即可．【詳解】解：.本題考查的是零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算零次冪，再合并即可．本題考查的是零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算零次冪，再合并即可．【例2】（2024·安徽蚌埠·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪運(yùn)算法則求解即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【例3】（2024·安徽滁州·一模）計(jì)算【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值、絕對(duì)值和算術(shù)平方根將原式化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．【例4】（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）計(jì)算：．【答案】1【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先進(jìn)行乘方，零指數(shù)冪，去絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：原式．易錯(cuò)點(diǎn)二實(shí)物情景抽象出幾何圖形【例1】（2024·河南平頂山·一模）下圖是某籃球架的側(cè)而示意圖，四邊形為平行四邊形．其中為長(zhǎng)度固定的支架，支架在A，D，G處與立柱連接（垂直于，垂足為H），在B，C處與籃板連接，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)F處的螺栓可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度，使支架繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而調(diào)節(jié)籃板的高度，已知．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，測(cè)得點(diǎn)C離地面的高度為，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)C離地面的高度是升高了還是降低了？并計(jì)算升（或降）的距離．（參考數(shù)據(jù)，）【答案】(1)；(2)點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．【分析】本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．（1）如圖，延長(zhǎng)與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，可得，根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，即可求得；（2）當(dāng)時(shí)，則，解直角三角形得，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)與底面交于點(diǎn)，過作于，則，四邊形為矩形，∴，

∵四邊形是平行四邊形，∴，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，∴，而，，∴點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．本題考查的是平行四邊形性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江西南昌·一模）圖1是井岡山紅旗雕塑的實(shí)物圖，其正面可大致簡(jiǎn)化成圖2，底座，，紅旗邊，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．(1)連接，求證：．(2)求雕塑頂端到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)證明見解析(2)雕塑頂端到地面的距離為．【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵；（1）如圖，記，的交點(diǎn)為，證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用銳角三角函數(shù)先求解，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：如圖，記，的交點(diǎn)為，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．∴雕塑頂端到地面的距離為．【例3】（23-24九年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖1是某小區(qū)門口的門禁自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)，主要由可旋轉(zhuǎn)高清攝像機(jī)和其下方固定的顯示屏構(gòu)成．圖2是其結(jié)構(gòu)示意圖，攝像機(jī)長(zhǎng)，點(diǎn)O為攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)軸心，O為的中點(diǎn)，顯示屏的上沿與平行，，與連接，桿，，，點(diǎn)C到地面的距離為．若與水平地面所成的角的度數(shù)為．

(1)求顯示屏所在部分的寬度；(2)求鏡頭A到地面的距離．（參為數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)(2)【分析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確認(rèn)清線段關(guān)系，作出合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作點(diǎn)所在鉛垂線的垂線，垂足為，則，由三角形邊角關(guān)系即可求出答案；（2）連接，作垂直反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，由，，即可求出，從而得出答案．【詳解】（1）∵，與水平地面所成的角的度數(shù)為，∴顯示屏上沿與水平地面所成的角的度數(shù)為．過點(diǎn)作交點(diǎn)所成鉛垂線的垂線，垂足為，則，∵，∴；（2）如圖，連接，作垂直反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，，∵，∴，∴，∴，∴鏡頭到地面的距離為．題型一仰角俯角問題【例1】（2024·安徽蚌埠·一模）如圖，一居民樓底部與山腳位于同一水平線上，小李在處測(cè)得居民樓頂?shù)难鼋菫椋缓笏麖奶幯仄陆菫榈纳狡孪蛏献叩教?，這時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，、、、在同一平面內(nèi)．(1)求居民樓的高度；(2)求點(diǎn)、之間的距離．結(jié)果保留根號(hào)【答案】(1)居民樓的高度約為；(2)、之間的距離為【分析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，要求學(xué)生借助仰角、坡角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)求解．（1）首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用在中，由，得出的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出答案；（2）在中，，得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，，答：居民樓的高度約為；（2）解：在中，，，，，，答：、之間的距離為．本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江蘇南京·一模）如圖，山頂有一塔，在塔的正下方沿直線有一條穿山隧道，從與E點(diǎn)相距m的C處測(cè)得A，B的仰角分別為，．從與F點(diǎn)相距m的D處測(cè)得A的仰角為．若隧道的長(zhǎng)為m，求塔的高．（參考數(shù)據(jù)：，．）

【答案】33m【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，結(jié)合角的正切分析求解直角三角形．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則

在中，，∵．∴．在中，，∵，在中，，∵，∴．由題意可得m，m，m∴∴又∵，∴，解得，∴∴，解得∴m答：塔的高為33m．1．（2024·江蘇宿遷·一模）某校組織九年級(jí)學(xué)生到三臺(tái)山森林公園游玩，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)想利用測(cè)角儀測(cè)量天和塔的高度．如圖，塔前有一座高為的斜坡，已知，，點(diǎn)E、C、A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在斜坡C處測(cè)得塔頂部B的仰角為45°，在斜坡D處測(cè)得塔頂部B的仰角為39°．(1)求的長(zhǎng)；(2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，結(jié)果取整數(shù)）【答案】(1)的長(zhǎng)為；(2)塔的高度約為．【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，，．即的長(zhǎng)為；（2）解：設(shè)，在中，，．在中，由，，，則．．如圖，過點(diǎn)作，垂足為．

根據(jù)題意，，四邊形是矩形．，．可得．在中，，，．即．．答：塔的高度約為．2．（2024·河南濮陽(yáng)·一模）洛陽(yáng)老君山風(fēng)景區(qū)位于河南省洛陽(yáng)市欒川縣境內(nèi)，在景區(qū)內(nèi)有一座老子銅像（圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量老子銅像高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下．【制定方案】如圖2，在老子銅像左右兩側(cè)的地面上選取兩處，分別測(cè)量老子銅像的仰角．且點(diǎn)在同一水平直線上，圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)．【實(shí)地測(cè)量】小穎同學(xué)用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)量點(diǎn)的仰角為，小亮同學(xué)用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)量點(diǎn)的仰角為53°，測(cè)得兩點(diǎn)間的距離約為．【解決問題】已知測(cè)角儀的高度為，求老子銅像高的值．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，，然后設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，根據(jù)列出方程，進(jìn)行計(jì)算即可解．【詳解】解：由題意，得，，，，如圖，連接交于點(diǎn)，則四邊形為矩形，．設(shè)．在中，．即．在中，，，即．，即，解得，．答：老子銅像的高約為．3．（2024·浙江嘉興·一模）綜合與實(shí)踐：測(cè)算校門所在斜坡的坡度．【背景】如圖1，某學(xué)校校門在一道斜坡上，該校興趣小組想要測(cè)量斜坡的坡度．【素材1】校門前的斜坡上鋪著相同的長(zhǎng)方形石磚，如圖2，從測(cè)量桿到校門所在位置在斜坡上有15塊地磚．【素材2】在點(diǎn)A處測(cè)得仰角，俯角；在點(diǎn)B處直立一面鏡子，光線反射至斜坡的點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)B的仰角；測(cè)量桿上，斜坡上點(diǎn)N所在位置恰好是第9塊地磚右邊線．【討論】只需要在中選擇兩個(gè)角，再通過計(jì)算，可得的坡度．任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值：和．（填“”，“”或“”）求的值．任務(wù)2推理計(jì)算求坡度的值．【答案】任務(wù)1，和；；任務(wù)2，．【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．任務(wù)1，選擇和；由，，可求得；任務(wù)2，過點(diǎn)和作的垂線，證明，推出，設(shè)，，，，則，求得，，根據(jù)，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：任務(wù)1，選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值：和；∵，，∴，∴；任務(wù)2，過點(diǎn)和作的垂線，垂足分別為點(diǎn)和，∴，∴，∴，設(shè)，，，，則，∵，即，∴，，由題意得，，，；∴，，∴，，∵，∴，整理得，∴．題型二方位角問題【例1】（2024·重慶·一模）為了緩解學(xué)習(xí)壓力，就讀于育才成功學(xué)校的小育和就讀于育才本部的哥哥每周都會(huì)從各自學(xué)校出發(fā)前往奧體中心公交站匯合一同前往奧體中心打羽毛球．經(jīng)勘測(cè)，大公館公交站點(diǎn)C在育才成功學(xué)校點(diǎn)A的正北方200米處，育才中學(xué)本部點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方600米處，點(diǎn)D在點(diǎn)B的東北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方，奧體公交站點(diǎn)E在點(diǎn)D的正北方，點(diǎn)E在點(diǎn)C的北偏東方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求的長(zhǎng)度；(結(jié)果精確到1米)(2)周五放學(xué)，小育和哥哥分別從各自學(xué)校同時(shí)出發(fā)，前往點(diǎn)E匯合．小育的路線為A—C一E，他從點(diǎn)A步行至點(diǎn)C再乘坐公交車前往點(diǎn)E，假設(shè)小育勻速步行且步行速度為80米每分鐘，公交車勻速行駛且速度為250米每分鐘，公交車行駛途中?？苛艘徽荆舷驴秃嫌?jì)耗時(shí)2分鐘(小育上車和下車時(shí)間忽略不計(jì))．哥哥的路線為B—D—E，全程步行，他從點(diǎn)B經(jīng)過點(diǎn)D買水(買水時(shí)間忽略不計(jì))再前往點(diǎn)E，假設(shè)哥哥勻速步行且速度為100米每分鐘．請(qǐng)問小育和哥哥誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)E呢?說(shuō)明理由．【答案】(1)米(2)小育哥哥先到達(dá)點(diǎn)E【分析】本題考查了方位，等腰直角三角形，含的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出，在根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，即可求解；【詳解】（1）解：依題意得：，于點(diǎn)F，，（米）（2）解：小育哥哥先到達(dá)點(diǎn)E，理由如下：易知：，點(diǎn)E在點(diǎn)C的北偏東方向，,在中，由勾股定理可得：即：,解得：，，分，分，小育到達(dá)點(diǎn)E所花總時(shí)間為：分，小育哥哥到達(dá)點(diǎn)E所花總時(shí)間為：分，則小育哥哥先到達(dá)點(diǎn)E．本題考查了方位，等腰直角三角形，含本題考查了方位，等腰直角三角形，含的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊的直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理?！纠?】（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東的方向，求該船航行的距離（即的長(zhǎng)）．【答案】該船航行的距離為【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)作，分別解和，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，由題意，得：，∴，在中，，∴，在中，，∴；答：該船航行的距離為．1．（2024·重慶·一模）如圖，車站A在車站B的正西方向，它們之間的距離為100千米，修理廠C在車站B的正東方向．現(xiàn)有一輛客車從車站B出發(fā)，沿北偏東方向行駛到達(dá)D處，已知D在A的北偏東方向，D在C的北偏西方向．(1)求車站B到目的地D的距離（結(jié)果保留根號(hào)）(2)客車在D處準(zhǔn)備返回時(shí)發(fā)生了故障，司機(jī)在D處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C出發(fā)以35千米每小時(shí)的速度沿方向前往救援，同時(shí)一輛應(yīng)急車從車站A以60千米每小時(shí)的速度沿方向前往接送滯留乘客，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明救援車能否在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)千米(2)能【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題：（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，得出，，設(shè)千米，則千米，在中，千米，根據(jù)列方程求出，從而可求出；（2）分別求出的長(zhǎng)，再求出應(yīng)急車和救援車從出發(fā)地到目的地行駛時(shí)間，再進(jìn)行比較即可得出答案【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，則由題意知，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)千米，則千米，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴千米，即車站B到目的地D的距離為千米；（2）解：根據(jù)題意得，又，∴千米，又∵∴千米，救援車所用時(shí)間為：（時(shí)）；應(yīng)急車所用時(shí)間為：（時(shí)）∵，∴救援車能在應(yīng)急車到達(dá)之前趕到D處．2．（2024·重慶開州·二模）如圖，貨船在港口A裝貨，要運(yùn)至其正北方向300海里處的港口B，由于環(huán)境因素影響，其航行路線有兩條：①由港口A出發(fā)，經(jīng)港口C、D休整，最后駛向港口B；②由港口A出發(fā)，經(jīng)港口E休整，最后駛向港口B（休整時(shí)間忽略不計(jì)）.經(jīng)勘測(cè)，港口C在港口A西北方向.港口D在港口C正北方向60海里處，在港口B西南方向.港口E在港口B南偏東方向，在港口A北偏東方向.(1)求港口A和港口C之間的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；(2)由于時(shí)間關(guān)系，貨船需要選擇路程更短的路線，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明是選擇路線①還是路線②？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)港口A和港口C之間的距離是海里(2)路線②路程更短【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用．（1）作，先求出海里，再根據(jù)三角函數(shù)求出答案；（2）分別求出兩種路線的路程，再進(jìn)行比較即可得出答案．【詳解】（1）由題意得，，，，，作，∴，四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴（海里）；答：港口A和港口C之間的距離是海里．（2）在中，，∴，在E中，，∴（海里），（海里），路線①的路程為（海里）；路線②的路程為（海里）；∵，∴路線②路程更短．3．（2024·內(nèi)蒙古烏?！ひ荒＃┤鐖D，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在處接到指揮部通知，在他們東北方向距離海里的處有一艘捕魚船，正在沿南偏東方向以每小時(shí)海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在處成功攔截捕魚船．(1)圖中；(2)求圖中點(diǎn)到捕魚船航線的距離；(3)求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間．【答案】(1)(2)海里(3)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為小時(shí)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，再利用角的和差運(yùn)算可得答案；（2）過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，求解，而，再利用銳角的余弦可得答案；（3）先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，，，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得，(海里；（3）設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為小時(shí)；由題意得：，，，，在中，由勾股定理得：，解得：(不合題意舍去．答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為小時(shí)．題型三坡度坡比問題【例1】（2024·廣東江門·一模）甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳B處出發(fā)，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度的比，即）．同時(shí)，乙從東邊山腳C處出發(fā)，東面山坡的坡度，坡面米．(1)求甲、乙兩人出發(fā)時(shí)的水平距離．(2)已知甲每分鐘比乙多走10米．兩人同時(shí)出發(fā)，并同時(shí)達(dá)到山頂A．求：甲、乙兩人的登山速度．【答案】(1)米(2)甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)A作，根據(jù)坡度比設(shè)，則，利用勾股定理即可求解；（2）設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為分鐘/米，列分式方程即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作，如圖，由題意得：，，∴設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，解得：，∴米；（2）解：由（1）得：，，∴，設(shè)乙的速度為v分鐘/米，則甲的速度為分鐘/米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，則，∴甲的登山速度為60分鐘/米，乙的登山速度為50分鐘/米；本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖為某單位地下停車庫(kù)入口處的平面示意圖，在司機(jī)開車經(jīng)過坡面即將進(jìn)入車庫(kù)時(shí)，在車庫(kù)入口的上方處會(huì)看到一個(gè)醒目的限高標(biāo)志，現(xiàn)已知圖中高度為，寬度為，坡面的坡角為．，結(jié)果精確到0.1米．(1)根據(jù)圖1求出入口處頂點(diǎn)C到坡面的鉛直高度；(2)圖2中，線段為頂點(diǎn)C到坡面的垂直距離，現(xiàn)已知某貨車高度為3.9米，請(qǐng)判斷該車能否進(jìn)入該車庫(kù)停車？【答案】(1)(2)該車能進(jìn)入該車庫(kù)停車【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正切的定義求出，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)題意解答即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，答：點(diǎn)到坡面的鉛直高度約為；（2）解：在中，，，，，該車能進(jìn)入該車庫(kù)停車．1．（2024·遼寧鞍山·三模）圖（1）為某大型商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯，圖（2）中的為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面示意圖．小明站在扶梯起點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得天花板上日光燈C的仰角為，此時(shí)他的眼睛D與地面的距離，之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端B后又沿（）向正前方走了，發(fā)現(xiàn)日光燈C剛好在他的正上方．已知自動(dòng)扶梯的坡度為，的長(zhǎng)度是．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求圖（2）中點(diǎn)B到一樓地面的距離；(2)求日光燈C到一樓地面的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)(2)【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作于E，設(shè)m，由的坡度為，在Rt中，由勾股定理得，解得，即可得到答案；（2）過點(diǎn)C作于F交于G，過點(diǎn)D作于J交于H，可證得四邊形，四邊形是矩形，求出和的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作于E，如圖：設(shè)m，的坡度為，,，在Rt中，由勾股定理得：，解得：，，，答：B到一樓地面的距離為；（2）過點(diǎn)C作于F交于G，過點(diǎn)D作于J交于H，由題意知：，，∵，，∴，∴四邊形，四邊形是矩形，，，，由（1）可知，，，在Rt中，，，，答：日光燈C到一樓地面的距離約為．2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比為，且米．為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過時(shí)，可確保山體不滑坡．（參考數(shù)據(jù)：，，，）．(1)求改造前坡頂與地面的距離的長(zhǎng)．(2)為了消除安全隱患，學(xué)校計(jì)劃將斜坡改造成（如圖所示），那么至少是多少米？（結(jié)果精確到米）【答案】(1)改造前坡頂與地面的距離的長(zhǎng)為米；(2)至少是米；【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解坡度的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)坡度的概念得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算列式即可；（2）作于，根據(jù)正切的概念求出，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：斜坡的坡比為，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，則，答：改造前坡頂與地面的距離的長(zhǎng)為米；（2）作于，則，，∴，∴，答：至少是米．題型四實(shí)物情景中轉(zhuǎn)動(dòng)求距離問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在D處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖．已知支撐臂，，，固定，可通過調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．(1)當(dāng)懸臂與桌面l平行時(shí)，______°；(2)問懸臂端點(diǎn)C到桌面l的距離約為多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)懸臂端點(diǎn)C到桌面l的距離約為．【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作直線，利用平行線的性質(zhì)得到，由，得到MN∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；（2）過點(diǎn)C作，垂足為F，過點(diǎn)B作，垂足為N，過點(diǎn)D作，垂足為M，設(shè)與交于點(diǎn)G，分別求出的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作直線，∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．（2）過點(diǎn)C作，垂足為F，過點(diǎn)B作，垂足為N，過點(diǎn)D作，垂足為M，設(shè)與交于點(diǎn)G，則，∵，∴，在中，，∴，∴，∴懸臂端點(diǎn)C到桌面l的距離約為．此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·浙江·一模）為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購(gòu)買了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測(cè)得底座高為，，支架為，面板長(zhǎng)為，為．（厚度忽略不計(jì)）(1)求支點(diǎn)C離桌面l的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）(2)小吉通過查閱資料，當(dāng)面板繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角α滿足時(shí)，問面板上端E離桌面l的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)當(dāng)α從變化到的過程中，高度增加了【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．把所求線段和所給角放在合適的直角三角形中是解決本題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，，易得四邊形為矩形，那么可得，所以，利用的三角函數(shù)值可得長(zhǎng)，進(jìn)而可求解；（2）過點(diǎn)C作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，分別得到與所成的角為和時(shí)的值，相減即可得到面板上端E離桌面l的高度增加或減少了．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，，由題意得：，四邊形為矩形，．，．，．，答：支點(diǎn)C離桌面l的高度為；（2）解：過點(diǎn)C作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，

，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，∴當(dāng)α從變化到的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了．1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖1為放置在水平桌面l上的臺(tái)燈，底座的高為，長(zhǎng)度均為的連桿，與始終在同一平面上．(1)轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，，使成平角，，如圖2，求連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度．(2)將（1）中的連桿再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，此時(shí)連桿端點(diǎn)D離桌面l的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)減少了【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）如圖2中，作于O．解直角三角形求出即可解決問題．（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．則四邊形是矩形，求出，再求出即可解決問題．【詳解】（1）如圖2中，作于O．∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．則四邊形是矩形，∵，∴，∵，∴，，，∴，∴下降高度：．2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，且，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)．(1)當(dāng)時(shí)，①求點(diǎn)C到直線的距離；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）②若時(shí)，求點(diǎn)A到直線的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；(2)為了觀看舒適，把（1）中調(diào)整為，再將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在上，則旋轉(zhuǎn)的角度為______．（直接寫出結(jié)果）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）【答案】(1)①mm；②124mm(2)【分析】對(duì)于（1），①作，作的平行線和垂線相交于點(diǎn)G，根據(jù)可得答案；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而求出，及，然后根據(jù)得出答案；對(duì)于（2），先作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再求出，，然后根據(jù)正切求出，可得答案．【詳解】（1）①如圖，過點(diǎn)C作于F，過點(diǎn)C、A分別作的平行線和垂線相交于點(diǎn)G，在中，，，∴（mm），即點(diǎn)C到直線的距離為mm；②當(dāng)時(shí)，∵，∴．又∵，∴．在中，（mm），，∴（mm），∴點(diǎn)A到直線的距離為（mm）；

（2）把（1）中調(diào)整為，再將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在上，旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖③所示，在中，，，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，正弦，正切，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．題型五實(shí)際問題和其他學(xué)科綜合【例1】（新考法，拓視野）（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把稱為折射率（其中代表入射角，代表折射角）．觀察實(shí)驗(yàn)為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，利用激光筆發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時(shí)，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形為矩形，為法線，測(cè)得，（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求入射角的度數(shù)；(2)若光線從空氣射入水中的折射率，求光斑移動(dòng)的距離．【答案】(1)入射角約為；(2)光斑移動(dòng)的距離為．【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形邊角關(guān)系以及“折射率”的定義是正確解答的前提．（1）設(shè)法線為，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義求出，從而可得入射角；（2）根據(jù)，先求出，再作，設(shè)，，則，列出關(guān)于的方程式，求得的值，進(jìn)而求得答案．【詳解】（1）如圖，設(shè)法線為，則，

，，，，，入射角約為，．（2），，，，作，

，設(shè)，，則，，解得：，，，答：光斑移動(dòng)的距離是．本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形邊角關(guān)系以及“折射率”的定義是正確解答的前提．本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形邊角關(guān)系以及“折射率”的定義是正確解答的前提．1．（23-24九年級(jí)上·浙江·期末）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一．如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．已知試管cm，，試管傾斜角為．(1)求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）；(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：cm，cm，，求線段的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)cm(2)cm【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，解即可求解；（2）過點(diǎn)分別作，，在中，，，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，在中，，，，答：酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離的長(zhǎng)度約為；（2）解：如圖，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為、，

在中，，，，，，，，，，，，，，答：線段的長(zhǎng)度約為．題型六生活中常見實(shí)物問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）一酒精消毒瓶如圖1，為噴嘴，為按壓柄，和為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，．當(dāng)按壓柄按壓到底時(shí)，此時(shí)（如圖3）．(1)求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)D到直線的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)cm(2)點(diǎn)D到直線的距離約為【分析】本題考查圓的弧長(zhǎng)及解直角三角形的應(yīng)用，（1）由，求出，可得，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長(zhǎng)；（2）過D作于G，過E作于H，中，求出中，，再代入計(jì)算即得到點(diǎn)D到直線的距離；解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為＝；（2）過D作于G，過E作于H中，，中，，∴，∵，∴點(diǎn)D到直線的距離約為，本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角函數(shù)定義．本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角函數(shù)定義．【例2】（2024·遼寧鞍山·一模）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，該車的高度，如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離；(2)圖3，若停車位后是一面墻，距離是，與的夾角為司機(jī)打開后備箱至最高點(diǎn)取貨，車后蓋有沒有刮到墻的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為(2)有危險(xiǎn)，理由見解析【分析】（1）作，垂足為點(diǎn)E，解直角三角形求出，求出，即可得出答案；（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，解直角三角形求出，，根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，作，垂足為點(diǎn)E，在中，∵，∴，∴，∵平行線間的距離處處相等，∴，答：車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為．（2）解：有危險(xiǎn)．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖所示：∵，，∴，∵，∴在中，，，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∵，∴車后蓋有刮到墻的危險(xiǎn)．1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，圖2分別是某種型號(hào)拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑竿、箱長(zhǎng)、拉桿的長(zhǎng)度都相等，即，點(diǎn)B、F在線段上，點(diǎn)C在上，支桿．(1)若時(shí)，B，D相距，試判定與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：（1）連接，根據(jù)題意可得，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答；（2）過點(diǎn)F作，垂足為H，根據(jù)題意可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：，理由：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)F作，垂足為H，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．2．（2024·廣西柳州·一模）已知圖1是超市購(gòu)物車，圖2是超市購(gòu)物車側(cè)面示意圖，測(cè)得支架，，均與地面平行，支架與之間的夾角．(1)

求兩輪軸之間的距離；(2)若的長(zhǎng)度為，，求點(diǎn)到所在直線的距離．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度即可；（2）作輔助線，分別求出點(diǎn)到的距離，點(diǎn)到直線的距離，求和即可．【詳解】（1）解：∵支架與之間的夾角為，，即兩輪輪軸之間的距離為；（2）解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線與，則扶手到所在直線的距離為∵的長(zhǎng)度為,，，，，由（1）知,.，即，解得，．題型七與圓有關(guān)的綜合問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·河北石家莊·一模）如圖1，某玩具風(fēng)車的支撐桿垂直于桌面，點(diǎn)為風(fēng)車中心，，風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心旋轉(zhuǎn)，葉片端點(diǎn)，，，將四等分，已知的半徑為．(1)風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在左側(cè)，如圖2所示，求點(diǎn)到桌面的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)到桌面的距離不超過時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）；(3)連接，當(dāng)與相切時(shí)，求切線長(zhǎng)的值，并直接寫出，兩點(diǎn)到桌面的距離的差．【答案】(1)(2)(3)切線長(zhǎng)的值為，，兩點(diǎn)到桌面的距離的差為【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，易得，在中，利用三角函數(shù)解得的值，進(jìn)而可得的值，即可獲得答案；（2）設(shè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，的位置時(shí)，點(diǎn)到桌面的距離均為，過點(diǎn)作于H，則，作于點(diǎn)D，則四動(dòng)形為矩形，在中，利