四川省宜賓市2020屆高三年級下冊第二次診斷性測試理科數(shù)學試題（解析版）

宜賓市普通高中2020級第二次診斷性測試

數(shù)學（理工類）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合&={乂—之,尤＜3},B=Z,則AB=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】根據集合交集的定義運算即可.

【詳解】集合4=卜|一2＜尤＜3},B=Z，則A{-1,0,1,2}

故選：C

2.已知（3-2i）z=5+i,則1=（）

A.1+iB.1-iC.3+2iD.2+3i

【答案】B

【解析】

【分析】由復數(shù)的除法先求解z,再求其共輾復數(shù)即可.

由（3—2i）2=5+i得2=^^（5+i）（3+2i）13+13i

【詳解】

（3-2i）（3+2i）-13

所以z=1-i.

故選：B.

3.2月國家統(tǒng)計局發(fā)布中華人民共和國2022年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報.下圖1是2018-2022年國內

生產總值及其增長速度，圖2是2018-2022年三次產業(yè)增加值占國內生產總值比重（三次產業(yè)包括第一產

業(yè)，第二產業(yè)，第三產業(yè)）.根據圖1,圖2,以下描述不正確的是（）

億元圖12018?2022年國內生產總值及其增長速度％

1400000

1200000

1000000

800000

600000

400000

200000

0

%圖22018-2022年三次產業(yè)增加值占國內生產總值比重

A.2018-2022年國內生產總值呈逐年增長的趨勢

B.2020年與2022年國內生產總值的增長速度較上一年有明顯回落

C.2018-2022年第三產業(yè)增加值占國內生產總值比重的極差為1.7%

D.2020年第二產業(yè)增加值較2019年有所減少

【答案】D

【解析】

【分析】根據給出的圖形逐一分析判斷即可.

【詳解】依題意，

對于A：由圖1可以看出直方圖逐年增高，所以2018-2022年國內生產總值呈逐年增長的趨勢，故A正

確；

對于B：由圖1可以看出折線在2020年與2022年時與上一年連線的斜率小于0,故B正確；

對于C：由圖2可以得出2018-2022年第三產業(yè)增加值占國內生產總值比重最大值為：54.5%,

最小值為：52.8%,所以極差=54.5%—52.8%=1.7%,故C正確；

對于D：結合圖1圖2可知，2019年第二產業(yè)的增加值為：986515x38.6%=380794.79億元；

2020年第二產業(yè)的增加值為：1013567x37.8%=383128.326億元.

因為383128.326>380794.79,所以2020年第二產業(yè)增加值較2019年有所增加，

故D錯誤.

故選：D.

4.已知函數(shù)/(x)=acosx—f一1有且只有1個零點，則實數(shù)。的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據函數(shù)的最值即可求解.

【詳解】依題意，

因為函數(shù)/(x)=acosx-x2-1有且只有1個零點,

所以/(x)=acosx—f-1=。有且僅有一個解，

即47COSX=X2+1有且僅有一個解，

轉化為y=QCOSx與y=Y+1有且僅有一個交點，

當。=0時，y=acosx=。與丁=必+1沒有交點，所以。/0；

當a<0時，因為cosxe[-l,l],所以y=acosxe[a,-a],

當x=0時，yud+i有最小值1,y=acosx有最小值.<0,

此時y=acosx=。與y=_?+1沒有交點，

由于y=acosx=0與y=必+1都是偶函數(shù)，

若在除去x=0之外有交點，則交點必為偶數(shù)個，不符合題意，

所以。<0不符合題意；

當a>0時，因為cosxe[—l,l],所以y=acos%w[—a,a],

又因為丁=爐+121,

所以當且僅當。=1時，此時x=0有唯一的交點.

故選：B.

5.四邊形4￡由由如圖所示三個全等的正方形拼接而成，令NE4D=(z,ZFAD=/3,則tan(4—a)=

417

A.1B.—C.—D.一

376

【答案】C

【解析】

【分析】由正切函數(shù)的定義即可求得tano=±tan/=L,再根據正切的和差公式即可求解.

32

【詳解】依題意，設正方形的邊長為1,

根據正切函數(shù)定義有：tana=1,tan/?=L,

32

11

所以tanMY)=「。2-3_1

1+tancrtanp1,11

1+-X—

32

故選：c.

6.已知某四棱錐三視圖如圖所示,其正視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，則該四棱錐最長

的棱長是（）

0

A.yB.1C.y/2D.百

【答案】D

【解析】

【分析】根據三視圖還原四棱錐即可求解.

【詳解】依題意，

還原三視圖得四棱錐的幾何圖形，如圖所示：

其中底面A3CD是邊長為1的正方形，尸底面A3CD,且PC=1,

由圖易得最長的棱為以，

所以Q4=VAS2+BC2+PC2=V1+1+1=73-

故選：D.

7.下列判斷正確的是（）

4

A.若%>1,則%+----的最小值是5

x—1

11

B.若尤,則一〉一

%y

2

C.若xe（O,兀），貝I|sinx+i—的最小值是2夜

D.若龍〉》，貝IJV〉/

【答案】A

【解析】

【分析】根據均值不等式計算得到A正確，根據函數(shù)單調性得到C錯誤，舉反例得到BD錯誤，得到答案.

44I4-4

【詳解】對選項A：x+——=x-l+——+1>2.（x-1）----+1=5,當且僅當x-l=——，即

x-1x-1vv'x-1x-\

x=3時等號成立，正確；

對選項B：取x=-l,y=l,滿足x<y,工〉,不成立，錯誤；

22

對選項C：XG（0,7C）,則/=sinxw（O,l],y=f+—在（0,1]上單調遞減，故sinx+二一的最小值為

tsin

1H—=3,錯誤；

對選項D：取x=Ly=-i,滿足x>y,%2〉y2不成立，錯誤；

故選：A

8.下圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中T是房梁與該截面的

交點，A,3分別是兩房檐與該截面的交點，該建筑關于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，測得

柱子q與。2之間的距離是6L（L為測量單位），柱子。2與。3之間的距離是2M.如果把AT，3T視

作線段，記4，尸2，A是AT的四等分點，。1，。2，Q是3T的四等分點，若3Q2=2L,則線段AQ

的長度為（）

河北宣強1.匕JAN-1AJHIHTIEN

房於守三人士&丈

KUANG-CHIJZU

PAO-TI.HOPEI

新密密尺

A.阮B.V3LC.75LD.2伍

【答案】A

【解析】

【分析】畫出平面圖形，根據余弦定理即可求解.

【詳解】依題意，如圖所示：其中點與點A重合,

因為該建筑關于房梁所在鉛垂面(垂直于水平面的面)對稱，

P?,鳥是AT的四等分點，。1，2是3T的四等分點

所以=BQ=2L,P2P3-L,P2C2±AB,Q2C3±AB,P2C2-Q2C3,

所以AC2鳥為直角三角形，四邊形C2c3。2鳥為矩形，

所以//C2c3且P,Q2=GG=2百L，NP3P◎=NC2Ag

AC2_V3L_JT

又cosNG-所以NARQ,=ZC2AP2=-,

-2L-26

在，巴EQ2中，由余弦定理得:

鳥Q；=P.P；+8Q；-2.鳥巴?P2Q2COSNP3P2Q2，

所以P忠=I3+（2V3L）2-2-L-2A/3L-COS-^=7L2,

所以60=SL.

故選：A.

9.已知長方體ABC?！?4G2中，AB=2,BC=AAi=l,E為4耳的中點，則下列判斷不正確的是

()

B.點用到平面EBC1的距離是走

A.AC,平面E3G

3

D.異面直線EC與所成角的余弦值為巫

C.4。，平面EBC]

15

【答案】C

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，計算給點坐標，得到平面E3G的法向量為“=（1,1,1）,再根據公式依次計算

每個選項得到答案.

【詳解】如圖所示，以為％y，z軸建立空間直角坐標系,

則5（1,2,。），C（0,2,0）,D（0,0,0）,E（l,l,l）,A。，?！梗?，男（1,2,1）,Q（0,2,1）,

設平面班G的法向量為〃=（x,y,z）,則{,

BQ=一元+z=0

?。?1得至=

對選項A：4c=（—1,2,—1）,AC-n=（-l,2,-1）-（1,1,1）=0,AC.平面EBG，故A。；平面

EBC、,正確；

對選項B：BB}=（0,0,1）,點用到平面切C］的距離是IJ==5_,正確；

\n\A/33

對選項c：4。=（一1,一2,—1）,耳。與〃=（1,1,1）不平行，錯誤；

對選項D：EC=（-1,1,-1）,BD=（-l,-2,0）,EC與所成角的余弦值為

|ECBD|1岳一

15，正確.

|EC|-|BD|也義亞

故選：c

io.已知雙曲線三■=1（。〉0/〉o）的左，右焦點分別為月，B，點P在雙曲線的右支上，/為

ab

△P4心的內心，PFXI,^PF2I,△/耳鳥的面積分別為SI,邑，S3,且滿足$=邑+向，則雙

曲線的離心率是（）

A.72B.百C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形鳥的內切圓圓心/到各邊距離都等于半徑廠，從而得到百=；|四卜，

11V

^2=-|^k＞S3耳用人再由S]=S?+才找到a，c的等量關系,進而求得離心率的值.

【詳解】設△「￡心的內切圓半徑為廣，則4=；歸片卜，S2=^\PF2\r,S3=||^|r,

所以51_52=（戶周一3忙閶r=3廠（戶用—戶閭）=在，又§3=5,Sx-S2=^,所以w=

即c=3a,所以e=3,

故選：D.

11.已知函數(shù)＞=/的圖象在點尸（。,6）（其中。＜2）處的切線與圓心為。（1,0）的圓相切，則圓。的最大面

積是（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

【答案】B

【解析】

【分析】利用點到直線的距離表示出半徑/關于。的函數(shù)，構造函數(shù)討論單調性求出極大值即可.

【詳解】依題意，

切點P（a,e"）,y'=e",k=e"，

所以切線為：y-eQ=efl(x-a),即e°x—y+(l—a)e“=0,

因為切線與圓相切，所以d=r,d）。一小、（.刊e"

7e2fl+lVe2fl+1

flA

(2-?)e(2-x)e(

所以r=令y(x)=x<2），

Ve2fl+1Ve2-l+l

令/'(x)=0,解得光=0,

所以當XG(T?,0)時，f\x)>0,當xe(0,2)時，f\x)<0,

所以/(%)在0)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，

所以/('max=/(°)=1=應，即

所以￡明=兀(二)2=2兀-

故選：B.

【點睛】方法點睛：導數(shù)是可以用來討論函數(shù)單調性的工具，而函數(shù)的最值問題往往可以用單調性來求

解.

12.已知函數(shù)"%)=gsin?〃)x+2sinGxcos3一百cos?〃比一1(G>0),給出下列4個結論：

①“X)的最小值是-3；

Ijr57r1

②若。=1,則/(%)在區(qū)間-石,石-上單調遞增；

I兀

③將y=sinx的函數(shù)圖象橫坐標縮短為原來的一倍，再向右平移三個單位長度，再向下平移1個單位長度,

412

可得函數(shù)y=/(x)的圖象，則°=2；

④若存在互不相同的與，4，尤3目°，1|，使得%)+/(/)+/($)=3，則

其中所有正確結論的序號是()

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②

【答案】A

【分析】化簡得到/(x)=2sin[2(yx-§1-1,f(x)]nin=-3,①正確，'，石時，

(IT)jrQjr

2cx-71e7171…一J兀

ylI>②正確,y=sinl4x--1-1,刃=2時不相等，③錯誤，—f解得

3

29,

co>—,④正確，得到答案.

12

【詳角星】/(x)=-A/3COS2COX+sin2cox-1=2sin12力尤一；)一1(G>0),

對①:當sin(2°x—|J=—1時，/(%)僦=—3,正確;

71兀5兀717171

對②:刃=1,則/(%)=2sin2x———1,XG時，2x——G,正確;

3121232?2

—x

對③:y=sin4x--1—sinf4x—yj—1,0=2時，/()—2sinf——不相等，錯誤;

I123

對④：/(x)=2sinf20x-j1-1,-3</(x)<l,/(^)+/(%2)+/(^)=3,

叫-①

則/(玉)=/(*2)=/(%3)=1，sin(2g=sinI2CDX2J=sin[2%-^-1=1,

717r71Qjr29

當％=0時，2①x—二—，故當x=兀時，2①Ti—2—，解得。2—,正確.

333212

故選：A

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.在A5C中，。是的中點，A￡）=4,點尸為AD的中點，則AP-（P3+PC）=

【答案】8

【解析】

【分析】運用向量運算法則即可求解.

【詳解】依題意，如圖所示：

因為。是的中點，點尸為AD的中點，

所以PD=L（P3+PC）,AP=^AD,AP=PD,

2、'2

所以+==工義42=8.

\'222

故答案為：8.

14.當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規(guī)律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規(guī)

律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關系式上（/）=/，（其中益為生物死亡

之初體內的碳14含量，/為死亡時間（單位：年），通過測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為（%,則該

生物的死亡時間大約是年前.

【答案】17190

【解析】

【分析】根據題意,,求得/的值，即可得到答案.

【詳解】由題意，生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關系式左?）=啟

因為測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為1%,

故答案為：17190年.

15.已知拋物線/=4x的焦點為尸，過尸的直線交拋物線于A,5兩點，貝"A典+4忸司的最小值是

【答案】9

【解析】

【分析】根據拋物線的定義，設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元，求出韋達定理即可求解.

【詳解】依題意，

因為拋物線V=4%的焦點為尸，所以尸（1,0）,p=2

①當左斜率存在時：因為直線交拋物線于A,8兩點，所以左W0,

設過歹的直線的直線方程為：y^k（x-l）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

由拋物線定義得："=%+（|即=%+g

由＜°消y整理得：k2x2-（2k+4）x+k2=0,

、yx

所以工逮2=1，即%=1,

玉

所以,4+4|8月=石+4%2+2=%+百+5之2Lx—+5=9；

2玉'玉

②當左不存在時，直線為x=l,此時|A耳=忸4=1+^|=2,

所以|AF|+4忸同=2+4x2=10；

綜上可知，|人司+4忸周的最小值為：9.

故答案為：9.

16.已知三棱錐A-BCD的四個面都是邊長為2的正三角形，M是ABC外接圓。上的一點，P為線段

日。上一點，PO、=顯,N是球心為尸，半徑為逅的球面上一點，則的最小值是_____.

163

【答案】亞

6

【解析】

【分析】畫出立體幾何圖形與相應的截面圖，易得當點N為與球尸的交點時，MN取得最小值，由

=0加一PN即可求解.

【詳解】依題意，

因為三棱錐A-BCD的四個面都是邊長為2的正三角形，

所以三棱錐A-BCD為正四面體，如圖所示：

由正四面體的性質易得：

頂點。在平面ABC上的投影為a,

。1為外接圓的圓心且為的重心，

作出球尸的截面，由圖可知，當點N為與球尸的交點時,

取得最小值，此時",N,尸三點共線，MN=PM-PN,

因為為等邊三角形，其外接圓的半徑為a”，

所以8〃=05=

323

_3

由勾股定理得：PM-=P0^+OM2=—,

X2

所以「加=逅，又PN=立,

23

所以MN=PM—PN=?—在=&，

236

故答案為：逅.

6

【點睛】方法點睛：三角形的外接圓半徑，可利用正弦定理快速求解.立體幾何外接球內切球問題，需要數(shù)

形結合畫出相應的幾何圖形便于分析求解.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必做題：共60分.

17.2022年中國新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以比亞迪為代表的中國汽車交出了一份漂亮的“成績

單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球新能源汽車市場銷量冠軍，在中國新能源車的銷量中更是一騎絕

塵，占比約為30%.為了解中國新能源車的銷售價格情況，隨機調查了10000輛新能源車的銷售價格，得到

(1)估計一輛中國新能源車的銷售價格位于區(qū)間［5,35)(單位：萬元)的概率，以及中國新能源車的銷

售價格的眾數(shù)；

(2)若從中國新能源車中隨機地抽出3輛，設這3輛新能源車中比亞迪汽車的數(shù)量為X,求X的分布列

與數(shù)學期望.

【答案】(1)0.79；20

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)根據頻率分布直方圖得到概率為(0.022+0.04+0.017)義10,眾數(shù)為(15+25)+2,計算得到

答案.

(2)X的可能取值為0』,2,3,計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望得到答案.

【小問1詳解】

銷售價格位于區(qū)間［5,35)(單位：萬元)的概率為(0.022+0.04+0.017)xl0=0.79.

銷售價格的眾數(shù)為(15+25)+2=20

【小問2詳解】

X的可能取值為0』,2,3,

p(x=0)=(1-0.3)3=0343；p(x=1)=C；o.3x(l—0.3)2=Q441；

p(X=2)=C10.32x(1-0.3)=0.189；P(X=3)=0.33=0.027,

分布列為：

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E(X)=0x0.343+1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

18.已知數(shù)列｛4｝,｛",｝,4=2,記為數(shù)列｛%,｝的前〃項和，%=此力3bn.

\2S111,

條件①："+〃是公差為2的等差數(shù)列；條件②：—+—=1.

In｝bnan

從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若c,=2"y,,求數(shù)列｛g｝的前〃項和

【答案】(1)an=n+\

n+l

(2)Tn^n-2

【分析】(1)選①：由S,與%的關系即可求解；選②：由等差數(shù)列的定義即可求;

(2)利用錯位相減法即可求解.

【小問1詳解】

因為S.為數(shù)列｛aa｝的前〃項和，所以國=囚=2.

選擇條件①：因為是公差為2的等差數(shù)列,

廿h、，2sl?2a..

首項為一'+l=—+1二5，

11

所以——-+zz=5+（zz-l）x2=2n+3,

整理，得2S”/+3〃,

所以2S〃T=（n-l）2+3（n-l）,n>2,

所以=2（S”一S.T）=n2+3n-（n-iy-3（n-l）=2n+2,

所以當〃=1時也符合q=2,

所以％,="+l；

選擇條件②：因為偽劣&b”,所以%為&「a-1，

anb.b^b.?h

所以二=b”,

a,-b7Q2bI3b7“_i

11a,1

所以廠+—=’4+—=1,整理，得可—q”i=l,

bnananan

所以｛4｝是以q=2為首項，公差為1的等差數(shù)列，

所以a”=2+(/7-l)xl=n+l,

即?！?〃+1.

【小問2詳解】

由(1)知%=〃+1,所以q=2〃?%=(〃+1)-2",

所以北=q+。2+???+，〃，

所以7；=2x2-3x22+...+(〃+1)x2”,

所以2%=2x22+3x23+...+(〃+1)X2"M,

所以—<=4+22+23+…+2"—+,

所以乜=4+=，

整理，得母=加2”+1.

19.圓柱aa中，四邊形。瓦G為過軸的截面，0G=40，。石=16,ABC為底面圓。?的內接

正三角形，AB//DE.

AB

(1)證明：CO2，平面ABFG；

(2)求平面ECD與平面A3FG所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

15

【解析】

【分析】(1)連接。。1延長交A3于點連接。2”，證明002,DE，CM三條直線兩兩垂直，建立空間

直角坐標系，運用向量垂直的性質即可證明CQ，G￡CQ，再由線面垂直判定定理即可證明；

(2)由(1)知CO；是平面A3FG的一個法向量，根據求法向量的步驟求出平面ECD的法向量，求出兩

個平面法向量的夾角即可求解.

【小問1詳解】

依題意，連接。。1延長交AB于點M,連接。2”，

因為為底面圓。?的內接正三角形，

所以。?既是；ABC的外心也是重心，所以/為A3的中點，

因此27±AB,又AB〃DE,

所以CMLDE,CO1=2O1M=|CM,CM=4AB

又002,底面ABC，DE,CMu底面ABC,所以qQLDE,0fi21CM,

所以DE,CM三條直線兩兩垂直，以。i為空間直角坐標系原點，

CM,OR002分別為蒼%z軸建立空間直角坐標系如圖所示：

因為四邊形。EFG為過軸。。2的截面，DG=4j5，DE=16,

所以。E是圓。1的直徑，所以CO1=EO]=|DE=1xl6=8,

所以CM=12,A3=86，OXM=4,0Q?=DG=4①,由此可得：

Q（0,0,0）,Q（0,0,40）,M（4,0,0）,C（-8,0,0）,

D（0,-8,0）,F（0,8,472）,G（0,-8,4⑹，

所以C（?2=（8,0,4點），GF=（0,16,0）,QM=（4,0,—4夜），

所以0?2.6/=（8,0,4點>（0,16,0）=0,CO2-O2M=（8,0,472）-（4,0,-4A/2）=0

所以CQ，GF,CO?±O2M,即CO21GF,CO]±QM,

又GF、O2M=O2,G￡O2Mu平面ABJFG,

所以CC>2，平面ABFG.

【小問2詳解】

由（1）知，CO2，平面AftFG,

所以CQ是平面ABbG的一個法向量，￡>F=（0,16,472）,CF=（8,8,472）,

設平面ECD的法向量為〃=（尤,y,z）,則有：

n-DF=（x,y,z）-（0,16,472）=0［同+4任=0

即＜I-

〃CE=（x,y,z）-（8,8,4后）=018x+8y+4&z=0

令y=i,則有：x=l,z=-2亞,

所以平面EC。的一個法向量可以是：〃=（U,

/、（8,0,4逝）.（1,1,-2企）Jp

所以cos〈CO?4=I\2/，=—七

^82+02+（472）-^l2+l2+（-2V2）15

設平面EC。與平面A3FG所成角為々，則a與（CQ，〃）相等或者互補，

因為cos（CQ,〃）=—[^<0，所以&=兀一（。。2，〃

V2W

15

20.已知橢圓E:=+5=l（a〉6〉0）的離心率為正，右焦點為b（1,0）.

ab~2

（1）求橢圓E的方程;

（2）已知橢圓E的上頂點A在以點尸為圓心的圓外，過A作圓尸的兩條切線小4分別與％軸交于點

5,點C,/r4分別與橢圓交于點P,點Q（都不同于點A）,記ABC面積為M，△APQ的面積為

S.33

Si,若U=求圓產的方程?

516

2

【答案】（1）土+）2=1

2

13

（2）圓P：（x-1）2+/=5或（x-l）2+/=萬.

【解析】

【分析】（1）根據橢圓的性質與離心率公式即可求解；

（2）設出切線方程，由點到直線的距離可以得出兩條切線的斜率關系，易得點民C的橫坐標，再由切線方

程與橢圓聯(lián)立，根據韋達定理求出P,Q的坐標，代入三角形面積公式化簡即可求解.

【小問1詳解】

c_A/2

a2a—y/2

由已知得，c=l

〃2=》2+02b=l

r2

E:-----nJ=i.

2

【小問2詳解】

由（1）知，點A（O,1）,過點A作圓尸的切線，當其中一條斜率不存在時不合題意,

可設切線方程為y=辰+1,圓產的半徑為r（0<r<0,且r。1）,

戶*2+2左+0—戶）=0

2

設切線乙,4的斜率分別為K/2廁%+左2=--------￡，k%=1，

1-r

>=小+1/\4k

12

由4:y=幻+1,令y=0得出一［；由<x2得（24+1）『+4Kx=0,,%=—2^2；］

k\方+y-1

4左；左;+2（左；+左;）+1

16

161616

.2—3

..r二一或一，

22

i3

???圓—+=萬或（九一1）2+,2

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的關系，設而不求是必須要掌握的技巧，聯(lián)立消元后寫出韋達定理,

再將問題通過變形化簡用韋達定理相關的式子表示出來，達到轉化化簡的效果.

21.已知〃>0,函數(shù)=g（%）=ln%.

(1)若0<a?，，求證：/(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若存在。，使得/(x)>g(x)+b對于任意的x>0成立，求最大的整數(shù)b的值.

【答案】(1)見解析(2)2

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)/(%)求導，討論單調性，證明最小值大于0即可；

(2)將不等式轉化為兩個函數(shù)的圖象交點問題，分別討論兩個函數(shù)的單調性，利用存在性定理判斷根的范

圍即可求解.

【小問1詳解】

f\x)=e”—lax,令Z(x)=cx-2a,0<2〃<e,

「?令心)=ex-2a=0,解得x=ln2a

.,./'(%)=e*-2ax在(-oo』n2a)上單調遞減,(In2a,+8)單調遞增，

ff(Jn2a)=2a—2aIn2a=2a(l—In2a),

>0,In2tz<1,

f\x)>/'(In2a)=2^(1-In2a)>0

命題得證.

【小問2詳解】

存在。，使得e"—雙2>ln%+Z?對于VxeR成立，

等價于存在a，使得ex-lnx-Z?>ax2對于X/x￡R成立，

由于a*>0,原題意必要條件是e"-1口%>/?,對VxwR都成立

,1「1]我1

設〃(%)=。*一111%,/2'(%)=^——,3x0e—,1，使得e"=—，即—Xo=in/,

X2Xn

在（0,%）是減函數(shù)，在（天,”）是增函數(shù)淇中e』=—,gp-X0=lnx0,

%0

；/（%）而n=Mxo）=e%_lnx（），

，對VxeR,e*—Inx>人都成立的最大整數(shù)b是2,

以下證明充分性，當b=2時，存在a，使得e，—依221nx+2恒成立，

e'-以221nx+2o‘\-皿?2、。,由上證明知b一皿?2存在大于。的正的最小值,

XX

故存在大于。的。，使得e—，一耍Inx土—2之a恒成立，

x

—Inx—3

當6=3時，設（p{x}=-------e（1）=e—3<0,

x

故對X/a>0,-ax2>Inx+3不恒成立，

???存在a，使得于（x）>g（x）+b對于任意的XGR成立，最大的整數(shù)b的值是2.

【點睛】關鍵點睛：不等式恒成立問題，可以考慮轉化為大于最大值或小于最小值的問題，也可考慮分離

參數(shù)，分離參數(shù)時，要注意不等式的符號是否會改變.

(二)選做題：