概率（理）知識(shí)點(diǎn)與大題16道（培優(yōu)題）（解析版）-2021年高考數(shù)學(xué)大題分類(lèi)提升

概率（理）知識(shí)點(diǎn)與大題16道專(zhuān)練（培優(yōu)題）（解析版）

知識(shí)點(diǎn)一：常見(jiàn)的概率類(lèi)型與概率計(jì)算公式；

類(lèi)型一：古典概型；

1、古典概型的基本特點(diǎn)：

（1）基本事件數(shù)有限多個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件之間互斥且等可能；

2、概率計(jì)算公式：

A事件所包含的基本事件數(shù)

事件發(fā)生的概率尸（）

AA=一總的基本事件數(shù)

類(lèi)型二：幾何概型；

1、幾何概型的基本特點(diǎn)：

（1）基本事件數(shù)有無(wú)限多個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件之間互斥且等可能;

2、概率計(jì)算公式：

構(gòu)成A事件的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積或角度）

事件發(fā)生的概率尸（）

AA=一總的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積或角度）

注意：

（1）究竟是長(zhǎng)度比還是面積比還是體積比，關(guān)鍵是看表達(dá)該概率問(wèn)題需要幾個(gè)變量,

如果需要一個(gè)變量，則應(yīng)該是長(zhǎng)度比或者角度比；若需要兩個(gè)變量則應(yīng)該是面

積比；當(dāng)然如果是必須要三個(gè)變量則必為體積比；

（2）如果是用一個(gè)變量，到底是角度問(wèn)題還是長(zhǎng)度問(wèn)題，關(guān)鍵是看誰(shuí)是變化的主體,

哪一個(gè)是等可能的；

例如：等腰A4BC中，角C=/，貝

3

（1）若點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，求使得AMWAC的概率；

（2）若射線CA繞著點(diǎn)C向射線CB旋轉(zhuǎn)，且射線CA與線段AB始終相交且交點(diǎn)是

M,求使得AMWAC的概率；

解析：第一問(wèn)中明確M為AB上動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)M是在AB上均勻分布，所以這一問(wèn)應(yīng)該

是長(zhǎng)度之比，所求概率：==—;

V3AC3

而第二問(wèn)中真正變化的主體是射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以角度的變化是均勻的，所以這一問(wèn)應(yīng)該

是角度之比的問(wèn)題，所以所求的概率：B==75，=51；

1208

知識(shí)點(diǎn)二：常見(jiàn)的概率計(jì)算性質(zhì)；

類(lèi)型一：事件間的關(guān)系與運(yùn)算；

A+B（和事件）：表示A、B兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生;

A?B（積事件）：表示A、B兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生；

A（對(duì)立事件）：表示事件A的對(duì)立事件；

類(lèi)型二：復(fù)雜事件的概率計(jì)算公式；

1、和事件的概率：

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A?B)

(1)特別的，若A與B為互斥事件，貝IJ：

P(A+B)=P(A)+P(fi)

(2)對(duì)立事件的概率公式：

P(A)=1-P(A)

2、積事件的概率：

(1)若事件A、4、?、4相互獨(dú)立，則：

尸(A?4??A〃)=P(A)?尸(&)?.P(A?)

(2)n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，某事件A在每一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率都為p,則

在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率：

p(A)；=c：p"p)z

類(lèi)型三：條件概率；

1、條件概率的定義:我們把在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率記為：尸(8|A)；

且P(BIA)=P(A?B)

「⑷

2、三個(gè)常見(jiàn)公式：

(1)乘法公式：P(A.B)-P(A)*P(B|A)

(2)全概率公式：設(shè)A，A，A，-，4是一組互斥的事件且則對(duì)于

k=\

任何一個(gè)事件B都有：P(B)=tP(4?3)=支尸(4)?P(B\4)

k=lk=l

(3)貝葉斯公式：設(shè)4出,怎是一組互斥的事件且才&=。

k=l

則對(duì)于任何一個(gè)事件B都有：P(A.|B)=：(."尸(例4)

*(A)?P(8|A)

k=\

知識(shí)點(diǎn)三：求解一般概率問(wèn)題的步驟；

第一步：確定事件的性質(zhì)：等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

等；

第二步：確定事件的運(yùn)算：和事件、積事件、條件概率等；

第三步：運(yùn)用相應(yīng)公式，算出結(jié)果；

知識(shí)點(diǎn)三：常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)字特征量及其計(jì)算;

特征量一：平均數(shù)(數(shù)學(xué)期望)

-1

計(jì)算公式一：x=—(%+羽+%++%)；

n一

計(jì)算公式二：Ex-^xj*P(x=x)；

k=l

計(jì)算公式三：(若隨機(jī)變量X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且函數(shù)/(X)是它的密度函數(shù))

廣+8

Ex-xf(x)dx

J—00

特征量二：中位數(shù)

將所有的數(shù)從大到小排或者從小到大排，若共有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則正中間的那個(gè)數(shù)叫做

這一列數(shù)的中位數(shù)；若共有偶數(shù)個(gè)數(shù)，那么正中間那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這一列數(shù)的中

位數(shù)。

特征量三：眾數(shù)

將所有數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多且次數(shù)超過(guò)1次的數(shù)叫做這一列數(shù)的眾數(shù)。一列數(shù)的眾數(shù)

可以有多個(gè)，也可以沒(méi)有。

特征量四：方差

方差反映一組數(shù)或者一個(gè)統(tǒng)計(jì)變量的穩(wěn)定程度，方差越小數(shù)值越穩(wěn)定，方差越大則

數(shù)值波動(dòng)越大。

1n_

計(jì)算公式一：2=—[￡(x*—x)2]；

nk=i

1n

計(jì)算公式二：2=—[?(%=“)?(”—七)2]；

nk=l

計(jì)算公式三：2=&2_(&)2；

注：期望和方差的性質(zhì)：

性質(zhì)1：E(c)=c；

性質(zhì)2：E(ax+b)-aEx+b；

性質(zhì)6：Q(c)=0；

性質(zhì)7：D(ax+6)=a2D(x)；

性質(zhì)9：若石,馬，?是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則：

D&+/+...+x“)=D(X1)+D(X2)+---+D(x”)；

知識(shí)點(diǎn)四：簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)；

問(wèn)題一：統(tǒng)計(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單的抽樣方法；

方法一：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；

1、基本原理：根據(jù)研究目的選定總體，首先對(duì)總體中所有的觀察單位編號(hào)，遵循隨機(jī)

原則，采用不放回抽取方法，從總體中隨機(jī)抽取一定數(shù)量觀察單位組成樣本。

2、具體做法：①隨機(jī)數(shù)字法；②抽簽法；

3、優(yōu)缺點(diǎn)分析：

優(yōu)點(diǎn)：基本原理比較簡(jiǎn)單；

當(dāng)總體容量不大時(shí)比較方便；

抽樣誤差的計(jì)算較方便；

缺點(diǎn)：對(duì)所有觀察單位編號(hào)，當(dāng)數(shù)量大時(shí)，有難度；

方法二：系統(tǒng)抽樣；

1、基本原理：先將總體的觀察單位按某順序號(hào)等分成n個(gè)部分再?gòu)牡谝徊糠蛛S機(jī)抽第

k號(hào)觀察單位，依次用相等間隔，機(jī)械地從每一部分各抽取一個(gè)觀察單位組成樣本;

2、優(yōu)缺點(diǎn)分析：

優(yōu)點(diǎn)：抽樣方法簡(jiǎn)便，特別是容量比較大的時(shí)候；

易得到一個(gè)按比例分配的樣本，抽樣誤差較?。?/p>

缺點(diǎn)：仍需對(duì)每個(gè)觀察單位編號(hào)；

當(dāng)觀察單位按順序有周期趨勢(shì)或單調(diào)性趨勢(shì)時(shí)，產(chǎn)生明顯偏性；

方法三：分層抽樣；

1、基本原理：先將總體按某種特征分成若干層，再?gòu)拿恳粚觾?nèi)隨機(jī)抽取一定數(shù)量的觀

察單位，合起來(lái)組成樣本。

2、具體做法：

第一步：計(jì)算每一層個(gè)體數(shù)與總體容量的比值；

第二步：用樣本容量分別乘以每一層的比值，得出每層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)；

第三步：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法產(chǎn)生樣本；

3、優(yōu)缺點(diǎn)分析：

優(yōu)點(diǎn)：在一定程度上控制了抽樣誤差，尤其是最優(yōu)分配法；

缺點(diǎn)：總體必須要能分成差別比較大的幾層時(shí)才能用，局限性比較大；

總結(jié)：以上三種抽樣方法的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性相同；

知識(shí)點(diǎn)五：常用的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)圖表；

圖表一：頻率分布直方圖與頻率分布折線圖；

1、說(shuō)明幾個(gè)基本概念：

（1）頻數(shù)：符合某一條件的個(gè)體個(gè)數(shù)；

頻數(shù)

（2）頻率：頻率=臺(tái)差；（在必要情況下，可以近視的看作概率；所有組的頻率

總數(shù)

之和是1;）

2、認(rèn)識(shí)頻率分布直方圖：

(1)橫標(biāo)是分組的情況；

(2)縱標(biāo)不是頻率，而是頻率/組距；小方框的面積才是頻率；所有的面積和為1；

3、畫(huà)頻率分布直方圖：

第一步：求極差；

第二步：分組，確定組距；

第三步：列頻率分布表；

第四步：作圖；

4、畫(huà)頻率分布折線圖：

將頻率分布直方圖中每個(gè)方框的頂邊的中點(diǎn)用直線連起來(lái)形成的折線圖；

5、利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)字特征量：

(1)中位數(shù)：取圖中方框面積和達(dá)到工時(shí)的橫坐標(biāo)；

2

(2)眾數(shù)：取最高的那個(gè)方框的中點(diǎn)橫坐標(biāo)；

(3)平均數(shù)：=?P(x=xk)；其中/表示第k組的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，

k=\

。(九=/)表示第k組的頻率；

(4)方差：￡>(%)=￡[%—頤創(chuàng)2；

k=\

圖表二：莖葉圖；

定義：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，一般用中間的數(shù)表示個(gè)位數(shù)以上的部分，兩邊的數(shù)表示個(gè)位數(shù)字;

若數(shù)據(jù)是小數(shù)，一般用中間的數(shù)表示整數(shù)部分，兩邊的數(shù)表示小數(shù)部分形成的圖表；

甲乙

6715

82868

4033

知識(shí)點(diǎn)六：變量間的相互關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例；

1、相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：

從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)

系，我們將它稱(chēng)為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)

關(guān)系稱(chēng)為負(fù)相關(guān)。

2、線性相關(guān)：

從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱(chēng)這兩個(gè)變量

之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。

3.最小二乘法求回歸方程：

(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二

乘法.

(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：

(xi,yi),(如(x,,%),其回歸方程為y=6x+a.

其中，6是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距.

4.樣本相關(guān)系數(shù)：

2(y—y)

IAA

_L(.r,,i)~一(v；v)“

r=Li,，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)

系.

(1)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；

(2)當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；

(3)r的絕對(duì)值越接近1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0,

表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)舊>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很

強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

6.獨(dú)立性檢驗(yàn)：

(1)用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，這種變量稱(chēng)為分類(lèi)變量.例如：

是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等.

(2)列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱(chēng)為列聯(lián)表.

(3)一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量才和y,它們的值域分別為此，3和山，刃｝,

其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng)為2X2列聯(lián)表)為：

J2總計(jì)

XIaba~\~b

X2Cdc+d

總計(jì)a+cb+da+b+c+d

K-=----------、1,~-(其中〃=a+6+c+d為樣本容量)，可利用獨(dú)立性

(〃+b)(a+c)(c+d)(b+d)

檢驗(yàn)判斷表來(lái)判斷“x與y的關(guān)系”.這種利用隨機(jī)變量不來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)

為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

附表：

戶(川》90.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

注意：

(1)K2越大相關(guān)性越強(qiáng)，反之越弱；

(2)附表中?(好》啰是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)變量無(wú)關(guān)的概率；

知識(shí)點(diǎn)七：常見(jiàn)的概率分布及期望、方差；

類(lèi)型一：離散型隨機(jī)變量的概率分布；

1、兩點(diǎn)分布(貝努利分布或0、1分布)：

(1)特點(diǎn)：隨機(jī)變量x只能取兩個(gè)值0、1；分布列如下:

X01

PPq

(2)期望：E(x)=q；

方差：D(x)=q—=pq；

2、二項(xiàng)分布：

(1)特點(diǎn)：在n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率都是

P；每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果A或入；隨機(jī)變量x表示n次試驗(yàn)中A事件發(fā)生

的次數(shù)；

即：P(x=k)=C：pkQ_P)i；則稱(chēng)隨機(jī)變量了服從二項(xiàng)分布；記為：

xB(n,p)；

(2)期望：石(幻=物；(有兩種不同的證明方法，這里就省略了。)

方差：D(x)=npQ—p)=npq；

3、幾何分布：

(1)特點(diǎn)：在獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率都是p,

不發(fā)生的概率為(1-P)；隨機(jī)變量x表示A事件首次出現(xiàn)時(shí)試驗(yàn)的次數(shù)；

則稱(chēng)隨機(jī)變量x服從幾何分布，記為：xG(p)；

⑵期望：E(x)=；(P(x=k)=Q—p)ip,期望公式可以利用等比數(shù)列

求和和極限的思想證明。)

方差：

4、超幾何分布：

(1)特點(diǎn)：一般的共有N個(gè)個(gè)體，A類(lèi)個(gè)體有M個(gè)，從中任取n個(gè)，隨機(jī)變量”

表示取到的A類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)，則稱(chēng)*服從超幾何分布，記為：

xH(n,M,N)

「k「n-k

p(x=k)"c：";(左=0,1,2,3,,min{M,n})

期望：E(X)=K；

(2)

MnM(M嗎2

方差:x一丁+N(N—1)N；

類(lèi)型二：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布；(高中階段我們只研究正態(tài)分布)

正態(tài)分布：

1、密度函數(shù)的概念：在頻率分布折線圖中，當(dāng)樣本容量取得足夠大，組距取得足夠小

的時(shí)候頻率分布折線圖會(huì)變成一條光滑的曲線，我們就把這樣的曲線叫做連續(xù)性隨

機(jī)變量的密度曲線；把他的解析式叫做密度函數(shù)；

顯然，如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是/(X),貝I」：

rbf+oo

P(a<x<b}-f(x)dx；f(x)dx=1；

JaJ—oo

ea廣+oo

P(x<。)=于(x)dx；P(x〉a)=f(x)dx；

J—ooJa

1(尤一1

2、正態(tài)分布的定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量x的密度函數(shù)是：/(x)=1^e2拼；

則稱(chēng)隨機(jī)變量無(wú)服從正態(tài)分布，記為：XN(〃Q2)；

3、正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：

(1)整條曲線都在x軸的上方，即/(x)>0對(duì)VxeH恒成立；

(2)x=〃是他的對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；當(dāng)xe[〃,+c。)

時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；在x=〃時(shí)取得最大值;

(3)正態(tài)分布曲線的兩個(gè)主要參數(shù)〃,o■的幾何學(xué)意義：

參數(shù)〃決定對(duì)稱(chēng)軸的位置，也決定整條曲線的位置，所以也稱(chēng)為位置參數(shù)；參

數(shù)b決定數(shù)據(jù)的離散程度，也就決定了曲線的高矮胖瘦；具體規(guī)律是：o■越大，

數(shù)據(jù)越離散，曲線越矮越胖；b越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越高越瘦；于是我們習(xí)慣

于把參數(shù)。稱(chēng)為形狀參數(shù)；

4、正態(tài)分布的期望與方差：若x

期望：E(x)=〃；方差：￡)(%)=/；

5、正態(tài)分布的3b原則：

(1)尸(〃—(y<x<jLi+(T)=0.6826；

(2)P(R—2b<x<//+2b)=0.9544；

(3)P(//-3cr<x<//+3cr)=0.9974；

6、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若xN(0,l),則稱(chēng)隨機(jī)變量x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；

7、正態(tài)分布xNJ/,。?)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

若x則口N(0,l)；

1.某縣為了在全縣營(yíng)造“浪費(fèi)可恥、節(jié)約為榮”的氛圍，制定施行“光盤(pán)行動(dòng)”有關(guān)政策,

為進(jìn)一步了解此項(xiàng)政策對(duì)市民的影響程度，縣政府在全縣隨機(jī)抽取了100名市民進(jìn)行調(diào)

查，其中男士比女士少20人，表示政策無(wú)效的25人中有10人是女士.

(1)完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“政策是否有效與性別有

關(guān)”；

政策有效政策無(wú)效總計(jì)

女士10

男士

合計(jì)25100

(2)從被調(diào)查的市民中，采取分層抽樣方法抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中任意抽

取2名，對(duì)政策的有效性進(jìn)行調(diào)研分析，求抽取的2人中有男士的概率.

2

參考公式：K=------(a"、))-----------(n=a+b+c+d)

P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828

7

【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有；(2)—.

10

【分析】

(1)分析題意完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出K?,對(duì)照參數(shù)下結(jié)論;

(2)列舉出基本事件，利用等可能事件的概率公式求概率.

【詳解】

(1)由題意設(shè)男士人數(shù)為》,則女士人數(shù)為x+20,

又x+x+20=100，解x=40.即男士有40人，女士有60人.

由此填寫(xiě)2x2列聯(lián)表如下：

政策有效政策無(wú)效總計(jì)

女士501060

男士251540

合計(jì)7525100

由表中數(shù)據(jù),計(jì)算爛=100x(50x15-25x10)2=5.556<6.635，

60x40x75x25

所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為對(duì)“政策是否有效與性別有關(guān)”.

(2)從被調(diào)查的該餐飲機(jī)構(gòu)的市民中，利用分層抽樣抽取5名市民，其中女士抽取

60><工=3人，分別用A，B,C表示，男士抽取2人，分別用。，E表示.

100

從5人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為(A，3),(4,C),(A，。)，(A，E)，

(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(。，E),共10種.其中

抽取的2人中有男士的所有可能結(jié)果為(A，。)，(A,E),(B,D)(B,E),

(C,D),(C,E),(D,E),共7種.

7

所以，抽取的兩人中有男士的概率為「=一.

10

【點(diǎn)睛】

(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的題目直接根據(jù)題意完成完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出K?,對(duì)照參數(shù)

下結(jié)論，一般較易；

(2)等可能性事件的概率一般用列舉法列舉出基本事件,直接套公式求概率.

2.黃石新華書(shū)店為了了解銷(xiāo)售單價(jià)(單位：元)在［8,20］內(nèi)的圖書(shū)銷(xiāo)售情況，從2020

年已經(jīng)銷(xiāo)售的圖書(shū)中隨機(jī)抽取100本，用分層抽樣的方法獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照

［8,10)、［10,12)、［12,14)、［14,16)、［16,18)、［18,20］分成6組，制成如圖所示的

頻率分布直方圖，已知樣本中銷(xiāo)售單價(jià)在［14,16)內(nèi)的圖書(shū)數(shù)是銷(xiāo)售單價(jià)在［18,20］內(nèi)

的圖書(shū)數(shù)的2倍.

頻率

(1)求出x與y；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖彳占計(jì)這100本圖書(shū)銷(xiāo)售單價(jià)的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖從銷(xiāo)售單價(jià)價(jià)格低于12元的書(shū)中任取2本，求這2本書(shū)價(jià)格

至少有1本低于10元的概率.

4

【答案】(1)x=0.15,y=0.075；(2)平均數(shù)為14.9(元)，中位數(shù)為15；(3)

7

【分析】

(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于尤、V的方程組，可解出這兩個(gè)未知數(shù)的值；

(2)在頻率分布直方圖中，將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得

結(jié)果全加可得出樣本的平均數(shù)，利用中位數(shù)左邊矩形的面積和為0.5可求得樣本的中位

數(shù)；

(3)利用組合數(shù)公式以及對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

(1)樣本中圖書(shū)的銷(xiāo)售單價(jià)在［14,16)內(nèi)的圖書(shū)數(shù)是x.2x100=200x,

樣本中圖書(shū)的銷(xiāo)售單價(jià)在［18,20］內(nèi)的圖書(shū)數(shù)是j-2xl00=200y,

依據(jù)題意，有200x=2x200y,即x=2y,①

根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.025+0.05+y+0.1x2+x)x2=l,②

由①②得x=。［5,y=0.075；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書(shū)銷(xiāo)售單價(jià)的平均數(shù)為

9x0.025x2+11x0.05x2+13x0.1x2+15x0.15x2+17x0.1x2+19x0.075x2=14.9

(元)，

(0.025+0.05+0.1+0.15)x2=0.65>0.5,故可判斷中位數(shù)在［14,16］之間，

設(shè)中位數(shù)為x,則(0。25+0.05+0.1)x2+0.15(x-14)=0.5,

解得x=15,故中位數(shù)為15；

(3)銷(xiāo)售單價(jià)價(jià)格低于12元的書(shū)共有(0.025+0.05)x2x100=15本，

其中銷(xiāo)售單價(jià)價(jià)格低于10元的書(shū)共有0.025x2x100=5本，

從銷(xiāo)售單價(jià)價(jià)格低于12元的書(shū)中任取2本，這2本書(shū)價(jià)格都不低于10元共有種，

C24

因此，所求事件的概率為尸=1--乎=一.

《7

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求古典概型概率的方法的如下：

(1)列舉法；

(2)數(shù)狀圖法；

(3)列表法；

(4)排列組合數(shù)的應(yīng)用.

3.某企業(yè)投資兩個(gè)新型項(xiàng)目，投資新型項(xiàng)目A的投資額冽(單位：十萬(wàn)元)與純利潤(rùn)

n(單位：萬(wàn)元)的關(guān)系式為〃=1.7〃z—0.5,投資新型項(xiàng)目B的投資額x(單位：十

萬(wàn)元)與純利潤(rùn)V(單位：萬(wàn)元)的散點(diǎn)圖如圖所示.

（i）求y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，若A,B兩個(gè)項(xiàng)目都投資60萬(wàn)元，試預(yù)測(cè)哪個(gè)項(xiàng)目的

收益更好.

_n___

2七%一〃％》

附：回歸直線§=吼+》的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為6=丹-------,

^xf-nx2

i=l

①—4一

a=y-ffx-

【答案】（1）y=1.6x+0,2：（2）3項(xiàng)目的收益更好.

【分析】

（1）先利用平均數(shù)公式求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用所給公式求出〃的值，最后將

樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸方程求得。的值即可；

（2）分別利用所給關(guān)系式以及所求回歸方程，求出A，3兩個(gè)項(xiàng)目投資60萬(wàn)元，該

企業(yè)所得純利潤(rùn)的估計(jì)值，便可預(yù)測(cè)哪個(gè)項(xiàng)目的收益更好.

【詳解】

（1）由散點(diǎn)圖可知，x取1,2,3,4,5時(shí)，（的值分別為2,3,5,7,8,

1+2+3+4+5-2+3+5+7+8

所以x==3，W=------------------二5，

5

Ix2+2x3+3x5+4x7+5x8-5x3x5

=1.6,

12+22+32+42+52-5X32

則a=5—1.6x3=0.2,

故丁關(guān)于元的線性回歸方程為y=l.6x+Q2.

（2）因?yàn)橥顿Y新型項(xiàng)目A的投資額比（單位：十萬(wàn)元）與純利潤(rùn)〃（單位：萬(wàn)元）的

關(guān)系式為〃=1.7加—0.5,

所以若A項(xiàng)目投資60萬(wàn)元，則該企業(yè)所得純利潤(rùn)的估計(jì)值為1.7x6—0.5=9.7萬(wàn)元；

因?yàn)槎￡P(guān)于％的線性回歸方程為y=1,6x+0.2，

所以若3項(xiàng)目投資60萬(wàn)元，則該企業(yè)所得純利潤(rùn)的估計(jì)值為1.6x6+02=9.8萬(wàn)元.

因?yàn)?.8〉9.7,所以可預(yù)測(cè)3項(xiàng)目的收益更好.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系;

②計(jì)算工亍，2才,工七％的值；③計(jì)算回歸系數(shù)。力；④寫(xiě)出回歸直線方程為

1=11=1

y=bx+a-回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心（京?。┦且粭l重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以

估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).

4.袋中有9個(gè)大小相同顏色不全相同的小球，分別為黑球.黃球、綠球，從中任意取一

52

球，得到黑球或黃球的概率是得到黃球或綠球的概率是試求：

（1）從中任取一球，得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？

（2）從中任取兩個(gè)球，得到的兩個(gè)球顏色不相同的概率是多少？

12413

【答案】（1）黑球、黃球、綠球的概率分別是（2）

【分析】

（1）從中任取一球，分別記得到黑球、黃球、綠球?yàn)槭录嗀,B,C,由已知列出

尸（人）、尸（5）、尸（C）的方程組可得答案；

（2）求出從9個(gè)球中取出2個(gè)球的樣本空間中共有的樣本點(diǎn)，再求出兩個(gè)球同色的樣

本點(diǎn)可得答案.

【詳解】

（1）從中任取一球，分別記得到黑球、黃球、綠球?yàn)槭录嗀,B,C,

由于A，B,。為互斥事件，

P（A+B）=P（A）+P（B）=|

2

根據(jù)已知，得《P（B+C）=P（B）+P（C）=-

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=1

P(A)[

P⑻J，

解得《

尸?4

124

所以，任取一球，得到黑球、黃球、綠球的概率分別是―，=-,

399

(2)由(1)知黑球、黃球、綠球個(gè)數(shù)分別為3,2,4,

從9個(gè)球中取出2個(gè)球的樣本空間中共有36個(gè)樣本點(diǎn)，

其中兩個(gè)是黑球的樣本點(diǎn)是3個(gè)，兩個(gè)黃球的是1個(gè)，兩個(gè)綠球的是6個(gè),

于是，兩個(gè)球同色的概率為過(guò)上心=上，

3618

513

則兩個(gè)球顏色不相同的概率是1--=—.

1818

【點(diǎn)睛】

本題考查互斥事件和對(duì)立事件的概率，一般地，如果事件4、A2....An彼此互斥，

那么事件4+友+…+4發(fā)生(即Al、A2....4中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這W個(gè)事件

分別發(fā)生的概率的和，即P(AI+A2+...+An)=P(Ai)+P(A2)+...+P(An).

5.某班級(jí)以“評(píng)分的方式“鼓勵(lì)同學(xué)們以騎自行車(chē)或步行方式“綠色出行”，培養(yǎng)學(xué)生的

環(huán)保意識(shí).“十一黃金周”期間，組織學(xué)生去A、3兩地游玩，因目的地A地近，3地遠(yuǎn),

特制定方案如下：

目的地A地目的地5地

綠色出行非綠色出行綠色出行非綠色出行

出行方式出行方式

3]_21

概率概率

44I3

得分10得分10

若甲同學(xué)去A地玩，乙、丙同學(xué)去5地玩，選擇出行方式相互獨(dú)立.

(1)求恰有一名同學(xué)選擇“綠色出行”方式的概率；

(2)求三名同學(xué)總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

725

【答案】(1)—：(2)分布列見(jiàn)解析，EX=-.

3612

【分析】

(1)分析恰有一個(gè)同學(xué)選擇“綠色出行”方式的情況，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公

式求解；（2）根據(jù)題意得，X的所有可能取值為0，1，2，3,分別計(jì)算概率，列出

分布列，代入公式求解EX.

【詳解】

（1）恰有一名同學(xué)選擇綠色出行方式的概率

（2）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1，2，3,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得:

P(X=0)=-x-x-=—；

43336

故X的分布列為:

X0123

1741

P

363693

174125

所以EX=0x—+lx—+2x—+3又一.

36369312

【點(diǎn)睛】

本題考查了隨機(jī)變量分布列問(wèn)題，一般列分布列時(shí)先判斷變量的可能取值，遇到比較復(fù)

雜的情況可以采用列表格的方式能更直觀的判斷出可能取值有哪些，然后計(jì)算不同取值

下的概率，需要分析清楚不同取值對(duì)應(yīng)的所有情況，注意是二項(xiàng)分布還是超幾何分布問(wèn)

題.

6.疫情防控期間，為了讓大家有良好的衛(wèi)生習(xí)慣某校組織了健康防護(hù)的知識(shí)測(cè)試（百

分制）活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī)，并計(jì)算得知這200個(gè)學(xué)生的

平均成績(jī)?yōu)?5,其中5個(gè)低分成績(jī)分別是30、33、35、38、38；而產(chǎn)生的10個(gè)高

分成績(jī)分別是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100.

（1）為了評(píng)估該校的防控是否有效，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，若該校學(xué)生

的測(cè)試得分近似滿足正態(tài)分布N（〃,cr2）（〃和^2分別為樣本平均數(shù)和方差），則認(rèn)為

防控有效，否則視為效果不佳.經(jīng)過(guò)計(jì)算得知樣本方差為210,請(qǐng)判斷該校的疫情防控

是否有效，并說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：7210^14.5)規(guī)定：若

尸(〃一2cr<X<〃+2cr)>0.9544,P(〃-3cr<X<〃+3cr)>0.9974,則稱(chēng)變量

X“近似滿足正態(tài)分布N(〃,cr2)的概率分布”.

(2)學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)疫情防控的配合，決定對(duì)90分及以上的同學(xué)通過(guò)抽獎(jiǎng)的方式

進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，得分低于94分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，不低于94分的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)

31

會(huì).每次抽獎(jiǎng)獲得50元獎(jiǎng)金的概率是-，獲得100元的概率是一.現(xiàn)在從這10個(gè)高分

44

學(xué)生中隨機(jī)選一名，記其獲獎(jiǎng)金額為F,求y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)該校的疫情防控是有效的，理由見(jiàn)解析；(2)分布列見(jiàn)解析，87.5.

【分析】

(1)計(jì)算出尸(//—2cr<X<〃+2cr)和尸(〃-3cr<X<〃+3cr),結(jié)合已知條件判

斷可得出結(jié)論；

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有50、100、150、200,計(jì)算出隨機(jī)變

量F在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量F的分布列，進(jìn)一步可求得隨機(jī)變量F的

數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

(1)據(jù)該校的疫情防控是有效的，理由如下：

J210儀14.5，—2cr=65-2x14.5=36,〃+2cr=65+2xl4.5=94,

〃一3cr=65—3x14.5=21.5,〃+3cr=65+3x14.5=108.5,

得分小于36分的學(xué)生有3個(gè)，得分大于94分的有4個(gè),

7

二P（〃-2。<X<〃+2。）=1-礪=0.965>0.9544

學(xué)生的得分都在［30,100］間，.?.尸（〃—3cr<X<〃+3cr）=1>0.9974.

二學(xué)生得分近似滿足正態(tài)分布N(65,210)的概率分布，因此該校的疫情防控是有效的;

(2)設(shè)這名同學(xué)獲得的獎(jiǎng)金為Y，則y的可能值為50、100、150、200.

P（Y=50）=—x-^—,P（y=100）=—X-+—X

,710420I710410

p（y=150）=-xC^x-xl=—,P（y=200）=—x1

727

'104420I1040

故F的分布列為:

Y50100150200

9331

P

2082040

9331

=50x—+100x-+150x—+200x—=87.5.

2082040

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：求解隨機(jī)變量分布列的基本步驟如下：

(1)明確隨機(jī)變量的可能取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；

(2)求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；

(3)列成表格，對(duì)于抽樣問(wèn)題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽

樣由排列、組合數(shù)公式求隨機(jī)變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計(jì)數(shù)原理

求隨機(jī)變量在不同取值下的概率.

7.進(jìn)行垃圾分類(lèi)收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源

的消耗，具有社會(huì).經(jīng)濟(jì).生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了

普及垃圾分類(lèi)知識(shí)，某學(xué)校舉行了垃圾分類(lèi)知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同

學(xué)答對(duì)每題的概率都為P,乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為>q),且在考試中每人各

題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲，乙同時(shí)答對(duì)的概率為;，恰有一人答對(duì)的概率為得.

(1)求0和4的值；

(2)試求兩人共答對(duì)3道題的概率.

325

【答案】(1)P=~><7=彳；(2)—.

4312

【分析】

(1)由互斥事件和對(duì)立事件的概率公式列方程組可解得p，q；

(2)分別求出兩人答對(duì)1道的概率，答對(duì)兩道題的概率，兩人共答對(duì)3道題，則是一

人答對(duì)2道題另一人答對(duì)1道題，由互斥事件和獨(dú)立事件概率公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)設(shè)4=｛甲同學(xué)答對(duì)第一題｝,3=｛乙同學(xué)答對(duì)第一題｝,則P(A)=p,

P(B)=q.

設(shè)。=｛甲、乙二人均答對(duì)第一題｝,￡>=｛甲、乙二人中恰有一人答對(duì)第一題｝,

則。=45,D=AB+AB

由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與3相互獨(dú)立，A豆與

獨(dú)相互互斥，所以尸（C）=P（AB）=尸（A）尸（3）,尸（。）=尸（A3+

=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=P（A）（1-P（B））+（1-P（A））P（B）

1

pq=3.

由題意可得《

p（j）+q（l—p）=V，

132

pq=3PF

即《解得＜或＜

1723

p+q=一q

121好了

32

由于夕＞4,所以p=1，q二一

3

（2）設(shè)4=｛甲同學(xué)答對(duì)了i道題｝,用=｛乙同學(xué)答對(duì)了i道題｝,，=0,1,2.

上日古土/目ntA\13313/.\339

由寇恩得，P（A）=-X—I—X—=—,P（4）=-X—=—,

'"44448s4416

P（B）=-x-+-x-=-,P（B）=-x-=-.

133339v27339

設(shè)石=｛甲乙二人共答對(duì)3道題｝,則后二^為+4男.

由于4和B,.相互獨(dú)立，4為與44相互互斥，

所以

34945

尸（馬二尸（432）+尸（44）二尸（4）尸（即+尸4）尸（旦）二/8+正*8=五

o9lo912

所以，甲乙二人共答對(duì)3道題的概率為』.

12

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式，解題關(guān)鍵是把所求概率事件用

互斥事件表示，然后求概率，如設(shè)A=｛甲同學(xué)答對(duì)第一題｝,3=｛乙同學(xué)答對(duì)第一題｝,

設(shè)。=｛甲、乙二人均答對(duì)第一題｝,￡＞=｛甲、乙二人中恰有一人答對(duì)第一題｝,則

C=AB,D=AB+AB-同樣兩人共答對(duì)3題分拆成甲答對(duì)2題乙答對(duì)1題與甲答

對(duì)1題乙答對(duì)2題兩個(gè)互斥事件.

8.一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗

遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是1.

（1）設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列、期望、方差；

(2)設(shè)F為這名學(xué)生在首次停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求y的分布列；

(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.

【答案】⑴分布列見(jiàn)解析，E(X)=°,O(X)=旦⑵分布列見(jiàn)解析；⑶—.

39243

【分析】

(1)由題意這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而求得分布列，期望及

方差；

(2)Y=k(左=0,1,2,3,4),表示前左個(gè)是綠燈，第左+1個(gè)是紅燈，丫=5表示5

21

個(gè)均為綠燈，則=Q=左=0,1,2,3,4,由此可求這名學(xué)生在首次停車(chē)

前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)的分布列；

(3)利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式可求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.

【詳解】

(1)由題意可知，X可取0、1、2、3、4、5,服從二項(xiàng)分布X~3(5,；),

則P(x=0)=C；?(；)。.(|)5=,，P(X=1)=C*.(j)1.(|歿，

243

P(X=2)Y.(1.(|)3=篝P(X=3)=C；.5.(|)240

"243'

P