專(zhuān)題02 8字型（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專(zhuān)題02“8”字型【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【例題精講】例1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點(diǎn)∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．例2.如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是36．【答案】36【解析】∵在?ABCD中，AO=12AC，∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，∴AE=∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC∵S△AEF＝4，S△AEFS△BCE=（∴S△BCE＝36例3．如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．例4.如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：如解圖，補(bǔ)成矩形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴設(shè)，則，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【變式訓(xùn)練2】如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴，．∴，．又∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形中，分別為邊，的中點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)M，N．已知，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交點(diǎn)BF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，由題意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E為AB中點(diǎn)，EH∥BC，∴G為BF中點(diǎn)，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案為：.【變式訓(xùn)練4】如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在射線上，交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，_____．【答案】12【詳解】如圖，延長(zhǎng)BQ交射線EF于點(diǎn)M、分別是、的中點(diǎn)，，平分，，，由得，，即故答案為：12．【課后訓(xùn)練】1.如圖，△ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，則DC的長(zhǎng)等于．【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴ADBD∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴34=CD5，2．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動(dòng)，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和的變化趨勢(shì)是（

）A．先變長(zhǎng)后變短 B．先變短后變長(zhǎng)C．不變 D．先變短后變長(zhǎng)再變短【答案】C【詳解】解：連接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四邊形CDFE為矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.設(shè)=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的長(zhǎng)是定值不變，∴當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和不變．故選：C.3．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．【答案】2【詳解】解：延長(zhǎng)CF、BA交于M，∵E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．4．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而B(niǎo)E=AB，∴BE=CD，而B(niǎo)E∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．5．如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．【答案】【詳解】解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BN于點(diǎn)H．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以．所以，所以．解法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以．因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．解?：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，且，所以．解法4：如圖5，過(guò)點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H．在中，因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，，所以N為AH的中點(diǎn)，即．在中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，，所以H為CN的中點(diǎn)，即，所以．所以．6．如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．7．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】證明：（1）∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；（2）作AH∥BC交CF的延長(zhǎng)線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，為的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF?EG=AF?DG．8．我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如：在線段比、面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題，請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題：（1）若是的重心（如圖），連結(jié)并延長(zhǎng)交于，證明：；（2）若是的一條中線（如圖），是上一點(diǎn)，且滿足，試判斷是的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若是的重心，過(guò)的一條直線分別與、相交于、（均不與的頂點(diǎn)重合）（如圖），求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.【詳解】（1）證明：如圖，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)．∵點(diǎn)是的重心，∴是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，∴，，∴，，∴∽，∴，，∴．（2）點(diǎn)是的重心．證明：如圖，作的中線，與邊交于點(diǎn)，與的另一條中線交于點(diǎn)，則是的重心，根據(jù)（1）中的證明可知，而由條件，點(diǎn)與點(diǎn)重合（是同一個(gè)點(diǎn)），所以點(diǎn)是的重心．（3）如圖，分別過(guò)、、、作的垂線，垂足分別為、、、，證明：∵，∴∽，∴．又∵，∴∽，∴，∴．又在四邊形中可