2016年文數(shù)高考真題全國Ⅱ卷答案

2016年文數(shù)高考真題全國II卷答案

組題人：李明輝

未命名

1.已知集合4={1,2,3},B={x\x2<9},則AnB=

A.{-2,-1,0,1,23}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

試題分析：由/<9得-3<x<3,所以B={x|-3<x<3},因為4={1,2,3},所以

AnB={1,2},故選D.

【考點】一元二次不等式的解法，集合的運算

【名師點睛】對于集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸

或韋恩圖處理.

2.設復數(shù)z滿足z+i=3—i,則5=

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

【答案】C

【解析】試題分析：由z+i=3—i得z=3-2i,所以5=3+2i,故選C.

【考點】復數(shù)的運算，共軌復數(shù)

【名師點睛】復數(shù)。+4（。力€/?）的共軌復數(shù)是。―4（。力eR）,據(jù)此先化簡再計算

即可.

■了視頻廠

3.函數(shù)>=Asin（0x+e）的部分圖像如圖所示，則

A.y—2sin(2x---)

6

71

B.y=2sin(2%_§)

71

C.y=2sm(x+—)

兀

D.y=2sin(x+—)

【答案】A

【解析】

TTTT27r

試題分析：由題圖知，A=2,最小正周期丁=2[——(一一)]二萬，所以G=—=2,

367i

TT7T

所以丁=25抽(21+。).因為圖象過點(§,2),所以2=2sin(2x§+e),所以

27r27rTTTI

sin(——+夕)=1,所以——+e=2Z乃+—(ZeZ),令攵=0,得。=一一，所以

3326

冗

y=2sin(2x---),故選A.

6

【考點】三角函數(shù)的圖像與性質

【名師點睛】根據(jù)圖像求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)y=Asin(的+⑼+/?圖

像的最高點、最低點確定A,h的值，由函數(shù)的周期確定3的值，再根據(jù)函數(shù)圖像上的

一個特殊點確定9值.

4.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為

32c

A.12乃B.—nC.8〃D.4萬

3

【答案】A

【解析】

試題分析：因為正方體的體積為8,所以棱長為2,所以正方體的體對角線長為26，

所以正方體的外接球的半徑為G，所以該球的表面積為41?(百)2=12萬，故選A.

【考點】正方體的性質，球的表面積

【名師點睛】與棱長為4的正方體相關的球有三個：外接球、內切球和與各條棱都相

切的球，其半徑分別為&、二和叵.

222

L

5.設b為拋物線C：V=4x的焦點，曲線y=?Z>0)與C交于點尸，PFJ_x軸，

則％=

試卷第2頁，總17頁

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【解析】

k

試題分析：由拋物線的性質可得尸(l,2)=y=：=2=攵=2,故選D.

考點：1、直線與拋物線；2、拋物線的幾何性質；3、反比例函數(shù).

6.圓龍2+V-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y—l=O的距離為1,貝lja=()

43廠

A.-----B.-----C.5/3D.2

34”

【答案】A

【解析】

試題分析：由/+/一2%一8丁+13=0配方得(x-l)2+(y-4>=4,所以圓心為

(1,4),因為圓/+,2一2%—8y+13=0的圓心到直線6+了-1=0的距離為1,所以

|a+4-1|4

,解得。=—一，故選A.

3

【考點】圓的方程，點到直線的距離公式

【名師點睛】直線與圓的位置關系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位

置關系時，常用幾何法將位置關系轉化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，以

此來確定參數(shù)的值或取值范圍.

7.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

俯視圖

A.20TTB.24〃C.28%D.32乃

【答案】C

【解析】

試題分析：由三視圖分析可知，該幾何體的表面積為圓錐的表面積與圓柱的側面積之

和.S慮位=W22+；-2W2-4=12%,5因笈=毛2-4=16乃，所以幾何體的表面積

為5=287.

考點：三視圖與表面積.

8.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒，若一名行

人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()

7533

A.—B.—C.-D.—

108810

【答案】B

【解析】

試題分析：因為紅燈持續(xù)時間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的

40-155

概率為一市二=豆，故選B.

【考點】幾何概型

【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，

而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾

何概型的求解方法.

9.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序

框圖，若輸入的x=2,”=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的5=()

A.7B.12C.17D.34

試卷第4頁，總17頁

【答案】c

【解析】

第一次循環(huán)：a=2,s=2,k=1；第二次循環(huán)：a=2,s=6,k=2；第三次循環(huán)：a=

5,s=17,k=3>2；結束循環(huán)，輸出s=17,選C.

點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的

相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、

循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項.

10.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10*「的定義域和值域相同的是()

1

A.y=xB.j=lgxC.y=2xD.y=

【答案】D

【解析】

，st

試題分析:因函數(shù)y=10的定義域和值域分別為x>0ty>0,故應選D.

考點：對數(shù)函數(shù)幕函數(shù)的定義域和值域等知識的綜合運用.

7T

11.函數(shù)/(x)=COS2X+68S(的最大值為

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

311

試題分析：因為/(x)=l-Zsin?x+6sinx=-2(sinx—])2+w,而sinxe[-1,1],

所以當sinx=l時，/(x)取得最大值5,選B.

【考點】正弦函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質

3

【名師點睛】求解本題易出現(xiàn)的錯誤是認為當sinx=一時，函數(shù)

2

y=-2(sinx-1)2+y取得最大值.

12.已知函數(shù)f(x)(xeR)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=k-2x-3|與y=f(x)圖

m

像的交點為(Xl,yi),(X2,y2),…，則￡七二

/=1

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】

試題分析：因為y=/(x),y=|x2—2x—3|的圖像都關于％=1對稱，所以它們圖像的

交點也關于X=1對稱，當"7為偶數(shù)時，其和為2x彳=機；當機為奇數(shù)時，其和為

2

2x—~-+1=/?,因此選B.

2一

【考點】函數(shù)圖像的對稱性

【名師點睛】如果函數(shù)f(x),VxeD,滿足Vxe。，恒有/(a+x)=/S-x),那

么函數(shù)的圖象有對稱軸x=±也；如果函數(shù)f(x),VxeD,滿足VxeO,恒有

2

f(a-x)=-f(b+x),那么函數(shù)/(x)的圖象有對稱中心(―,0).

2

13.已知向量2=(m,4),b=(3,-2),且2〃1),貝!]m="

【答案】-6

【解析】

試題分析：因為a〃b,所以—2m—4x3=0,解得團=-6.

【考點】平面向量的坐標運算，平行向量

【名師點睛】如果a=(xi,yi),b=(X2,y2)(b/0),則a〃b的充要條件是xiy2—X2yi

=0.

x-y+1>0,

14.若x,y滿足約束條件｛X+y-320,則Z=x-2y的最小值為.

x-3<0,

【答案】-5

【解析】

【詳解】

x-v+1=0x=1/、x-y+1-0x=3

試題分析:叫+y一3=0得c，記為點A(l,2)；由｛:得《

y2x—3=()y=4

/、%—3=0x=3

記為點8(3,4)；由(+、「3=0得'記為點。(3,0).分別將A,B,C的坐標

y=0

試卷第6頁，總17頁

代入z=x—2y,得z」=1—2x2=—3,zB=3—2x4=—5,zc=3-2xO=3,所

以z=x-2y的最小值為-5.

【考點】

簡單的線性規(guī)劃

【名師點睛】

利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：

(1)在平面直角坐標系內作出可行域；

(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形；

(3)確定最優(yōu)解：在可行域內平行移動目標函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解;

(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值.

........45

15.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=—,cosC=—,a=l,

513

貝。b=__.

21

【答案】百

【解析】

45

試題分析：因為cosA=—,cosC=一，且AC為三角形的內角，所以

513

312

sinA=—,sinC=—,

513

sinB=sinf^--(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—,又因為

65

ab一，，?sinB21

——=——，所以)=------.

sinAsinBsinA13

【考點】正弦定理，兩角和、差的三角函數(shù)公式

【名師點睛】在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個

定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊

的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用

正弦定理；以上特征都不明顯時，則?？紤]兩個定理都有可能用到.

16.有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看

了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說：“我與

丙的卡片上相同的數(shù)字不是1"，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5"，則甲的卡片上

的數(shù)字是.

【答案】1和3.

【解析】

根據(jù)丙的說法知，丙的卡片上寫著1和2,或1和3；

(1)若丙的卡片上寫著1和2,根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；

所以甲的說法知，甲的卡片上寫著1和3；

(2)若丙的卡片上寫著1和3,根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；

又加說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；

所以甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2,這與已知矛盾；

所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.

17.等差數(shù)列｛4｝中，4+4=4,4+%=6.

(I)求｛%｝的通項公式；

(II)設，=3,』，求數(shù)列也,｝的前10項和，其中團表示不超過》的最大整數(shù)，如

[0,9]=0,[2.6]=2.

【答案】(I)凡=/^；(II)24

【解析】

試卷第8頁，總17頁

試題分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件求為,d,從而求得％;（H）

由（I）求%再求數(shù)列也｝的前10項和.

試題解析：（I）設數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意有2q+54=4,4+5。=3.

解得q=l,d=］.

所以｛?！埃耐椆綖闉?—『.

,r2?+3'

（H）由（I）矢口a=——.

當n=l,2,3時，2〃；3<2也=1；

當n=4,5時，2?2"；3<3也=2；

,,-2幾+3…-

當n=6,7,8時，，3<---<4,bn=3；

,,.2幾+3廠］.

當n=9,10時，4W$<5也=4.

所以數(shù)列出｝的前10項和為1x3+2x2+3x3+4x2=24.

【考點】等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的求和

【名師點睛】求解本題時常出現(xiàn)以下錯誤：對”［可表示不超過》的最大整數(shù)''理解出錯.

18.某險種的基本保費為“（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保

人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234>5

保費0.85。a1.25a1.5。1.75。2a

隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)01234>5

頻數(shù)605030302010

（I）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P（A）的估計值;

<n)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的

161%”.求P(B)的估計值；

(in)求續(xù)保人本年度的平均保費估計值.

113

【答案】(I)—；(II)—；(III)1.1925a.

2010

【解析】

【分析】

(7)求出A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”的人數(shù).總事件人數(shù)，

即可求P(A)的估計值；

(II)求出3為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”

的人數(shù).然后求P(B)的估計值；

(III)利用人數(shù)與保費乘積的和除以總續(xù)保人數(shù)，可得本年度的平均保費估計值.

【詳解】

解：(/)記4為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.事件4的人數(shù)為：60+50

=110,該險種的200名續(xù)保，

P(A)的估計值為：---=—:

20020

(H)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的

603

160%”.事件8的人數(shù)為：30+30=60,P(B)的估計值為：——=一；

20010

(III)續(xù)保人本年度的平均保費估計值為

_0.85。x60+ax50+1.25ax30+1.5ax30+1.75ax20+2ax10

x=-----------------------------------------------------------=1.1925a.

200

【點睛】

本題考查樣本估計總體的實際應用，考查計算能力.

19.如圖，菱形4BCD的對角線4c與BD交于點0,點E,F分別在AD,上，AE=CF.EF

交BD于點H,將4DEF沿EF折起到的位置.

(I)證明：AC1HD'；

(11)若48=5,4C=6,AE=-,OD'=2&，求五棱錐D'-4BCFE的體積.

4

試卷第10頁，總17頁

【答案】（I）詳見解析；（II）中.

【解析】

試題分析：（1）由已知得，AC1BD.AD=CD,4E=CF=黑=著=AC//EF=

EF1HD,EF1HD'nAC1HD'；（2）由EF//4C=?—=—=i,由4B=5,4C=6

DOAD4

=>

DO=B0=>JAB2-AO2=4nOH=l.D'H=DH=3nOD'2+OH=（2A/2）2+

12=9=D'H2=1OH,可證0。'，平面ABC.又由煞=器得EF=|=五邊形

4BCFE的面積S=：x6x8

-ix-x3=-=以五棱錐D'-4BCEF體積U=-x-x2y[2=

224342

試題解析：（1）由已知得，4C1BD,AD=CD,

又由4E=CF得祭=能故"〃EF,

由此得EF1HD,EF1H。'，所以AC1HD'.

⑵由EF//4C得需/寸

由AB=S,AC=6得DO=BO=y/AB2-A02=4,

所以。"=1,D'H=DH=3,

于是。0'2+0H=（2衣產(chǎn)+產(chǎn)=9=D'H2,故。D'10H,

由（1）^\AC1HD',又AC1BD,BDCHD'=H,

所以4CJ■平面BH",于是ACdLOZy,

又由0。'10H,4Cn。"=。，所以，。。'，平面ABC.

又由竺="得后尸=2.

ACDO2

五邊形4BCFE的面積S=—x6x8—x—x3=—.

2224

所以五棱錐。'-4BCEF體積V=：x絲x2夜=—.

342

考點：1、線線垂直；2、錐體的體積.

20.已知函數(shù),f(x)=(x+l)lnx-a(x-l).

(I)當a=4時，求曲線y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程

(II)若當xe(l,+8)時，f(x)X),求。的取值范圍.

【答案】(1)2x+y-2=0.(2)(F,2].

【解析】

試題分析：(I)先求/(幻的定義域，再求/'(x),/'⑴，/(I),由直線方程的點斜

式可求曲線y=/(x)在(1,7⑴)處的切線方程為2x+y-2=0.(H)構造新函數(shù)

g(x)=lnx，(xT),對實數(shù)。分類討論，用導數(shù)法求解.

x+1

試題解析：(D/(x)的定義域為(0,+8).當a=4時，

f(x)—(%+1)Inx—4(x-1),f'(x)-lnx+--3,/f(l)=-2,/(l)=0.

x

曲線y=/(X)在(1,7(l))處的切線方程為2x+y—2=0.

(II)當xe(l,+8)時，/(x)〉0等價于Inx—儀^-1)〉0

x+1

設g(x)=lnx，"D,則

x+l

g'(x)=L2ax~+2(1—ci)x+1

41)=0,

X(X+l>X(X+1)2

(i)當a42,XG(1,+OO)時，/+2(1-。)彳+12%2-2彳+1>0,故g<x)>Q求力

在(l,4w)上單調遞增，因此g(x)>0；

(ii)當a>2時，令g'(x)=0得

X=a_1_J(a—1)-—1,w=a_]+J(a—1)*—1?

由々>1和1巧=1得須<1，故當XG(1,尤2)時，g'(X)<0,g(X)在(1,乙)單調遞減,

因止匕g(x)<0.

綜上，”的取值范圍是(-8,2].

【考點】導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性

【名師點睛】求函數(shù)的單調區(qū)間的方法：

(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域；

(2)求導數(shù)y'=F(x)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；

(4)解不等式？(x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.

試卷第12頁，總17頁

21.已知A是橢圓E：亍+《_=1的左頂點，斜率為攵伙＞0)的直線交E于A,M

兩點，點N在E上，MA1.NA.

(I)當|AM|=|⑷V|時，求AMN的面積

(II)當21AMi=|4V|時，證明：百＜%＜2.

144

【答案】(I)——；(II)詳見解析.

49

【解析】

試題分析：(I)先求直線AM的方程，再求點M的縱坐標，最后求AAMN的面積;

(II)設),將直線AM的方程與橢圓方程組成方程組，消去丁，用左表示再，

從而表示|期|,同理用人表示|AN|,再由21AMl=|AN|求攵的取值范圍.

試題解析：(I)設則由題意知%＞0.

7T

由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為一.

4

又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.

22

將》=丁—2代入土+匕=1得7/—i2y=0.

43

I?

解得》=0或＞=號，所以乂=亍.

11712144

因此AAA/N的面積=2x-x—x一=——.

27749

V-22

(II)將直線■的方程y=Z(x+2)(左＞0)代入二+匕v=1得

43

(3+4/)/+16人+16/一12=0.

16公—12刃2(3—4%2)12川+公

由王?(—2)—--------得%,=--------故|4凹=歸+2|，1+/

3+4F13+4公3+4公

由題設，直線AN的方程為j=—((x+2),⑵J1+A

故同理可得|AN|=

3公+4

。1

由21AMi=|4V|得4/二即4二一6〃+3左一8=0.

D十^TK3K十今

設f(t)=4d-6/+3/-8,則&是/(0的零點，/'⑺=12產(chǎn)一⑵+3=3(2/-1)2>0,

所以f(t)在(0,+8)單調遞增.又/(G)=15A/3-26(0,/(2)=6)0,因此/(f)在

(0,+8)有唯一的零點，且零點上在(百,2)內，所以當＜上＜2.

【考點】橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系

【名師點睛】對于直線與橢圓的位置關系問題，通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立進行求

解，注意計算的準確性.

請考生在第22~24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.選修4-1：幾何證明選講

如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC上(不與端點重合)，且DE=DG,

過D點作DF_LCE,垂足為F.

(I)證明：B,C,G,F四點共圓；

(II)若AB=1,E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積.

J_

【答案】(I)詳見解析；(II)2.

【解析】

試題分析：(I)證ADG尸sACBP,再證8,C,G,/四點共圓；(][)證明

RtABC餡RA8/(四邊形BCG/7的面積S是△GC8面積的2倍.

試題解析：(I)因為Db'EC,所以

ZGDF=NDEF=NFCB,—=—=—,

則有CFCDCB

所以由此可得NOGR=NCBE

由此《GF+NCBF=180°,所以8,C,G,產(chǎn)四點共圓

(II)由8，CG,尸四點共圓，。6_1。5知/76_1反.連結65.

由G為RtADFC斜邊。的中點，知GF=GC,故RtABCG絲RtABFG,因此四邊

試卷第14頁，總17頁

形BCGF的面積S是AGCB面積S&GCB的2倍，即

=Xx

5=2S4GCK2--X1=~?

【考點】三角形相似、全等，四點共圓

【名師點睛】判定兩個三角形相似要注意結合圖形性質靈活選擇判定定理，特別要注意

對應角和對應邊.通過相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等，還可間接證

明線段相等.

23.在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25.

（I）以坐標原點為極點，》軸正半