2024初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽例題+練習(xí)：三角形（7個）（學(xué)生版+解析版）

專題30三角形中的邊和角

一、三角形三邊的不等關(guān)系

【典例】周長為P的三角形中，最長邊，〃的取值范圍是（）

A.-<mB.-<m<^C.-<m<^D.-<m<

32323232

【解答】解：三邊相等時，，”=生

三邊不相等時，最長邊山V與

所以，<m

故選：A.

【鞏固】已知等腰三角形ABC.

（1）若其兩邊長分別為2和3,求aABC的周長；

（2）若一腰上的中線將此三角形的周長分為9和18,求AABC的腰長.

二、三角形的三線

【學(xué)霸筆記】

1.三角形的高：從頂點(diǎn)向它所對的邊畫垂線段，則頂點(diǎn)到垂足間的線段叫作這條邊上的高，且三條高或

其延長線相交于同一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫作垂心；

2.三角形的中線：頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)間的線段，且三角形三條中線相交于同一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫作重心；

3.三角形的角平分線：頂點(diǎn)與角平分線和對邊交點(diǎn)間的線段，三角形的三條角平分線相交于同一點(diǎn)，這

個點(diǎn)叫作內(nèi)心.

【典例】如圖，AD為AABC的中線，BE為AABD的中線.若aABC的面積為60,BD=5,則ABDE的

BD邊上的高是（）

【解答】解：:AD是AABC的中線，SAABC=60,

11

x

1*.SAABD=2sAABC=260=30,

VBE>AABD的中線,

SABDE=^SAABD=:x30=15,

設(shè)BD邊上的高為〃，BD=5,

11

A--BDh=-x5X/z=15,

22

：.h=6.

故選：D.

【鞏固】如圖，^ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點(diǎn)為G,且AG：GD=2：若SAABC=12,則圖

中陰影部分的面積是―.

三、三角形的角平分線

【典例】如圖，BD和CE分別是NABC和NACB的平分線且NDBC=NECB=31°.求NABC和NACB

的度數(shù)，它們相等嗎？(寫出簡單過程)

由BD與CE分別是/ABC和/ACB的平分線，可得

ZABD=ZDBC=|ZABC,ZACE=ZECB=jzACB,

由NDBC=NECB=31°,可得NABC=NACB=62°,

.\ZABC=ZACB.

【鞏固】

如圖，點(diǎn)D是NABC的角平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF〃BC,DG〃AB.

(1)若ADJ_BD,/BED=130°,求/BAD的度數(shù).

(2)DO是4DEG的角平分線嗎？請說明理由.

A

鞏固練習(xí)

1.己知三角形三邊長小b,c都是整數(shù)，并且aWbVc,若b=7,那么這樣的三角形共有（）個.

A.21B.28C.49D.14

2.如圖，在aABC中，ZC=90°，點(diǎn)D在AC上，DE〃AB,若NCDE=160°，則NB的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

3.如圖，點(diǎn)D,E分別是aABC的邊AC,AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)E已知aCDF,ABFE,

△BCF的面積分別是3,4,5,則四邊形AEFD的面積是.

4.如圖，在銳角AABC中，ZBAOZC,BD、BE分別是aABC的高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線

上，F(xiàn)H_LBE交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H,下列結(jié)論：①NDBE=/F；②2/BEF=/BAF+/C；③

(ZBAC-ZC)；④NBGH=NABD+NEBH.其中正確的是(填序號).

5.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角B是另外一個內(nèi)角a的手寸，我們稱此三角形為“友好三角形”，a為友好角.如

果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為54°,那么這個“友好三角形”的“友好角a”的度數(shù)

為.

6.在AABC中，ZB=90°,AB=8cs,BC=6cwz,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AD以

每秒2c小的速度運(yùn)動到B.當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間f=秒時，4PCD的面積為6a”2.

DB

7.如圖1,AD是aABC的角平分線，E是AD延長線上一點(diǎn)，ZEBC=90°-1zABC,ZECB=90°-1z

ACB.

(1)若NBAC=78°,求NBEC的度數(shù)；

(2)若NABC=42°,則NAEC=度，若/ACB=64°,則NAEB=度；

(3)如圖2.若CF平分NACB交AD于點(diǎn)F,求證：CF±CE.

圖1圖2

8.如圖所示，在AABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，E是AC延長線上的一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)M,Z

ADE的平分線與NABC的平分線交于點(diǎn)P,NACB的平分線與/DEC的平分線交于點(diǎn)Q,求證：ZP=Z

9.(1)如圖1,NBAD的平分線AE與/BCD的平分線CE交于點(diǎn)E,NABC=60°,NADC=140。，

則NAEC的大小是；

(2)如圖2,NBAD的平分線AE與NBCD的平分線CE交于點(diǎn)E,NABC=a,NADC=B(a>3),

求/AEC的大??；(用含a,B的代數(shù)式表示)

(3)如圖3,在aABC中，ZACB=a,ZABC=B(a>p),AD是aABC的角平分線，點(diǎn)E是AD

/AEF

延長線上一點(diǎn)，作ERBC與點(diǎn)F,請叱7的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改變，請說明理

由.

10.在Rf^ABC中，NC=90°,D,E分別是aABC邊AC,BC上的點(diǎn)，P是一動點(diǎn)，令NPDA=N1,

ZPEB=Z2,ZDPE-Za.

(1)若點(diǎn)P在線段AB上，如圖1,且Na=40°,則Nl+N2=；

(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動，如圖2,則Na,Z1,/2之間的關(guān)系為；

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動到邊AB的延長線上，如圖3,則Na,Z1,/2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由;

(4)若點(diǎn)P運(yùn)動到AABC外部，如圖4,則Na,Z1,/2之間的關(guān)系為.

BAB

圖3圖4

11.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,OC=4OB.

（1）若4ABC的面積為20,分別求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

（2）如圖②，向x軸正方向移動點(diǎn)B,使/ABC-NACB=90°,作NBAC的平分線AD交x軸于點(diǎn)D,

求/ADO的度數(shù)；

（3）如圖③，在（2）的條件下，線段AD上有一動點(diǎn)Q,作NDQP=NAQM,它們的邊分別交y、x軸于

點(diǎn)P、M兩點(diǎn)，作NFMG=NDMQ,試判斷FM與PQ的位置關(guān)系，并說明理由.

專題30三角形中的邊和角

一、三角形三邊的不等關(guān)系

【典例】周長為P的三角形中，最長邊，〃的取值范圍是（）

A.-<mB.-<m<^C.-<m<^D.-<m<

32323232

【解答】解：三邊相等時.，相=生

三邊不相等時，最長邊山V與

所以，<m

故選：A.

【鞏固】已知等腰三角形ABC.

（1）若其兩邊長分別為2和3,求aABC的周長；

（2）若一腰上的中線將此三角形的周長分為9和18,求AABC的腰長.

【解答】解：（D當(dāng)2為底時，三角形的三邊為3,2,3,可以構(gòu)成三角形，周長為：3+2+3=8；

當(dāng)3為底時，三角形的三邊為3,2,2,可以構(gòu)成三角形，周長為：3+2+2=7.

△ABC的周長為8或7.

（2）設(shè)三角形的腰為x,如圖：

△ABC是等腰三角形，AB=AC,BD是AC邊上的中線，

則有AB+AD=9或AB+AD=18,分下面兩種情況解.

a：x+^x=9,

??x=6>

，三邊長分別為6,6,15,

V6+6<15,不符合三角形的三邊關(guān)系，

舍去；

1

b：彳+2式=18,

Ax=12,

J三邊長分別為12,12,3.

綜上可知：這個等腰三角形的腰長為12.

二、三角形的三線

【學(xué)霸筆記】

1.三角形的高：從頂點(diǎn)向它所對的邊畫垂線段，則頂點(diǎn)到垂足間的線段叫作這條邊上的高，且三條高或

其延長線相交于同一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫作垂心；

2.三角形的中線：頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)間的線段，且三角形三條中線相交于同一點(diǎn)，這個點(diǎn)叫作重心；

3.三角形的角平分線：頂點(diǎn)與角平分線和對邊交點(diǎn)間的線段，三角形的三條角平分線相交于同一點(diǎn)，這

個點(diǎn)叫作內(nèi)心.

【典例】如圖，AD為aABC的中線，BE為4ABD的中線.若aABC的面積為60,BD=5,則4BDE的

【解答】解：：AD是aABC的中線，SAABC=60,

?,-SAABD=|SAABC=gx60=30,

VBE^AABD的中線，

SABDE=|SAABD=Ix30=15,

設(shè)BD邊上的高為/?,BD=5,

11

A--BD-h=~x5X/?=15,

22

:.h=6.

故選：D.

【鞏固】如圖，AABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點(diǎn)為G,且AG：GD=2：1,若SAABC=12,則圖

【解答】解：?.,△ABC的三條中線AD、BE,CF交于點(diǎn)G,AG：GD=2：1,

；.AE=CE,

11

.'.SACGE=SAAGE=^SAACF,SABGF=SABGD=2SABCF,

11

VSAACF=SABCF=2sAABC=.X12=6,

1iii

..SACGE=2SAACF=gx6=2,SABGF=@x6=2,

；?S陰影nS4CGE+SaBGFMd.

故答案為：4.

三、三角形的角平分線

【典例】如圖，BD和CE分別是NABC和NACB的平分線且NDBC=NECB=31°.求NABC和NACB

的度數(shù)，它們相等嗎？(寫出簡單過程)

【解答】解：相等,

由BD與CE分別是NABC和NACB的平分線，可得

NABD=NDBC=*ABC,/ACE=/ECB=//ACB,

由/DBC=/ECB=31°,可得/ABC=NACB=62°,

二ZABC=ZACB.

【鞏固】

如圖，點(diǎn)D是/ABC的角平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF〃BC,DG〃AB.

(1)若ADJ_BD,ZBED=130°,求/BAD的度數(shù).

(2)DO是4DEG的角平分線嗎？請說明理由.

/.ZEBC=50°,ZAEF=50°,

又；BD平分/EBC,

ZEBD=NBDE=ZDBC=25°,

又：ADJ_BD,

NBDA=90°,

ZBAD=90°-25°=65°；

(2)DO是aDEG的角平分線，

理由：；EF〃BC,DG〃AB,

...四邊形BGDE是平行四邊形，

VEF/7BC,

，NEDB=NDBG,

VBD平分NABC,

AZEBD=ZGBD,

AZEBD=ZEDB,

???EB=ED,

???四邊形BGDE是菱形，

，BD平分NEDG,

ADO是ADEG的角平分線.

鞏固練習(xí)

1.己知三角形三邊長小b,c都是整數(shù)，并且。WbVc,若b=7,那么這樣的三角形共有（）個.

A.21B.28C.49D.14

【解答】解:：根據(jù)己知，得

a的可能值有1,2,3,4,5,6,7.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

當(dāng)a=1時，則。不存在；

當(dāng)a=2時，則c=8；

當(dāng)4=3時，則c=8,9；

當(dāng)a=4時，則c=8,9,10；

當(dāng)a=5時，則c=8,9,10,11；

當(dāng)a=6時，則c=8,9,10,11,12：

當(dāng)4=7時,則c=8,9,10,11,12,13.

則這樣的三角形有21個.

故選：A.

2.如圖，在aABC中，ZC=90°,點(diǎn)D在AC上，DE//AB,若NCDE=160°，則NB的度數(shù)為（)

D.70°

【解答】W：VZCDE=160°,

AZADE=20°,

?；DE〃AB,

.\ZA=ZADE=20°,

/.ZB=180°-ZA-ZC=180°-20°-90°=70°.

故選：D.

3.如圖，點(diǎn)D,E分別是AABC的邊AC,AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F,已知ACDF,ABFE,

△BCF的面積分別是3,4,5,則四邊形AEFD的面積是

【解答】解：如圖，連接AF,

VACDF,ABFE,Z\BCF的面積分別是3,4,5,

.S"8F_里S^BFC_竺_三S&BCF_5

ShADF。尸'S^CDF3,S^BEF屋

.S“EF+4_S—EF+SaBFEBFS&BCF_g

SbAFD尸。FDSbCDF3

S—RD+3_S—FD+SACD尸CFS&BCF_9

SAAEFSbAEFFES&BEF4

_108c_96

斛1守：尸-?^hAFD_13-

四邊形AEFD的面積是SAAEF+SAADF=+患=

故答案為：.

13

4.如圖，在銳角AABC中，ZBAOZC,BD、BE分別是AABC的高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線

上，F(xiàn)H_LBE交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H,下列結(jié)論：①NDBE=NF；②2NBEF=NBAF+NC；③NF=4

(NBAC-NC)；④NBGH=NABD+NEBH.其中正確的是(填序號).

???NFGD+NF=90°,

VFH1BE,

???NBGH+NDBE=90°,

VZFGD=ZBGH,

???NDBE=NF,故①正確；

〈BE平分NABC,

???NABE=NCBE,

ZBEF=ZCBE+ZC,

A2ZBEF=ZABC+2ZC,

ZBAF=ZABC+ZC,

，2NBEF=/BAF+NC,故②正確；

VZABD=90°-ZBAC

ZDBE=ZABE-ZABD=ZABE-90°+NBAC=NCBD-ZDBE-90°+ZBAC,

VZCBD=90°-ZC,

.??ZDBE=ZBAC-ZC-ZDBE,

由①得，ZDBE=ZF,

AZF=ZBAC-ZC-ZDBE,

???2NF=NBAC-ZC,

AZF=1(ZBAC-ZC),故③正確；

VZBGH=ZABD+ZBTG,ZCBE=ZABE,BEITH,

???NBTG+NABE=NBHG+NCBE=90°,

.\ZBTG=ZBHT,

顯然NCBE與NBHT不一定相等，故④錯誤，

故答案為：①②③.

5.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角P是另外一個內(nèi)角a的手寸，我們稱此三角形為“友好三角形”，a為友好角.如

果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為54°,那么這個“友好三角形”的“友好角a”的度數(shù)

為.

【解答】解：①54°角是a，則友好角度數(shù)為54°；

1

貝HU-a=n

②54°角是P,J2p54

所以，友好角a=108°；

③54°角既不是a也不是8,

則a+8+54°=180°,

1

所以，a+5a+54。=180°,

解得a=84°,

綜上所述，友好角度數(shù)為54°或84°或108°.

故答案為：54°或84°或108°.

6.在AABC中，NB=90°,AB=8cm,BC=6cm點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AD以

每秒2a”的速度運(yùn)動到B.當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動時間/=秒時，4PCD的面積為6a/.

【解答】解：???點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

AD=BD=*AB=4CVM,

，1

又SAPCD=6C，”2,即-PDXBC=6,

2

解得PD=2cm,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)時，

PD=2cw,則AP=AD-PD=4-2=2(cm),

此時點(diǎn)P的運(yùn)動時間t\=孥=同

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)時，

PD=2cm,則AP=AD+PD=4+2=6(cm),

AD

此時點(diǎn)P的運(yùn)動時間/2=等=3s,

綜上，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為1或3s.

故答案為：1或3.

11

7.如圖1,AD是AABC的角平分線，E是AD延長線上一點(diǎn)，ZEBC=90°一*ABC,ZECB=90°一拉

ACB.

(1)若/BAC=78°,求/BEC的度數(shù)；

(2)若NABC=42°,則NAEC=度，若NACB=64°,則NAEB=度；

(3)如圖2.若CF平分NACB交AD于點(diǎn)F,求證：CF1CE.

【解答】解：(1)VZBAC=78°,

AZABC+ZACB=180°-ZBAC=102°.

11

VZEBC=90°一*ABC,ZECB=90°一/NACB,

1i

.\ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-(90°-*NABC)-(90°NACB)=180°-90°-90°

(ZABC+ZACB)=51°.

(2)VZABC+ZBAE=ZBDE,NAEC+NDCE=NBDE,

ZABC+ZBAE=ZAEC+ZDCE,

/.ZAEC=ZABC+ZBAE-ZDCE.

VAD是/ABC的角平分線，

1

AZBAE=^ZBAC.

VZECB=90'>-1ZACB,ZABC=42°,

11

ZAEC=ZABC+jZBAC-(90°-1ZACB)

ii

=42°+1ZBAC-90°+1ZACB

=1(ZBAC+ZACB)+48°

=1(180°-NABC)+48。

=21。.

"?ZACB+ZDAC=ZEDC,ZEBC+ZBEA=ZEDC,

/ACB+/DAC=NEBC+/BEA,

.\ZAEB=ZACB+ZDAC-ZEBC.

VAD是/ABC的角平分線，

/.ZDAC=|ZBAC.

VZEBC=90°-1ZABC,ZACB=64°,

11

???NAEB=NACB+*NBAC-(90°-JZABC)

11

=64°-90°+^ZBAC+^ZABC

=64°-90°(1800-ZACB)

=32。.

故答案為：21,32；

(3)YCF平分NACB,

/.ZFCB=|ZACB.

1

VZEBC=90°-*ABC,

11

AZFCE=ZFCB+ZECB=1ZABC+(90。-|ZABC)=90。，

ACFICE.

8.如圖所示，在AABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，E是AC延長線上的一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)M,Z

ADE的平分線與NABC的平分線交于點(diǎn)P,NACB的平分線與NDEC的平分線交于點(diǎn)Q,求證：ZP=Z

【解答】證明：：/ADM是ABDIVI的外角，

二ZBMD=ZADM-ZABM.

VZADE的平分線與NABC的平分線交于點(diǎn)P,

AZADP=|ZADM,ZABP=jzABM,

ZADP是4BDP的外角，

1111

???NP=NADP-NABP=*ADM-*ABM=*(ZADM-ZABM)=*NBMD,

同理可得，ZQ=1ZCME,

又；/BMD=NCME,

.".ZP=ZQ.

9.(1)如圖1,/BAD的平分線AE與NBCD的平分線CE交于點(diǎn)E,ZABC=60°,ZADC-140°,

則NAEC的大小是；

(2)如圖2,NBAD的平分線AE與NBCD的平分線CE交于點(diǎn)E,/ABC=a,NADC=B(a>p),

求/AEC的大小；(用含a,p的代數(shù)式表示)

(3)如圖3,在AABC中，NACB=a,/ABC=B(a>p),AD是aABC的角平分線，點(diǎn)E是AD

延長線上一點(diǎn)，作EFLBC與點(diǎn)F,請問出要的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改變，請說明理

a-p

由.

【解答】解：(1)如圖，延長CD,與AB交于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作射線BF,

VZADC=ZDAH+ZAHD,ZADC=140°,

AZDAH+ZAHD=140°,

???ZAHD=NABC+NBCD,

AZABC+ZBCD+ZDAH=140°,

VZABC=60°,

???NBCD+/DAH=80°,

ZBAD的平分線AE與/BCD的平分線CE交于點(diǎn)E,

AZBCE+ZBAE=40°,

,:NCEF=ZCBE+ZBCE,NAEF=ZABE+BAE,

AZAEC=ZCEF+ZAEF=ZBCE+ZCBE+ZABE+ZAEF=ZABC+ZBCE+ZBAE=600+40°=100°,

故答案為：100°;

（2）過點(diǎn)C作射線AG,如圖，

ZBCD=ZBCG+ZDCG=ZB+ZBAC+ZD+ZDAC=a+0+ZBAD,

：/BAD的平分線AE與/BCD的平分線CE交于點(diǎn)E,

11111

ZBAF=5/BAD,ZBCE=5NBCD=+杯+^BAD,

■:NBFE=NB+NBAF=a+|zBAD,

11111

/.ZAEC=ZBFE-ZBCE=a4-iZBAD-（二+鼻口+=）。一夕）；

Z_AEF1

（3）一廠的值不變，恒為：;?理由如下：

a-/?2

VZACB=a,ZABC=P,

.\ZBAC=180°-a-p,

VAD是4ABC的角平分線，

111

AZBAD=ZCAD=^ZBAC=90°一加一開，

1i1I

???NEDF=NB+NBAD=B+90。一8一杯=90。一扣+那，

VEF1BC,

1

AZAEF=90°-ZEDF=1（a-P）,

.乙4EF_1

?*a-p2

故我學(xué)的值不變，恒為a

10.在RfaABC中，ZC=90°,D,E分別是AABC邊AC,BC上的點(diǎn)，P是一動點(diǎn)，令NPDA=N1,

ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖1,且/a=40°,貝!!/1+N2=；

（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動，如圖2,則/a,Zl,N2之間的關(guān)系為；

（3）若點(diǎn)P運(yùn)動到邊AB的延長線上，如圖3,則/a,Zl,N2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；

（4）若點(diǎn)P運(yùn)動到AABC外部，如圖4,則Na,Zl,N2之間的關(guān)系為

c

圖3圖4

【解答】解:(1)VZ1+ZCDP=18O°,

.'.NCDP=180°-Zl,

同理：ZCEP=180°-Z2,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，ZCDP+ZDPE+ZCEP+ZC=360°,

VZC=90°,

.?.180°-Zl+a+180°-Z2+90°=360°,

.?.Zl+Z2=90°+a=90°+40°=140°,

故答案為：130°；

(2)VZl+ZCDP=180°,

.".ZCDP=180°-Zl,

同理：NCEP=180°-Z2,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，ZCDP+ZDPE+ZCEP+ZC=360°,

；NC=90°,

，180°-Zl+a+180--Z2+900=360°,

...Nl+N2=90°+a；

故答案為：ZI+Z2=90°+a；

(3)如圖3,VZl+ZCDF=180°,

E

圖3

.".ZCDF=180°-Zl,

VZCFD=Z2+a,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，ZC+ZCDF+ZCFD=180°,

.\90°+180°-Zl+Z2+a=180°,

.,.Zl=90°+N2+a,

故答案為：Nl=90°+Z2+a；

(4)如圖4,：NPGD=/EGC,

，Z2=ZC-ZEGC=90°-ZPGD.

...NPGD=N2-90°,

,/ZPDG=180°-Zl,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，ZDPG+ZPDG+ZPDG=180°,

，a+180°-Z1+Z2-90°=180°,

/.Z2=90°+Z1-a.

故答案是：N2=90°+Z1-a.

圖4

11.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,OC=4OB.

（1）若AABC的面積為20,分別求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

（2）如圖②，向x軸正方向移動點(diǎn)B,使/ABC-/ACB=90°,作NBAC的平分線AD交x軸于點(diǎn)D,

求/ADO的度數(shù)；

（3）如圖③，在（2）的條件下，線段AD上有一動點(diǎn)Q,作NDQP=NAQM,它們的邊分別交＞、x軸于

點(diǎn)P、M兩點(diǎn)，作NFMG=/DMQ,試判斷FM與PQ的位置關(guān)系，并說明理由.

1

由題意得，-x5aX4=20,解得，a—2,

2

則0B=2,則0C=8,

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,0)；

(2)VZABC-ZACB=90°,

/.ZABC=90°+ZACB,

AZACB+900+NACB+/BAC=180°,

ZBAC=I8O°-90°-2ZACB

=90°-2ZACB,

：AD是/BAC的平分線，

1

.\ZDAC=iZBAC=45°-ZACB,

則/ADO=NDAC+NACB=45°-ZACB+ZACB=45°；

(3)FM1PQ,

理由如下：延長FM交QP于H,

設(shè)/DQP=NAQM=x,ZFMG=ZDMQ=y,

則/DMH=/FMG=y,

ZAQM=ZQMD+ZQDM,即x=y+45°,

，/1=180°-NDQP-/ADO=90°-y,

則N2=N1=9O°-y,

AZ2+ZDMH=y+90°-y=90°,

圖3

專題31三角形全等模型

一、倍長中線

【典例】如圖，已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，延長BF交AC

【解答】解：如圖，延長FD到G,使DG=DF,連接CG.

VAD是BC邊的中線，

；.BD=CD.

在4BDF和4CDG中

BD=CD

乙BDF=4CDG,

DF=DG

.,.△BDF^ACDG（SAS）,

；.BF=CG,NBFD=/G.

VAE=EF,

/EAF=NEFA=ZBFD,

.*.ZG=ZCAG,

；.AC=CG,

；.BF=AC.

【鞏固】（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在AABC中，若AB=6,AC=4,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，

求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：

延長AD至IJ點(diǎn)E,使DE=AD,再連接BE,可證△ACDgaEBD,從而把AB、AC,2AD

集中在4ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫

出范圍即可）.這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”；

(2)探究應(yīng)用:

如圖②，在aABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC

于點(diǎn)F,連接EF,判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由；

(3)問題拓展:

如圖③，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

若AE是NBAF的角平分線，試探究線段AB、AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

二、一線三等角模型

【典例】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】

(1)如圖1,NBAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)B作BCAC于點(diǎn)C,過點(diǎn)D作DEJ_AC于

點(diǎn)E.由/l+N2=/2+ND=90°,得/1=ND.又/ACB=NAED=90°,可以推理得

到△ABCgADAE.進(jìn)而得到AC=,BC=.我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K

字”模型或“一線三等角”模型；

【模型應(yīng)用】

(2)①如圖2,/BAD=NCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC_LAF

于點(diǎn)F,DE與直線AF交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；

②如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,6),點(diǎn)B為平面內(nèi)任一點(diǎn).若4

AOB是以0A為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo).

【解答】(1)解：VZ1+Z2=Z2+ZD=9O°,

???N1=ND,

在aABC和4DAE中，

=ZD

\^LACB=Z.DEAf

{AB=AD

.?.△ABC^ADAE(SAS),

AAC=DE,BC=AE,

故答案為：DE,AE；

(2)①證明：如圖2,作DM_LAF于M,EN_LAF于N,

???NBFA=NAMD=90°,

VZBAD=90°,

???N1+N2=N1+NB=9O°,

???NB=N2,

在4ABF與aDAM中，NBFA=NAMD,

ZBFA=ZAMD

zF=z2'

AB=AD

AAABF^ADAM(AAS),

，AF=DM,

同理，AF=EN,

，EN=DM,

VDM1AF,EN1AF,

AZGMD=ZGNE=90°,

在△DMG與4ENG中，

(ZDMG=NENG

J4DGM=乙EGN，

{,DM=EN

/.△DMG^AENG(AAS),

，DG=EG,即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；

②解：如圖3,△ABO和AAB'O是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形,

圖3

過點(diǎn)B作DCJ_x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作DELy軸于點(diǎn)E,兩直線交于點(diǎn)D,

則四邊形OCDE為矩形，

；.DE=OC,OE=CD,

由①可知，AADB^ABCO,

；.AD=BC,BD=OC,

，BD=OC=DE=AD+2=BC+2,

；.BC+BC+2=6,

解得，BC=2,OC=4,

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）,

同理，點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（-2,4）,

綜上所述，aAOB是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）或（-2,4）.

【鞏固】如圖1,ZkABC中，AB=AC,NBAC=90°,AE是過A點(diǎn)的一條直線，且B、

C在DE的異側(cè)，BD_LAE于D,CEJ_AE于E.

D

D

DE

B圖2

（1）Z\ABD與4CAE全等嗎？BD與DE+CE相等嗎？請說明理由.

（2）如圖2,若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置（BDVCE）時，其余條件不變，則

BD與DE、CE的關(guān)系如何？（只需回答結(jié)論）.

（3）如圖3,若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置（BD>CE）時，其余條件不變，則

BD與DE、CE的關(guān)系如何？（只需回答結(jié)論）.

三、角含半角模型

【典例】正方形ABCD中，E,F分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=45°,將4ABE

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得至IJZ^ADG.求證：EF=BE+DF.

BA

【解答】證明：如圖，由題意得：AABE^AADG,

.,.ZBAE=ZDAG,AE=AG,BE=DG；

???FG=BE+DF；

???/BAE+NFAD=ZFAD+ZDAG；

VZEAF=45°,ZBAD=90°，

???NBAE+NFAD=90°>45°=45°,

，NFAG=45°，NEAF=NFAG；

在AEAF與AGAF中，

AE=AG

Z.EAF=Z.GAF,

AF=AF

AAEAF^AGAF(SAS),

???EF=FG,而FG=BE+DF,

???EF=BE+DF.

如圖1,四邊形ABCD中，BC=CD,ZBCD=120°,E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，Z

ECF=ZA=60°.求證：EF=BE+DF；

如圖2,將圖1中點(diǎn)E移至BA延長線上，點(diǎn)F移至AD延長線上，其余條件不變，寫出

EF和BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

如圖3,將圖1中點(diǎn)E移至AB延長線上，點(diǎn)F移至DA延長線上，其余條件不變，直接寫

出EF和BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系為.

圖1圖2圖3

鞏固練習(xí)

I.如圖，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,Z1=25°,Z2=30°,連接BE,點(diǎn)D

恰好在BE上，貝!|N3=()

2.如圖，在aABC與AAEF中，AB=AE,BC=EF,ZABC=ZAEF,ZEAB=40°,

AB交EF于點(diǎn)D,連接EB.下列結(jié)論：①NFAC=40°；②AF=AC；③NEFB=40°；

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，在aABC中，AD_LBC于點(diǎn)D,BE_LAC于點(diǎn)E,AD,BE交于點(diǎn)F,AADC

絲△BDF,若BD=4,CD=2,則AABC的面積為()

A.24B.18C.12D.8

4.如圖，方格中AABC的三個頂點(diǎn)分別在正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)上），這樣的三角形叫格點(diǎn)

三角形，圖中可以畫出與AABC全等的格點(diǎn)三角形共有（）個.（不含△ABC）

A.28B.29C.30D.31

5.如圖，在aABC中，/ABC=45°,CD_LAB于點(diǎn)D,BE平分/ABC,且BE_LAC于

點(diǎn)E,與CD相交于點(diǎn)F,DH1BC于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)G.下列結(jié)論：①BD=CD；②AD+CF

=BD；③CE=^BF；?AE=CF.其中正確的是（填上正確結(jié)論的序號）.

6.如圖，在AABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，DF_LDE交AC于F,延

長ED至G,使ED=GD.

（1）求證：BE=CG；

(2)求證：BE+CF>EF.

BDC

7.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，DA1AB,EB1AB,FC1AB,且DA=BC,EB=AC,FC

=AB,ZAFB=51°，求NDFE度數(shù).

8.如圖1,在R"\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D為AABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞

點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接CE,BD的延長線與CE交于點(diǎn)F.

(1)求證：BD=CE,BD1CE；

(2)如圖2,連接AF,DC,已知NBDC=135°,判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說明理

由.

9.如圖(1),AB=4CTM,AC_LAB,BD1AB,AC=BD=3c?n.點(diǎn)P在線段AB上以ICTM/S

的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動.它們運(yùn)動的時間

為t(.s').

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)f=l時，4ACP與4BPQ是否全等，

并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；

(2)如圖(2),將圖(1)中的“AC_LAB,BD_LAB”改為“NCAB=NDBA=60°”，

其他條件不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcwi/s,是否存在實(shí)數(shù)x,使得4ACP與4BPQ全等?

10.如圖，等腰RfZ\ABC中，/ABC=90°,點(diǎn)A、B分別在坐標(biāo)軸上.

(1)如圖I,若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5,求B點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若BC交x軸于點(diǎn)M,過C點(diǎn)作CDLBC交y軸于D點(diǎn).求證：BC-CD=

MC；

(3)如圖3,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，分別以O(shè)B、

AB為直角邊在第一、第二象限作等腰RrZMDBF,等腰RrZ\ABE,連接EF交y軸于P點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動時，PB的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出PB的值；若變化，求PB

的取值范圍.

專題31三角形全等模型

一、倍長中線

【典例】如圖，已知在aABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，延長BF交AC于E,且AE=

【解答】解：如圖，延長FD到G,使DG=DF,連接CG.

VAD是BC邊的中線，

，BD=CD.

在△BDF和4CDG中

BD=CD

乙BDF=乙CDG,

DF=DG

/.△BDF^ACDG(SAS),

.\BF=CG,NBFD=/G.

VAE=EF,

/EAF=NEFA=ZBFD,

.\ZG=ZCAG,

；.AC=CG,

；.BF=AC.

【鞏固】(1)方法呈現(xiàn)：如圖①：在AABC中，若AB=6,AC=4,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的

中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：

延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,再連接BE,可證4ACD絲AEBD,從而把AB、AC,2AD集中在AABE

中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是1VADV5(直接寫出范圍即可).這種解

決問題的方法我們稱為“倍長中線法”；

(2)探究應(yīng)用:

如圖②，在aABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接

EF,判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由；

(3)問題拓展:

如圖③，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是/BAF

的角平分線，試探究線段AB、AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【解答】解：(1)如圖①，延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,

：D是BC的中點(diǎn)，

；.BD=CD,

VZADC=ZBDE,

.,.△ACD^AEBD(SAS),

；.BE=AC=4,

在4ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

A6-4<AE<6+4,

.\2<AE<10,

A1<AD<5,

故答案為：1<AD<5；

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM,如圖②所示.

同(1)得：Z\BMD絲ZXCFD(SAS),

；.BM=CF,

VDE1DF,DM=DF,

；.EM=EF,

在4BME中，由三角形的三邊關(guān)系得:

BE+BM>EM,

.".BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下：

如圖③，延長AE,DF交于點(diǎn)G,

.,.ZBAG=ZG,

在4ABE和4GCE中，

CE=BE,ZBAG=ZG,ZAEB=ZGEC,

/.△ABE^AGEC(AAS),

；.CG=AB,

：AE是NBAF的平分線，

；./BAG=/GAF,

.".ZFAG=ZG,

；.AF=GF,

：FG+CF=CG,

；.AF+CF=AB.

二、一線三等角模型

【典例】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】

(1)如圖1,ZBAD=9