【解析】安徽省六安市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

六安一中2019~2020年度第二學(xué)期高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷（文科）滿分：150分時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線a，b為異面直線，過直線a與直線b平行的平面（）A.有一個(gè) B.有無數(shù)多個(gè) C.至多一個(gè) D.不存在【答案】A【解析】【分析】由線面間的位置關(guān)系及線面平行的判定定理判斷．【詳解】直線a，b為異面直線，過上任一點(diǎn)作直線，直線存在且唯一，且是相交直線，由確定的平面記為，是唯一的，由線面平行的判定定理得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與直線間的位置關(guān)系，直線與平面間的位置關(guān)系，掌握線面平行的判定定理是解題關(guān)鍵．2.若a>b，則Aln(a?b)>0 B.3a<3bC.a3?b3>0 D.│a│>│b│【答案】C【解析】【分析】本題也可用直接法，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，知A錯(cuò)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯(cuò)．【詳解】取，滿足，，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?，知B錯(cuò)，排除B；取，滿足，，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．3.若不等式組的解集非空，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】分析】不等式組等價(jià)于，由不等式組解集非空得，可得答案.【詳解】原不等式組等價(jià)于,由題意不等式組解集非空可得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查不等式解集非空問題，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【詳解】對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項(xiàng)中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．5.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，用截距模型求最值．【詳解】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分．目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值．由，得，所以．故選C．【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求．6.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：，.考點(diǎn)：數(shù)列，三角函數(shù)．7.下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①若直線，，則②若直線，，則③若直線，直線，則④若直線，直線，則A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】分析】根據(jù)直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理對(duì)命題進(jìn)行驗(yàn)證排除，得到答案.【詳解】由直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理知：①中直線在平面內(nèi)時(shí)不成立；②中，但直線與直線成異面直線時(shí)顯然不成立；③中直線在平面內(nèi)時(shí)不成立；④中直線，直線，則與直線可能平行也可能相交或異面，所以不成立.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定線面平行的四種方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理()；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理()；(4)利用面面平行的性質(zhì)()．8.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形.已知點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，且，則的邊邊上的高為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】在直觀圖中∥軸，可知原圖形中∥軸，故,,求直觀圖中的長即可求解.【詳解】∵直觀圖是等腰直角三角形，，∴，根據(jù)直觀圖中平行于軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?∴△的邊上的高.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜二測(cè)直觀圖的畫法，屬于中檔題.9.（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.【答案】B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.10.在中，角的對(duì)邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以，選A.【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視.11.已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的值取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，恒成立?2m＜．即可得出．【詳解】∵x＞0，y＞0，∴48．當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝4時(shí)取等號(hào)．若恒成立，∴2m＜8，解得m＜4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、恒成立的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．12.若的面積為，且為鈍角，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理和三角形面積可求得，用正弦定理化，再化為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)知識(shí)可得取值范圍．【詳解】∵，∴，，∴，∴，又∵為鈍角，∴，∴，，由正弦定理得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，正弦定理，考查三角形面積公式，解題關(guān)鍵是根據(jù)正弦定理把轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)后可得其取值范圍．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)位置上．13.在中，，則_____________【答案】【解析】由三角形的面積公式知，,解得，再有余弦定理得，故.14.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n，則S4=___________．【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．一題多解：本題在求得數(shù)列公比后，可利用已知計(jì)算，避免繁分式計(jì)算．15.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖是一個(gè)直三棱柱與個(gè)球的組合體，然后根據(jù)條件求解【詳解】有三視圖知幾何體的直觀圖是一個(gè)直三棱柱與個(gè)球的組合體，畫出直觀圖得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體體積.求空間幾何體體積的常見類型及思路規(guī)則幾何體：若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法不規(guī)則幾何體：若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解三視圖形式：若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解16.已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，，，則此球的表面積等于__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，直三棱柱的高為，利用正弦定理求出的外接圓半徑，然后利用公式求出該直三棱柱的外接球半徑，最后利用球體的表面積公式即可計(jì)算出該球的表面積.【詳解】由題意可知，直三棱柱的高為，在中，，則該三角形為等腰三角形，又，，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，.設(shè)直三棱柱的外接球半徑為，則，因此，該球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計(jì)算，涉及多面體的外接球問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．17.在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可以得到，根據(jù)題設(shè)條件，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得；（2）根據(jù)題設(shè)條件以及第一問的結(jié)論可以求得，之后在中，用余弦定理得到所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題設(shè)知，，所以；（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時(shí)刻關(guān)注題的條件，以及開方時(shí)對(duì)于正負(fù)號(hào)的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關(guān)系，從而正確求得結(jié)果.18.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求使得的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為．由，，利用“”求解．（2）由（1）得，故，然后解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為．由得．由得．于是．因此的通項(xiàng)公式為．（2）由得，故.由知，故等價(jià)于，解得．所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，還考查了數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.19.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求m，n;（2）設(shè)，且，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由和是方程的解可得；（2），得出滿足的關(guān)系，作出點(diǎn)據(jù)平面區(qū)域，作直線，平移該直線得的取值范圍，也即的取值范圍．【詳解】（1）∵不等式的解集為∴，解得；（2）∵，且，∴，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分（含邊界實(shí)線，不含虛線部分），由解得，即，作直線，平移直線知，向下平移直線，減小，而直線過點(diǎn)時(shí)，，∴，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題．解題關(guān)鍵是作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得結(jié)論，注意可行域中虛線部分不可?。?0.已知正方體的棱長為1，如圖所示．（1）求證：平面平面；（2）試找出體對(duì)角線與平面和平面的交點(diǎn)，，求．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證平面，再證平面，再由，平面，平面，可得平面平面；（2）先連接，交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)E，可得點(diǎn)E就是與平面的交點(diǎn)；再連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接，與交于點(diǎn)F，可得點(diǎn)F就是與平面的交點(diǎn)，而后證，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形所以，又平面，平面，所以平面，同理平面又，平面，平面，所以平面平面；（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)E，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)E也在平面內(nèi)，所以點(diǎn)E就是與平面的交點(diǎn)，同理，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接，與交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F就是與平面的交點(diǎn)，下面證明，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，在中因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以E是的中點(diǎn)，即同理可證，所以F是CE的中點(diǎn)，即，所以，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的證明，考查面面平行的性質(zhì)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.21.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，，求得；（2）由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1），．．?dāng)?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．．（2），．．①．②，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列求和的常用方法，錯(cuò)位相減法求和的方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析和計(jì)算能力，是中檔題.22.已知正四棱錐的表面積為，記正四棱錐的高為．（1）試用表示底面邊長，并求正四棱錐體積的最大值;（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求異面直線和所成角的正切值．【答案】（1）；；（2）3.【解析】【分析】（1）設(shè)底面邊長為，側(cè)面三角形高為，由表面積構(gòu)造方程可求得，利用可構(gòu)