2023屆廣西柳州市新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所?故選：B.2.設(shè)，若復(fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則，則，因此，.故選：D.3.已知向量，的夾角為，且，，則（）A.－1 B. C.－2 D.1〖答案〗A〖解析〗故選：A.4.某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（）A.這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B.脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%C.這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%D.從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為50%〖答案〗B〖解析〗這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為，．A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤．因?yàn)樘珮O拳社團(tuán)人數(shù)的占比為，所以脫口秀社團(tuán)人數(shù)的占比為，B正確．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為，D錯(cuò)誤．故選：B．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為()A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)：；成立，第二次進(jìn)入循環(huán)：；成立，第三次進(jìn)入循環(huán)：，不成立，輸出，故選C.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?；因?yàn)椋?，，，而，所以，?故選：A.7.若，則＝（）A.－ B. C.－ D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以.故選：C.8.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.2 B.－3 C.－2 D.0〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得平面區(qū)域，如圖所示：∵目標(biāo)函數(shù)，即，則求直線在軸截距的最小值結(jié)合圖像可得在點(diǎn)處取到最小值故選：C．9.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則k＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.10.若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（）A.9 B.7 C.11 D.3〖答案〗C〖解析〗因直線是曲線的一條對(duì)稱軸，則，即，由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得，所以最小值為11.故選：C.11.已知是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)＝0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以;函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得;綜上所述：不等式的解集故選：D.12.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B.第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分）13.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則___．〖答案〗33〖解析〗等差數(shù)列中，，由得，則公差，首項(xiàng)，所以.故〖答案〗為：3314.若函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)，得，，則，故，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.15.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為________．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.即的最小值為1.故〖答案〗為：116.在正方體中，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點(diǎn)E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號(hào)是______．〖答案〗①③〖解析〗易證平面，平面，所以恒有，直線DE與直線AC所成角為90°，所以①是真命題．點(diǎn)E到直線AB的距離與點(diǎn)E到直線的距離有關(guān)，所以②是假命題．因?yàn)椋删€面平行的判定定理可得平面，故點(diǎn)E到平面的距離d為定值，則為定值，所以③是真命題．平面，在上變化，例如點(diǎn)E在處和在的中點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題．故〖答案〗為：①③三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并將〖答案〗寫在〖答案〗卡相應(yīng)題號(hào)的空白處）17.在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面積．解：（1）由已知及正弦定理知：．因?yàn)镃為銳角，則，所以．因?yàn)锳為銳角，則（2）由余弦定理，．則，即即，因?yàn)?，則所以△ABC面積．18.已知數(shù)列滿足.（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.解：（1）由可得,即所以是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列所以,所以（2）19.2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有20人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計(jì)男110女合計(jì)（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人對(duì)冰球有興趣的概率．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635．解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計(jì)男9020110女603090合計(jì)15050200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，，所以有97.5%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.（2）記至少1人對(duì)冰球有興趣為事件D記5人中對(duì)冰球有興趣的3人為A、B、C，對(duì)冰球沒有興趣的2人為m、n，則從這5人中隨機(jī)抽取2人，有，共10個(gè)結(jié)果，其中2人對(duì)冰球都有興趣的有，共3個(gè)結(jié)果，1人對(duì)冰球有興趣的有，共6個(gè)結(jié)果，則至少1人對(duì)冰球有興趣的有9個(gè)結(jié)果，所以所求事件的概率．20.如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．（1）證明：連接OB，如圖，∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O為AC的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌≌，∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，在中，，．設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d，由，解得，∴點(diǎn)C到平面POM的距離為．21.已知函數(shù)．（1）討論當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)性．（2）證明：．（1）解：由題意可知對(duì)于二次函數(shù)．當(dāng)時(shí)，恒成立，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有2個(gè)大于零的零點(diǎn)，分別是，當(dāng)，f(x)在單調(diào)遞增；當(dāng)，f(x)在和單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，f(x)在（0，＋∞）單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)f(x)在單調(diào)遞增；單調(diào)遞減．（2）證明：要證，即證．（方法一）設(shè)，則，在（0，＋∞）上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在（?）上存在唯一的零點(diǎn)m，且，即．所以h(x)在（0，m）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，．因，所以等號(hào)不成立，所，所以，從而原不等式得證（方法二）不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此恒成立，．則恒成立，．則恒成立，即．又，所以等號(hào)不成立，即，從而不等式得證22.已知平面上動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－1），過點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：．（1）解：Q（x，y），由題意，得，當(dāng)時(shí)，，平方可得，當(dāng)時(shí)，，平方可得，由可知，不合題意，舍去.綜上可得，所以Q軌跡方程C為．（2）證明：不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，從而直線PA的斜率為，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以軸．要使，只需．設(shè)直線m的方程為，代入并整理，得．首先，，解得或．其次，設(shè)，則，，故.此時(shí)直線m的斜率的取值范圍為.廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所?故選：B.2.設(shè)，若復(fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則，則，因此，.故選：D.3.已知向量，的夾角為，且，，則（）A.－1 B. C.－2 D.1〖答案〗A〖解析〗故選：A.4.某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（）A.這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B.脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%C.這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%D.從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為50%〖答案〗B〖解析〗這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為，．A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤．因?yàn)樘珮O拳社團(tuán)人數(shù)的占比為，所以脫口秀社團(tuán)人數(shù)的占比為，B正確．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為，D錯(cuò)誤．故選：B．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為()A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)：；成立，第二次進(jìn)入循環(huán)：；成立，第三次進(jìn)入循環(huán)：，不成立，輸出，故選C.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?；因?yàn)?，所以，，，而，所以，?故選：A.7.若，則＝（）A.－ B. C.－ D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以.故選：C.8.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.2 B.－3 C.－2 D.0〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得平面區(qū)域，如圖所示：∵目標(biāo)函數(shù)，即，則求直線在軸截距的最小值結(jié)合圖像可得在點(diǎn)處取到最小值故選：C．9.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則k＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.10.若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（）A.9 B.7 C.11 D.3〖答案〗C〖解析〗因直線是曲線的一條對(duì)稱軸，則，即，由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得，所以最小值為11.故選：C.11.已知是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)＝0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以;函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得;綜上所述：不等式的解集故選：D.12.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B.第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分）13.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則___．〖答案〗33〖解析〗等差數(shù)列中，，由得，則公差，首項(xiàng)，所以.故〖答案〗為：3314.若函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)，得，，則，故，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.15.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為________．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.即的最小值為1.故〖答案〗為：116.在正方體中，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點(diǎn)E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號(hào)是______．〖答案〗①③〖解析〗易證平面，平面，所以恒有，直線DE與直線AC所成角為90°，所以①是真命題．點(diǎn)E到直線AB的距離與點(diǎn)E到直線的距離有關(guān)，所以②是假命題．因?yàn)椋删€面平行的判定定理可得平面，故點(diǎn)E到平面的距離d為定值，則為定值，所以③是真命題．平面，在上變化，例如點(diǎn)E在處和在的中點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題．故〖答案〗為：①③三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并將〖答案〗寫在〖答案〗卡相應(yīng)題號(hào)的空白處）17.在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面積．解：（1）由已知及正弦定理知：．因?yàn)镃為銳角，則，所以．因?yàn)锳為銳角，則（2）由余弦定理，．則，即即，因?yàn)?，則所以△ABC面積．18.已知數(shù)列滿足.（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式.解：（1）由可得,即所以是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列所以,所以（2）19.2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有20人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有97.5%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計(jì)男110女合計(jì)（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人對(duì)冰球有興趣的概率．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635．解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計(jì)男9020110女603090合計(jì)15050200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，，所以有97.5%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.（2）記至少1人對(duì)冰球有興趣為事件D記5人中對(duì)冰球有興趣的3人為A、B、C，對(duì)冰球沒有興趣的2人為m、n，則從這5人中隨機(jī)抽取2人，有，共10個(gè)結(jié)果，其中2人對(duì)冰球都有興趣的有，共3個(gè)結(jié)果，1人對(duì)冰球有興趣的有，共6個(gè)結(jié)果，則至少1人對(duì)冰球有興趣的有9個(gè)結(jié)果，所以所求事件的概率．20.如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平