安徽省安慶市 2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末綜合模擬測(cè)試卷

安徽省安慶市期末綜合模擬測(cè)試卷一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．tan30°的值等于()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)2．拋物線y＝2(x＋9)2－3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(9，3) B．(9，－3)C．(－9，3) D．(－9，－3)3.[母題：教材P71練習(xí)T4]如圖，直線AD∥BE∥CF，DE＝2，EF＝4.若AC＝9，則BC的長(zhǎng)為()A．5 B．5.5 C．6 D．6.54.2023年9月，占地約3.23平方千米的合肥園博園正式對(duì)外全面開放，主辦方精心籌建的舞臺(tái)展區(qū)深受廣大游客的青睞，其中某兩個(gè)展區(qū)入口之間的距離為155米，在一張比例尺為1：2000的導(dǎo)游圖上，它們之間的距離大約相當(dāng)于()A．一支粉筆的長(zhǎng)度 B．?dāng)?shù)學(xué)課本的長(zhǎng)度C．一把家用掃帚的長(zhǎng)度D．課桌的寬度5．[母題：教材P85習(xí)題T5]如圖，已知△ABC∽△ADB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AC＝4，則AB的長(zhǎng)為()A．2 B．4 C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)6.雁門關(guān)，位于山西省忻州市雁門山中，是長(zhǎng)城上的重要關(guān)隘，以“險(xiǎn)”著稱，被譽(yù)為“中華第一關(guān)”．由于地理環(huán)境特殊，行車高速路上的隧道較多，如圖①是雁門關(guān)隧道，其截面為拋物線型，如圖②為截面示意圖，線段OA表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．經(jīng)測(cè)量OA＝10m，拋物線的頂點(diǎn)P到OA的距離為9m，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為()A．y＝－eq\f(1,9)(x＋5)2B．y＝－eq\f(1,25)(x－5)2C．y＝－eq\f(1,25)(x＋5)2＋9D．y＝－eq\f(9,25)(x－5)2＋97．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊墨跡遮擋了橫軸的位置，只留下部分縱軸和部分正方形網(wǎng)格，該網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．若格點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象上，則k的值為()A．6 B．12C．24 D．488.如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”，若Rt△ABC是“好玩三角形”且∠A＝90°，則tan∠ABC＝()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)或eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),3)9．已知反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)與一次函數(shù)y＝－x＋b的部分圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2－bx＋k－1的大致圖象為()10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點(diǎn)O，并分別與邊CD，BC交于點(diǎn)F，E，連接AE，下列結(jié)論一定正確的是()A．若BP＝1，則OE＝2B．若BP＝1，則OQ＝eq\f(13,5)C．OA2＝OE·OPD．OQ2＝OA·OF二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝eq\f(1,2)，則sinC＝________．12.如圖，拋物線y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的頂點(diǎn)為A，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，當(dāng)以AC為對(duì)角線的正方形ABCD的另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D恰好在拋物線上時(shí)，我們把這樣的拋物線稱為“美麗拋物線”，正方形ABCD為它的內(nèi)接正方形．當(dāng)拋物線y＝－eq\f(1,4)x2＋k是“美麗拋物線”時(shí)，k＝________．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝－x與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于點(diǎn)A，B，C分別是x軸，y軸上的點(diǎn)，且∠BAC＝90°，若四邊形OBAC的面積為5，則k＝________．14．[易錯(cuò)題]如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在射線AD上，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，連接MN，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題：(1)eq\f(AE,AN)＝________；(2)當(dāng)△MEN與△ABM相似時(shí)，AN＝________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計(jì)算：2sin60°－3tan30°－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(0)＋(－1)2025.16．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，3)．(1)以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC按2：1放大，在y軸的左側(cè)，畫出放大后的△DEF；(2)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是________；(3)S△ABO：S四邊形ABED＝________．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．[2024·合肥市包河區(qū)模擬]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為(1，0)和(0，－3)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)y＞－3時(shí)，x的取值范圍．18．如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠DAE＝∠E.(1)求證：△ADF∽△ECF；(2)若CF＝2，AF＝2EF，求DC的長(zhǎng)．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，直線y1＝－x＋4，y2＝eq\f(3,4)x＋b都與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于點(diǎn)A(1，m)，這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點(diǎn)．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)，不等式－x＋4>eq\f(k,x)的解集；(3)若點(diǎn)P在x軸上，連接AP，AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．20.為了預(yù)防近視，要求學(xué)生寫字姿勢(shì)應(yīng)保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛與書本距離約為一尺(約33cm)，胸前與課桌距離約為一拳，握筆的手指與筆尖距離約為一寸．如圖，BD為桌面，某同學(xué)眼睛P看作業(yè)本A的俯角為50°，身體離書桌的距離BC＝9cm，眼睛到桌面的距離PC＝20cm.(1)通過(guò)計(jì)算，請(qǐng)判斷這位同學(xué)的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合要求；(2)為確保符合要求，需將作業(yè)本沿BA方向移動(dòng)．當(dāng)眼睛P看作業(yè)本A的俯角為37°時(shí)，求作業(yè)本移動(dòng)的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，結(jié)果精確到0.1)六、(本題滿分12分)21.閱讀以下材料，解答問(wèn)題．規(guī)定：兩個(gè)函數(shù)y1，y2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“x函數(shù)”，例如：函數(shù)y1＝2x＋2與y2＝－2x－2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，則這兩個(gè)函數(shù)互為“x函數(shù)”．(1)若二次函數(shù)y1與二次函數(shù)y＝x2－2x＋3互為“x函數(shù)”，則二次函數(shù)y1的表達(dá)式為____________；(2)若二次函數(shù)y2與二次函數(shù)y＝kx2＋4x＋k－2(k為非零常數(shù))互為“x函數(shù)”，且二次函數(shù)y＝kx2＋4x＋k－2的最大值為1，請(qǐng)求出二次函數(shù)y2的表達(dá)式．七、(本題滿分12分)22.[2023·合肥市瑤海區(qū)期中]如圖，在銳角三角形ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D在邊AC上，連接BD交CE于點(diǎn)F，且EF·FC＝FB·DF.(1)求證：BD⊥AC；(2)求證：△AEC∽△FEB；(3)連接AF，已知EF：BE＝3：5，求AF：BC.八、(本題滿分14分)23.如圖①所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器．將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸方向，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線可以近似看作拋物線y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為四邊形ABCD，墻寬BC＝2米，BC與x軸平行，點(diǎn)B與點(diǎn)O的水平距離為28米，垂直距離為6米．(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，①求拋物線的表達(dá)式；②試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明石塊能否飛越防御墻；(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上(包括端點(diǎn)B，C)，求a的取值范圍．

答案一、1．A2．D3．C4．A5．C6．D7．B【點(diǎn)撥】根據(jù)圖象可知，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，m)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，m－3)．∵點(diǎn)A，B在函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x>0)的圖象上，∴4(m－3)＝2m，解得m＝6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6)，∴k＝2×6＝12.8．C【點(diǎn)撥】①如圖①.在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中線，設(shè)AB＝EC＝2a，則AE＝a，∴AC＝eq\r(3)a，∴tan∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3),2).②如圖②.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中線，設(shè)EB＝AC＝2a，則AE＝a，∴AB＝eq\r(3)a，∴tan∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(2eq\r(3),3)．綜上所述，tan∠ABC＝eq\f(eq\r(3),2)或eq\f(2eq\r(3),3)．9．B【點(diǎn)撥】∵一次函數(shù)y＝－x＋b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，∴b>0，k>0，∴函數(shù)y＝x2－bx＋k－1的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(b,2)>0.∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)與一次函數(shù)y＝－x＋b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程eq\f(k,x)＝－x＋b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程x2－bx＋k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2－4k＞0，∴對(duì)于方程x2－bx＋k－1＝0，Δ＝b2－4k＋4＞0，∴函數(shù)y＝x2－bx＋k－1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．10．B【點(diǎn)撥】易知AB＝BC＝AD＝3，∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∵BP＝CQ＝1，∴AP＝BQ＝4.在Rt△APD中，AD＝3，AP＝4，∴PD＝5.∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴△PBE∽△PAD，∴eq\f(PB,PA)＝eq\f(BE,AD)，∴eq\f(1,4)＝eq\f(BE,3)，∴BE＝eq\f(3,4)，∴QE＝eq\f(13,4).在△DAP與△ABQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BA，,∠DAP＝∠ABQ，,AP＝BQ，))∴△DAP≌△ABQ，∴∠P＝∠Q.∵AD∥BC，，∴∠ADP＝∠OEQ，∴△QOE∽△PAD，∴eq\f(QO,PA)＝eq\f(OE,AD)＝eq\f(QE,PD)＝eq\f(\f(13,4),5)，∴OE＝eq\f(39,20)，OQ＝eq\f(13,5)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；∵△QOE∽△PAD，∴∠QOE＝∠PAD＝90°，∴∠DOA＝∠AOP＝90°，∴∠P＋∠OAP＝90°.∵∠DAO＋∠OAP＝90°，∴∠DAO＝∠P.∵∠DOA＝∠AOP，∴△DAO∽△APO，∴eq\f(AO,PO)＝eq\f(DO,AO)，∴AO2＝OD·OP.∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE·OP，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵∠ADF＝∠DOA＝90°，∴∠DAO＋∠ADO＝∠ADO＋∠FDO＝90°，∠DOF＝90°，∴∠DAO＝∠FDO.∵∠AOD＝90°＝∠DOF，∴△DAO∽△FDO，∴eq\f(OD,OF)＝eq\f(OA,OD)，∴OD2＝OA·OF.∵OD不一定等于OQ，∴OQ2不一定等于OA·OF，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．二、11．eq\f(2eq\r(5),5)12．8【點(diǎn)撥】∵y＝－eq\f(1,4)x2＋k，∴拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，k)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)k，eq\f(1,2)k)．將(eq\f(1,2)k，eq\f(1,2)k)代入y＝－eq\f(1,4)x2＋k，得eq\f(1,2)k＝－eq\f(1,16)k2＋k，解得k＝0(舍)或k＝8.13．－5【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M和N.∵點(diǎn)A在直線y＝－x上，則設(shè)A(a，－a)．∴AM＝AN.又∵AM⊥x軸，AN⊥y軸，∠MON＝90°，∴四邊形AMON是正方形．∴∠MAN＝90°，∴∠MAC＋∠CAN＝90°.又∵∠BAC＝90°，∴∠BAM＋∠MAC＝90°，∴∠BAM＝∠CAN.又∵AM＝AN，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM≌△ACN(ASA)．∴S△ABM＝S△ACN.∴S正方形AMON＝S四邊形ABOC＝5.故－a·(－a)＝5，得a2＝5.∵a<0，∴a＝－eq\r(5)，即A(－eq\r(5)，eq\r(5))．將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝－5.[點(diǎn)方法]本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及全等三角形的判定，將四邊形ABOC的面積轉(zhuǎn)化為正方形AMON的面積是解題的關(guān)鍵．把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)為矩形和直角三角形，從而建立特殊圖形與eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k))的聯(lián)系．14．(1)eq\f(\r(5),5)(2)2或5【點(diǎn)撥】(1)∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴AB＝BC＝4，BC∥AD，∠B＝∠BAD＝90°.∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴BM＝2，∴AM＝eq\r(AB2＋BM2)＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5)．∵BC∥AD，∴∠BMA＝∠MAN.∵EN⊥AM，∴cos∠MAN＝cos∠BMA＝eq\f(BM,AM)＝eq\f(2,2eq\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(AE,AN)＝eq\f(\r(5),5).(2)∵EN⊥AM，∴∠ABM＝∠MEN＝90°.當(dāng)∠AMB＝∠EMN時(shí)，△ABM∽△NEM，∴∠AMB＝∠EMN＝∠MAN，∴AN＝MN.∵EN⊥AM，∴AE＝eq\r(5)．∵eq\f(AE,AN)＝eq\f(\r(5),5)，∴AN＝5.當(dāng)∠BAM＝∠EMN時(shí)，△ABM∽△MEN.∵∠BAM＋∠MAN＝90°，∴∠MAN＋∠AMN＝90°，∴∠ANM＝90°.∵∠B＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABMN是矩形，∴BM＝AN＝2.綜上所述，AN的長(zhǎng)為2或5.[點(diǎn)易錯(cuò)]利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．尤其是相似是不是嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的相似．三、15．【解】原式＝2×eq\f(eq\r(3),2)－3×eq\f(eq\r(3),3)－1－1＝eq\r(3)－eq\r(3)－1－1＝－2.16．【解】(1)如圖，△DEF即為所求．(2)(－2，6)(3)13四、17．【解】(1)∵二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為(1，0)和(0，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－3，))∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3.(2)當(dāng)y＞－3時(shí)，x的取值范圍是x＜－2或x＞0.18．(1)【證明】∵∠DAE＝∠E，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF∽△ECF.(2)【解】由(1)知△ADF∽△ECF，∴eq\f(AF,EF)＝eq\f(DF,CF).∵CF＝2，AF＝2EF，∴eq\f(2EF,EF)＝eq\f(DF,2)，解得DF＝4，∴DC＝DF＋CF＝4＋2＝6.五、19．【解】(1)把A(1，m)的坐標(biāo)代入y1＝－x＋4，得m＝－1＋4＝3，∴A(1，3)．把A(1，3)的坐標(biāo)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝1×3＝3，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(3,x).(2)當(dāng)x＞0時(shí)，不等式－x＋4>eq\f(k,x)的解集為1＜x＜3.(3)y1＝－x＋4，令y1＝0，則x＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．把A(1，3)的坐標(biāo)代入y2＝eq\f(3,4)x＋b，得3＝eq\f(3,4)＋b，∴b＝eq\f(9,4)，∴y2＝eq\f(3,4)x＋eq\f(9,4).令y2＝0，則x＝－3，即C(－3，0)，∴BC＝7.∵AP把△ABC的面積分成1:3兩部分，∴CP＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(7,4)或BP＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(7,4)，∴P的坐標(biāo)為(－eq\f(5,4)，0)或(eq\f(9,4)，0)．20．【解】(1)易知∠ACP＝90°，∠PAC＝50°.在Rt△APC中，sin∠PAC＝sin50°＝eq\f(PC,PA)，∴PA＝eq\f(PC,sin50°)≈eq\f(20,0.77)≈26(cm)．∵26＜33，∴這位同學(xué)的眼睛與作業(yè)本的距離不符合要求．(2)如圖，在Rt△APC中，tan∠PAC＝tan50°＝eq\f(PC,AC)，∴AC＝eq\f(PC,tan50°)≈eq\f(20,1.19)≈16.8(cm)．易知∠PA′C＝37°.在Rt△A′PC中，tan∠PA′C＝tan37°＝eq\f(PC,A′C)，∴CA′＝eq\f(PC,tan37°)≈eq\f(20,0.75)≈26.7(cm)，∴CA′－CA≈9.9cm.答：作業(yè)本移動(dòng)的距離約為9.9cm.六、21．【解】(1)y1＝－x2＋2x－3(2)∵二次函數(shù)y＝kx2＋4x＋k－2的最大值為1，∴eq\f(4k（k－2）－16,4k)＝1，解得k＝4(舍去)或k＝－1，∴y＝－x2＋4x－3.∵二次函數(shù)y2與二次函數(shù)y＝kx2＋4x＋k－2(k為非零常數(shù))互為“x函數(shù)”，∴二次函數(shù)y2的表達(dá)式為y2＝x2－4x＋3.七、22．(1)【證