歷年高考數(shù)列題型歸納

歷年高考數(shù)列題型歸納周文靜15．已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)1,n=1,an=,n≥2.（2004全國1）22．（本小題滿分14分）已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通項(xiàng)公式.（11）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若則(A) （A）（B）（C）（D）（14）已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且則邊BC上的中線AD的長為（22）（本小題滿分１２分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且方程 有一根為 （I）求 （II）求的通項(xiàng)公式.在數(shù)列在中，，，,其中為常數(shù)，則的值是（2008安徽理綜）（21）．（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；（Ⅱ）設(shè)，證明：;（Ⅲ）設(shè)，證明：6、若，則(C)ABCD20（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，公差，是與的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)22．本小題主要考查數(shù)列，等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力以及分析、歸納和推理能力.滿分14分.解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,……a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=a2k=a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.{an}的通項(xiàng)公式為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，15。11解析:由等差數(shù)列的求和公式可得且所以,故選A22解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)．當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a2＝EQ\f(1,6)．(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)．由①可得S3＝EQ\f(3,4)．由此猜想＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．……8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)對(duì)所有正整數(shù)n都成立．……10分于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1時(shí)，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通項(xiàng)公式＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1