【高等教育】高等數(shù)學(xué)重積分課件

1重積分8.1重積分的概念與性質(zhì)28.1.1

重積分的定義

回顧在第五章中用定積分計(jì)算物體的質(zhì)量問(wèn)題，假定物體的密度是連續(xù)變化的。

首先考慮一根長(zhǎng)度為l的細(xì)直桿的質(zhì)量。

不妨假定它在軸上占據(jù)區(qū)間[0，l]，設(shè)其線密度為3

如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐標(biāo)面上的區(qū)域D，并設(shè)其面密度函數(shù)為

=

(x,y)≠常數(shù)。這里

(x,y)>0且在D上連續(xù)。yxo4

如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域Ω，其體密度函數(shù)為

=

(x,y,z)≠常數(shù),則其質(zhì)量可表示為5定義8.1.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D任意分割成n

個(gè)小區(qū)域

如果當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值

趨于零時(shí)，上述和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作6積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù)

由二重積分的定義可知，平面薄板的質(zhì)量是面密度函數(shù)在薄板所占閉區(qū)域上的二重積分7定義8.1.2

設(shè)

是Rn中一個(gè)可求體積（n=2時(shí)為面積）的有界閉區(qū)域，f(X)是在

上有定義的有界函數(shù)，將

分割為彼此沒(méi)有公共內(nèi)點(diǎn)的任意閉子域8

如果當(dāng)

0時(shí)，上述和式的極限存在，并且該極限與

的分割方式及Xi的取法無(wú)關(guān)，我們稱(chēng)該極限值為函數(shù)f(X)在

上的n(重)積分，記為

其中f(X)稱(chēng)為被積函數(shù)，

稱(chēng)為積分區(qū)域，也稱(chēng)函數(shù)f(X)在

上可積。特別地，當(dāng)n=2時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y)(x,y)

D，

即為函數(shù)f(x,y)在D

上的二重積分，d

稱(chēng)為面積元素。9

當(dāng)n=3時(shí)函數(shù)f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)

，

即為函數(shù)f(x,y,z)在

上的三重積分，dv稱(chēng)為體積元素。

有了上述定義，空間立體的質(zhì)量也可以通過(guò)密度函數(shù)的三重積分來(lái)表示，即可以證明定理8.1.1

(1)（充分條件）若f(X)在

上連續(xù)，則它在

上可積；(2)（必要條件）若f(X)在

上可積，則它在

上有界。108.1.2

重積分的性質(zhì)

我們僅給出二重積分的性質(zhì)，三重積分的性質(zhì)完全類(lèi)似。

假設(shè)性質(zhì)中涉及的函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域上均可積，D、D1、D2都是平面上的有界閉區(qū)域。(2)(關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若

、

為常數(shù)，則

表示D的面積11(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則(4)（積分不等式）如果在D上有f(x,y)

g(x,y),則特別地，有12(5)（估值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，

表示D的面積，則(6)（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，

表示D的面積，則至少存在一點(diǎn)(,)，使下面僅給出結(jié)論(5)、(6)的證明。1314(1)D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；(2)D2：(x

2)2+(y

1)2

2解

(1)因?yàn)樵趨^(qū)域D1上0

x+y

1，

(x+y)3

(x+y)2根據(jù)性質(zhì)5，得1512

從圖形易知在D上除切點(diǎn)外，處處有x+y>1

(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)2

2該圓域與直線x+y=1相切。16例3

利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分的值。解因?yàn)閒x=2x，fy=8y，所以有駐點(diǎn)(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。17

顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。

于是f(x,y)在D上的最小值為1，最大值為5，積分區(qū)域的面積為

。所以有188.2

二重積分的計(jì)算法

利用二重積分的定義直接計(jì)算二重積分一般很困難，計(jì)算二重積分的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，然后通過(guò)計(jì)算兩次定積分來(lái)計(jì)算二重積分。198.2.1

利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

設(shè)f(x,y)是定義在平面區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，以D為底面，以曲面f(x,y)為頂面，以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面所圍成的立體稱(chēng)為曲頂柱體。如何求該曲頂柱體的體積呢？1、曲頂柱體的體積------

二重積分的幾何意義20(1)分割用一組曲線網(wǎng)將D分成n個(gè)小閉區(qū)域

1,

2,

…,

n

，分別以這些小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來(lái)的曲頂柱體分割成n個(gè)細(xì)曲頂柱體。21(2)近似當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時(shí)，由于f(x,y)連續(xù)，對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域上的不同點(diǎn)，f(x,y)的變化很小，細(xì)曲頂柱體可近似地看作平頂柱體22由二重積分定義立即得到這也是二重積分的幾何意義。23242.區(qū)域的不等式組表示(舉例)例下列不等式組各表示什么區(qū)域25例下列圖形怎么用不等式（組）表示263、二重積分的計(jì)算法用幾何觀點(diǎn)討論。應(yīng)用“定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積。(1)設(shè)f(x,y)

0，f(x,y)在D上連續(xù)。［X－型］oabxyoabxy27oax0

bxyz

在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x0，作平行于yOz面的平面x=x0。

這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其截面面積為：先計(jì)算截面面積。28

一般地，過(guò)區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為：

于是，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立方體體積的方法，得曲頂柱體體積為

這個(gè)體積也就是所求二重積分的值，從而有等式oax

bxyz29

上式右端的積分叫做先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分。

就是說(shuō)，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對(duì)y計(jì)算從

1(x)到

2(x)的定積分；

再把計(jì)算所得的結(jié)果（是x的函數(shù)）對(duì)x計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分也常記作30［Y－型］DyoxdcyoxdcD31

計(jì)算時(shí)先把y看作常數(shù)，因此f(x,y)是x的一元函數(shù)，

在區(qū)間

1(y)

x

2(y)上對(duì)x積分,得到一個(gè)關(guān)于y的函數(shù),

再在區(qū)間c

y

d上對(duì)y積分。

這就是把二重積分化為先對(duì)x

、后對(duì)y的二次積分的公式。32

應(yīng)用公式(1)時(shí)，積分區(qū)域必須是X型區(qū)域。

應(yīng)用公式(2)時(shí)，積分區(qū)域必須是Y型區(qū)域。X型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過(guò)D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)。Y型區(qū)域D的特點(diǎn)是：穿過(guò)D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)。33

若積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域，D，此時(shí)要將積分區(qū)域D分成幾部分，使得每一部分是X型區(qū)域或Y型區(qū)域，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性可得整個(gè)區(qū)域上的積分。yox

若積分區(qū)域D既是X型區(qū)域也是Y型區(qū)域，則。這表明二次積分可以交換積分次序。344二重積分計(jì)算的一般方法

要依被積函數(shù)及積分區(qū)域兩方面的情況選定積分順序?；癁閮纱螁畏e分(1)作圖，確定D的類(lèi)型。(2)選定積分順序。(3)定出積分上下限。(4)計(jì)算定積分。

確定積分順序之后，積分的上下限是依D的特點(diǎn)而定的。要使兩次積分都能“積得出”，“易積出”。3536O1x(4,-2)-221

y(1，1)評(píng)注本例說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要選擇恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序，這時(shí)既要考慮區(qū)域D的形狀，又要考慮函數(shù)f(x,y)的特性。375交換積分順序①由所給的積分順序及積分限寫(xiě)出D的不等式表示并畫(huà)出積分區(qū)域的草圖②由積分區(qū)域按新的積分順序確定積分限。例3

交換以下積分的積分順序38課內(nèi)練習(xí)一

改變以下二次積分的積分次序391o2xy1yx40y417.2

二重積分的計(jì)算法7.2.1

利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

當(dāng)積分區(qū)域是X型區(qū)域時(shí)

當(dāng)積分區(qū)域是Y型區(qū)域時(shí)42434交換積分順序①由所給的積分順序及積分限寫(xiě)出D的不等式表示并畫(huà)出積分區(qū)域的草圖②由積分區(qū)域按新的積分順序確定積分限。例3

交換以下積分的積分順序441yxyox評(píng)注本例中兩題不能交換積分次序，因?yàn)橄确e分的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，從而二重積分計(jì)算不出來(lái)。45例5求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體體積。解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)性，只要算出它在第一卦限部分(如圖(a))的體積V1，然后再乘以8就行了。x2+y2=R2及x2+z2=R2yoxDxyRRzo46

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為如圖所示，它的頂是柱面yoxDxyRRzo47yoxD利用公式(1)，得xyRRzo487.2.2利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r、

表達(dá)比較簡(jiǎn)單。這時(shí)，我們就可以利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。

下面我們來(lái)研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式。491、極坐標(biāo)系下的二重積分的形式

假定從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過(guò)閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)。我們用(2)從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個(gè)小區(qū)域（如上圖）。(1)以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，50

除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積⊿

i可計(jì)算如下：5152532、如何化為兩次單積分積分順序：一般是先積r后積

。定限的方法：依D的特點(diǎn)。OxDOxD54OxDOxD55αβOxD56oxD

由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積

可以表示為57(1)58(2)59(3)60616263126465解積分區(qū)域D的圖形D：0

r

a,0

θ

2

6667D1OxyRD2SD168OxyRSD1D2D1OxyR6970例4求球體x2+y2+z2=4a2被圓柱x2+y2=2ax(a>0)所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。Dyxo2axyoD

717273解由被積函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可只考慮第一象限部分747.2.3二重積分的換元法

上述將直角坐標(biāo)系下二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分本質(zhì)上是一種變量代換，即極坐標(biāo)變換。積分區(qū)域的變換：將直角坐標(biāo)系中的扇形域D變?yōu)闃O坐標(biāo)系中的矩形域D1。75其邊界的對(duì)應(yīng)為76由此得到77上式右端是在D1上確定積分限。由此可見(jiàn)討論二重積分的一般坐標(biāo)變換：

應(yīng)分析uov平面上區(qū)域D1與xoy平面上區(qū)域D的變換及面積元素之間的關(guān)系，然后將uv平面上的二重積分化為二次積分。可以證明78定理7.2.1設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)公式（5）稱(chēng)為二重積分的換元公式。79

此變換稱(chēng)為廣義極坐標(biāo)變換，在此變換下與區(qū)域D對(duì)應(yīng)的區(qū)域D1為80從而有81類(lèi)似地，利用廣義極坐標(biāo)變換可得橢圓82故所求面積8384857.3三重積分

計(jì)算三重積分的方法也是將它化為累次積分,即化為先定積分后二重積分或先二重積分后定積分的形式,從而化為三次積分,這兩種方法稱(chēng)為”投影”法和”切片”法。7.3.1三重積分的定義86定義7.3.1

設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù)。將

任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

v1,

v2,…,

vn,

其中

vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積。

在每個(gè)

vi上任取一點(diǎn)(

i,

i,

i)，作乘積f(

i,

i,

i)

vi(i=1,2,…,n)，87其中dv叫做體積元素。

在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分

，那末除了包含

的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域

vi為長(zhǎng)方體。

設(shè)長(zhǎng)方體小閉區(qū)域

vi的邊長(zhǎng)為

xj,

yk,

zl，則

vi=

xj

yk

zl。

在直角坐標(biāo)系下的體積元素：dv=dxdydz887.3.2直角坐標(biāo)系下的三重積分的計(jì)算法基本方法：化三重積分為三次單積分dv=dxdydz1、

為母線平行于z軸的柱體時(shí)

假設(shè)平行于z軸且穿過(guò)閉區(qū)域

內(nèi)部的直線與閉區(qū)域

的邊界曲面S相交不多于兩點(diǎn)。

一、投影法89

先將x，y看作定值，將f(x,y,z)只看作z的函數(shù)，在區(qū)間[z1(x,y),z2(x,y)]上對(duì)z積分。然后計(jì)算F(x,y)在閉區(qū)域D的二重積分

積分的結(jié)果是x,y的函數(shù)，記為F(x,y)，即90

若

在xoy平面上的投影區(qū)域記為Dxy，則有投影區(qū)域Dxy用不等式表示:

1(x)

y

2(x)，a

x

b

則將二重積分化為二次積分，于是得到三重積分的計(jì)算公式：91

公式(2)把三重積分化為先對(duì)z、次對(duì)y、最后對(duì)x的三次積分。上式的數(shù)學(xué)方法概括為：“先單后重法”，或“投影法”92xyo1解xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)x+2y=1Dxy932、

為母線平行y軸或x軸的柱體時(shí)94zxoRxyzoHR95zxoRxyzoHR96xyzozyo19798xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)99xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)xyo1x+y=1Dxy100Hyxzo101yxzo102二、奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)域上的積分性質(zhì)103104

三、切片法又叫“先重后單法”

設(shè)區(qū)域

夾在平面z=c1，z=c2(c1

c2)之間zyxo

用豎坐標(biāo)為z(c1

z

c2)的平面截

所得截面為Dz或D(z)，即105zyxo特別當(dāng)f(x,y,z)只是z的函數(shù)：f(x,y,z)=

(z),②f(x,y,z)在Dz上對(duì)x、y的二重積分簡(jiǎn)單，①Dz簡(jiǎn)單（圓、橢圓、長(zhǎng)方形等）上式的適用范圍：106解D0Dzzxyzaboc107D0Dzzxyzaboc①Dz是橢圓域，較簡(jiǎn)單②f(x,y,z)=z2只是z的函數(shù)用“切片法”較方便108D0Dyzxyabocy109xyzo1用“先單后重法”110用先重后單法。xyzo1111解y4sinx關(guān)于x是奇函數(shù)xyzo

關(guān)于yoz平面對(duì)稱(chēng)，112用先重后單法。xyzo113用“先單后重法”xyxyzo1147.3.3柱面坐標(biāo)系下的三重積分的計(jì)算法

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)一、柱面坐標(biāo)

并設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)在xoy面上的投影P的極坐標(biāo)為(ρ,

,0)。

這樣的三個(gè)數(shù)ρ

,

,z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)。xyzoρ

zxyM(x,y,z)1150

ρ<+∞，0

2π，－∞<z<+∞xyzoρ

zxyM(x,y,z)②三組坐標(biāo)面分別為ρ

＝常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；

＝常數(shù)，即過(guò)z軸的半平面；z＝常數(shù)，即與xoy面平行的平面；①規(guī)定ρ

、

、z的變化范圍為：116③點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為：xyzoρzxyM(x,y,z)④柱面坐標(biāo)系中的體積元素dρdzxyzod

ρd

ρ117二、柱面坐標(biāo)中三重積分的形式118yxzo1a119o1xy120121122123解法三124125何時(shí)選用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分？1261271281291301317.3.4球面坐標(biāo)系下的三重積分的計(jì)算法一、球面坐標(biāo)M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo132M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyzo133r=常數(shù)，即以原點(diǎn)為心的球面。

=常數(shù)，即以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸的圓錐面。

=常數(shù)，即邊z軸的半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo134zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr

M(r,,)xyo④球面坐標(biāo)下的體積元素135

為了把三重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)平面r=常數(shù)，

=常數(shù)，

=常數(shù)把積分區(qū)域

分成許多小閉區(qū)域。

考慮由r,,各取得微小增量dr,d

,d

所成的六面體的體積(如圖)。不計(jì)高階無(wú)窮小，可把這個(gè)六面體看作長(zhǎng)方形。xyzo

d

rd

drrd

136xyzo

d

rd

rd

經(jīng)線方向的長(zhǎng)為rd

,這就是球面坐標(biāo)系中的體積元素。緯線方向的寬為rsin

d

,于是，小六面體的體積為dr向徑方向的高為dr。137二、三重積分的球面坐標(biāo)形式

計(jì)算三重積分，一般是化為先r，再

，最后

的三次積分。138例如，半徑為R的球體的體積139140xyz2RoR

141xyzo

142

zxyo1

143xyzo

144xyz1o

145xyzo

146yxzo147yxzo148yxzo解法二用柱面坐標(biāo)系149yxzoyxzo150

abcxyzo151

abcxyzo152153xyzo1154xyzo1155xyzo1156小結(jié)三重積分的計(jì)算方法：基本方法：化三重積分為三次積分計(jì)算。關(guān)鍵步驟：(1)坐標(biāo)系的選取(2)積分順序的選定（直角）(3)定出積分限157柱形體域錐形體域拋物體域柱面坐標(biāo)長(zhǎng)方體四面體任意形體球面坐標(biāo)球形體域或其中一部分直角坐標(biāo)坐標(biāo)系適用范圍體積元素變量代換1588.4重積分的應(yīng)用

在前面幾節(jié)中我們已經(jīng)介紹了利用重積分可以求空間立體體積以及空間物體的質(zhì)量，本節(jié)再介紹重積分在幾何和物理方面的幾個(gè)應(yīng)用。1597.4.1微元法（元素法）如果要求的量U(2)在D內(nèi)任取一直徑很小的閉區(qū)域d

，相應(yīng)的部分量可近似地表示為(1)U對(duì)于有界閉區(qū)域D具有可加性；量U的元素（微元）是較d

高階的無(wú)窮小,(f(x,y)連續(xù)時(shí)成立)則160161例1

求半徑為a的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體（如圖）的體積。解設(shè)球面通過(guò)原點(diǎn)O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，其軸與z軸重合，立體所占有的空間閉區(qū)域

可用不等式表示:Oxyz球面方程為r=2acos

，錐面方程為

=

。162所以O(shè)xyz163164

8.4.2曲面的面積①曲面方程:z=f(x,y)(x,y)

Dxy

②曲面方程:x=g(y,z)(y,z)

Dyz計(jì)算公式165③曲面方程:y=h(z,x)(z,x)

Dzx166推導(dǎo)：

設(shè)曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D,f在D上一階偏導(dǎo)連續(xù)。(1)S的面積A對(duì)于D具有可加性(2)在D內(nèi)任取一直徑很小的區(qū)域d

，在d

上任取一點(diǎn)P(x,y,0)對(duì)應(yīng)于S上一點(diǎn)M(x,y,f(x,y))

。顯然(3)過(guò)點(diǎn)M(x,y,f(x,y))，作S的切平面

。167(4)以d

的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，該柱面在曲面S上截下一小片曲面⊿A，在切平面

上截下來(lái)一小片平面dA。再看dA與d

之間的關(guān)系

由于d

直徑很小,fx,fy連續(xù)，有

A≈dA。曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D168曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D曲面S的面積元素169Dxyyxoab170171yxoyaxoD172yxoDyaxo173zoy21748.4.3質(zhì)心先討論平面薄片的質(zhì)心。

設(shè)在xoy平面有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)處，質(zhì)量分別為m1、m2、…、mn,由力學(xué)知道:My、Mx叫質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于坐標(biāo)軸的靜力距。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)位于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，而該質(zhì)點(diǎn)上的作用力則等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力平移到這一點(diǎn)后的矢量和175DxOyyx

先將物體分割為許多小部分，考慮其中的一個(gè)部分d

，它的質(zhì)量元素為

這個(gè)部分d

對(duì)于x軸以及對(duì)于y軸的靜力距元素為176DxOyyx177

如果薄片是均勻的，即當(dāng)

(x,y)為常量時(shí)，可得到如下的質(zhì)心坐標(biāo)：DxOyyx

這時(shí)薄片的質(zhì)心完全由閉區(qū)域D的形狀決定，這樣求得的質(zhì)心又稱(chēng)為平面薄片的形心。178例5求位于兩圓r=2sin

和r=4sin

之間的均勻薄片的質(zhì)心(如圖)。

D

由于閉區(qū)域D位于半徑為1與