高三數(shù)學2012版《6年高考4年模擬》：第六章數(shù)列第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

第六章數(shù)列

第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

第一部分六年高考題薈萃

2011年高考題

一、選擇題

1.（天津理4）已知｛4｝為等差數(shù)列，其公差為-2,且%是%與%的等比中項，J為

｛4｝的前〃項和，nwN”,則So的值為

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.（四川理8）數(shù)列｛叫的首項為3,%｝為等差數(shù)列且”=%+「凡（〃6心）.若則

&=—2,=12,則仆=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

［解析］由已知知，=2〃—8,4+|一4=2〃—8,由疊加法

（%—q）+（%-%）+…+（。8一%）=—6H—4H—2+0+2+4+6=0=%%=3

3.（全國大綱理4）設S”為等差數(shù)列｛4｝的前"項和，若4=1,公差d=2,S.+2一1=24,

則后=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知數(shù)列｛4｝的前n項和S"滿足：S“+Sm=S“.m,且％=1.那么4。=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空題

5.（湖南理⑵設S"是等差數(shù)列｛%｝（〃eN*）,的前〃項和，且q=L%=7,

則§9=

【答案】25

6.（重慶理11）在等差數(shù)列｛""｝中，%+%=37,則%+。4+4+4=

【答案】74

7.（北京理11）在等比數(shù)列{an}中，al=2,a4=-4,則公比q=；

同+同+…+同=o_2

2"-'--

【答案】2

8.（廣東理11）等差數(shù)列卜/前9項的和等于前4項的和.若％=1，%+%=°,則

k=.

【答案】10

9.（江蘇13）設1'4…工4設其中/M3M5M7成公比為q的等比數(shù)列，AM4M6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是

【答案】羽

三、解答題

10.（江蘇20）設M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{凡}的首項卬=1,前門項和為J,

已知對任意整數(shù)kGM,當整數(shù)〃>左時，S“+*+S”“=2（S“+SQ都成立

（1）設M={1},“2=2,求牝的值;

（2）設"={3用，求數(shù)列缶”}的通項公式

本小題考查數(shù)列的通項與前.〃項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎知識，考查考生分析

探究及邏輯推理的能力，滿分16分。

解：（1）由題設知，當"N2時,Sm—S,i=2（5,+SJ,

即⑸+「S“）—⑸-S“T）=2S1,

從而4+1-4=2al=2,又生=2,故當”22時,/=4+2（〃-2）=2〃-2.

所以為的值為8。

（2）由題設知,當無e—={3,4},且〃>左時,5.+斤+S”_*=2S“+2S*

且S“+]+*+S_—2s“+1+2S

n+lkk9

兩式相減得。"+1+左+%-無=2a〃+”即?！?]+k-an+x_k=an+}-an+}_k

所以當〃N8時,??-6，4,-3，，a“+3，4+6成等差數(shù)列，且限,an_2,an+2，q+6也成等差數(shù)

列

從而當〃28時，2?！?%+3+%_3=%+6+?！癬6?(*)

且%+6+?！?6=4+2+an-2，所以當〃28時,2%=限+*,

aa

即?+2~/=n-4_2?于是當"N9時,q_3，/-1，%+1，%+3成等差數(shù)列,

從而%+3+%-3=』向+《1,

故由(*)式知況=“川+47,即“向一%二%一"5

當〃29時，設

當2W機48時，加+628,從而由(*)式知24+6=%,+品位

故2am+1=am+\+am+\y

a

從而2(4+7-a,“+6)=?m+!-?,+(4+13-?,?+12),于是?,n+!-am=2d-d=d.

因此,%+i一q=d對任意〃22都成立,又由SM+S--2&=2S*(左e{3,4})可

知(Sn+k-Sn)-(Sn-S?_k)=21,故9d=2s3且16d=2S4,

a4=工4,從而a,=—c/,at=

解得2一22

因此，數(shù)列何}為等差數(shù)列,由4=1知"=2.

所以數(shù)列S"}的通項公式為凡=2〃-1.

11.(北京理20)

若數(shù)列=4，%N2)滿足|見+1-力=K%=1,2,...,〃一1),數(shù)列A“為E數(shù)列,

記SQ“)=%+%+.??+%

(I)寫出一個滿足4=4=0,且S(Z,))0的舊數(shù)列4.

(II)若4=12,n=2000,證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是%=2011：

(III)對任意給定的整數(shù)n(n>2),是否存在首項為0的E數(shù)列'"，使得'(4)=0?

如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列'"：如果不存在，說明理由。

解：(I)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5)

(II)必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，

所以4+1■?外=1(左=12…,1999)

所以A5是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.

所以a2000=12+(2000—1)xl=2011.

充分性，由于a2000—al000Wl,

a2000—al000<l

a2—al<l

所以a2000—a<19999,即a2000<al+1999.

又因為因為2,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

故a”+i-a”=1>。(卜=1,2,…,1999),即4是遞增數(shù)列.

綜上，結(jié)論得證。

(IH)令q=4+1一4=1〉0(4=1,2,…,”1),則C”=士L

因為。2=%+G+.=%+，+。2

4=6+G+。2+…+c“+”

所以S(4)=〃q+(〃T)q+(〃-2)。2+(〃-3)q+…+c”-i

=必11)一3_G)(〃一])+(1一02)(〃-2)+…+(1-*)].

因為q=±1,所以1為偶數(shù)(左=1,???,?-1).

所以T)+(l-。2)("-2)+???+(]-C.)為偶數(shù)，

5(4,)=0,必須使？(”1)

所以要使2為偶數(shù)，

即4整除”(〃-1),亦即〃=4加或〃=4m+\(meN*)

當n=4m+\(m&N*)時,E數(shù)列4的項滿足a4H1=。句=0,a4k_2=-1,a4k=1

(左=1,2,時，有q=0,S(4)=0;

a軟=1(攵=1,2,…，加)，4*+]=0口寸，有q=0,S(4J=0；

當〃=4加+l(m€N*)時,￡數(shù)列4,的項滿足，=仁.3=0,明=-1

當〃=4利+2或〃=4加+3(meN)時,〃⑺-1)不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An)

使得q=°，s(4,)=0,

12.(廣東理20)

nba./

4=-----六tt(〃22)

設b>0,數(shù)列｛"〃｝滿足al=b,%+2〃-2

求數(shù)列｛凡｝的通項公式;

(1)

bn+l,

凡,萍+L

(2)證明：對于一切正整數(shù)n,

解:

nba“\八〃12n-l

%=b>0,知=>0,-=一十---------

a”[+2〃-2

(1)由n—ia“bbq1T

Ari1

An=一，4=~

令4b

12

當心2時

2〃-2

H-----rA,

卜jb'-'1

122n~22"T

-1.-+…+

bb2b"』+工

①當時,

hyb)bn-T

?2—b"(b—2)

1------

b

b=2時,4=-.

②當2

〃b"(b-2)

w2

,bn-r

2,h=2

nh"(h-2)hn+}+1,只需證出《（5+1）?|：

A*。%n

（2）當6彳2時，（欲證b"-2)

h,J-2〃

(2"*i+bn+')———=(2fl+1+bn+')(6"T+2b"-2+???+2"-)

b-2

=2,,+lh"-'+2"+2b"-2+---+22"+h2n++.??+T-'bn+l

=2,夕

bb2b"2"2

>2nbn(2+2+---+2)=2n-2nbn=n-2n+'bn

nb"(h-2)bn+'

<+1.

bn-T

bn+',

a”-T^T+1-

綜上所述2

13.（湖北理19）

已知數(shù)列｛""｝的前〃項和為*,且滿足：⑦=。（。#0）,?！?1=6,（〃eN*,

reR,rw-1）

（I）求數(shù)列｛“"｝的通項公式；

（II）若存在％CN*,使得&+1,8,0+2成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的加CN*,

且機22,飆+1,或，以，+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般

的思想。（滿分13分）

解：（D由已知可得/+2='S,+1,兩式相減可得

4*2-6用=?S,+|-S”）=”,用，

即4H=（尸+1）4〃+1，

又生所以-0時,

數(shù)列｛""｝為：a,o,o,....

當時,由已知""所以"產(chǎn)°(〃eN*),

=r+\(neN*)

于是由4+2=什+D%+i，可得%+1,

；?4，/，…，為+…成等比數(shù)列，

.?.當nN2時=r(r+l)n-2a.

a?〃=1，

d—\i

綜上，數(shù)列｛《J的通項公式為n”[r(r+l)"-2a,n>2

(II)對于任意的相eN*,且加22,品+”4，勺+2成等差數(shù)列，證明如下:

4,77=1,

a—《

當r=0時，由(I)知，m[0,”22

???對于任意的加eN*,且加22,am+vam,a,,1+2成等差數(shù)列，

當r。0,廠工一1時，

,S"2=+%+1+―+2，》+1+W+1?

若存在人*,使得&+1,5,Sk+2成等差數(shù)列，

則Sm+Sk+2=2Sk,

*0*2s左+2&+i+4+2=2S“，即/2=-2%i，

由⑴知，生嗎，…4,…的公比r+1=-2,于是

對于任意的eN”,且加22,?！坝?—2。,”,從而。川+2=4%,，

a+a

m+lm+2~2<7,?,B|J<7)/,+|,<7m,flm+2成等差數(shù)列，

綜上，對于任意的加eN.，且加22,。,,向，％,,a,,"成等差數(shù)列。

14.(遼寧理17)

已知等差數(shù)列｛an｝滿足a2=0,a6+a8=-10

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(H)求數(shù)列｛H券J｝的前n項和.

解:

q+(7=0,

(I)設等差數(shù)列｛4J的公差為d,由已知條件可得〔24+12”=-10,

。1=1,

V

d——1

解得〔"L

故數(shù)列｛為｝的通項公式為a”=2f.......................5分

｛黑｝的前〃項和為S”S,=q+今+…+黑，故*=1

(II)設數(shù)列2，即22

2a”

-------1-----------r???+

2242"

所以，當〃〉1時,

S”〃上%一a一,an-an-\%

2122,,_|2"

,A112—〃、

=1-(-+-+■??+——r---------)

242'i2"

n

T

S=--

所以2"T

｛察｝的前〃項利S.=n

2^

綜上，數(shù)列2”12分

15.(全國大綱理20)

]

設數(shù)列｛""｝滿足％=0且1一。用

求)的通項公式;

(I)

—廣出'，記s”=汽4,證明：s<1.

b“n

(II)設7nk=\

解：

11

1,

1-4+11一4,

(I)由題設

1

即j"是公差為1的等差數(shù)列。

1,,,1

----=1,故-----=〃.

又1-ql-an

%=1一一

所以〃

（II）由（I）得

_y/n+l-yjri

\Jn+\-y[ri

J_____1_

J〃+I,

>Jn8分

nn\11

=孕嗔（7T而T）=「而T<L.......12分

16.（山東理20）

等比數(shù)列｛""｝中，a"％，％分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且4，4，6中的任

何兩個數(shù)不在1;表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（I）求數(shù)列｛"/的通項公式;

（II）若數(shù)列也｝滿足：，=4+（T）卜%,求數(shù)列M｝的前n項和S?.

解：（I）當卬=3時，不合題意;

當q=2時，當且僅當4=6,%=18時，符合題意;

當4=10時，不合題意。

因此"1=2,%=6,q=18,

所以公式q=3,

故％=2.3“T.

(II)因為〃=%+(-D"In%

=2-3"-'+(-1/(2-3n-1)

=2-+(-l)M[ln2+(/7-l)ln3]

=2?3"T+(-1)”(In2-In3)+(-1)"/?In3,

所以

2n2,,

52?=2(1+3+---+3-')+[-l+1-1+---+(-l)"](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)H]ln3,

所以

Scn=2cx-1-—-3-"-1—HI、n3、

當n為偶數(shù)時，1一32

=3"+判3-1;

1-3Z,n-1

S=2x---—(ln2-ln3)+(-----〃)ln3

當n為奇數(shù)時，1-32

n—\

3n--In3-ln2-l.

=2

綜上所述，

3"+41n3—1,〃為偶數(shù)

o2

S“=j

3n-^—!-ln3-ln2-l,n為奇數(shù)

I2

17.(上海理22)已知數(shù)列{"J和色}的通項公式分別為4=3〃+6,"=2〃+7

(〃eN*),將集合

{x\x=an,neN*}U{x\x=bn,neNt]中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列

(J)求，。2，。3，。4；

(2)求證：在數(shù)列｛%｝中.但不在數(shù)列｛4｝中的項恰為生，4,…，出"，

(3)求數(shù)列｛《J的通項公式。

解：⑴G=99=11勺=12,°4=13；

(2)①任意neN*,設ain-\~3(2〃-1)+6=6〃+3=a=2左+7,則左=3〃一2,即

a2n-\=4〃-2

②假設"2"=6〃+6=4=2左+7Q%一3〃-^N（矛盾），...四“他｝

在數(shù)列EJ中.但不在數(shù)列也｝中的項恰為%，％，…，的”…。

⑶4"2=2（3左-2）+7=6左+3=。21,

b3k-=6k+5a2k=6k+6b3k=6%+7

?.?6%+3<6左+5<6%+6<6%+7

...當左二］時，依次有4二%=。，4=°2，。2=。3,4=Q,......

6左+3（〃=4左一3）

6〃+5（〃=4左一2）,*

c”=〈,kwN

6左+6（〃=4左一1）

?6k+7（〃=4左）

??IO

18.（天津理20）

,,-3+（-1）"

已知數(shù)列S"｝與德｝滿足：2,〃eN",且

q=2,%=4

（I）求生，4M5的值;

（II）設g=%"T+。2"+”〃eN,證明：｛%｝是等比數(shù)列.

（III）設尺=%+。4+…+%*，左eN,證明:?=I46

本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜

合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.

,3+（-1）"...

a=-；—,〃&N,

（I）解：由2

1,〃為奇數(shù)

b尸

2,n為偶數(shù)

可得

又44+%+1+a+陷"+2=0,

當n=l時,a|+a2+2a3=0,由3=2,a2=4,可得23=-3;

當n=2時，2a2+a3+a4=0,可得=-5;

當n=3時，a3+a4+2a5=0,可得=4.

（II）證明：對任意"WN*,

°2?-1+a2n+2%〃+1=。，①

2a2"+a2n+\+a2n+2=°，②

。2"+1+。2"+2+2a2”+3=°，③

②—③，得%"=*?（?）

將④代入①，可得"2"+1+%+3=一（。2〃-1+。2”+|）

即c〃+i=-，“（〃eN*）

又q=%+%=-1,故c“WO,

—=-1,所以￡}

因此,”是等比數(shù)列.

（III）證明：由（II）可得々i+a2K1=（T>,

于是，對任意左eN*且左N2,有

%+%=T

一（%+%）=T

%+%=T

（T）"Qk-3=一1?

將以上各式相加，得q+（一1）%21=-（左T）,

即°2"1=（-1）""（女+1）,

此式當k=l時也成立.由④式得%*=（T）r/+3）-

從而S?*=（%+4）+（%+為）+…+（。伏-2+a4k）=-k,

S2k-\=S2k-aAk=k+3.

所以，對任意"eN*,〃N2,

S/2加+22加-12M+32m、

>(------------------------------------+----------)

舄2m2加+22m+12利+3

=y(+---------------)

￡2加(2加+1)(2/M+2)(2W+2)

2s53

2x32m(2m+l)(2〃+2)(2〃+3)

1953

3￡(2加—1)(2〃?+1)(2〃+2)(2〃+3)

15l1、/1、，113

=-+一-[r(z----)+(-----)+???+(-------------)V1l+-----------------------

3235572M-12〃+1(2〃+2)(2〃+3)

15513

———?--------------------1------------------------

3622?+1(2〃+2)(2〃+3)

7

6

對于n=l,不等式顯然成立.

所以，對任意"GN*,

工+邑+...+邑-1+&

4%a2n

=(工邑)+(邑+均+...+(%+羯

%。2%?4?2?-1。2"

=(1----------)+(1—弓------；--------；------)+??,+(1--------------------)

4124242-(42-1)4"(4"-1)

<n-（—+—）=n——.

4123

19.（浙江理19）已知公差不為0的等差數(shù)列｛《J的首項.為a火），設數(shù)列的前n

111

項和為E，，且%,%,%成等比數(shù)列

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式及s，

1111n1111

—+—+—+...+—Bn=—+—+—+…+—

4S]SSSqaaa’.2”，當〃22時，試比較4

⑵記23fJ22

與久的大小.

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎知識，同時考查分類討論思想。

滿分14分。

Z1.211

｛--｝=-----,

(I)解：設等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,由%44

(q+d)2=q(6+3d)

得

an(n+1)

a=na,S

因為所以”=a所以n{n2

_2力所以

(II)解：因為3"an

iii12(1-

A,-----1--------1-------F???H------

"+1

S]s?S3S“a

因為=2"%,所以

1-(jr

12

T+LL…+-=-(l--).

ai_!a2"

%a2%

2

當〃22時,2"=C；+C：+C：+…+C：>〃+1

所以，當a>°時，4<紇；

當a<0時,An>B”.

20.(重慶理21)

設實數(shù)數(shù)列｛“"｝的前n項和S”，滿足S"+i=?！?￡(〃eN)

(I)若"iM-2%成等比數(shù)列,求和“3：

4

k>3^Q<aM<ak<-

(II)求證：對3

七—2”得國=_2s2

(I)解：由題意卜2=4百=4%，

由S2是等比中項知$2*0?因此邑=-2.

由$2+。3=83=%$2解得

S-22

q=-----2--=--------=—?

S2-1-2-13

(ID證法一：由題設條件有S”+a，，+i%s?,

S“S_

S產(chǎn)1嗎+1。1且4+i

a1

故n+\~

從而對后23有

ak-\~1

Sk-\-1ak-\+Sk-2~1〃,4-1_1aLl~ak-\+1

uk-\7-1

a1

k-\-?

13

at-\-ak-\+1=(4-i_+1>0且2。>0

因24,由①得ak-U

.4吮<4

_2_L1_2，

要證3,由①只要證ak-\-4-i+13

印證3。；_|W4(，_]—%_]+1),即(4_I-2)2>0.

此式明顯成立.

4

ak<~{k>3\

因此3

vaM=~7

最后證4+|S以'若不然4?4+1

2

ak>0,故.2------>1,即(a*-I)<0.

又因。一為+1矛盾.

因此"*+i-ak（^-3）.

證法二：由題設知S"+'=S"+=勺+iB,,

故方程一-S,+|X+S,+1=°有根S,和4+1(可能相同)

因此判別式△=S,+1-4S.+I>0.

S.+2=S用+an+2=4+2S,M得4+2中1月S+I=—吟■

又由限一1

%2%+2

>0,BP3^+2-4an+2<0

因此（4+2-1）22T

0?%+2

解得4-

八4

04%K—（k>3）.

因此3

/23）

由,得

因此q+i4Qf((k之3).

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010浙江理)⑶設S,為等比數(shù)列｛%｝的前"項和，Sa2+a5=0,則叢=

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通過8%+%=°，設公比為4,將該式轉(zhuǎn)化為8a2+%/=°，解得4=2帶入所

求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，

屬中檔題

2.(2010全國卷2理)(4).如果等差數(shù)列｛%｝中，。3+。4+。5=12,那么q+勺+...+。7=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命題意圖】本試題主:要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).

【解析】…"=3%=12嗎=…+%+…+%=誓也=7%=28

3.(2010遼寧文)(3)設S“為等比數(shù)列｛““｝的前”項和，已知3s3=4-2,382=4-2,

則公比g=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

解析：選B.兩式相減得，3<73=a4-a3,aA=4a3,：.q=—=4.

a3

4.(2010遼寧理)(6)設同｝是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，S,,為其前n項和。已知a2a4=1,S3=7,

則邑=

,、15313317

(A)—(B)—(C)——(D)—

2442

【答案】B

【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能

力。

【解析】由a2a4=1可得=因此“二與，又因為S3=q(l+q+q2)=7,聯(lián)力兩式

q

1114—(1—*)31

有(±+3)(±-2)=0,所以q=±，所以85=-----^—=—,故選B。

qq24

2

5.(2010全國卷2文)⑹如果等差數(shù)列｛%｝中，/+。4+。5=12,那么q+%+?f..+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本題考查了數(shù)列的基礎知識。

..%+4+%=12.a=4/+出+…+%=5*7*(%+%)=7%=28

?,??I

6.(2010安徽文)⑸設數(shù)列｛《,｝的前n項和S“=”2,則卬的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】a8=58-57=64-49=15.

【方法技巧】直接根據(jù)%=S“>2)即可得出結(jié)論.

7.(2010浙江文)(5)設％為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，8%+%=。則區(qū)=

§2

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)U

解析：通過8%+%=0,設公比為4,將該式轉(zhuǎn)化為8a2+%/=0,解得4=2帶入所

求式可知答案選A,本題主要考察了木題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式

8.(2010重慶理)⑴在等比數(shù)列｛凡｝中，%)10=8。2007，則公比q的值為

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

解析：詠=/=8:.q=2

。2007

9.(2010廣東理)4.已知｛q｝為等比數(shù)列，Sn是它的前〃項和。若%q=2q，且％與

2%的等差中項為:，則Ss=

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：設｛《,｝的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，叼,4=4-4=2q，即％=2。由4

與2a7的等差中項為:知，a4+2a7=2x,即q=；(2x；-%)=；(2x|'-2)=(.

=—=^,即4=；?a4=4夕3=qX*=2,艮|jQ]=]6.

10.（2010廣東文）

4.已知數(shù)列瓦｝為等比數(shù)列，又是它的前〃項和.若％q=%且4與

2%的等差中項為:，則S5=

LWB.J3CJ1D.^29

:

解：a2-a3=。闖?axq=2ax=4=2

、3、5_,151q2./

。4+2a4q=2x——.A+4q=——q=彳,a1=—j*=——=16

422gl

y

1aT）1

故：Si=----4=32（1-5）=32-1=31,選C

1——■

■2

11.（2010山東理）

（9）設｛aj是等比數(shù)列，則“笑<塵<生”是數(shù)列｛&｝是遞增數(shù)列的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件、

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條化

【答案】C

【解析】若已知ajaa<a3，則設數(shù)列｛aj的公比為q,因為aiVaJas，所以有aFaiqVaiq?,解得q>l,

且a-0,所以數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列；反之，若數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列，則公比q>l且a/0,所以

a^a^ajq2,即ai〈a2〈a3，所以aja2<23是數(shù)列｛aj是遞噌數(shù)列的充分必要條件.

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎知識，屬保分題.

12.（2010重慶文）（2）在等差數(shù)列｛凡｝中，g+49=10，則%的值為

（A）5（B）6

（C）8（D）10

【答案】A

解析：由角標性質(zhì)得q+g=2%，所以4=5

二、填空題

1.（2010遼寧文）（14）設S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若Sj=3,S6=24,則

=___________

or3x2一

Oj=3tZ|H-----d=3

2%=-1

解析：填15.,解得%=q+8d=15.

￡=6q+*d=24d=2

2.（2010福建理）11.在等比數(shù)列上｝中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通

項公式=

【答案】4n-'

【解析】由題意知q+4q+16q=21,解得q=l,所以通項

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用，屬基礎題。

3.（2010江蘇卷）8、函數(shù)y=x2（x>0）的圖像在點四./）處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+hk

為正整數(shù)，。/=16,則。/+。3+。5=

解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。

在點（％4）處的切線方程為：?一q，=24（x-4）,當y=0時，解得》=會，

所以4+1=~~+6/j+=16+4+1=21。

三、解答題

1.（2010上海文）21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小

題滿分8分。

已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S,,且S“=〃—5a“—85,HGN*

⑴證明：｛凡—1｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛S,,｝的通項公式，并求出使得8,用>S”成立的最小正整數(shù)〃.

解析：（1）當”=1時，ai=-14；當稔2時，為=&-5.-1=-5。“+5?！癬|+1,所以=

6

又1=-15W,所以數(shù)列｛??-1｝是等比數(shù)列；

（2）山⑴知：4-l=-15.圖，得4=1-15.日，從而

1?仃+77-90(/?GN*)；

由S,+1>S,,得。<|,rt>log5^+l?14.9,最小正整數(shù)”=15.

2.（2010陜西文）16.（本小題滿分12分）

已知｛為｝是公差不為零的等差數(shù)列，0=1，且俏，〃9成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛四｝的通項；（II）求數(shù)列｛2""｝的前〃項和S”.

解（I）由題設知公差存0,

由0=1,內(nèi)，6，。9成等比數(shù)列得匕衛(wèi)

1\+1d

解得4=1,d=0（舍去），故｛〃”｝的通項。”=1+（n—I）x[=〃.

（II）由（I）知2"'"=2",由等比數(shù)列前n項和公式得

23n2（1-2”）n+1

Sm=2+2+2+...+2=-------=2'-2.

1-2

3.（2010全國卷2文）（18）（本小題滿分12分）

已知｛凡｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

C/11、/“111、

=2（---1---）,。3+=64（---1----1---）

qa2a3a4a5

（I）求｛4｝的通項公式；

2

（n）設bn=（a?+—），求數(shù)列｛4｝的前〃項和Tn。

a?

【解析】本題考查了數(shù)列通項、前〃項和及方程與方程組的基礎知識。

（1）設出公比根據(jù)條件列出關(guān)于.與"的方程求得4與"，可求得數(shù)列的通項公式。

（2）由（1）中求得數(shù)列通項公式，可求出BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分

成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。

4（2010江西理）22.（本小題滿分14分）

證明以下命題：

（1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c（b<c）,使得b2,,2成等差數(shù)列。

2

(2)存在無窮多個互不相似的三角形其邊長為,bn,c”為正整數(shù)且a：,bn,J：

成等差數(shù)列。

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

(1)考慮到結(jié)構(gòu)要證〃+c2=2〃，；類似勾股數(shù)進行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值F,52,72滿足等差數(shù)列，只需取b=5a,c=7a,對一切正整

數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角

形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當屋,味c；成等差數(shù)列，則片-a—；,

分解得：(〃+an)(b?-a?)=(c?+b?)(cn-b“)

選取關(guān)于n的一個多項式，4〃(〃2一1)做兩種途徑的分解

4〃(〃2一1)=(2〃-2)(21+2n)=(2/-2〃)(2〃+2)4n(n2-Y)

1

an=ii-2n-\

對比目標式，構(gòu)造＜",=/+1(〃24),由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，

cn-n~+1n-\

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m,n,若”相似：則三邊對應成比例

m2-2m-1_w2+1_m24-2m-1

n2-2n-1n24-1w2+2w-l

由比例的性質(zhì)得：竺二=竺？=機=〃，與約定不同的值矛盾，故互不相似。

n-\〃+1

5.（2010安徽文）(21)(本小題滿分13分)

設￡,。2,…,C”…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線

卜=理》相切，對每個正整數(shù)〃，圓￡,都與圓QM相互

第(21)題圖

外切，以表示G的半徑，已知｛，；,｝為遞增數(shù)列.

（I）證明：匕｝為等比數(shù)列；

（II）設4=1,求數(shù)列｛—｝的前〃項和.

rn

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基