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2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷2(新高考Ⅰ)一.選擇題(共8小題)1.已知U=R,A={x|x2﹣4x+3≤0},B={x||x﹣3|>1},則A∪?UB=()A.{x|1≤x≤4} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<2} D.{x|2<x≤3}2.設(shè)向量均為單位向量,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1,1,2,3,5,8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼,其中兩個(gè)“1”必須相鄰,則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有()A.120種 B.240種 C.360種 D.480種4.陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一,早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成.如圖,已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為64π的球,其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面,圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上,若圓柱的底面直徑為,則該陀螺的體積為()A.48π B.56π C.64π D.72π5.若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是15,則a=()A.2 B.1 C.±1 D.±26.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}滿足,則“d>0”是“{bn}為遞減數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.某學(xué)校為參加辯論比賽,選出8名學(xué)生,其中3名男生和5名女生,為了更好備賽和作進(jìn)一步選拔,現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機(jī)地平均分成兩隊(duì)進(jìn)行試賽,那么兩隊(duì)中均有男生的概率是()A. B. C. D.8.已知點(diǎn)F為雙曲線C:的右焦點(diǎn),點(diǎn)N在x軸上(非雙曲線頂點(diǎn)),若對(duì)于在雙曲線C上(除頂點(diǎn)外)任一點(diǎn)P,∠FPN恒是銳角,則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為()A. B. C. D.二.多選題(共3小題)(多選)9.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,,則下列結(jié)論正確的是()A.a(chǎn)3=2 B.S10=12 C.{Sn}為遞增數(shù)列 D.{a2n﹣1}為周期數(shù)列(多選)10.下列結(jié)論中,正確的有()A.?dāng)?shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為5 B.若隨機(jī)變量ξ~N(1,σ2),P(ξ≤﹣2)=0.21則P(ξ≤4)=0.79 C.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則 D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=9.632,依據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.001=10.828),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001(多選)11.已知b>0,且b≠1,函數(shù)f(x)=ex+bx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()A.若該函數(shù)為偶函數(shù),則其最小值為 B.函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)唯一的定點(diǎn)(0,2) C.若關(guān)于x的方程f(x)=2有且只有一個(gè)解,則b>1或 D.令g(x)=f(x)﹣2為R上的連續(xù)函數(shù),則當(dāng)0<b<1時(shí)g(x)至多存在一個(gè)零點(diǎn)三.填空題(共3小題)12.某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測(cè)試,經(jīng)統(tǒng)計(jì),成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(150,σ2),已知成績(jī)大于170次的有300人,則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)X在130~150次之間的人數(shù)約為.13.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(﹣1)n(n∈N*),則ak=a1?a2…an的最小值為.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),定義P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點(diǎn)之間的“直角距離”為d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.已知兩定點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0),則滿足d(M,A)+d(M,B)=4的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為.四.解答題(共5小題)15.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,b1=0,b2=2且滿足bn+1=2Sn+an.(1)證明:數(shù)列{bn+1}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.16.2023年12月19日至20日,中央農(nóng)村工作會(huì)議在北京召開(kāi),習(xí)近平主席對(duì)“三農(nóng)”工作作出指示.某地區(qū)為響應(yīng)習(xí)近平主席的號(hào)召,積極發(fā)展特色農(nóng)業(yè),建設(shè)蔬菜大棚.如圖所示的七面體ABG﹣CDEHF是一個(gè)放置在地面上的蔬菜大棚鋼架,四邊形ABCD是矩形,AB=8m,AD=4m,ED=CF=1m,且ED,CF都垂直于平面ABCD,GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG⊥平面ABCD.(Ⅰ)求點(diǎn)H到平面ABCD的距離;(Ⅱ)求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值.17.某工廠生產(chǎn)某種元件,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或等于82為合格品,小于82為次品,現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:測(cè)試指標(biāo)[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件數(shù)(件)121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件,若其中一件為合格品,求另一件也為合格品的概率;(2)關(guān)于隨機(jī)變量,俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對(duì)任意正數(shù)ε,均有P(|x﹣μ|≥ε)≤成立.(i)若X,證明:P(0≤X≤25)≤;(ii)利用該結(jié)論表示即使分布未知,隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%,那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù),請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說(shuō)明該工廠所提供的合格率是否可信?(注:當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí),可稱事件A為小概率事件)18.雙曲線C:(a>0,b>0)上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.(1)求C的方程;(2)已知A(﹣3,0),B(3,0),過(guò)點(diǎn)(5,0)的直線l與C交于M,N(異于A,B)兩點(diǎn),直線MA與NB交于點(diǎn)P,試問(wèn)點(diǎn)P到直線x=﹣2的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.已知函數(shù)f(x)=ex+xlnx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若a>0,b>0,且a2+b2=1,證明:f(a)+f(b)<e+1.
2024年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)終極押題密卷2(新高考Ⅰ)參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題)1.已知U=R,A={x|x2﹣4x+3≤0},B={x||x﹣3|>1},則A∪?UB=()A.{x|1≤x≤4} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<2} D.{x|2<x≤3}【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【專題】集合思想;綜合法;集合;數(shù)學(xué)抽象.【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B,再利用集合的補(bǔ)集和并集運(yùn)算求解.【解答】解:因?yàn)锳={x|1≤x≤3},B={x|x>4或x<2},所以?UB={x|2≤x≤4},A∪(?UB)={x|1≤x≤4}.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的并集及補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)向量均為單位向量,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系;充分條件與必要條件.【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】B【分析】將兩邊平方轉(zhuǎn)化為,從而得到與之間的關(guān)系.【解答】解:若,則,所以,,所以,滿足充分性,若,兩邊平方得,所以,滿足必要性.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3.某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1,1,2,3,5,8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼,其中兩個(gè)“1”必須相鄰,則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有()A.120種 B.240種 C.360種 D.480種【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.【專題】對(duì)應(yīng)思想;定義法;排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】A【分析】將兩個(gè)1捆綁在一起,可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種,計(jì)算即可.【解答】解:將兩個(gè)1捆綁在一起,則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.4.陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一,早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成.如圖,已知一木制陀螺內(nèi)接于一表面積為64π的球,其中圓柱的兩個(gè)底面為球的兩個(gè)截面,圓錐的頂點(diǎn)在該球的球面上,若圓柱的底面直徑為,則該陀螺的體積為()A.48π B.56π C.64π D.72π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;球的體積和表面積.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;立體幾何;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】B【分析】根據(jù)題意易得陀螺的外接球半徑R=4,球心為圓柱的中心,再利用球的幾何性質(zhì),分別求出圓柱與圓錐的高,最后根據(jù)體積公式,即可求解.【解答】解:根據(jù)題意易得陀螺的外接球半徑R=4,球心為圓柱的中心,又圓柱的底面半徑r=,∴球心到圓柱底面距離d==2,∴圓柱的高為2d=4,圓錐的高為R﹣d=2,∴該陀螺的體積為==56π.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合體的外接球問(wèn)題,圓柱與圓錐的體積的求解,屬基礎(chǔ)題.5.若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是15,則a=()A.2 B.1 C.±1 D.±2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.【專題】整體思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)化簡(jiǎn)整理再賦值即可得到關(guān)于a的方程,解出即可.【解答】解:二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為,則k=2時(shí)常數(shù)項(xiàng)為,所以a=±1.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式,重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,屬中檔題.6.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}滿足,則“d>0”是“{bn}為遞減數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】充分條件與必要條件;數(shù)列的函數(shù)特性;等差數(shù)列的性質(zhì).【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;等差數(shù)列與等比數(shù)列;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】B【分析】由題意,利用充分條件、必要條件、充要條件的定義,等差數(shù)列的單調(diào)性,得出結(jié)論.【解答】解:∵等差數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}滿足,∴bn=.若“d>0”,則等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,故“{bn}不一定為遞減數(shù)列”,例如當(dāng)an為負(fù)值時(shí),故充分性不成立.若“{bn}為遞減數(shù)列”,則由bn=.可得等差數(shù)列{an}一定是遞增數(shù)列,故必要性成立.綜上,“d>0”是“{bn}為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義,等差數(shù)列的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.7.某學(xué)校為參加辯論比賽,選出8名學(xué)生,其中3名男生和5名女生,為了更好備賽和作進(jìn)一步選拔,現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機(jī)地平均分成兩隊(duì)進(jìn)行試賽,那么兩隊(duì)中均有男生的概率是()A. B. C. D.【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.【專題】對(duì)應(yīng)思想;定義法;概率與統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】D【分析】根據(jù)題意,由組合數(shù)公式計(jì)算出從8人中選出4人的情況,進(jìn)而分兩種情況討論:選出的4人中2男2女,1男3女,再結(jié)合古典概型可解.【解答】解:根據(jù)題意,從8人中選出4人,有種選法,分2種情況討論:1.選出的4人中有2名男生和2名女生,有?=30種選法,2.選出的4人中有1名男生和3名女生,有=30種選法,則兩隊(duì)中均有男生的概率是=.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.8.已知點(diǎn)F為雙曲線C:的右焦點(diǎn),點(diǎn)N在x軸上(非雙曲線頂點(diǎn)),若對(duì)于在雙曲線C上(除頂點(diǎn)外)任一點(diǎn)P,∠FPN恒是銳角,則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為()A. B. C. D.【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】A【分析】把∠FPN恒是銳角轉(zhuǎn)化為>0解決即可.【解答】解:由題意可得c==2,所以F(2,0),設(shè)N(x0,0),P(x,y),則=(2﹣x,﹣y),=(x0﹣x,﹣y),由∠FPN恒是銳角,得=(2﹣x)(x0﹣x)+y2>0,又,∴y2=,∴不等式可化為:(2﹣x)(x0﹣x)+﹣1>0,整理得:﹣(x0+2)x+(2x0﹣1)>0,∴只需Δ=(x0+2)2﹣<0,解得2<x0<.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二.多選題(共3小題)(多選)9.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,,則下列結(jié)論正確的是()A.a(chǎn)3=2 B.S10=12 C.{Sn}為遞增數(shù)列 D.{a2n﹣1}為周期數(shù)列【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.【專題】整體思想;綜合法;點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】BCD【分析】根據(jù)題意,分別求得a1,a2,a3…,得到數(shù)列{an}構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列,逐項(xiàng)判定,即可求解.【解答】解:由題意,數(shù)列{an}滿足a1=1,,當(dāng)n=1時(shí),a2=2a1=2,當(dāng)n=2時(shí),,A錯(cuò)誤;當(dāng)n=3時(shí),a4=2a3=1;當(dāng)n=4時(shí),,當(dāng)n=5時(shí),a6=2a5=2,當(dāng)n=6時(shí),=,歸納可得數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)到,故S10=a1+a2+a3+…+a9+a10=2(a1+a2+a3+a4)+a9+a10=2(1+2+)+1+2=12,B正確:又由an>0,故{Sn}遞增,C正確;由上述討論可知,{a2n﹣1}的項(xiàng)為1,,1,…,故是周期數(shù)列,D正確.故選:BCD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系在數(shù)列項(xiàng)的求解中的應(yīng)用,屬于中檔題.(多選)10.下列結(jié)論中,正確的有()A.?dāng)?shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為5 B.若隨機(jī)變量ξ~N(1,σ2),P(ξ≤﹣2)=0.21則P(ξ≤4)=0.79 C.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則 D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=9.632,依據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.001=10.828),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001【考點(diǎn)】線性回歸方程;獨(dú)立性檢驗(yàn);命題的真假判斷與應(yīng)用;正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【專題】整體思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】BC【分析】第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤:P(ξ≤4)=1﹣P(ξ≤﹣2)=0.79,所以選項(xiàng)B正確;,所以選項(xiàng)C正確;此推斷犯錯(cuò)誤的概率大于0.001,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【解答】解:數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8整理為1,2,4,5,6,8,9,7×60%=4.2,則數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤:隨機(jī)變量ξ~N(1,σ2),P(ξ≤﹣2)=0.21,則P(ξ≤4)=1﹣P(ξ≤﹣2)=0.79,所以選項(xiàng)B正確;經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,且,則,所以選項(xiàng)C正確;根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=9.632,依據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.001=10.828),可判斷X與Y有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率大于0.001,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了百分位數(shù)的計(jì)算,考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,以及線性回歸方程的性質(zhì),屬于中檔題.(多選)11.已知b>0,且b≠1,函數(shù)f(x)=ex+bx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()A.若該函數(shù)為偶函數(shù),則其最小值為 B.函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)唯一的定點(diǎn)(0,2) C.若關(guān)于x的方程f(x)=2有且只有一個(gè)解,則b>1或 D.令g(x)=f(x)﹣2為R上的連續(xù)函數(shù),則當(dāng)0<b<1時(shí)g(x)至多存在一個(gè)零點(diǎn)【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系;函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷;指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).【專題】函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】BC【分析】對(duì)于A,由f(﹣1)=f(1)得,通過(guò)舉反例即可判斷錯(cuò)誤;對(duì)于B,若y=f(x)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x0,y0),那么對(duì)任意的b成立,從而x0=0,由此即可判斷;對(duì)于C,分b>1或或這三種情況討論,結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系以及零點(diǎn)存在定理即可判斷;對(duì)于D,由C選項(xiàng)分析過(guò)程即可判斷.【解答】解:A:若該函數(shù)為偶函數(shù),此時(shí)由f(﹣1)=f(1)得,所以得eb=1,從而,注意到,故A錯(cuò)誤;B:顯然f(0)=2,若y=f(x)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x0,y0),那么對(duì)任意的b成立,從而與b無(wú)關(guān),這意味著x0=0,故,故B正確;C:顯然f(0)=2,所以f(x)=2必有一解x=0,若b>1,則f(x)單調(diào)遞增,從而一定是唯一解,若,則,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,所以一定是唯一解,如果,則f′(x)=ex+bxlnb單調(diào)遞增,且有唯一零點(diǎn),由于f′(0)=1+lnb≠0,所以u(píng)≠0,而f(x)在(﹣∞,u)遞減,在(u,+∞)遞增,且u≠0,所以f(u)<f(0)=2,若u<0,則由,可知f(x)=2在上還有一根t,且t<u<0,故t≠0,若u>0,則由f(ln2+|u|)>eln2+|u|>eln2=2,ln2+|u|>|u|≥u,可知f(x)=2在(ln2+|u|,u)上還有一根t,且t>u>0,故t≠0.無(wú)論怎樣,f(x)=2都有一個(gè)不等于0的根t,從而解不唯一,故C正確;D:根據(jù)C選項(xiàng)的過(guò)程,如果0<b<1且,那么f(x)=2一定有兩個(gè)根x=0和x=t,故D錯(cuò)誤.故選:BC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用,屬難題.三.填空題(共3小題)12.某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測(cè)試,經(jīng)統(tǒng)計(jì),成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(150,σ2),已知成績(jī)大于170次的有300人,則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)X在130~150次之間的人數(shù)約為450人.【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【專題】整體思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】450人.【分析】先求出P(X>170)==0.2,再利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解.【解答】解:由題意可知,P(X>170)==0.2,又因?yàn)閄~N(150,σ2),所以P(130≤X≤150)=P(150≤X≤170)=0.5﹣P(X>170)=0.5﹣0.2=0.3,所以可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)X在130~150次之間的人數(shù)約為0.3×1500=450人.故答案為:450人.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.13.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(﹣1)n(n∈N*),則ak=a1?a2…an的最小值為.【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性.【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】.【分析】根據(jù)題意,判斷出當(dāng)n≥4時(shí),|ak|隨n的增大而減小,然后比較與的大小,可求得ak的最小值.【解答】解:根據(jù)題意,可得a1==﹣2,a2==,a3==,a4==,a5==,…,=a1?a2=,=a1?a2?a3?a4?a5=,<,當(dāng)n≥4時(shí),|an|=,所以當(dāng)n≥4時(shí),ak=a1?a2…an的絕對(duì)值隨n的增大而減小,所以=是絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)項(xiàng),故ak的最小值為=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的概念、用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列等知識(shí),考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力,屬于中檔題.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),定義P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點(diǎn)之間的“直角距離”為d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.已知兩定點(diǎn)A(﹣1,0),B(1,0),則滿足d(M,A)+d(M,B)=4的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為6.【考點(diǎn)】軌跡方程.【專題】計(jì)算題;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;直線與圓;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】6.【分析】利用已知條件,求解軌跡方程,然后畫出圖形即可求解面積.【解答】解:設(shè)M(x,y),由題意d(M,A)+d(M,B)=4,可知|x+1|+|x﹣1|+2|y|=4,軌跡方程的圖形如圖,圖形的面積為:4+2×=6.故答案為:6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法,圖形的畫法,面積的求法,是中檔題.四.解答題(共5小題)15.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,b1=0,b2=2且滿足bn+1=2Sn+an.(1)證明:數(shù)列{bn+1}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等比數(shù)列的性質(zhì).【專題】整體思想;綜合法;點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】(1)詳見(jiàn)解答過(guò)程;(2).【分析】(1)把已知和與項(xiàng)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)的遞推,然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證明;(2)利用錯(cuò)位相減求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【解答】證明:(1)n≥2時(shí),bn+1﹣bn=2(Sn﹣Sn﹣1)+an﹣an﹣1=2bn+2,即bn+1=3bn+2.又b1=0,b2=2,所以n≥1時(shí),bn+1=3bn+2,即bn+1+1=3(bn+1).又b1+1=1≠0,所以bn+1≠0,所以,所以數(shù)列{bn+1}成等比數(shù)列.解:(2)由(1)得.由b2=2b1+a1可得a1=2,因?yàn)楣頳=2,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,an=2n,所以,所以Tn=2(1?30+2?31+3?32+?+n?3n﹣1)﹣2(1+2+3+…+n),即.令M=1?30+2?31+3?32+?+n?3n﹣1,則3M=1?31+2?32+3?33+?+n?3n,兩式相減得,,所以.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的定義在等比數(shù)列判斷中的應(yīng)用,還考查了錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用,屬于中檔題.16.2023年12月19日至20日,中央農(nóng)村工作會(huì)議在北京召開(kāi),習(xí)近平主席對(duì)“三農(nóng)”工作作出指示.某地區(qū)為響應(yīng)習(xí)近平主席的號(hào)召,積極發(fā)展特色農(nóng)業(yè),建設(shè)蔬菜大棚.如圖所示的七面體ABG﹣CDEHF是一個(gè)放置在地面上的蔬菜大棚鋼架,四邊形ABCD是矩形,AB=8m,AD=4m,ED=CF=1m,且ED,CF都垂直于平面ABCD,GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG⊥平面ABCD.(Ⅰ)求點(diǎn)H到平面ABCD的距離;(Ⅱ)求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.【專題】對(duì)應(yīng)思想;綜合法;空間位置關(guān)系與距離;空間向量及應(yīng)用;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】(Ⅰ)4;(Ⅱ).【分析】(I)取AB,CD的中點(diǎn)M,N,連接GM,MN,HN,利用已知條件結(jié)合平行的性質(zhì)及判定定理即可證明四邊形AGHE為平行四邊形,則GH=AE,然后利用題中所給數(shù)據(jù)計(jì)算即可;(Ⅱ)建系,利用空間向量與空間角的關(guān)系即可求解.【解答】解:(I)如圖,取AB,CD的中點(diǎn)M,N,連接GM,MN,HN,則由題GM⊥平面ABCD,HN⊥平面ABCD,因?yàn)镋D⊥平面ABCD,所以ED∥HN,又MN∥AD,AD∩DE=D,MN∩HN=N,所以平面ADE∥平面GMNH,又平面AEHG分別交平面ADE和平面GMNH于AE,GH,所以AE∥GH,易知GM∥HN,又AB∥CD,AB∩GM=M,CD∩HN=N,所以平面ABG∥平面CDEHF,又平面AEHG分別交平面ABG和平面CDEHF于AG,EH,所以AG∥EH,所以四邊形AGHE為平行四邊形,所以GH=AE,因?yàn)?,所以,在Rt△AMG中,,在直角梯形GMNH中,過(guò)G作GQ⊥HN于Q,則GQ=MN=4,,QN=GM=3,所以,因?yàn)镠N⊥平面ABCD,所以點(diǎn)H到平面ABCD的距離為4;(II)由(I)以N為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,﹣4,1),F(xiàn)(0,4,1),G(4,0,3),H(0,0,4),設(shè)平面BFHG的法向量是,則即令z=4,可得,設(shè)平面AGHE的法向量是,則即令c=4,可得,所以=,所以平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中的線面位置關(guān)系及空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.17.某工廠生產(chǎn)某種元件,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或等于82為合格品,小于82為次品,現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:測(cè)試指標(biāo)[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件數(shù)(件)121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件,若其中一件為合格品,求另一件也為合格品的概率;(2)關(guān)于隨機(jī)變量,俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對(duì)任意正數(shù)ε,均有P(|x﹣μ|≥ε)≤成立.(i)若X,證明:P(0≤X≤25)≤;(ii)利用該結(jié)論表示即使分布未知,隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%,那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù),請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說(shuō)明該工廠所提供的合格率是否可信?(注:當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí),可稱事件A為小概率事件)【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差.【專題】計(jì)算題;對(duì)應(yīng)思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】(1);(2)(i)證明見(jiàn)解析;(ii)不可信.【分析】(1)由條件概率的公式進(jìn)行求解即可;(2)(i)由X~B,求出E(X)=50,D(X)=25,再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明;(i)設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X,X~B(100,0.9),由切比雪夫不等式判斷出,進(jìn)而可得出結(jié)論.【解答】解:(1)記事件A為抽到一件合格品,事件B為抽到兩個(gè)合格品,則,∴==,即從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件,若其中一件為合格品,則另一件也為合格品的概率為.(2)(i)證明:由題:若,則E(X)=50,D(X)=25,又,∴或,由切比雪夫不等式可知,,∴;(ii)設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為X,假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為90%的說(shuō)法成立,則X~B(100,0.9),∴E(X)=90,D(X)=9,由切比雪夫不等式知,,即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過(guò)0.0225,此概率極小,由小概率原理可知,一般來(lái)說(shuō)在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的,據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查條件概率的求法,二項(xiàng)分布的期望和方差,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18.雙曲線C:(a>0,b>0)上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.(1)求C的方程;(2)已知A(﹣3,0),B(3,0),過(guò)點(diǎn)(5,0)的直線l與C交于M,N(異于A,B)兩點(diǎn),直線MA與NB交于點(diǎn)P,試問(wèn)點(diǎn)P到直線x=﹣2的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合;雙曲線的性質(zhì).【專題】綜合題;對(duì)應(yīng)思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】(1);(2)是定值,定值為.【分析】(1)由題意,根據(jù)題目所給信息列出等式求出a和b的值,進(jìn)而可得C的方程;(2)對(duì)直線l是否垂直于x軸進(jìn)行討論,設(shè)出直線l的方程和M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo),將直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到,,推出直線AM和BN的方程,將兩直線方程聯(lián)立,解得點(diǎn)P在定直線上,進(jìn)而即可求解.【解答】解:(1)因?yàn)殡p曲線C上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6,所以,解得a=3,b=1,則C的方程為;(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),可得直線l的方程為x=5,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(5,0)的直線l與C交于M,N(異于A,B)兩點(diǎn),解得y=±,不妨令M(5,),N(5,﹣),易得直線MA的方程為y=,直線NB的方程為y=﹣,聯(lián)立,解得xP=,則點(diǎn)P到直線x=﹣2的距離d=﹣(﹣2)=;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),不妨設(shè)直線l的方程為x=my+5,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立,消去x并整理得(m2﹣9)y2+10my+16=0,此時(shí)滿足m2﹣9≠0,由韋達(dá)定理得,,所以直線AM的方程為,直線BN的方程為,聯(lián)立,消去y并整理得==,解得,所以點(diǎn)P在定直線上,因?yàn)橹本€與直線x=﹣2之間的距離為,綜上得,點(diǎn)P到直線x=﹣2的距離為定值,定值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力,屬于中檔題.19.已知函數(shù)f(x)=ex+xlnx.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若a>0,b>0,且a2+b2=1,證明:f(a)+f(b)<e+1.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【專題】轉(zhuǎn)化思想;分析法;綜合法;轉(zhuǎn)化法;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.【答案】(1)(e+1)x﹣y﹣1=0;(2)證明過(guò)程見(jiàn)解答.【分析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo),求出切線的斜率,再求出切線方程即可;(2)要證明f(a)+f(b)<e+1,只需證ecosx+cosx?ln(cosx)+esinx+sinx?ln(sinx)<e+1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x﹣lnx﹣1,進(jìn)一步證明結(jié)論即可.【解答】解:(1)由f(x)=ex+xlnx,得f'(x)=ex+lnx+1,f(1)=e,則f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線切線斜率k=f'(1)=e+1.∴切線方程為(e+1)x﹣y﹣1=0.(2)證明:由a>0,b>0,且a2+b2=1,設(shè)a=cosx,b=sinx,,則證明f(a)+f(b)<e+1?f(cosx)+f(sinx)<e+1,,即證ecosx+cosx?ln(cosx)+esinx+sinx?ln(sinx)<e+1.令g(x)=x﹣lnx﹣1,則,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞減,∴g(cosx)>g(1)=0,g(sinx)>g(1)=0,∴l(xiāng)n(cosx)<cosx﹣1,ln(sinx)<sinx﹣1,則ecosx+cosx?ln(cosx)+esinx+sinx?ln(sinx)<ecosx+exinx﹣cosx﹣sinx+1.要證ecosx+cosx?ln(cosx)+esinx+sinx?ln(sinx)<e+1,只需證ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx<e.令h(x)=ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx,則.令h'(x)=0,則.令,x∈(0,1),則令m(x)=(x﹣1)ex+1,x∈(0,1),則m'(x)=xex>0在(0,1)上恒成立,則m(x)>m(0)=0,則φ'(x)>0在(0,1)上恒成立,則φ(x)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),sinx>cosx,則φ(sinx)>φ(cosx),∴h'(x)>0,此時(shí)h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),sinx<cosx,則φ(sinx)<φ(cosx),∴h'(x)<0,此時(shí)h(x)單調(diào)遞減.∵,∴h(x)<e,即ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx<e在上恒成立,∴f(a)+f(b)<e+1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬難題.
考點(diǎn)卡片1.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合交換律A∩B=B∩A,A∪B=B∪A.集合結(jié)合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C).集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).集合的摩根律Cu(A∩B)=CuA∪CuB,Cu(A∪B)=CuA∩CuB.集合吸收律A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A.集合求補(bǔ)律A∪CuA=U,A∩CuA=Φ.【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì),借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,每年高考一般都是單獨(dú)命題,一道選擇題或填空題,屬于基礎(chǔ)題.2.充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷:當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí),可表示為p?q,稱p為q的充分條件,q是p的必要條件.事實(shí)上,與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“¬q?¬p”.它的意義是:若q不成立,則p一定不成立.這就是說(shuō),q對(duì)于p是必不可少的,所以說(shuō)q是p的必要條件.例如:p:x>2;q:x>0.顯然x∈p,則x∈q.等價(jià)于x?q,則x?p一定成立.2、充要條件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,則稱條件p是q成立的充要條件,或稱條件q是p成立的充要條件,記作“p?q”.p與q互為充要條件.【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù);解題中必須涉及兩個(gè)方面,充分條件與必要條件,缺一不可.證明題目需要證明充分性與必要性,實(shí)際上,充分性理解為充分條件,必要性理解為必要條件,學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始,或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的,只不過(guò)沒(méi)有明確定義,因而幾乎年年必考內(nèi)容,多以小題為主,有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn),中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān),所以命題的范圍特別廣.3.命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假,首先要明確p、q及非p的真假,然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假.注意:“非p”的正確寫法,本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1=0的兩根都不是實(shí)根”,因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?,而不是“都不是”,要認(rèn)真區(qū)分.【解題方法點(diǎn)撥】1.判斷復(fù)合命題的真假,常分三步:先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式,再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假,最后由真值表得出復(fù)合命題的真假.2.判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假,不能用真值表時(shí),可用下列方法:若“pq”,則“若p則q”為真;而要確定“若p則q”為假,只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可.3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假,有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容,幾乎年年都考,涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全,多以小題形式出現(xiàn).4.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù),其圖象特點(diǎn)是關(guān)于(0,0)對(duì)稱.②如果函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(﹣x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù),其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱.【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù):如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn),那么運(yùn)用f(0)=0解相關(guān)的未知量;②奇函數(shù):若定義域不包括原點(diǎn),那么運(yùn)用f(x)=﹣f(﹣x)解相關(guān)參數(shù);③偶函數(shù):在定義域內(nèi)一般是用f(x)=f(﹣x)這個(gè)去求解;④對(duì)于奇函數(shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致,而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.例題:函數(shù)y=x|x|+px,x∈R是()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與p有關(guān)解:由題設(shè)知f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)閒(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f(x),所以f(x)是奇函數(shù).故選B.【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn),大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì),最好是結(jié)合其圖象一起分析,確保答題的正確率.5.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論,一般會(huì)以復(fù)合函數(shù)的形式出現(xiàn),所以要分開(kāi)討論,首先討論a的取值范圍即a>1,0<a<1的情況.再討論g(x)的增減,然后遵循同增、同減即為增,一減一增即為減的原則進(jìn)行判斷.2、同增同減的規(guī)律:(1)y=ax如果a>1,則函數(shù)單調(diào)遞增;(2)如果0<a<1,則函數(shù)單調(diào)遞減.3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:(1)復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)增函數(shù)復(fù)合:那么隨著自變量X的增大,Y值也在不斷的增大;(2)復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)減函數(shù)的復(fù)合:那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大,內(nèi)層函數(shù)的Y值就在不斷的減小,而內(nèi)層函數(shù)的Y值就是整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量X.因此,即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大時(shí),內(nèi)層函數(shù)的Y值就在不斷的減小,即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量X不斷減小,又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)也為減函數(shù),所以整個(gè)復(fù)合函數(shù)的Y值就在增大.因此可得“同增”若復(fù)合函數(shù)為一增一減兩個(gè)函數(shù)復(fù)合:內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù),則若隨著內(nèi)層函數(shù)自變量X的增大,內(nèi)層函數(shù)的Y值也在不斷的增大,即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量X不斷增大,又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為減函數(shù),所以整個(gè)復(fù)合函數(shù)的Y值就在減小.反之亦然,因此可得“異減”.6.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn),方程的根表示的是方程的解,他們的含義是不一樣的.但是,他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的.【解題方法點(diǎn)撥】求方程的根就是解方程,把所有的解求出來(lái),一般要求的是二次函數(shù)或者方程組,這里不多講了.我們重點(diǎn)來(lái)探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法(配方法).例題:求函數(shù)f(x)=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn).解:∵f(x)=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70=(x﹣5)?(x+7)?(x+2)?(x+1)∴函數(shù)f(x)=x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是:5、﹣7、﹣2、﹣1.通過(guò)這個(gè)題,我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法,把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積,最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說(shuō)求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可.【命題方向】直接考的比較少,了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.7.?dāng)?shù)列的函數(shù)特性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1+(n﹣1)d;前n項(xiàng)和公式Sn=na1+n(n﹣1)d或者Sn=2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1qn﹣1;前n項(xiàng)和公式Sn==(q≠1)3、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列(1)對(duì)于等差數(shù)列,an=a1+(n﹣1)d=dn+(a1﹣d),當(dāng)d≠0時(shí),an是n的一次函數(shù),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(n,an)是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn).當(dāng)d>0時(shí),函數(shù)是增函數(shù),對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列;同理,d=0時(shí),函數(shù)是常數(shù)函數(shù),對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列;d<0時(shí),函數(shù)是減函數(shù),對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù).若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=pn2+qn(p、q∈R).當(dāng)p=0時(shí),{an}為常數(shù)列;當(dāng)p≠0時(shí),可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問(wèn)題.(2)對(duì)于等比數(shù)列:an=a1qn﹣1.可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)理解.當(dāng)a1>0,q>1或a1<0,0<q<1時(shí),等比數(shù)列是遞增數(shù)列;當(dāng)a1>0,0<q<1或a1<0,q>1時(shí),等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.當(dāng)q=1時(shí),是一個(gè)常數(shù)列.當(dāng)q<0時(shí),無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性,它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列.【解題方法點(diǎn)撥】典例1:數(shù)列{an}滿足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.[﹣9,﹣8]B.[﹣9,﹣7]C.(﹣9,﹣8)D.(﹣9,﹣7)解:an=n2+kn+2=,∵不等式an≥a4恒成立,∴,解得﹣9≤k≤﹣7,故選:B.典例2:設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1=1,an>0(n∈N*),其前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{}也為等差數(shù)列,則的最大值是()A.310B.212C.180D.121解:∵等差數(shù)列{an}滿足a1=1,an>0(n∈N*),設(shè)公差為d,則an=1+(n﹣1)d,其前n項(xiàng)和為Sn=,∴=,=1,=,=,∵數(shù)列{}也為等差數(shù)列,∴=+,∴=1+,解得d=2.∴Sn+10=(n+10)2,=(2n﹣1)2,∴==,由于為單調(diào)遞減數(shù)列,∴≤=112=121,故選:D.8.等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:an=a1+(n﹣1)d;前n項(xiàng)和公式為:Sn=na1+n(n﹣1)或Sn=(n∈N+),另一重要特征是若p+q=2m,則有2am=ap+aq(p,q,m都為自然數(shù))等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列;若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列;若公差d=0,則為常數(shù)列;(2)有窮等差數(shù)列中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等,并且等于首末兩項(xiàng)之和;(3)m,n∈N+,則am=an+(m﹣n)d;(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,則as+at=ap+aq,其中as,at,ap,aq是數(shù)列中的項(xiàng),特別地,當(dāng)s+t=2p時(shí),有as+at=2ap;(5)若數(shù)列{an},{bn}均是等差數(shù)列,則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列,其中m,k均為常數(shù).(6)an,an﹣1,an﹣2,…,a2,a1仍為等差數(shù)列,公差為﹣d.(7)從第二項(xiàng)開(kāi)始起,每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng),也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng),即2an+1=an+an+2,2an=an﹣m+an+m,(n≥m+1,n,m∈N+)(8)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍為等差數(shù)列,公差為kd(首項(xiàng)不一定選a1).【解題方法點(diǎn)撥】例:已知等差數(shù)列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6為方程x2﹣10x+16=0的兩個(gè)實(shí)根.(1)求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)?若是,是第多少項(xiàng)?若不是,說(shuō)明理由.解:(1)由已知條件得a3=2,a6=8.又∵{an}為等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,∴a1+2d=2,a1+5d=8,解得a1=﹣2,d=2.∴an=﹣2+(n﹣1)×2=2n﹣4(n∈N*).∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣4.(2)令268=2n﹣4(n∈N*),解得n=136.∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng).這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題,第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少,然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n﹣1)d,求出首項(xiàng)和公差d,這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了.第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng),其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式,帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的.9.等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列(又名幾何數(shù)列),是一種特殊數(shù)列.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).注:q=1時(shí),an為常數(shù)列.等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣,也有一些通項(xiàng)公式:①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式,an=a1qn﹣1,這里a1為首項(xiàng),q為公比,我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn).②求和公式,Sn=,表示的是前面n項(xiàng)的和.③若m+n=q+p,且都為正整數(shù),那么有am?an=ap?aq.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am?qn﹣m,(n,m∈N*).(2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),則ak?al=am?an(3)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),{a},{an?bn},仍是等比數(shù)列.(4)單調(diào)性:或?{an}是遞增數(shù)列;或?{an}是遞減數(shù)列;q=1?{an}是常數(shù)列;q<0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列.【解題方法點(diǎn)撥】例:2,x,y,z,18成等比數(shù)列,則y=.解:由2,x,y,z,18成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則18=2q4,解得q2=3,∴y=2q2=2×3=6.故答案為:6.本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式,這也是一個(gè)常用的方法,即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比,繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng),求出其余的項(xiàng).關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握,方法就是待定系數(shù)法.10.?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和,一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等,常用的方法包括:(1)公式法:①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Sn=na1+n(n﹣1)d或Sn=②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式:(2)錯(cuò)位相減法:適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和,其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)裂項(xiàng)相消法:適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,即=().(4)倒序相加法:推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)(a1+an).(5)分組求和法:有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.【解題方法點(diǎn)撥】典例1:已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(Ⅰ)求an及Sn;(Ⅱ)令bn=(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.分析:形如的求和,可使用裂項(xiàng)相消法如:==.解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a3=7,a5+a7=26,∴,解得a1=3,d=2,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;Sn==n2+2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1,∴bn====,∴Tn===,即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=.點(diǎn)評(píng):該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法,這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法,就像友情提示那樣,兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和.【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn),大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法,即便是放縮也要往這里面考.11.?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義:如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式:an=.在數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系,是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn),要認(rèn)真掌握.注意:(1)用an=Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條件了嗎?(n≥2,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1);若a1適合由an的表達(dá)式,則an不必表達(dá)成分段形式,可化統(tǒng)一為一個(gè)式子.(2)一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式an=Sn﹣Sn﹣1,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式,然后再求解.【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法:(1)公式法:①等差數(shù)列通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.(2)已知Sn(即a1+a2+…+an=f(n))求an,用作差法:an=.一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式,然后再求解.(3)已知a1?a2…an=f(n)求an,用作商法:an,=.(4)若an+1﹣an=f(n)求an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1(n≥2).(5)已知=f(n)求an,用累乘法:an=(n≥2).(6)已知遞推關(guān)系求an,有時(shí)也可以用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).特別地有,①形如an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后,再求an.②形如an=的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).(7)求通項(xiàng)公式,也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.12.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)的圖象.圖中f(x1)與f(x3)是極小值,f(x2)是極大值.函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值是f(b),最小值是f(x1).一般地,在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.說(shuō)明:(1)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.如函數(shù)f(x)=在(0,+∞)內(nèi)連續(xù),但沒(méi)有最大值與最小值;(2)函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的;函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的.(3)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件.(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有一個(gè)2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以得出函數(shù)的最值了.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值.【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn):(1)按定義,極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a,b]內(nèi)部的點(diǎn),不會(huì)是端點(diǎn)a,b(因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)).(2)極值是一個(gè)局部性概念,只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可.要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得.一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值,在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值,也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系,即極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.(3)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值.(4)若函數(shù)f(x)在[a,b]上有極值且連續(xù),則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn),一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的,(5)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn).13.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)??键c(diǎn),它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力,也考察了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解,還考察直線方程的求法,因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn),所以在高考出題時(shí)備受青睞.我們?cè)诮獯疬@類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn),第一找到切線的斜率;第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn),在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來(lái).【解題方法點(diǎn)撥】例:已知函數(shù)y=xlnx,求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=1處的切線方程.解:k=y(tǒng)'|x=1=ln1+1=1又當(dāng)x=1時(shí),y=0,所以切點(diǎn)為(1,0)∴切線方程為y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1.我們通過(guò)這個(gè)例題發(fā)現(xiàn),第一步確定切點(diǎn);第二步求斜率,即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù);第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程.這種題的原則基本上就這樣,希望大家靈活應(yīng)用,認(rèn)真總結(jié).14.?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量是有方向的,那么在一個(gè)空間內(nèi),不同的向量可能是平行,也可能是重合,也有可能是相交.當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候,我們就說(shuō)這兩條向量垂直.假如=(1,0,1),=(2,0,﹣2),那么與垂直,有?=1×2+1×(﹣2)=0,即互相垂直的向量它們的乘積為0.【解題方法點(diǎn)撥】例:與向量,垂直的向量可能為()A:(3,﹣4)B:(﹣4,3)C:(4,3)D:(4,﹣3)解:對(duì)于A:∵,?(3,﹣4)=﹣=﹣5,∴A不成立;對(duì)于B:∵,?(﹣4,3)=,∴B不成立;對(duì)于C:∵,?(4,3)=,∴C成立;對(duì)于D:∵,?(4,﹣3)=,∴D不成立;故選:C.點(diǎn)評(píng):分別求出向量,和A,B,C,D四個(gè)備選向量的乘積,如果乘積等于0,則這兩個(gè)向量垂直,否則不垂直.【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn),主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0,希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用.15.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式:V柱=sh,V錐=Sh.16.球的體積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1.球體:在空間中,到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱為球體,簡(jiǎn)稱球.其中到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為球面.2.球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R,V球體=3.球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R,S球體=4πR2.【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用,常見(jiàn)結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查,以增加試題難度,根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵.17.二面角的平面角及求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β.有時(shí)為了方便,也可在α、β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P、Q,將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q.如果棱記作l,那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q.2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量,二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān),也就是說(shuō),我們可以根據(jù)需要來(lái)選擇棱l上的點(diǎn)O.3、二面角的平面角求法:(1)定義;(2)三垂線定理及其逆定理;①定理內(nèi)容:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直.②三垂線定理(逆定理)法:由二面角的一個(gè)面上的斜線(或它的射影)與二面角的棱垂直,推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜線)也與二面角的棱垂直,從而確定二面角的平面角.(3)找(作)公垂面法:由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直,因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角,就是二面角的平面角.;(4)平移或延長(zhǎng)(展)線(面)法;(5)射影公式;(6)化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角;(7)向量法:用空間向量求平面間夾角的方法:設(shè)平面α和β的法向量分別為和,若兩個(gè)平面的夾角為θ,則(1)當(dāng)0≤<,>≤,θ=<,>,此時(shí)cosθ=cos<,>=.(2)當(dāng)<<,><π時(shí),θ=π﹣<,>,cosθ=﹣cos<,>=﹣.18.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】19.軌跡方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1.曲線的方程和方程的曲線在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系以后,坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)都可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示,這就是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成曲線時(shí),動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)中的變量x、y存在著某種制約關(guān)系,這種制約關(guān)系反映到代數(shù)中,就是含有變量x、y的方程.一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看做適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程就叫做曲線的方程,這條曲線就叫做方程的曲線.2.求曲線方程的一般步驟(直接法)(1)建系設(shè)點(diǎn):建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用(x,y)表示曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)列式:寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合{M|p(M)};(3)代入:用坐標(biāo)表示出條件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化簡(jiǎn):化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式;(5)證明:證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是在曲線上的點(diǎn)【解題方法點(diǎn)撥】(1)直接法:根據(jù)題目條件,直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系,再利用解析幾何有關(guān)公式(如兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、夾角公式等)進(jìn)行整理、化簡(jiǎn).這種求軌跡方程的過(guò)程不需要特殊的技巧.(2)定義法:若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等),可用定義直接探求.關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化,即轉(zhuǎn)化為某一基本軌跡的定義條件.(3)相關(guān)點(diǎn)法:用所求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的坐標(biāo)(x0,y0),即得到x0=f(x,y),y0=g(x,y),再將x0,y0代入M滿足的條件F(x0,y0)=0中,即得所求.一般地,定比分點(diǎn)問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題可用相關(guān)點(diǎn)法求解,相關(guān)點(diǎn)法的一般步驟是:設(shè)點(diǎn)→轉(zhuǎn)換→代入→化簡(jiǎn).(4)待定系數(shù)法(5)參數(shù)法(6)交軌法.20.雙曲線的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,﹣c),F(xiàn)2(0,c)焦距|F1F2|=2c|F1F2|=2c范圍|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈R對(duì)稱關(guān)于x軸,y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(﹣a,0).(a,0)(0,﹣a)(0,a)軸實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b離心率e=(e>1)準(zhǔn)線x=±y=±漸近線±=0±=021.直線與雙曲線的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與雙曲線的位置判斷:將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去x(或y)的一元二次方程,則:直線與雙曲線相交?Δ>0;直線與雙曲線相切?Δ=0;直線與雙曲線相離?Δ<0;直線與雙曲線的位置關(guān)系只有三種,不可能出現(xiàn)有多個(gè)解,因?yàn)橹本€與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有2個(gè).值得注意的是,當(dāng)直線方程和雙曲線方程聯(lián)立后,如果得到一元一次方程,說(shuō)明此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,那么直線與雙曲線相交,且只有一個(gè)交點(diǎn).【解題方法點(diǎn)撥】(1)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況:①直線平行漸近線;②直線與雙曲線相切.(2)弦長(zhǎng)的求法設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|==(k為直線斜率)注意:利用公式計(jì)算直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的,不要忽略判別式.【命題方向】雙曲線知識(shí)通常與圓、橢圓、拋物線或數(shù)列、向量及不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系,綜合考查數(shù)學(xué)知識(shí)及應(yīng)用是高考的重點(diǎn),應(yīng)用中應(yīng)注意對(duì)知識(shí)的綜合及分析能力,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及很多基本量,如“a,b,c,e“.樹(shù)立基本量思想對(duì)于確定雙曲線方程和認(rèn)識(shí)其幾何性質(zhì)有很大幫助.22.古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1.定義:如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征:(1)有限性:每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果(即基本事件)只有有限個(gè);(2)等可能性:每次試驗(yàn)中,各基本事件的發(fā)生都是等可能的.則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型.*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征,所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn),而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可.2.古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個(gè)基本事件的概率都是;如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率為P(A)==.【解題方法點(diǎn)撥】1.注意要點(diǎn):解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是:分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù).因此要注意清楚以下三個(gè)方面:(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性;(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè);(3)事件A是什么.2.解題實(shí)現(xiàn)步驟:(1)仔細(xì)閱讀題目,弄清題目的背景材料,加深理解題意;(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件,設(shè)出所求事件A;(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;(4)利用公式P(A)=求出事件A的概率.3.解題方法技巧:(1)利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型.23.離散型隨機(jī)變量的期望與方差【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望:一般地,若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望.?dāng)?shù)學(xué)期望的意義:數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù),它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.平均數(shù)與均值:一般地,在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中,令p1=p2=…=pn,則有p1=p2=…=pn=,Eξ=(x1+x2+…+xn)×,所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值.期望的一個(gè)性質(zhì):若η=aξ+b,則E(aξ+b)=aEξ+b.2、離散型隨機(jī)變量的方差;方差:對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ,如果它所有可能取的值是x1,x2,…,xn,…,且取這些值的概率分別是p1,p2,…,pn…,那么,稱為隨機(jī)變量ξ的均方差,簡(jiǎn)稱為方差,式中的Eξ是隨機(jī)變量ξ的期望.標(biāo)準(zhǔn)差:Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差,記作.方差的性質(zhì):.方差的意義:(1)隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的;(2)隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù),它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度;(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位,所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛.24.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1.正態(tài)曲線及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ,σ(x)=,x∈(﹣∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù),我們稱φμ,σ(x)的圖象(如圖)為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.(2)正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R,即x∈(﹣∞,+∞).②解析式中含有兩個(gè)常數(shù):π和e,這是兩個(gè)無(wú)理數(shù).③解析式中含有兩個(gè)參數(shù):μ和σ,其中μ可取任意實(shí)數(shù),σ>0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù).④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為,后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式,冪指數(shù)為﹣.2.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱X的分布為正態(tài)分布,記作N(μ,σ2).(2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826;②P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.3.正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ,σ(x)=,x∈R有以下性質(zhì):(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;(3)曲線在x=μ處達(dá)到峰值;(4)曲線與x軸圍成的圖形的面積為1;(5)當(dāng)σ一定時(shí),曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;(6)當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.4.三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率.落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件,這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù).【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn),但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn),其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn),考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤.對(duì)正態(tài)分布N(μ,σ2)中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住,且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ,同時(shí),記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì).【命題方向】題型一:概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1:設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A.10與8B.10與2C.8與10D.2與10解析:由=,可知σ=2,μ=10.答案:B.典例2:已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析:由P(ξ<4)=0.8知P(ξ>4)=P(ξ<0)=0.2,故P(0<ξ<2)=0.3.故選C.典例3:已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,則P(X>4)等于()A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知,其圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,∴P(X>4)=0.5﹣P(2≤X≤4)=0.5﹣×0.6826=0.1587.故選B.題型二:正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1:若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為.(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式;(2)求正態(tài)總體在(﹣4,4]的概率.分析:要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ,σ的值,其中μ決定曲線的對(duì)稱軸的位置,σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān).解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即μ=0.由=,得σ=4,故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ,σ(x)=,x∈(﹣∞,+∞).(2)P(﹣4<X≤4)=P(0﹣4<X≤0+4)=P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.點(diǎn)評(píng):解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系,掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響.典例2:設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有()A.μ1<μ2,σ1<
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