2024年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

2023年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試

復(fù)習(xí)必背知識(shí)點(diǎn)

必修一集合與函數(shù)概念

1、含n個(gè)元素的集合的所有子集有2"個(gè)

2、求y=/(x)BU反函數(shù):解出x=/T(y),尤,y互換，寫(xiě)出y=/T(x)的定義域；函數(shù)

圖象有關(guān)y=x對(duì)稱(chēng)。

3、對(duì)數(shù):①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù);②1的對(duì)數(shù)等于0:log。1=0；③底的對(duì)數(shù)等于1:log/=1,

M

log——=log?M-logN

④、積的對(duì)數(shù)：bg〃(政V)=log〃M+k)g〃N^B^Ok：N

幕的對(duì)數(shù)：logaM"="log〃M；log/6"=—log?^

4.奇函數(shù)/(-x)=-/(x),函數(shù)圖象有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)/(-x)=/(x),函數(shù)圖象有關(guān)

y軸對(duì)稱(chēng)。

必修二

一、直線(xiàn)平面簡(jiǎn)樸的幾何體

1、長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)片=1+62+02；正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)/=島

_4

2、球的體積公式："=3^R3球的表面積公式：S=4萬(wàn)R2

3、柱體V=§./?,錐體V=&s2h

4.點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系及有關(guān)公理及定理：

(1)四公理三推論:公理1：若一條直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在一種平面內(nèi)，則該直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都

在這個(gè)平面內(nèi):公理2：通過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一種平面。公理3：假如兩個(gè)

平面有一種公共點(diǎn)，那么它們尚有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)

的直線(xiàn)。推論一:通過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn),有且只有一種平面。推論二:通過(guò)兩條相

交直線(xiàn)，有且只有一種平面。推論三:通過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一種平面。公理4:平行于

同一條直線(xiàn)日勺兩條直線(xiàn)平行；

(2)等角定理:空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

(3)空間線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面的位置關(guān)系：

空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系：

相交直線(xiàn)一一有且僅有一種公共點(diǎn)；

平行直線(xiàn)一一在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線(xiàn)一一不同樣在任何一種平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。相交直線(xiàn)和平行直線(xiàn)也稱(chēng)為共面

直線(xiàn)。

直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系

(1)直線(xiàn)在平面內(nèi)(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))；

(2)直線(xiàn)和平面相交(有且只有一種公共點(diǎn));

(3)直線(xiàn)和平面平行(沒(méi)有公共點(diǎn))一一用兩分法進(jìn)行兩次分類(lèi)。

它們的圖形分別可體現(xiàn)為如下，符號(hào)分別可體現(xiàn)為aua,a?=A,alia.

線(xiàn)面平行的鑒定定理：假如不在一種平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,那么

這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。推理模式：aua,bua、allbnalla.

線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：假如一條直線(xiàn)和一種平面平行，通過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相

交,那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。推理模式：a〃a,au￡,a)3=b^a//b.

兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種:兩平面相交(有一條公共直線(xiàn))、兩平面平行(沒(méi)有公共點(diǎn))

(1)兩個(gè)平面平行的鑒定定理：假如一種平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于一種平面，那

么這兩個(gè)平面平行。

推論:假如一種平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一種平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么

這兩個(gè)平面互相平行。

推論模式:a，b=P,aua,bua,db'=P',du/3,b'u)3,a11a；b/1b'na11/3

(2)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)A.假如兩個(gè)平面平行，那么其中一種平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另

一種平面;B.假如兩個(gè)平行平面同步和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。

2)垂直：

1.線(xiàn)線(xiàn)垂直

判斷線(xiàn)線(xiàn)垂直的措施：所成的角是直角,兩直線(xiàn)垂直；垂直于平行線(xiàn)中的一條，必垂直于

另一條。

三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，假如它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它

也和這條斜線(xiàn)垂直。

三垂線(xiàn)定理時(shí)逆定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，假如和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直,那麼它也

和這條斜線(xiàn)的射影垂直。

2.線(xiàn)面垂直

直線(xiàn)與平面垂直的鑒定定理:假如一條直線(xiàn)和一種平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么

這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面。

直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理：假如兩條直線(xiàn)同垂直于一種平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。

3.面面垂直

兩平面垂直的鑒定定理：（線(xiàn)面垂直二>面面垂直）假如一種平面通過(guò)另一種平面的一條

垂線(xiàn),那么這兩個(gè)平面互相垂直。

兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直n線(xiàn)面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一種平面

內(nèi)垂直于它們的交線(xiàn)時(shí)直線(xiàn)垂直于另一種平面。

二、直線(xiàn)和圓的方程

k=

1、斜率：左=tantz,左e（—8,+8）;直線(xiàn)上兩點(diǎn)片（X1,%）,舄（/，為），則斜率為

2、直線(xiàn)方程：（1）、點(diǎn)斜式：y-％=左（%-七）；（2）、斜截式：y=kx+Z?;

AC

（3）、一般式：Ax+By+C=G（A、B不同樣步為0）斜左=一石率y軸截一方

距

3、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系4n廠(chǎng)

a_4.a

42B2C*2

（1）、平行：/]〃乙=左=左2且40打；時(shí)，（〃/2；

垂青.K?k?=—1<=^>，i.~LZ244+丹丹=O=>I]_L12

tan0=■I

1+k2kl

（2）夾角范圍：（0,乃）夾角公式：'離、42都存小板2"°

（。與tane=

夾角范圍：夾角公式：I十七匕自、左2都存稻K*0

d_1yz1co+By。+C|

（3）、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式（直線(xiàn)方程必須化為一般式）

VA2+B2-

4,圓的方程:

（1）圓的原則方程（x—a）2+（y—6）2=",圓心為c（a,b）,半徑為廣

（2）圓的一般方程+/+以+4+/7=0。2+62—4/>0體現(xiàn)圓。

必修三

算法初步與記錄:

1.算法的三種基本構(gòu)造：（1）次序構(gòu)造（2）條件構(gòu)造（3）循環(huán)構(gòu)造

2.算法基本語(yǔ)句：1.輸入語(yǔ)句:輸入語(yǔ)句的格式：INPUT“提醒內(nèi)容”；變量2.輸出語(yǔ)

句：輸出語(yǔ)句的一般格式:PRINT“提醒內(nèi)容”；體現(xiàn)式3.賦值語(yǔ)句：賦值語(yǔ)句的一般格式：

變量=體現(xiàn)式4.條件語(yǔ)句（1）“IF—THEN—ELSE”語(yǔ)句

5.三種常用抽樣措施：

1.簡(jiǎn)樸隨機(jī)抽樣2.系統(tǒng)抽樣3.分層抽樣4.記錄圖表:包括條形圖，折線(xiàn)圖，餅圖，莖

葉圖。

頻率分布直方圖:詳細(xì)做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組

頻率

距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分箱嬖巨（5）畫(huà)頻率分布直方圖。注：頻率分布

直方圖中小正方形的面積=組距X頻率。

折線(xiàn)圖：連接頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形上端中點(diǎn),就得到頻率分布折線(xiàn)圖。

6.刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的記錄量：平均數(shù)，中位數(shù),眾數(shù)。

在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

將一組數(shù)據(jù)按照從大到小（或從小到大）排列,處在中間位置上的一種數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的

平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

7.刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的記錄量：極差，極準(zhǔn)差,方差。

（1）極差一定程度上表明數(shù)據(jù)的分散程度，對(duì)極端數(shù)據(jù)非常敏感。

（2）方差，原則差越大，離散程度越大。方差,原則差越小，離散程度越小，匯集于平均數(shù)的

程度越高。

(3)計(jì)算公式:

8.頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于對(duì)應(yīng)各組日勺頻率,小長(zhǎng)方

形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。

隨機(jī)事件：在一定的條件下所出現(xiàn)的某種成果叫做事件。一般用大寫(xiě)字母A,B,C…體現(xiàn).

隨機(jī)事件的概率:在大量反復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率總靠近于某個(gè)常數(shù),在

它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件/的概率，記作尸(⑷。由定義可知0W產(chǎn)(給W

1,顯然必然事件的概率是1,不也許事件的概率是0。

1.事件間的關(guān)系

(1)互斥事件:不能同步發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件；

(2)對(duì)立事件：不能同步發(fā)生，但必有一種發(fā)生日勺兩個(gè)事件叫做互斥事件；

(3)包括：事件A發(fā)生時(shí)事件B一定發(fā)生，稱(chēng)事件A包括于事件B(或事件B包括事件A)；

(4)對(duì)立一定互斥，互斥不一定對(duì)立。

2.概率的加法公式：

(1)當(dāng)/和8互斥時(shí)，事件4+6的概率滿(mǎn)足加法公式：尸(/+皮=P(A)+P(方(A、B

互斥)(2)若事件A與B為對(duì)立事件,則AUB為必然事件，因此P(AUB)=P(A)+P(B)=1,

于是有P(A)=l—P(B).

3.古典概型

⑴對(duì)的理解古典概型的兩大特點(diǎn)：1)試驗(yàn)中所有也許出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個(gè);2)

A包含的基本事件個(gè)數(shù)

總的基本事件個(gè)數(shù)

每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的也許性相等;(2)掌握古典概型的概率計(jì)算公式：P(A)=

4.幾何概型：

（1）幾何概率模型:假如每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比

例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型。

⑵幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有也許出現(xiàn)的成果（基本領(lǐng)件）有無(wú)限多種;2）每個(gè)基本領(lǐng)

件出現(xiàn)時(shí)也許性相等.

（3）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件Afi勺區(qū)域:長(zhǎng)度,面積或體積,

P（A尸試驗(yàn)的全司3結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

必修四

一、三角函數(shù)

弧度,1弧度雪?7-18,

1、弧度制："80=715弧長(zhǎng)公式:/二|陰r(是角的弧

n

yXrr

度數(shù)）sina=—ycosa=%—tana=—cota=一seca=—esca=—

rrXy%y

2、三角函數(shù)（1）、定義:

3、特殊角的三角函數(shù)值

a的角度0°30°45°60°90°120P135°150°180°270P360°

7VTCTC2〃37r5兀3兀

a的弧度071/6兀2冗

432346

V2V3A/3V2

sina01110-10

22222五

■A/21_VI—縣

cosa10-101

222~222

后一旦

tana01A/3一-A/3-10一0

33

_sina

、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：22tanacota=ltani=

4sintz+cosa-Icosa

5、誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變,符號(hào)看象限）正弦上為正；余弦右為正；正切一三為正

公式二:公式三：公式四：

公式五:

sin(l80°+a)=-sinasin(-o)=-sinosin(l80°-a)=sinasin(360°-a)=-sina

cos(l80°+a)=—cosacos(—a)=cosacos(l80°-a)=-cosacos(360°-a)=cosa

tan(180°+a)=tanatan(—a)=-tanatan(l80°-a)=-tanatan(3600-a)=-tana

6、兩角和與差的正弦、余弦、正切

Sg+夕)：sin(a+/?)=sinacos0+cosasin(3

S(a—/3):sin(<z-/?)=sin<zcos/7一cosasin(3

C(a+p)：cosQ+/?)=cosecos/?—sinasin(3

Cg0)：cos(a-j3)=cosocos/?+sinasin4

tana+tan(3

J)：tan(c+")=

1—tanatanf3

tana-tan(3

Ti:tan(o_0=

1+tanatan/3

ab)

7、輔助角公式：asinx+bcosx=y/a2+b2sinxH——fcosx

y/a2+b2y/a2+b2)

=J"+Z?2(sjn%.cos0+cosx?sin0)=+〃”詛1+⑷

8、二倍角公式：(1)S2a：sin2a=2sinacosa

cos26z=cos-(z-sin2a=l-2sin-a-2cos2a-\

小2tane

tan2a=------------

1-tana

sin(zcos?=-sin2?

2

（2）、降次公式：（多用于研究性質(zhì)）

.21-cos2a1cl

sina=------------=——cos2a+—

222

21+cos2a1cl

cosa=------------=—cos2a+—

222

9、三角函數(shù):

函數(shù)定義域值域周期性奇偶性遞增區(qū)間遞減區(qū)間

--+2左匹—+Ikji

奇函數(shù)L22_冗八，34…

y=sin%xeR[-1,1]T=2?—F2k兀,----F2kyi

_22J

y=cosx

X￡R[—1,1]T=2TI偶函數(shù)［（2左一1）萬(wàn),2左萬(wàn)］[2左肛(24+1)乃]

函數(shù)定義域值域振幅周期頻率相位初圖象

相

y=Asin3￥+0)[-InCDX-\~(p

A\CD五點(diǎn)法

xeR1=——J=~=^T~(p

A,A]3T2TI

二、平面向量

1、坐標(biāo)運(yùn)算：（1）設(shè)a=b=（九2，乃），則a±人=（再±X2,%士乃）

數(shù)與向量的積：入a=X（%i，%）=（＞Ui，辦;J,數(shù)量積：a-b=玉%2+%當(dāng)

（2）、設(shè)A、B兩點(diǎn)的I坐標(biāo)分別為（xi,yi）,（x2,y2）,則AB二（九2-王，丁2—%）?（終點(diǎn)

減起點(diǎn)）

IAB|=Ja—九2產(chǎn)+（兄一為尸；向量〃的模IaI：\a\1=a-a=x2+y2；

（3）、平面向量的I數(shù)量積：a-b=a-bcos3,注意：0?a=0,0?a=0,a+(—a)=0

%%+M%

⑷、向量Q=（x,y）,Z?=（%2，%）的夾角區(qū)則，cos?=

11收+yj2+1

2、重要結(jié)論：(1)、兩個(gè)向量平行：allboa=■(2G7?),allbx1y2-x2yt=0

(2)、兩個(gè)非零向量垂直a上boa,b=。,a_Lb。xrx2+yxy2=0

⑶、P分有向線(xiàn)段蔗時(shí):設(shè)P(x,y),P“xi,yi),P2(x2,yJ,且9=2而,

則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式X=七+九々中點(diǎn)坐標(biāo)公式=%+/

<1+2V2

v_必+V-必+先

L1+212

必修五:

--absmC--acsmB=—bcsinA

一、解三角形：（1）、三角形的面積公式:222

(/)止弦走蟹一二‘^=」一二2尺邊用角表示：Q=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsin

sinAsinBsinC

(3)余弦定理：

a2=〃+/-2/?C-COSA

2

b=a?+H-2ac.cosB

c2=a2+b2-2abeosC=(a+Z?)2-2ab(l+cocC)

求角：

.b2+C2-a2a1+c2-b1-a1+b1-c2

cosA=---------------????cosBD=---------------????cosC=---------------

2bc