專(zhuān)題23 圖形的相似與位似【十四大題型】（舉一反三）（原卷版）

專(zhuān)題23圖形的相似與位似【十四大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用比例的性質(zhì)求值】 1【題型2黃金分割】 3【題型3由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例判斷式子正誤】 4【題型4平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例（A型）】 5【題型5平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例（X型）】 7【題型6平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例與三角形中位線(xiàn)綜合】 8【題型7平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的常用輔助線(xiàn)之平行線(xiàn)】 9【題型8平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的常用輔助線(xiàn)之垂線(xiàn)】 10【題型9相似多邊形的性質(zhì)】 11【題型10畫(huà)已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】 13【題型11求位似圖形的坐標(biāo)】 15【題型12求位似圖形的線(xiàn)段長(zhǎng)度】 16【題型13求位似圖形的周長(zhǎng)】 17【題型14求位似圖形的面積】 18【知識(shí)點(diǎn)圖形的相似與位似】1.比例線(xiàn)段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n在兩條線(xiàn)段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。在四條線(xiàn)段中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段若四條a，b，c，d滿(mǎn)足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線(xiàn)段a，d叫做比例外項(xiàng)，線(xiàn)段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線(xiàn)段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線(xiàn)段，即或a：b=b：c，那么線(xiàn)段b叫做線(xiàn)段a，c的比例中項(xiàng)。2.比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng).后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3.黃金分割把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線(xiàn)段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB4.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。推論：（1）平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。逆定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線(xiàn)截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。5.相似多邊形定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。定義2：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例?！绢}型1利用比例的性質(zhì)求值】【例1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線(xiàn)段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線(xiàn)上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．圖中橫線(xiàn)處應(yīng)填

【答案】2【變式1-1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）若xy=2，則x-y【變式1-2】（2023·湖南岳陽(yáng)·校考一模）已知x2=y3=z5【變式1-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●-◆▲=◆●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【題型2黃金分割】【例2】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以點(diǎn)B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，連接A．5-1 B．3-5 C．5+1【變式2-1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（

）A．ABAP=APC．APBP=5【變式2-2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB=80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A,B固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，C,D之間的距離為【變式2-3】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C是弧上的一點(diǎn)，沿CB為折痕折疊BC交AB于點(diǎn)M，連接CM，若點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)（BM>AM），則sin∠BCM

A．5-12 B．5+12 C．【題型3由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例判斷式子正誤】【例3】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線(xiàn)PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

A．直線(xiàn)PQ是AC的垂直平分線(xiàn) B．CD=C．DE=12BC【變式3-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，BF=2FC，連接AF交DE于點(diǎn)

A．ANAF=12 B．DNDE=【變式3-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，DF∥BE交AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）.

A．ADBD=AEEC B．AFAE=【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點(diǎn)，連接BE、AF，它們相交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AEED=BEEH B．EHEB=【題型4平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例（A型）】【例4】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，

A．165 B．167 C．2 D【變式4-1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在A(yíng)B、AC上，連接DE，DE∥BC，AE=4，

A．1.5 B．2 C．3 D．2【變式4-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某一時(shí)刻太陽(yáng)光從窗戶(hù)射入房間內(nèi)，與地面的夾角∠DPC=30°，已知窗戶(hù)的高度AF=2m，窗外水平遮陽(yáng)篷的寬AD=0.8m，則灑在地面上光線(xiàn)EP的寬度為m（參考數(shù)據(jù)3=1.732

【變式4-3】（2023·全國(guó)·一模）剪紙是中國(guó)的傳統(tǒng)文化之一．如圖1，將長(zhǎng)為12cm，寬為5cm的矩形紙片剪成4張小紙片、分別記為“①，②，③，④”．若這四張小紙片恰好能拼成如圖2所示的矩形，則在“小紙片①”中，較長(zhǎng)直角邊=cm．

【題型5平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例（X型）】【例5】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，F(xiàn)是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線(xiàn)BF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的長(zhǎng)（

）A．22 B．3 C．13 D．【變式5-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線(xiàn)AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2.則BEEC的值為

【變式5-2】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DE∥BC．若AE=2,AC=4，【變式5-3】（2023·重慶渝中·統(tǒng)考一模）已知?ABCD，點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CE與AD，BD分別相交于點(diǎn)G，F(xiàn)．求證：CF

【題型6平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例與三角形中位線(xiàn)綜合】【例6】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，G為△ABC的重心，AG=12，則AD=．【變式6-1】（2023·湖南湘潭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，OE∥AB交AD于點(diǎn)E．若OA=2，△AOE周長(zhǎng)為10，則平行四邊形A．16 B．32 C．36 D．40【變式6-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，AB=5，BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BFC=90°.連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G.若，則DG的長(zhǎng)為（）A．52 B．32 C．3 D【變式6-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A(yíng)點(diǎn)O；②分別以點(diǎn)B，C為圓心、大于12BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③連接OE交BC于點(diǎn)F；④連接AF交BO于點(diǎn)G．若AD=42

A．1 B．2 C．43 D．【題型7平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的常用輔助線(xiàn)之平行線(xiàn)】【例7】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，CE=2，CA=5，AD=4，BD=52，則sin∠DOB的值是

【變式7-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC邊于點(diǎn)F，若AE：ED＝1：3，AF

【變式7-2】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，CG平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG交BC于點(diǎn)H，且H是BC的中點(diǎn)．若AH=4，CG=6，則AB的長(zhǎng)為．

【變式7-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？既＃┤鐖D，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC邊上中線(xiàn)，則線(xiàn)段DE=．

【題型8平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的常用輔助線(xiàn)之垂線(xiàn)】【例8】（2023·浙江·一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，EF垂直AB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若BGCG=13，EF=25

A．35 B．1455 C．5【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于點(diǎn)K，點(diǎn)M在A(yíng)K上，CK=KM，tan∠KAC=34，N為BM的中點(diǎn)，G為AC的中點(diǎn)，若BC=14，則線(xiàn)段【變式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°<90°，得到△DEC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，射線(xiàn)ED分別交BC，AB于點(diǎn)F，M，當(dāng)△MFB為等腰三角形時(shí)，【變式8-3】（2023·黑龍江綏化·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且PA=PB=PC，∠ABC=45°，點(diǎn)D在A(yíng)C上，連接DP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若CD=3AD，∠APD=∠CBP，PE=7則線(xiàn)段PD

【題型9相似多邊形的性質(zhì)】【例9】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A． B． C．D．【變式9-1】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考三模）如圖，?ABCD∽?EFGH，AB∥EF，記四邊形ABFE、四邊形BCGF、四邊形CDHG、四邊形DAEH的面積分別S1，S2，S3，S4，若已知?ABCD和?EFGH的面積，則不用測(cè)量就可知的區(qū)域的面積為（）A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4【變式9-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問(wèn)題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀(guān)點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長(zhǎng)為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對(duì)角線(xiàn)向其延長(zhǎng)線(xiàn)兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對(duì)于兩人的觀(guān)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)【變式9-3】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）對(duì)于題目：“在長(zhǎng)為6，寬為2的矩形內(nèi)，分別剪下兩個(gè)小矩形，使得剪下的兩個(gè)矩形均與原矩形相似，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)剪下的兩個(gè)矩形周長(zhǎng)和為最大值時(shí)的方案，并求出這個(gè)最大值．”甲、乙兩個(gè)同學(xué)設(shè)計(jì)了自認(rèn)為滿(mǎn)足條件的方案，并求出了周長(zhǎng)和的最大值．甲方案：如圖1所示，最大值為16；乙方案：如圖2所示，最大值為16．下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的是（

）A．甲方案正確，周長(zhǎng)和的最大值錯(cuò)誤B．乙方案錯(cuò)誤，周長(zhǎng)和的最大值正確C．甲、乙方案均正確，周長(zhǎng)和的最大值正確D．甲、乙方案均錯(cuò)誤，周長(zhǎng)和的最大值錯(cuò)誤【題型10畫(huà)已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】【例10】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)(-2，

(1)以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC按2:1放大在y軸的左側(cè)，畫(huà)出放大后的△DEF；(2)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是；(3)S△ABO:【變式10-1】（2023·廣西防城港·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方格的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，已知\△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A-6

(1)畫(huà)出△ABC沿著x軸向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A(2)以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的12，請(qǐng)?jiān)谖凰浦行耐瑐?cè)畫(huà)出縮小后的△(3)直接寫(xiě)出線(xiàn)段C1【變式10-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-4,3，-3,-1，0,2．(1)以點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心，畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的圖形△A1B1C1（其中A與A1，B(2)以點(diǎn)D-2,1為位似中心，將△ABC放大2倍得到△A2B2C2（其中A與A2，B與【變式10-3】（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-1,2，B-4,3，(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A(2)以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫(huà)出△A2B2C2，使(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)A1，C【題型11求位似圖形的坐標(biāo)】【例11】（2023·山東日照·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為-2，0，點(diǎn)C坐標(biāo)為-1，0，以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C．若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為2,-3，點(diǎn)

A．3,-2 B．-2,32 C．-5【變式11-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,2,B2,1,C3,2，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【變式11-2】（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A2,6，B3,1，O0,0，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的13，得到△A

【變式11-3】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，以點(diǎn)C(0,1)為位似中心，將△ABC按相似比1:2縮小，得到△DEC，則點(diǎn)A(2,-1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

【題型12求位似圖形的線(xiàn)段長(zhǎng)度】【例12】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若A-2，0，D3，0，且A．22 B．32 C．42【變式12-1】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原圖形的12，得到△COD，則OC

A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【變式12-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,2，