2023-2024學(xué)年合肥市一中高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年合肥市一中高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷（考試時(shí)間：150分鐘滿分：120分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在中，，則（）A． B． C． D．3．非零向量，滿足，若，則，的夾角為（

）A． B． C． D．4．以邊長(zhǎng)為2的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，母線，在上底面上，在下底面上，從中點(diǎn)拉一條繩子，繞圓臺(tái)側(cè)面一周到點(diǎn)，則繩子最短距離為（

）cmA．10 B．12 C．16 D．206．安徽省肥西縣紫蓬山風(fēng)景秀麗，紫蓬山山頂有座塔.某同學(xué)為了測(cè)量塔高，他在地面處時(shí)測(cè)得塔底在東偏北的方向上，向正東方向行走50米后到達(dá)處，測(cè)得塔底在東偏北的方向上，此時(shí)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔頂離地面的高度為（

）A．米 B．50米 C．米 D．米7．已知直角中，，，，是的內(nèi)心，是內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示，將正方體沿交同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體.已知，則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過，，三點(diǎn)的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的表面積為二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，.則以下正確的有（

）

A． B．是等腰直角三角形C． D．的面積為10．已知平面向量，，則（

）A． B．與可作為一組基底向量C．與夾角的余弦值為 D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為11．已知，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，其中正確的命題有（

）A．已知，，，則有兩解B．若，，，內(nèi)有一點(diǎn)使得，，兩兩夾角為，則C．若，，，內(nèi)有一點(diǎn)使得與夾角為，與夾角為，則D．已知，，設(shè)，若是鈍角三角形，則的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，且該圓錐的體積為，則.13．甲船在島的正南方向處，千米，甲船以4千米/小時(shí)的速度向正北方向航行，同時(shí)，乙船自島出發(fā)以6千米/小時(shí)的速度向北偏東的方向駛?cè)?，航行時(shí)間不超過2.5小時(shí)，則當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是小時(shí).14．如圖，某公園內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的正方形區(qū)域市民健身用地，為提高安全性，擬在點(diǎn)處安裝一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的大型探照燈，其照射角始終為（其中，分別在邊，上），則的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖所示，底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，高為4的正四棱錐.(1)求棱臺(tái)的體積；(2)求棱臺(tái)的表面積.16．如圖，在中，已知，M是的中點(diǎn)，N是上的點(diǎn)，且相交于點(diǎn)P．設(shè).(1)若，試用向量表示;(2)若，求實(shí)數(shù)x的值．17．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，.(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長(zhǎng)；(3)求邊上的中線的取值范圍.18．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，，已知.(1)若，且為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍；(2)若，且外接圓半徑為2，圓心為，為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，試求的取值范圍.19．現(xiàn)定義“維形態(tài)復(fù)數(shù)”：，其中為虛數(shù)單位，，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；(2)若“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，求的值；(3)若正整數(shù)，，滿足，，證明：存在有理數(shù)，使得.1．B【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】由,得,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限．故選:B．2．B【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理求解.【詳解】由正弦定理可知，，設(shè)，則.故選：B3．B【分析】由題意利用求向量的模的方法，求得，從而利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】∵非零向量，滿足，且，設(shè)，的夾角為，則，且，所以.∴.∵，∴.故選:B．4．C【分析】根據(jù)正三角形繞一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個(gè)同底的全等圓錐,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解．【詳解】如圖，正三角形繞所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個(gè)同底的全等圓錐，底面半徑,母線長(zhǎng),由圓錐的側(cè)面積公式可得該幾何體的側(cè)面積為.故選:C.5．D【分析】由題意需先畫出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點(diǎn)連線，根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長(zhǎng)，再求出最短的距離．【詳解】畫出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為,由圖得：所求的最短距離是，設(shè)，圓心角是，則由題意知，①，②，由①②解得，，∴，則．則則繩子最短距離為20cm．故選:D．6．A【分析】設(shè)塔高為米，利用仰角的正切表示出，在中利用正弦定理列方程求得的值.【詳解】設(shè)雷鋒塔的高度為米,在地面處時(shí)測(cè)得塔頂在東偏北的方向上，,測(cè)得塔頂在東偏北的方向上,仰角為，在中，，，在中,，由正弦定理得，，即，解得.???????故選：A.7．C【分析】由題意得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用等面積法先求出的位置，設(shè)，根據(jù)，可得，故，，根據(jù)線性規(guī)劃即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?如圖建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，???????則．∵,∴,即,解得，所以，∴.∴，即，可得.設(shè)，則，∴，即，∴.∵，∴直線的方程為.設(shè)，表示與平行的直線，平移，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與重合時(shí)，.因?yàn)槭莾?nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以，即.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：設(shè)，求出，根據(jù)線性規(guī)劃求解的范圍.8．D【分析】先將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，利用正方體與棱錐的體積公式判斷A，利用該半正多面體的對(duì)稱性，得到截面為正六邊形與外接球的球心位置，從而判斷BC，利用正三角形與正方體的面積公式判斷D.【詳解】A：如圖，因?yàn)?，所以該半正多面體是由棱長(zhǎng)為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，所以該半正多面體的體積為：，故A錯(cuò)誤；B：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，過三點(diǎn)的截面為正六邊形，又，所以正六邊形面積為，故B錯(cuò)誤；C：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心，即正六邊形的中心，故半徑為，所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)樵摪胝嗝骟w的八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形，棱長(zhǎng)皆為，所以其表面積為，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，二是充分利用該半正多面體的對(duì)稱性，從而得解.9．ABC【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，進(jìn)而判斷出正確答案.【詳解】畫出原圖如下圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫法的知識(shí)可知：，三角形是等腰直角三角形，面積為.所以ABC選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC

10．BC【分析】對(duì)A：計(jì)算即可得；對(duì)B：借助基底向量的定義即可得；對(duì)C：借助平面向量夾角公式計(jì)算即可得；對(duì)D：借助投影向量定義計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：易得與為不共線的向量，故與可作為一組基底向量，故B正確；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．CD【分析】對(duì)A：由余弦定理可計(jì)算出有唯一解；對(duì)B：借助余弦定理與等面積法計(jì)算即可得；對(duì)C：設(shè)，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；對(duì)D：分為鈍角及為鈍角，結(jié)合直角的臨界狀態(tài)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，故有唯一解，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：在、、中，分別有，即，，即，，即，即有，即，又，即，即，即有，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：設(shè)，則在直角三角形中，，，在中，有，即，即有，整理可得，即，故C正確；對(duì)D：若為鈍角，如圖，作于點(diǎn)，有，即，即，若為鈍角，如圖，作于點(diǎn)，有，即，即，綜上所述，的取值范圍是，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中關(guān)鍵點(diǎn)在于分為鈍角及為鈍角，分別找出直角的臨界情況求出范圍.12．【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為且，根據(jù)勾股定理求得，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，高為，則圓錐的母線長(zhǎng)為，且，得，所以，又圓錐的體積為，所以，即，解得.故答案為：13．【分析】設(shè)經(jīng)過小時(shí)距離最近,分別表示出甲乙距離島的距離,由余弦定理表示出兩船的距離,根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法得到答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過小時(shí)兩船之間的距離為千米,甲船由點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，乙船由點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則，.

由余弦定理可得，當(dāng)時(shí)，最小,則兩船之間的距離最小,此時(shí)它們航行的時(shí)間為小時(shí).故答案為:.14．【分析】設(shè)，可得,，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立坐標(biāo)系,然后求出的坐標(biāo),結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè),則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立坐標(biāo)系,則，,所以.令，，則，.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.又，所以在上的值域?yàn)椋?故答案為:.15．(1)(2)【分析】（1）借助正四棱錐于棱臺(tái)的性質(zhì)可得棱臺(tái)的高，結(jié)合棱臺(tái)體積公式計(jì)算即可得；（2）求出棱臺(tái)各個(gè)面的面積后相加即可得.【詳解】（1）過點(diǎn)作底面于點(diǎn)，交平面于點(diǎn)，由正四棱錐及棱臺(tái)的性質(zhì)可知，為底面的中心，則，即棱臺(tái)的高，，（2）連接，則，則，作于點(diǎn)，則，故.16．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可求得；設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形關(guān)系可得，再由向量共線的性質(zhì)得到，最后表示出所求向量即可；（2）利用向量垂直的性質(zhì)和數(shù)量積的定義式計(jì)算可得.【詳解】（1），設(shè)，因?yàn)?，所以，即，由共線得：，解得：，所以，所以.（2），因?yàn)?，由于共線，故，所以，解．17．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可；（2）依據(jù)余弦定理及已知得，然后利用面積分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法運(yùn)算及數(shù)量積模的運(yùn)算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理，即,即，又，所以，因?yàn)?，所?（2）由及余弦定理得，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，?（3）因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，所以，則，由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為.18．(1);(2).【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角,利用正弦定理將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域即可求解；（2）易得為等邊三角形，取中點(diǎn)，可得，由為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，可得，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，由余弦定理可得，即，所?因?yàn)?，所以；由為銳角三角形，，所以,可得.由正弦定理,得，則，則的周長(zhǎng)為.由，則.因?yàn)?，整理得，解得或（舍），所以，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.（2）由正弦定理（為的外接圓半徑），則.由，可得，則，則為等邊三角形.取中點(diǎn)，如圖所示：

則.由，則，則．19．(1)證明見解析；(2)(3)證明見解析.【分析】(1)當(dāng)時(shí),,???,，由,即可證明“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；(2)由“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等,可得，利用復(fù)數(shù)相等的條件得到,即可