空間中距離問(wèn)題的解法同步練習(xí) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

空間中距離問(wèn)題的解法【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練】1．兩條異面直線的距離是()A．和兩條異面直線都垂直相交的直線B．和兩條異面直線都垂直的線段C．它們的公垂線夾在垂足間的線段長(zhǎng)D．兩條直線上任意兩點(diǎn)間的距離2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(3\r(5),10)C.eq\f(3\r(10),20)D.eq\f(\r(3),2)3．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)4．已知平面α∥平面β，m?α，n?β，且直線m與n不平行．記平面α，β的距離為d1，直線m，n的距離為d2，則()A．d1<d2 B．d1＝d2C．d1>d2 D．d1與d2大小不確定5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，平面AB1D1到平面BC1D的距離為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),6)6.如圖，底面為正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M，N分別為CC1，BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面A1BM的距離為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),4)7．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為_(kāi)_______．8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，C，D分別是所在棱的中點(diǎn)，A，B，M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到平面ABCD的距離是________．9.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．(1)求證：平面AMN∥平面EFDB；(2)求平面AMN與平面EFDB間的距離．10．如圖，在幾何體A－BCDE中，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5.(1)求證：DC∥平面ABE；(2)求直線DC到平面ABE的距離．【能力提升練】11.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是棱CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面EBD的距離為()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(6),3)12．在正四棱錐S－ABCD中，SO⊥平面ABCD于點(diǎn)O，SO＝2，底面的邊長(zhǎng)為eq\r(2)，點(diǎn)P，Q分別在線段BD，SC上移動(dòng)，則P，Q兩點(diǎn)的最短距離為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．2D．113．三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC互相垂直，且PA＝PB＝PC＝1，則其外接球上的點(diǎn)到平面ABC的距離的最大值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),2)14．一條與平面α相交的線段AB，其長(zhǎng)度為10cm，兩端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別是3cm,2cm，則線段AB與平面α所成的角的大小是________．15．已知正三棱錐A－BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，AB＝AC＝AD＝4，CD＝6，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______，該三棱錐的頂點(diǎn)B到平面ACD的距離為_(kāi)_______．16．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一點(diǎn)，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別是CC1，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，EF與B1D相交于H.(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EFG∥平面ABD；(3)求平面EFG與平面ABD的距離．參考答案1．C2.A3.B4．B[因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，m?α，n?β，且直線m與n不平行，所以平面α，β的距離等于直線m，n的距離，所以d1＝d2.]5．C[由題意可得，原問(wèn)題等價(jià)于求解點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離h，由等體積法可得，，即h·eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×22×sin60°＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)，解得h＝eq\f(\r(6),3)，即平面AB1D1到平面BC1D的距離為eq\f(\r(6),3).]6．B[如圖，連接B1M.因?yàn)镹為BB1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面A1BM的距離為點(diǎn)B1到平面A1BM的距離的eq\f(1,2).設(shè)點(diǎn)B1到平面A1BM的距離為h，因?yàn)?，所以h＝.因?yàn)橹比庵鵄BC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M為CC1的中點(diǎn)，所以A1B＝eq\r(2)，BM＝A1M＝eq\f(\r(5),2)，點(diǎn)M到平面A1B1B的距離為eq\f(\r(3),2)，等腰三角形A1BM中底邊A1B上的高為eq\f(\r(3),2)，所以h＝＝eq\f(3×\f(1,3)×\f(\r(3),2)×\f(1,2)×12,\f(1,2)×\r(2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(2),2)，所以點(diǎn)N到平面A1BM的距離為eq\f(\r(2),4).]7．18.eq\f(2,3)解析如圖，延長(zhǎng)BC，AD，與過(guò)點(diǎn)M的正方體的豎直的棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.取AB的中點(diǎn)E，連接ME，EF.過(guò)點(diǎn)M作MO⊥EF，垂足為O.由題意知，ME⊥AB.又因?yàn)锳F＝BF，AE＝BE，所以AB⊥EF.又ME∩EF＝E，所以AB⊥平面EMF，所以AB⊥MO.因?yàn)镸O⊥EF，AB∩EF＝E，所以MO⊥平面ABCD，所以MO是點(diǎn)M到平面ABCD的距離．由AM＝1，得ME＝eq\f(\r(2),2)，又FM＝2，所以EF＝eq\f(3\r(2),2)，所以MO＝eq\f(ME·MF,EF)＝eq\f(\f(\r(2),2)×2,\f(3\r(2),2))＝eq\f(2,3).9．(1)證明連接B1D1(圖略)．∵M(jìn)，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，∵EF?平面EFDB，MN?平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.連接MF(圖略)，∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，則MF∥A1D1且MF＝A1D1，又A1D1＝AD且A1D1∥AD，∴MF∥AD且MF＝AD，∴四邊形MFDA是平行四邊形，∴AM∥DF，∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.MN∩AM＝M，MN，AM?平面AMN，∴平面AMN∥平面EFDB.(2)解平面AMN與平面EFDB之間的距離即為點(diǎn)D到平面AMN的距離h，由V三棱錐M－ADN＝eq\f(1,3)S△ADN·eq\f(a,2)＝eq\f(a3,12)，S△AMN＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(3\r(2),4)a＝eq\f(3,8)a2，V三棱錐D－AMN＝eq\f(1,3)S△AMN·h＝eq\f(a3,12)，解得h＝eq\f(2,3)a，即平面AMN與平面EFDB之間的距離為eq\f(2,3)a.10．(1)證明由DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，可得DC⊥BC，EB⊥BC，則在平面BCDE中，DC∥BE，又DC?平面ABE，BE?平面ABE，則DC∥平面ABE.(2)解由DC∥平面ABE，可知直線DC到平面ABE的距離等于點(diǎn)C到平面ABE的距離，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝5，則BC＝eq\r(52－22)＝eq\r(21)，由EB⊥平面ABC，可得EB⊥BC，又AB⊥BC，AB∩EB＝B，則BC⊥平面ABE，即線段BC為點(diǎn)C到平面ABE的距離，又BC＝eq\r(21)，故直線DC到平面ABE的距離為eq\r(21).11．D[＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(2,3)，在△BED中，由題意及圖形結(jié)合勾股定理可得BE＝DE＝eq\r(5)，BD＝2eq\r(2)，則由余弦定理可得cos∠BED＝eq\f(BE2＋DE2－BD2,2BE·DE)＝eq\f(5＋5－8,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(1,5)，則sin∠BED＝eq\r(1－\f(1,25))＝eq\f(2\r(6),5).則S△BDE＝eq\f(1,2)BE·DE·sin∠BED＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(5)×eq\f(2\r(6),5)＝eq\r(6).設(shè)點(diǎn)C1到平面EBD的距離為d，由，得eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)×eq\r(6)d，解得d＝eq\f(\r(6),3).]12．B[∵P，Q在BD，SC上移動(dòng)，則當(dāng)PQ為BD，SC的公垂線段時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的距離最?。咚睦忮FS－ABCD為正四棱錐，SO⊥平面ABCD，∴O為正方形ABCD的中心，∴BD⊥AC，又SO⊥BD，SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SOC，過(guò)O作OM⊥SC，垂足為M，如圖所示，∵OM?平面SOC，∴OM⊥BD，∴OM為BD，SC的公垂線，又OM＝eq\f(SO·OC,SC)＝eq\f(2×1,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，∴P，Q兩點(diǎn)的最短距離為eq\f(2\r(5),5).]13．B[空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C在同一球面上，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝1，則PA，PB，PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C的球面即為正方體的外接球，球的直徑即是正方體的體對(duì)角線，長(zhǎng)為eq\r(3)，球心O到平面ABC的距離為體對(duì)角線的eq\f(1,6)，即球心O到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),6).則其外接球上的點(diǎn)到平面ABC的距離的最大值為eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),6)＝eq\f(2\r(3),3).]14．30°解析如圖，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分別為C，D，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于O，AB＝10cm，AC＝3cm，BD＝2cm，又△AOC∽△BOD，即eq\f(AC,BD)＝eq\f(AO,BO)，則AO＝6cm，BO＝4cm，所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即線段AB與平面α所成的角的大小為30°.15．64πeq\f(6\r(21),7)解析如圖，設(shè)底面△BCD的外心為G，連接AG，則該三棱錐的外接球的球心O在AG(或其延長(zhǎng)線)上，連接OB，連接BG并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，連接AE，由等邊三角形BCD的邊長(zhǎng)CD＝6，得BE＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)，則BG＝eq\f(2,3)BE＝2eq\r(3)，所以AG＝eq\r(16－12)＝2.設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則(2－R)2＋(2eq\r(3))2＝R2，解得R＝4.所以三棱錐的外接球的表面積S＝4π×42＝64π.又VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AG＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×62×sin60°×2＝6eq\r(3)，S△ACD＝eq\f(1,2)×6×eq\r(42－32)＝3eq\r(7).設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，則VA－BCD＝VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·h＝eq\f(1,3)×3eq\r(7)·h＝6eq\r(3)，則h＝eq\f(6\r(21),7).16．(1)證明∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝CB，而∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，∵B1D?平面BCC1B1，∴AB⊥B1D，根據(jù)已知條件可得，D為CC1的中點(diǎn)，B1D＝DB＝2eq\r(2)，B1B＝4，即BBeq\o\al(2,1)＝B1D2＋BD2，∴BD⊥B1D，又BD∩AB＝B，∴B1D⊥平面ABD.(2)證明如圖所示，取BB1的中點(diǎn)T，連接TC1，∵B1B＝4，EB1＝1，∴E為T(mén)B1的中點(diǎn)，而F為B1C1的中點(diǎn)，∴EF為△B1TC1的中位線，∴EF∥TC1，又∵C1D∥TB，且C1D＝TB，∴四邊形TBDC1為平行四邊形，∴BD∥TC1，∴EF∥BD，∵EF?平面ABD，BD?平面ABD，∴EF∥平面ABD，∵F，G分別是B1C1，A1C1的中點(diǎn)，∴GF是△C1A1B1的中位線，∴GF∥A1B1，∵在