押新高考第5題 三角函數(shù)與解三角形-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)臨考題號押題（全解全析）

第第頁押新高考5題三角函數(shù)與解三角形考點4年考題考情分析三角函數(shù)與解三角形2023年新高考Ⅰ卷第8、15題2023年新高考Ⅱ卷第7、16題2022年新高考Ⅰ卷第6題2022年新高考Ⅱ卷第6題2021年新高考Ⅰ卷第6題2020年新高考Ⅰ卷第10、15題2020年新高考Ⅱ卷第11、16題三角函數(shù)與解三角形會以單選題、多選題、填空題、解答題4類題型進行考查，單選題難度較易或一般，縱觀近幾年的新高考試題，分別考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，本內(nèi)容是新高考沖刺的重點復(fù)習(xí)內(nèi)容。可以預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、值域及參數(shù)范圍、三角恒等變換、解三角形及其實際應(yīng)用等問題展開命題．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第8題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選：B【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．2．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第15題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.3．（2023·新高考Ⅱ卷高考真題第7題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．4．（2023·新高考Ⅱ卷高考真題第16題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

【答案】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因為，所以，即，．所以，所以或，又因為，所以，．故答案為：．【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題第6題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A6．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第6題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.7．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題第6題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．特殊角的三角函數(shù)值同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：正弦的和差公式，余弦的和差公式，正切的和差公式，正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升冪公式：，降冪公式：，正切的倍角公式推導(dǎo)公式輔助角公式，，其中，正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式1．（2024·廣東湛江·二模）函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，故在上的值域為.故選：B.2．（2024·全國·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意，函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，而，所以.故選：B3．（2024·山東濟南·一模）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)條件和正弦定理化邊為角，再利用和角公式進行拆角化簡，即可得到，利用三角形內(nèi)角范圍即得.【詳解】由以及正弦定理可得：，因，代入整理得，因,則得，又因，故.故選：A.4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理可得.【詳解】

由正弦定理可得，，又，所以，不妨設(shè)，所以由余弦定理得．故選：D．5．（2024·遼寧大連·一模）若，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先利用三角恒等變換公式化簡可得，結(jié)合可得，進而可得.【詳解】由得，即，因為，所以，所以，結(jié)合，且，得，所以.故選：A.6．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理在中取得的長，根據(jù)正切函數(shù)的定，可得答案.【詳解】由題意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因為，所以，故選:C.7．（2024·湖南·模擬預(yù)測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．【答案】B【分析】現(xiàn)從四棱錐中提取兩個直角三角形和的邊角關(guān)系，進而分別解出兩個三角形邊的長，求出來雁塔AB的高度即可.【詳解】過點作，交于點，在直角三角形中，因為，所以，在直角三角形中，因為，所以，則.故選：B.8．（2024·云南·一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡，并運用齊次式運算求解.【詳解】已知,則，.故選：B.9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及和差角公式即可求解.【詳解】由可得，又，則，故．故選：B．10．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知角θ滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】切化弦，得到，利用正弦二倍角公式求出答案.【詳解】，故，則.故選：B11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算即可得.【詳解】因為為銳角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故選：D．12．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用輔助角公式得到，再利用的圖象與性質(zhì)，得到的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)條件，可得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，又，由，得到，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，依題有，則，得到，故選：B.13．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對邊分別為若面積則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理的變形：，結(jié)合三角形的面積公式，可把條件轉(zhuǎn)化為：，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角形中，可求得.【詳解】因為，所以，又由，所以.所以所以，又因為在中，，所以.故選：A14．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【分析】設(shè)炮彈第一次命中點為，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理計算可得.【詳解】依題意設(shè)炮彈第一次命中點為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），在中，所以，即炮臺與彈著點的距離為公里.故選：D15．（2024·山東濟寧·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理對已知條件進行邊角轉(zhuǎn)化，求得，結(jié)合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面積的最大值即可.【詳解】因為，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，結(jié)合，可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.即的面積的最大值為.故選：A.16．（2024·黑龍江·二模）在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換與正弦定理的邊角變換，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，從而利用銳角三角形的性質(zhì)得到的范圍，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化所求即可得解.【詳解】因為，則由正弦定理得，又，所以，則，因為是銳角三角形，則，則，所以，即，則，所以，解得，則，所以.故選：B.17．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角和與差的正弦，余弦，正切公式求解即可.【詳解】由于，所以，所以，所以，又，所以，所以，由題設(shè)顯然，所以，所以，所以.故選：C.18．（2024·湖北·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)公式化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.【詳解】由條件等式可知，，整理為，則，又，，所以，，所以.故選：D19．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知化簡可推得，兩邊平方整理得出，求解得出，進而根據(jù)二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，顯然，兩邊同時乘以可得，，整理可得，所以，，兩邊同時平方可得，即，解得或.當(dāng)時，，此時，不滿足題意，舍去.所以，.故選：A.20．（2024·廣東廣州·一模）已知是函數(shù)在上的兩個零點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可得，進而代入化簡，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】令，得，，，因為是函數(shù)在上的兩個零點，則是在上的兩個根，故，故，則.故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的對稱性得到的關(guān)系，從而得解.21．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得，得，不妨設(shè)且和在區(qū)間內(nèi)，從而可求出的范圍，再由進行討論即可得解.【詳解】由得，得，不妨設(shè)且和在區(qū)間內(nèi)，則，即，化簡得，由，得，所以為大于1的整數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得當(dāng)時，，且當(dāng)時，，所以，故實數(shù)的取值范圍為．故選：C.【點睛】思路點睛：根據(jù)題意令，求得函數(shù)零點，令，由零點和在區(qū)間內(nèi)，再求出的范圍，再分別對取值即可.22．（2024·遼寧撫順·一模）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二倍角的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】由題可得：，又因為，所以，所以，解得：或，因為，，所以.故選：D.23．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化簡求出，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以.故選：D24．（2024·安徽·二模）已知的內(nèi)角A，，對邊分別為，，，滿足，若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理得，然后根據(jù)余弦定理求出，再利用重要不等式求出即可【詳解】由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面積的最大值為，故選：C．25．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）在中，已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角的正切公式求出，再代入計算即得.【詳解】在中，，否則，，，矛盾，并且有，，因此，而，則，，所以.故選：A26．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示．地球在位置時，測出；行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【詳解】連接，在中，，又，則是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，則，在中，由余弦定理得.故選：A

27．（2024·湖南·二模）在中，角所對邊分別為，且，若，，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2或4【答案】C【分析】利用余弦定理先得B，結(jié)合余弦的和差公式構(gòu)造齊次式弦化切解方程計算即可.【詳解】由余弦定理得，即，，所以或，又，所以.故選：C【點睛】思路點睛：由余弦定理先求，根據(jù)條件及余弦的和差角公式、弦化切構(gòu)造齊次式方程解方程即可.28．（2024·遼寧丹東·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先結(jié)合二倍角公式、半角公式以及角的范圍將已知等式變形為，解得，兩邊平方即可求解