第8章 整式乘法與因式分解（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練1.掌握正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；掌握單項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2.會(huì)推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算，掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過(guò)兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解.知識(shí)點(diǎn)01：冪的運(yùn)算【高頻考點(diǎn)精講】1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.6.負(fù)指數(shù)冪：(，為正整數(shù)).任何不等于0的數(shù)的－次冪，等于這個(gè)數(shù)的次冪的倒數(shù).【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式，還可以表示多項(xiàng)式；靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.知識(shí)點(diǎn)02：整式的乘法【高頻考點(diǎn)精講】1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即(都是單項(xiàng)式).3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】運(yùn)算時(shí)，要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)前面的“＋”“－”號(hào)是性質(zhì)符號(hào)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式各項(xiàng)的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫(xiě)成省略加號(hào)的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，能得出一個(gè)應(yīng)用比較廣泛的公式：.知識(shí)點(diǎn)03：乘法公式【高頻考點(diǎn)精講】1.平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.知識(shí)點(diǎn)04：因式分解【高頻考點(diǎn)精講】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項(xiàng)法等.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字；四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.檢測(cè)時(shí)間：120分鐘試題滿(mǎn)分：100分難度系數(shù)：0.51一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)）1．（2分）（2023秋?宜陽(yáng)縣期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3?a3＝2a3 C．a(chǎn)5÷a2＝a3 D．33?23＝62．（2分）（2023秋?崆峒區(qū)期末）通過(guò)計(jì)算比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的計(jì)算式子是（）A．a(chǎn)（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x23．（2分）（2023秋?如皋市期末）在下面的正方形分割方案中，可以驗(yàn)證（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的圖形是（）A． B． C． D．4．（2分）（2023秋?烏達(dá)區(qū)期末）將下列多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果中不含有因式a+1的是（）A．a(chǎn)2﹣1 B．a(chǎn)2+a C．a(chǎn)2﹣2a+1 D．（a+2）2﹣2（a+2）+15．（2分）（2023秋?永春縣期末）已知a，b，c為正整數(shù)，且滿(mǎn)足2a×3b×4c＝384，則a+b+c的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2分）（2023秋?武漢期末）已知x，y，z都是正整數(shù)，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，設(shè)a＝x﹣z，則[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（）A．3 B．69 C．3或69 D．2或467．（2分）（2023秋?南昌期末）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義關(guān)于“*”的一種運(yùn)算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．則下列結(jié)論：①若a*b＝0，則a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，則；④不存在實(shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足a*b＝a2+4b2，其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④8．（2分）（2023秋?平山縣期末）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么陰影部分的面積是（）A．30 B．34 C．40 D．449．（2分）（2023春?拱墅區(qū)期末）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式（x+a）（2x+b）展開(kāi)后x的一次項(xiàng)系數(shù)為p，多項(xiàng)式（2x+a）（x+b）展開(kāi)后x的一次項(xiàng)系數(shù)為q：若p+q＝6，且p，q均為正整數(shù)，則（）A．a(chǎn)b與的最大值相等，ab與的最小值也相等 B．a(chǎn)b與的最大值相等，ab與的最小值不相等 C．a(chǎn)b與的最大值不相等，ab與的最小值相等 D．a(chǎn)b與的最大值不相等，ab與的最小值也不相等10．（2分）（2023春?高青縣期中）如圖所示，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么陰影部分的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將正確答案填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）11．（2分）（2023秋?南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，則（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝．12．（2分）（2023秋?豐澤區(qū)期末）邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為b的正方形DEFG按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)A，D，G在同一直線(xiàn)上．已知a+b＝10，ab＝24．則圖中陰影部分的面積為．13．（2分）（2023秋?武隆區(qū)期末）若2m＝a，32n＝b，m，n為正整數(shù)，則23m+10n＝．14．（2分）（2023秋?豐臺(tái)區(qū)期末）關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+6x+m是完全平方式，則m的值為．15．（2分）（2023秋?瑤海區(qū)期末）給等式中的某些字母賦予一定的特殊值，可以解決一些問(wèn)題．比如對(duì)于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝0時(shí)，可得32＝c，計(jì)算得c＝9；請(qǐng)你再給x賦不同的值，可計(jì)算得4a+2b＝．16．（2分）（2023秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y(tǒng)，則A＝．17．（2分）（2023秋?東莞市校級(jí)期末）已知a﹣b＝4，ab＝3，則a2+b2的值為．18．（2分）（2023春?寶安區(qū)校級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC，CD上的點(diǎn)，EC＝3，且BE＝DF＝x，分別以FC，CB為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CBMN，若長(zhǎng)方形CBQF的面積為20，則圖中陰影部分的面積和為．19．（2分）（2023秋?興文縣期中）若規(guī)定符號(hào)的意義是：＝ad﹣bc，則當(dāng)m2﹣2m﹣3＝0時(shí)，的值為．20．（2分）（2022?隆昌市校級(jí)模擬）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，則（a﹣4）2+（a﹣2）2的值為．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）21．（6分）（2023秋?宜陽(yáng)縣期末）計(jì)算：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．22．（6分）（2023秋?金鄉(xiāng)縣期末）在冪的運(yùn)算中規(guī)定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整數(shù)），則x＝y(tǒng)．利用上面結(jié)論解答下列問(wèn)題：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代數(shù)式表示n．23．（8分）（2023秋?龍山區(qū)期末）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形（a＜b＜a），如圖1所示放置，其未重合部分（陰影）的面積為S1，若在圖1的右下角再擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形重合部分（陰影）面積為S2．（1）用含a，b的代數(shù)式分別表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）當(dāng)S1+S2＝64時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積S3．24．（8分）（2023秋?十堰期末）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問(wèn)題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運(yùn)算時(shí)利用幾何直觀的方法獲取結(jié)論，在解決整式運(yùn)算問(wèn)題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用．例1：如圖1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；例2：由圖2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如圖3，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，從中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用等式表示為；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．（3）如圖4，拼成AMGN為大長(zhǎng)方形，記長(zhǎng)方形ABCD的面積與長(zhǎng)方形EFGH的面積差為S．設(shè)CD＝x，若S的值與CD無(wú)關(guān)，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系．25．（8分）（2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）定義＝ad﹣bc，如＝1×4×﹣2×3＝﹣2．已知A＝（n為常數(shù)），B＝．（1）若B＝4，則x的值為；（2）若A的代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)，當(dāng)x＝1時(shí)，求A+B的值；（3）若A中的n滿(mǎn)足8×2n+1＝24時(shí)，且A＝B+2，求16x2﹣