甘肅省金昌市永昌縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

甘肅省金昌市永昌縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B．C． D．2．在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．93．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．4．在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．36．在平行四邊形中，為一條對(duì)角線，，，則＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）7．一個(gè)平面截一球得到直徑為6的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離為4，則這個(gè)球的體積為()A． B． C． D．8．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°9．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．為了了解某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中1000名學(xué)生的成績(jī),從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則每名學(xué)生成績(jī)?nèi)霕拥臋C(jī)會(huì)是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線與D有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.12．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的閱讀情況，在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將他們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，將學(xué)生去圖書館的次數(shù)分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總?cè)藬?shù)為_______．13．求值：_____．14．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是_____.15．設(shè)，數(shù)列滿足，，將數(shù)列的前100項(xiàng)從大到小排列得到數(shù)列，若，則k的值為______；16．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．“精準(zhǔn)扶貧”的重要思想最早在2013年11月提出，到湘西考察時(shí)首次作出“實(shí)事求是，因地制宜，分類指導(dǎo)，精準(zhǔn)扶貧”的重要指導(dǎo)。2015年在貴州調(diào)研時(shí)強(qiáng)調(diào)要科學(xué)謀劃好“十三五”時(shí)期精準(zhǔn)扶貧開發(fā)工作，確保貧困人口到2020年如期脫貧。某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植A、B兩種藥材，可以通過(guò)種植這兩種藥材脫貧。通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：藥材A的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：編號(hào)12345年份20152016201720182019單價(jià)(元/公斤)1820232529藥材B的收購(gòu)價(jià)格始終為20元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若藥材A的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)2020年藥材A的單價(jià)；（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)藥材B的平均畝產(chǎn)量，若不考慮其他因素，試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材A還是藥材B？并說(shuō)明理由.附：，.18．已知為等差數(shù)列，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和公式．19．已知，且（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對(duì)稱軸．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，若角滿足，求的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值．21．在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

試題分析：可采用排除法，令和，驗(yàn)證選項(xiàng)，只有，使得，故選C．考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式．2、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡(jiǎn)可得，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

平移兩條異面直線到相交，根據(jù)余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，則是所成的角或其補(bǔ)角，又根據(jù)余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.4、C【解析】

由正弦定理分別檢驗(yàn)問(wèn)題的充分性和必要性，可得答案.【詳解】解：充分性：在△中，由，可得,所以,故充分性成立；必要性：在△中，由及正弦定理，可得，可得,,故，必要性成立；故可得：在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則“”是“”的充分必要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，相對(duì)不難，注意正弦定理的靈活運(yùn)用.5、D【解析】

先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算．7、C【解析】

過(guò)球心作垂直圓面于.連接與圓面上一點(diǎn)構(gòu)造出直角三角形再計(jì)算球的半徑即可.【詳解】如圖,過(guò)球心作垂直圓面于,連接與圓面上一點(diǎn).則.故球的體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了球中構(gòu)造直角三角形求解半徑的方法等.屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因?yàn)闉檎襟w，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.9、B【解析】

利用不等式的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同乘，可得成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

因?yàn)殡S機(jī)抽樣是等可能抽樣，每名學(xué)生成績(jī)被抽到的機(jī)會(huì)相等,都是.故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)圖像確定直線斜率的取值范圍.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示，直線過(guò)定點(diǎn)，由圖可知，而，所以.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式表示區(qū)域的畫法，考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查直線斜率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、20【解析】

總體人數(shù)占的概率是1，也可以理解成每個(gè)人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人?！驹斀狻壳叭M，即三組的頻率為：，，解得：【點(diǎn)睛】此題考查概率，通過(guò)部分占總體的概率即可計(jì)算出總體的樣本值，屬于簡(jiǎn)單題目。13、【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：，以及反三角函數(shù)即可解決?！驹斀狻坑深}意．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同角角三角函數(shù)基本關(guān)系主要有:,.屬于基礎(chǔ)題。14、4【解析】試題分析：由于根據(jù)題意x,y滿足的關(guān)系式，作出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y在邊界點(diǎn)（2，0）處取到最小值z(mì)=2×2+3×0=4，故答案為4.考點(diǎn)：本試題主要考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運(yùn)用．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解.15、【解析】

根據(jù)遞推公式利用數(shù)學(xué)歸納法分析出與的關(guān)系，然后考慮將的前項(xiàng)按要求排列，再根據(jù)項(xiàng)的序號(hào)計(jì)算出滿足的值即可.【詳解】由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函數(shù)y＝ax單調(diào)遞減；∵∴1>a2＞a1∴，∴a2＞a3＞a1∵，且∴a2＞a4＞a3＞a1……當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，成立，設(shè)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，結(jié)合的單調(diào)性，所以，所以即，所以時(shí)成立，所以為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，成立，設(shè)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，結(jié)合的單調(diào)性，所以，所以即，所以時(shí)成立，所以為偶數(shù)時(shí)，；用數(shù)學(xué)歸納法證明：任意偶數(shù)項(xiàng)大于相鄰的奇數(shù)項(xiàng)即證：當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)時(shí)，符合，設(shè)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋Y(jié)合的單調(diào)性，所以，所以，所以，所以時(shí)成立，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，據(jù)此可知：，當(dāng)時(shí)，若，則有，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，此時(shí)的下標(biāo)成首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)即為，若，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.(1)分析數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，要注意到數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)椋?2)證明數(shù)列的單調(diào)性可從與的關(guān)系入手分析.16、【解析】

將所求兩條異面直線平移到一起，解三角形求得異面直線所成的角.【詳解】連接，根據(jù)三角形中位線得到，所以是異面直線與所成角.在三角形中，,所以三角形是等邊三角形，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），當(dāng)時(shí)，；（2）應(yīng)該種植A種藥材【解析】

(1)首先計(jì)算和,將數(shù)據(jù)代入公式得到回歸方程,再取得到2020年單價(jià).(2)計(jì)算B藥材的平均產(chǎn)量,得到B藥材的總產(chǎn)值,與(1)中A藥材作比較,選出高的一個(gè).【詳解】解:(1),,當(dāng)時(shí)，(2)利用概率和為1得到430—450頻率/組距為0.005B藥材的畝產(chǎn)量的平均值為:故A藥材產(chǎn)值為B藥材產(chǎn)值為應(yīng)該種植A種藥材【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程及平均值的計(jì)算，意在考察學(xué)生的計(jì)算能力.18、(1);(2).【解析】

本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和數(shù)列的前n項(xiàng)和的綜合運(yùn)用．、（1）設(shè)公差為，由已知得解得,（2），等比數(shù)列的公比利用公式得到和．19、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，可得，即為，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得不不等式的解集；（2）由在上恒成立，得在上恒成立，討論，根據(jù)的范圍，由恒成立思想，可得的范圍.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，解不等式，得，即，故不等式的解集為.（2）由在恒成立，得在恒成立，①當(dāng)時(shí)，有，得，②當(dāng)時(shí)，有，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍.20、（1）；（2）；（3），.【解析】

（1）由函數(shù)的周期公式可求出的值，求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程，結(jié)合直線為一條對(duì)稱軸結(jié)合的范圍可得出的值，于此得出函數(shù)的解析式；（2）由得出，再由結(jié)合銳角三角函數(shù)得出，利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出，由條件得出，于此可計(jì)算出的取值范圍；（3）令，得，換元得出，得出方程，設(shè)該方程的兩根為、，由韋達(dá)定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三種情況討論，計(jì)算出關(guān)于的方程在一個(gè)周期區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)，結(jié)合已知條件得出與的值.【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，，得，由于，，則，因此，；（2），由三角形的內(nèi)角和定理得，.，且，，.，由，得，由銳角三角函數(shù)的定義得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范圍是；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，，令，可得，令，得，，則關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根、，則，則、異號(hào)，（i）當(dāng)且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根，不合乎題意；（ii）當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，在區(qū)間上無(wú)實(shí)解，方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上有兩個(gè)根，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個(gè)根，在區(qū)間上有個(gè)根，不合乎題意；（iii）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)解，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個(gè)根，在區(qū)間上有個(gè)根，此時(shí)，，得.綜上所述：，.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式，以及三角形中的取值范圍問(wèn)題，以及三角函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，同時(shí)也涉及了復(fù)合函數(shù)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查分類討論思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.21、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式,三角形內(nèi)角和,所以,整理為關(guān)于的二次方程，解得角的大??；（2）根據(jù)三角形的面積公式和上一問(wèn)角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據(jù)余弦定理再求，最后根據(jù)證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2c