適用于新教材提優(yōu)版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第七章立體幾何與空間向量7.3空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系新人教A版

§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題．知識(shí)梳理1．基本事實(shí)1：過(guò)的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有過(guò)該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線．2．“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,直線：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線與平面相交個(gè)平行個(gè)在平面內(nèi)個(gè)平面與平面平行個(gè)相交個(gè)5.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：.常用結(jié)論1．過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．2．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．()(4)兩兩相交的三條直線共面．()教材改編題1．(多選)如圖是某正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，下列說(shuō)法正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BM成60°角C．CN與BE是異面直線D．DM與BN是異面直線2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．題型一基本事實(shí)的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過(guò)()A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M(2)如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二空間位置關(guān)系的判斷命題點(diǎn)1空間位置關(guān)系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2異面直線所成的角例3(1)如圖所示，圓柱O1O2的底面半徑為1，高為2，AB是一條母線，BD是圓O1的直徑，C是上底面圓周上一點(diǎn)，∠CBD＝30°，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(3\r(35),35)B.eq\f(4\r(35),35)C.eq\f(3\r(7),14)D.eq\f(2\r(7),7)(2)(2023·長(zhǎng)治模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E為BB1上一點(diǎn)，平面AEC1將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則AE與B1C1所成角的余弦值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,3)聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長(zhǎng)方體、正方體)模型來(lái)判斷，常借助正方體為模型．(2)求異面直線所成角的方法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線(2)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16)D.eq\f(\r(11),3)(3)平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)題型三空間幾何體的切割(截面)問(wèn)題例4(1)(多選)用一個(gè)平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則下列結(jié)論正確的是()A．這兩部分的表面積一定不相等B．截面不會(huì)是三角形C．截面不會(huì)是五邊形D．截面可以是正六邊形(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及