高考數(shù)學一輪復習第11章概率第1節(jié)隨機事件的概率教學案文北師大版

第11章概率全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章內容中一般命制1道小題，1道解答題，分值在5～17分.2.考查內容高考中小題重點考查古典概型、幾何概型，解答題重點考查概率的意義、古典概型及概率與統(tǒng)計相結合的綜合性問題.3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律①互斥、對立事件的概念及概率計算問題；②古典概型、幾何概型的概率計算問題；③概率與統(tǒng)計相結合的綜合性問題.(2)重視分類討論、轉化與化歸思想的應用.第一節(jié)隨機事件的概率[最新考綱]1．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式．(對應學生用書第188頁)1．概率(1)定義：在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率，記作P(A)，有0≤P(A)≤1.(2)頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值．2．互斥事件與對立事件(1)互斥事件：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件．(2)對立事件：在每一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件A和eq\x\to(A)稱為對立事件．3．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)對立事件的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．eq\o([常用結論])1．辨析兩組概念(1)頻率與概率①頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的改變而改變；②概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關；③頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率．(2)互斥事件與對立事件①兩個事件是互斥事件，它們未必是對立事件；②兩個事件是對立事件，它們也一定是互斥事件．2．概率加法公式的推廣當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個實根”是不可能事件． ()(2)對立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是對立事件． ()(3)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． ()(4)若事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0＜P(A)＜1. ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D[“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．]2．有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內的概率約是________．eq\f(1,2)[由條件可知，落在[27.5,43.5]內的數(shù)據(jù)有11＋12＋7＋3＝33(個)，故所求概率約是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).]3．一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A＋B)＝________.(結果用最簡分數(shù)表示)eq\f(7,26)[P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(7,26).]4．甲、乙二人下棋，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則乙獲勝的概率為________．0.2[事件“乙獲勝”的對立事件是“甲不輸”，根據(jù)對立事件的概率計算公式可得，乙獲勝的概率為：1－0.8＝0.2.](對應學生用書第189頁)⊙考點1隨機事件之間的關系判斷互斥、對立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．對立事件是互斥事件的充分不必要條件．(2)集合法：①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件eq\x\to(A)所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．1.把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．互斥但不對立事件C．不可能事件 D．以上都不對B[事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會同時發(fā)生，兩者是互斥事件，但仍然有可能甲、乙均不能分得紅牌，所以二者不是對立事件，故選B.]2．把語文、數(shù)學、英語三本學習書隨機地分給甲、乙、丙三位同學，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件C[事件A，B，C可能同時發(fā)生，也可能不同時發(fā)生，因此選項A，B，D錯，C正確．]3．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡A[至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“2張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件．]第2題易誤選B，造成錯誤的原因是忽視了事件A，B，C可能同時發(fā)生，也可能不同時發(fā)生．⊙考點2隨機事件的概率與頻率1．計算簡單隨機事件頻率或概率的解題思路(1)計算出所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．(2)由頻率與概率的關系得所求．2．求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關鍵點求解該類問題的關鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計算出所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)，進而利用頻率與概率的關系得所求．某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費aaaaa2a隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．[解](1)事件A據(jù)知，一年內出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費aaaaa2a頻率a×0.30＋a×0.25＋a×a×a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.[母題探究]1．若本例的條件不變，試求“一續(xù)保人本年度的保費不低于基本保費”的概率的估計值．[解]設事件“一續(xù)保人本年度的保費不低于基本保費”為E，事件E對應于出險次數(shù)大于或等于1，由本例(3)知出險次數(shù)小于1的頻率為0.3，故一年內出險次數(shù)大于或等于1的頻率為1－0.3＝0.7，故P(E)的估計值為0.7.2．若本例的條件不變，記F為事件：“一續(xù)保人本年度的保費等于基本保費”，求P(F)的估計值．[解]“一續(xù)保人本年度的保費等于基本保費”的事件F發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)等于1，其頻率為0.25，故P(F)的估計值為0.25.本例第(1)(2)兩問，考查了用頻率估計概率，第(3)問解題的關鍵是列出保費與頻率的關系，再根據(jù)公式求平均保費．[教師備選例題]某花店每天以每朵5元的價格從農場購進若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理．(1)若花店一天購進17朵玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：朵，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：朵)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310①假設花店在這100天內每天購進17朵玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)；②若花店一天購進17朵玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當天的利潤不少于75元的概率．[解](1)當日需求量n≥17時，利潤y＝85；當日需求量n＜17時，利潤y＝10n－85.所以利潤y關于當天需求量n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－85，n＜17,85，n≥17))(n∈N*)．(2)①這100天的日利潤的平均數(shù)為eq\f(55×10＋65×20＋75×16＋85×54,100)＝76.4(元)．②當天的利潤不少于75元，當且僅當日需求量不少于16朵，故當天的利潤不少于75元的概率為P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.⊙考點3互斥事件、對立事件的概率求復雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1張獎券的中獎概率約為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,10