專題08 難點(diǎn)探究專題：數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題08難點(diǎn)探究專題：數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問題】 1【考點(diǎn)二數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中求定值問題】 7【考點(diǎn)三數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中找點(diǎn)的位置問題】 14【考點(diǎn)四數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中幾何意義最值問題】 18【考點(diǎn)五數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)規(guī)律探究問題】 23【考點(diǎn)六數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)新定義型問題】 27【典型例題】【考點(diǎn)一數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問題】例題：（2023秋·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒；①求數(shù)軸上點(diǎn)P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；②t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)重合；③請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2)①；；②；③或【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4，表示出點(diǎn)，然后根據(jù)AB＝12，表示出點(diǎn)A即可；（2）①求出，，根據(jù)A、表示的數(shù)求出、表示的數(shù)即可；②根據(jù)在時(shí)間t內(nèi)，P運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度-Q運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度=AC的長(zhǎng)，列出方程，解方程即可；③利用“點(diǎn)，相距5個(gè)單位長(zhǎng)度”列出關(guān)于的方程，并解答即可．【詳解】（1）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，，點(diǎn)表示的數(shù)是，，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案是：-10；2．（2）①由題意得：，，如圖所示：在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是；②當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，，解得：；③當(dāng)點(diǎn)，相距6個(gè)單位長(zhǎng)度，Ｐ在Ｑ的左側(cè)時(shí)：，解得，Ｐ在Ｑ的右側(cè)時(shí)：，解得，綜上分析可知，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)，相距5個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是___________；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，它所表示的數(shù)是__________．（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)．求：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q？②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】（1）?4，1；（2）①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度．【分析】（1）由已知得OA＝6，則OB＝AB?OA＝4，因?yàn)辄c(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，從而寫出數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，所以可得出點(diǎn)P所表示的數(shù)為6?4t，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝5÷4＝1.25秒，即可求出點(diǎn)P所表示的數(shù)是1；（2）①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，由于點(diǎn)P要多運(yùn)動(dòng)10個(gè)單位才能追上點(diǎn)Q，則4t＝10＋2t，然后解方程得到t＝5；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)a秒時(shí)，不超過Q，則10＋2a?4a＝8；超過Q，則10＋2a＋8＝4a；由此求解即可．【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，∴OA＝6，則OB＝AB?OA＝4，∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為?4；點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒的長(zhǎng)度為4t，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴P所表示的數(shù)為：6?4t，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝5÷4＝1.25秒，∴它所表示的數(shù)是6?4t＝6?4×1.25＝1；故答案為：?4，1；（2）①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，根據(jù)題意得4t＝10＋2t，解得t＝5，答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q；②設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)a秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)P不超過Q，則10＋2a?4a＝8，解得a＝1；當(dāng)P超過Q，則10＋2a＋8＝4a，解得a＝9；答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，根據(jù)已知得出各線段之間的關(guān)系等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示20，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距32個(gè)長(zhǎng)度單位，記為．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們?cè)谒捷S，上的速度都是2單位/秒，在O，B之間的上行速度為1單位/秒，下行速度為3單位秒．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距多少個(gè)單位長(zhǎng)度？(2)當(dāng)M，N兩點(diǎn)相遇時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．(3)若“折線數(shù)軸”上定點(diǎn)P與O，B兩點(diǎn)相距的長(zhǎng)度相等，且存在某一時(shí)刻t，使得兩點(diǎn)M，N與點(diǎn)P相距的長(zhǎng)度之和等于6，請(qǐng)直接寫出t的值為____________．【答案】(1)M，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距16個(gè)單位長(zhǎng)度(2)(3)或【分析】（1）先計(jì)算出，的長(zhǎng)度，再計(jì)算出經(jīng)過4秒，點(diǎn)M和點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程，即可求解；（2）根據(jù)相遇時(shí)，兩點(diǎn)的路程和等于總路程，即可求解；（3）根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，，當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程：，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路程：，∴經(jīng)過4秒，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N和點(diǎn)B重合，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為：，點(diǎn)N表示的數(shù)為：，∴M、N兩點(diǎn)距離為：．∴M，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距16個(gè)單位長(zhǎng)度．（2）由（1）可得：，，∴點(diǎn)M到點(diǎn)O需要時(shí)間：秒，點(diǎn)N到點(diǎn)B需要時(shí)間：秒，當(dāng)相遇時(shí)：，解得：．（3）∵P與O，B兩點(diǎn)相距的長(zhǎng)度相等，∴點(diǎn)P為表示的數(shù)為6，∴點(diǎn)A與點(diǎn)P距離為，點(diǎn)C與點(diǎn)P距離為，∵M(jìn)，N與點(diǎn)P相距的長(zhǎng)度之和等于6，∴點(diǎn)M和點(diǎn)N都在上，①當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)：∵，，∴，解得：，②當(dāng)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上時(shí)：∵，，∴，解得：；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上數(shù)軸以及一元一次方程，解題的關(guān)鍵在正確理解題意，找出等量關(guān)系并列出方程求解．3．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．如：點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，A、B兩點(diǎn)之間的距離______，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為______．(2)拓展探究：若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點(diǎn)Р表示的數(shù)為______；點(diǎn)Q表示的數(shù)為______；②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點(diǎn)相遇后按照原來的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的端點(diǎn)后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，那么再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)第二次相遇．請(qǐng)直接寫出所需要的時(shí)間和此時(shí)相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．【答案】(1)；(2)①；；②當(dāng)t為3時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇；相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是7(3)所需要的時(shí)間為9秒；相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是1【分析】（1）由A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，即得AB＝15，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；（2）①t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為?2＋3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為13?2t；②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，即可解得t＝3，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），即得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），可解得t＝9，第二次相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1．【詳解】（1）∵A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，∴AB＝|13?（?2）|＝15，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：15；．（2）①t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為?2＋3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為13?2t；故答案為：?2＋3t；13?2t．②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，解得t＝3，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；答：當(dāng)t為3時(shí)，P，Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是7．（3）由已知得：P運(yùn)動(dòng)5秒到B，Q運(yùn)動(dòng)秒到A，返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），根據(jù)題意得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），解得t＝9，第二次相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1，答：所需要的時(shí)間為9秒，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)后的點(diǎn)所表示的數(shù)．【考點(diǎn)二數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中求定值問題】例題：（2023春·湖南衡陽·七年級(jí)校考期末）如圖，有兩條線段，（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度）在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．(1)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是；(2)若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度也向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？(3)若線段、線段分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從出發(fā)，以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個(gè)定值，若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)或(3)的值會(huì)發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）數(shù)軸上點(diǎn)A右邊的點(diǎn)B表示的數(shù)是點(diǎn)A表示的數(shù)加上這兩個(gè)點(diǎn)的距離，數(shù)軸上點(diǎn)D左邊的點(diǎn)C表示的數(shù)是點(diǎn)D表示的數(shù)減去這兩個(gè)點(diǎn)的距離，依此方法可求出點(diǎn)B和點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)或點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，按追及問題的數(shù)量關(guān)系列方程求出t的值即可；（3）分別表示，的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，且，所以，所以點(diǎn)B表示的數(shù)是；因?yàn)辄c(diǎn)D表示的數(shù)是，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，且，所以，所以點(diǎn)C表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離是（單位長(zhǎng)度），所以線段的長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度，若點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，則，解得；若點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)，則，解得，答：當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）的值會(huì)發(fā)生變化，理由如下：根據(jù)題意運(yùn)動(dòng)秒后移動(dòng)到，點(diǎn)移動(dòng)到，點(diǎn)移動(dòng)到，∵，∴點(diǎn)始終在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)始終在點(diǎn)的左側(cè)，∴，∵，∴，∴的值會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，將此題抽象成行程問題列方程求解是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)7個(gè)單位到達(dá)A點(diǎn)，再從A點(diǎn)向右移動(dòng)12個(gè)單位到達(dá)B點(diǎn)，把點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離記為AB，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)C表示的數(shù)是；(2)若點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度向左移動(dòng)，同時(shí)C、B點(diǎn)分別以每秒1個(gè)單位、4個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，①點(diǎn)C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；②當(dāng)t=2秒時(shí)，求CB-AC的值；③試探索：CB-AC的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【答案】(1)-1(2)①?1＋t；②0；③CB?AC的值不隨著時(shí)間t的變化而改變，CB?AC的值為0．【分析】（1）根據(jù)題意可以求得點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）①根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間t時(shí)表示的數(shù)；②根據(jù)題意可以求得當(dāng)t＝2秒時(shí)，CB?AC的值；③先判斷是否變化，然后求出CB?AC的值即可解答本題．(1)解：由題意可得，AC＝12×＝6，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為：0?7＋6＝?1，故答案為：?1；(2)解：①由題意可得，點(diǎn)C移動(dòng)t秒時(shí)表示的數(shù)為：?1＋t，故答案為：?1＋t；②當(dāng)t＝2時(shí)，CB?AC＝[（0?7＋12＋4t）?（?1＋t）]?[（?1＋t）?（0?7?2t）]＝（5＋4t＋1?t）?（?1＋t＋7＋2t）＝6＋3t?6?3t＝0；③CB?AC的值不隨著時(shí)間t的變化而改變，∵CB?AC＝[（0?7＋12＋4t）?（?1＋t）]?[（?1＋t）?（0?7?2t）]＝（5＋4t＋1?t）?（?1＋t＋7＋2t）＝6＋3t?6?3t＝0，∴CB?AC的值不隨著時(shí)間t的變化而改變，CB?AC的值為0．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．2．（2022秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且，點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)．(1)___________，___________；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，求與點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)；(3)若點(diǎn)從點(diǎn)開始以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒，則的值是否隨著的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【答案】(1)，(2)(3)不會(huì)隨著的變化而改變，該值是【分析】（1），點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)即可求解；（2）根據(jù)（1）可知點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況可以用含的式子表示出，，對(duì)應(yīng)的有理數(shù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離，分別表示出，，由此即可求解．【詳解】（1）解：，點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，∴，，故答案為：，．（2）解：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)是，若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴折疊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)是，∴點(diǎn)到折疊點(diǎn)的距離為，∴與點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)為．（3）解：的值不會(huì)隨著的變化而改變．∵點(diǎn)從點(diǎn)開始以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∵點(diǎn)從點(diǎn)開始以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∵點(diǎn)從點(diǎn)開始以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴，，∴，∴的值不會(huì)隨著的變化而改變，該值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)的問題，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法，點(diǎn)與點(diǎn)之間的有理數(shù)表示方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖：在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示a,點(diǎn)B表示b,點(diǎn)C表示c,b是最大的負(fù)整數(shù)，且a,c滿足________，_________，_____________若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)____________表示的點(diǎn)重合；點(diǎn)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過后，①請(qǐng)問:的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．②探究:若點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，速度保持不變，的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①的值不隨著時(shí)間的變化而改變，值為14；②當(dāng)時(shí)，的值隨著時(shí)間的變化而改變；當(dāng)時(shí)，的值不隨著時(shí)間的變化而改變，值為26．【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）先求出對(duì)稱點(diǎn)，即可得出答案；(3)①t秒后，，，代入計(jì)算即可得到答案；②先求出，再分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，討論求解即可.【詳解】解:∵，∴a+3=0，c?5=0，解得a=?3，c=5，∵b是最大的負(fù)整數(shù)，∴b=-1故答案為：?3，-1，5．(2)點(diǎn)A與點(diǎn)C的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)B到1的距離為2，所以與點(diǎn)B重合的數(shù)是：1+2=3．故答案為：3．①t秒后，，，．故的值不隨著時(shí)間的變化而改變；②．，．當(dāng)時(shí)，原式的值隨著時(shí)間的變化而改變；當(dāng)時(shí)，原式的值不隨著時(shí)間的變化而改變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點(diǎn)能求出兩點(diǎn)間的距離．4．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3．(1)填空：線段的長(zhǎng)度______；(2)若點(diǎn)A是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，且，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)．問：該數(shù)軸上是否存在一條線段，當(dāng)P點(diǎn)在這條線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而沒有發(fā)生變化？(3)若點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A以5個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)F從點(diǎn)B以20個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，M、N分點(diǎn)別是、的中點(diǎn)．點(diǎn)P、E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)P點(diǎn)在線段上時(shí)，的值沒有發(fā)生變化(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，的值不發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解即可；（2）根據(jù)題意得出D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為4，設(shè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，根據(jù)題意分三種情況分析：①P點(diǎn)在射線上時(shí)，②P點(diǎn)在線段上時(shí)，③P點(diǎn)在射線上時(shí)，結(jié)合圖形，建立方程求解即可（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分鐘．則，，，根據(jù)線段中點(diǎn)得出，，，然后求解即可．【詳解】（1）解：線段AB的長(zhǎng)度為，故答案為：4；（2）存在A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3，∴，∵點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，∴∴，∴C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為又∵，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，∴D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為4設(shè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x①P點(diǎn)在射線上時(shí)，，∴的值隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化；②P點(diǎn)在線段上時(shí)，，∴的值隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)沒有發(fā)生變化；③P點(diǎn)在射線上時(shí)，，∴的值隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化∴P點(diǎn)在線段上時(shí)，的值沒有發(fā)生變化；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分鐘．則，，∴∵M(jìn)、N分別是、的中點(diǎn)，∴，∴，∴∴在運(yùn)動(dòng)過程中，的值不發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段中點(diǎn)的計(jì)算及動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中找點(diǎn)的位置問題】例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)﹣1的點(diǎn)重合，則此時(shí)表示數(shù)4的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合；(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點(diǎn)與表示數(shù)﹣2的點(diǎn)重合，回答下列問題：①表示數(shù)9的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合；②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)也重合，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為10（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），求A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是多少？③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x．當(dāng)PA+PB＝12時(shí)，直接寫出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是-3，7；③x的值為-4或8．【分析】（1）先求出中心點(diǎn)，再求出對(duì)應(yīng)的數(shù)即可；（2）①求出中心點(diǎn)是表示2的點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱求出即可；②求出中心點(diǎn)是表示2的點(diǎn)，求出A、B到表示2的點(diǎn)的距離是5，即可求出答案；③根據(jù)點(diǎn)P在數(shù)軸上的位置，分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，根據(jù)各種情形求解即可．【詳解】（1）解：∵折疊紙面，使數(shù)字1表示的點(diǎn)與-1表示的點(diǎn)重合，可確定中心點(diǎn)是表示0的點(diǎn)，∴4表示的點(diǎn)與-4表示的點(diǎn)重合，故答案為∶-4；（2）解：①∵折疊紙面，使表示數(shù)6的點(diǎn)與表示數(shù)﹣2的點(diǎn)重合，可確定中心點(diǎn)是表示2的點(diǎn)，∴表示數(shù)9的點(diǎn)與表示數(shù)-5的點(diǎn)重合；故答案為∶-5；②∵折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)也重合，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為10（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），∴A、B兩點(diǎn)距離中心點(diǎn)的距離為10÷2=5，∵中心點(diǎn)是表示2的點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是-3，7；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間時(shí)，此時(shí)PA+PB=12不成立，故不存在點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間的情形；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，綜上x的值為-4或8．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，能求出折疊后的中心點(diǎn)的位置是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為﹣2，6．(1)請(qǐng)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B；(2)若同一時(shí)間點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度在數(shù)軸上向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度在數(shù)軸上向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，幾秒后點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等？②若點(diǎn)P到A的距離是點(diǎn)P到B的距離的三倍，我們就稱點(diǎn)P是【A，B】的三倍點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P是【B，A】的三倍點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)P對(duì)應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)①秒或2秒后點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等，②P對(duì)應(yīng)數(shù)-6或0．【分析】（1）畫出數(shù)軸，找出A、B所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即可；（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離表示出MP=2t+2－t=t+2．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，NP=6－5t；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左右側(cè)時(shí)，NP=5t－6，計(jì)算即可；②根據(jù)點(diǎn)P是【B，A】的三倍點(diǎn)，可得PB=3PA．分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)數(shù)-6；當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)數(shù)0，綜上可知點(diǎn)P對(duì)應(yīng)數(shù)-6或0．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：①M(fèi)P=2t+2－t=t+2．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，NP=6－5t；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N左右側(cè)時(shí)，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等，②∵點(diǎn)P是【B，A】的三倍點(diǎn)，∴PB=3PA．當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AB=2PA=8，∴PA=4，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)數(shù)-6；當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，AB=4PA=8，∴PA=2，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)數(shù)0，綜上可知點(diǎn)P對(duì)應(yīng)數(shù)-6或0．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素及畫法，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，注意對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題需要進(jìn)行分情況討論．2．（2023秋·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A，為數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是30．(1)直接寫出線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)若點(diǎn)在數(shù)軸上，且，直接寫出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；(3)若李明從點(diǎn)A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進(jìn)8個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)王聰從點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)12個(gè)單位長(zhǎng)度它們?cè)邳c(diǎn)處相遇，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；(4)若李明從點(diǎn)A出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)8個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)王聰從點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)12個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)它們?cè)跀?shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求李明所在位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)(2)或80(3)(4)或【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上線段中點(diǎn)位置計(jì)算即可；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解即可；（3）設(shè)相遇時(shí)間為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（4）分兩種情況：①追及前相距20，②追及后相距20，根據(jù)題意，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，答：線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，答：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或80；（3）設(shè)相遇時(shí)間為，由題意得，，解得，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為；（4）①追及前相距20，設(shè)行駛的時(shí)間為，由題意得，，解得，此時(shí)李明所在位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為；②追及后相距20，設(shè)行駛的時(shí)間為，由題意得，，解得，此時(shí)李明所在位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為；答：李明所在位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或．【點(diǎn)睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，進(jìn)行分情況討論分析是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)四數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)中幾何意義最值問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A，B，P分別表示數(shù)，2，x．

填空：因?yàn)榈膸缀我饬x是線段與的長(zhǎng)度之和，而當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，．所以的最小值是______；(2)解決問題：①直接寫出式子的最小值為_______；②直接寫出不等式的解集為_______；③當(dāng)a為_______時(shí)，代數(shù)式的最小值是2．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)3(2)①6；②或；③或【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）①把原式轉(zhuǎn)化看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示4與的點(diǎn)之間的距離最小值，進(jìn)而問題可求解；②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進(jìn)行求解；③根據(jù)原式的最小值為2，得到表示3的點(diǎn)的左邊和右邊，且到3距離為2的點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，．所以的最小值是3；故答案為：3；（2）解：①，表示到與到的距離之和，

點(diǎn)在線段上，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，∴的最小值是6；故答案為：6；②如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，

當(dāng)點(diǎn)在和1之間時(shí)，距離之和為4，不滿足題意；當(dāng)點(diǎn)在的左邊或1的右邊時(shí)，距離之和大于4，則范圍為或；故答案為：或；③當(dāng)為或時(shí)，代數(shù)式為或，∵數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)到表示數(shù)3的點(diǎn)的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)5的點(diǎn)到表示數(shù)3的點(diǎn)的距離也為，因此當(dāng)為或時(shí)，原式的最小值是．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面材料：點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)、，、兩點(diǎn)之間的距離表示為，當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)在原點(diǎn)，如圖1，，當(dāng)、兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，點(diǎn)、都在原點(diǎn)的右邊；②如圖3，點(diǎn)、都在原點(diǎn)的左邊，③如圖4，點(diǎn)、在原點(diǎn)的兩邊，；綜上，數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是_____，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)和之間的距離是______，如果，那么為______．（2）若表示一個(gè)有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，有最小值？請(qǐng)寫出的范圍及的最小值．（3）若表示一個(gè)有理數(shù)，則當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，有最小值？請(qǐng)寫出的范圍及的最小值．圖1圖2圖3圖4【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值，算出即可；（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距離與到3的距離之和最小，那么x應(yīng)在-1和2之間的線段上．（3）參考閱讀材料，寫出代數(shù)式表示的意義即可.【詳解】（1）數(shù)軸上表示和兩點(diǎn)之間的距離為數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)和之間的距離為，，故或，或．（2）代數(shù)式表示數(shù)軸上一點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離的和，可知有最小值為．（3）代數(shù)式表示到，兩點(diǎn)的距離，可知取值范圍，有最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對(duì)值，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值．【考點(diǎn)五數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)規(guī)律探究問題】例題：（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)O出發(fā)開始移動(dòng)，第1次向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P1，第2次向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P2，第3次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P3，第4次向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P4，第5次向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P5…，點(diǎn)P按此規(guī)律移動(dòng)，則移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動(dòng)方法即可得到點(diǎn)前五次移動(dòng)后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動(dòng)的規(guī)律即可得移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則表示的數(shù)為+1，表示的數(shù)為+3表示的數(shù)為0表示的數(shù)為-4表示的數(shù)為+1……由以上規(guī)律可得，每移動(dòng)四次相當(dāng)于向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度．所以當(dāng)移動(dòng)156次時(shí)，156=39×4相當(dāng)于向左移動(dòng)了39次四個(gè)單位長(zhǎng)度．此時(shí)表示的數(shù)為．則第157次向右移動(dòng)157個(gè)單位長(zhǎng)度，；第158次還是向右，移動(dòng)了158個(gè)單位長(zhǎng)度，所以．故在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正確理解題意，找出點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)次數(shù)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示數(shù)現(xiàn)將點(diǎn)沿?cái)?shù)軸作如下移動(dòng)，第一次將點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第二次將點(diǎn)向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第三次將點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，…，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第次移動(dòng)到點(diǎn)，那么點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】從A的序號(hào)為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.【詳解】∵A表示的數(shù)為1，∴=1+（-3）×1=-2，∴=-2+（-3）×（-2）=4，∴=4+（-3）×3=-5=-2+（-3），∴=-5+（-3）×（-4）=7，∴=7+（-3）×（-5）=-8=-2+（-3）×2，∴=，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住序號(hào)為奇數(shù)時(shí)數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.2．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一組數(shù)0，2，4，8，12，18，…中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別用代數(shù)式，表示，如第1個(gè)數(shù)為，第2個(gè)數(shù)為，第3個(gè)數(shù)為，…，則第8個(gè)數(shù)的值是，數(shù)軸上現(xiàn)有一點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，依次以此組數(shù)中的數(shù)為距離向左右來回跳躍．第1秒時(shí)，點(diǎn)在原點(diǎn)，記為；第2秒點(diǎn)向左跳2個(gè)單位，記為，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)為-2；第3秒點(diǎn)向右跳4個(gè)單位，記為，點(diǎn)表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】3230【分析】第8個(gè)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)，代入偶數(shù)項(xiàng)的公式即可得出答案；根據(jù)數(shù)的規(guī)律寫出前11個(gè)數(shù)的值，再結(jié)合點(diǎn)的跳躍規(guī)律即可得出答案.【詳解】∵第8個(gè)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)∴第8個(gè)數(shù)為：；由題可知，第4秒點(diǎn)向左跳8個(gè)單位，記為，點(diǎn)表示的數(shù)為-6；第5秒點(diǎn)向右跳12個(gè)單位，記為，點(diǎn)表示的數(shù)為6；…第11秒點(diǎn)向右跳60個(gè)單位，記為，點(diǎn)表示的數(shù)為30;故答案為32，30.【點(diǎn)睛】本題考查的是找規(guī)律，難度較高，找出兩種規(guī)律并巧妙結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.3．（2022秋·廣東惠州·七年級(jí)階段練習(xí)）已知A、B兩點(diǎn)相距54米，小烏龜從A點(diǎn)出發(fā)前往B點(diǎn)，第一次它前進(jìn)1米，第二次它后退2米，第三次再前進(jìn)3米，第四次又向后退4米，…，按此規(guī)律行進(jìn)，如果A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣17，數(shù)軸上每個(gè)單位長(zhǎng)度表示1米（從A點(diǎn)向B點(diǎn)方向行進(jìn)記為前進(jìn)）（1）求出B點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)；（2）若B點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，經(jīng)過第五次行進(jìn)后小烏龜?shù)竭_(dá)M點(diǎn)，第六次行進(jìn)后到達(dá)N點(diǎn)，M點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與N點(diǎn)到A點(diǎn)的距離相等嗎？說明理由；（3）若B點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，那么經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離是多少？【答案】（1）B點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為37或-71；（2）M點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與N點(diǎn)到A點(diǎn)的距離相等．理由見解析；（3）經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離是59米．【分析】（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的距離及點(diǎn)A表示的數(shù)即可求點(diǎn)B表示的數(shù)；（2）根據(jù)小烏龜?shù)男羞M(jìn)規(guī)律即可得結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律即可得到小烏龜行進(jìn)10次后在點(diǎn)A的右側(cè)，距點(diǎn)A5米，依次即可計(jì)算與點(diǎn)B的距離．【詳解】（1）∵A點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣17，A、B兩點(diǎn)相距54米，﹣17+54＝37或-17-54=-71答：B點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為37或-71；（2）M點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與N點(diǎn)到A點(diǎn)的距離相等．理由如下：根據(jù)題意，得前進(jìn)第一次與點(diǎn)A距離1米，前進(jìn)第二次與點(diǎn)A距離2米，后退第一次與點(diǎn)A距離1米，后退第二次與點(diǎn)A距離2米，…第六次行進(jìn)（即前進(jìn)3次，后退3次）后，點(diǎn)N到A的距離為3米，點(diǎn)M到A的距離為3米，答：M點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與N點(diǎn)到A點(diǎn)的距離相等．（3）∵B點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)∴B點(diǎn)在點(diǎn)A的左側(cè)經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜在點(diǎn)A的右側(cè)且與點(diǎn)A的距離是5米，小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離是54+5＝59（米）；答：經(jīng)過10次行進(jìn)后，小烏龜?shù)竭_(dá)的點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離是59米．【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的計(jì)算，正確理解點(diǎn)與點(diǎn)間的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，（1）中注意點(diǎn)B可能在兩側(cè)的情況；（2）中找到烏龜爬行的規(guī)律為（3）做基礎(chǔ).【考點(diǎn)六數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)新定義型問題】例題：（2022秋·江蘇·七年級(jí)期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)．例如：如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為－1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2.表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D就不是【A，B】的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是【B，A】的美好點(diǎn)．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為－7，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點(diǎn)的是；寫出【N，M】美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是．(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，P，M和N中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)？【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，在點(diǎn)的移動(dòng)過程中注意到兩個(gè)點(diǎn)的距離的變化．（2）根據(jù)沒好點(diǎn)的定義，P，M和N中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)分6種情況，須區(qū)分各種情況分別確定P點(diǎn)的位置，進(jìn)而可確定t的值．【詳解】（1）解：根據(jù)美好點(diǎn)的定義，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有點(diǎn)G符合條件，故答案是：G．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，點(diǎn)N的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)M和N之間靠近點(diǎn)M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點(diǎn)，進(jìn)而可以確定－4符合條件．點(diǎn)M的左側(cè)距離點(diǎn)M的距離等于點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離的點(diǎn)符合條件，進(jìn)而可得符合條件的點(diǎn)是－16．故答案為：－4或－16；（2）解：根據(jù)美好點(diǎn)的定義，P，M和N中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)分6種情況，第一情況：當(dāng)P為【M，N】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖1，當(dāng)MP＝2PN時(shí)，PN＝3，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2－3＝－1，因此t＝1.5秒；第二種情況，當(dāng)P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖2，當(dāng)2PM＝PN時(shí)，NP＝6，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2－6＝－4，因此t＝3秒；第三種情況，P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖3，當(dāng)PN＝2MN時(shí)，NP＝18，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2－18＝－16，因此t＝9秒；第四種情況，M為【P，N】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖4，當(dāng)MP＝2MN時(shí)，NP＝27，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2－27＝－25，因此t＝13.5秒；第五種情況，M為【N，P】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖5，當(dāng)MN＝2MP時(shí)，NP＝13.5，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；第六種情況，M為【N，P】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N左側(cè)，如圖6，當(dāng)MN＝2MP時(shí)，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；第七種情況，N為【P，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，當(dāng)PN＝2MN時(shí)，NP＝18，因此t＝9秒，第八種情況，N為【M，P】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M右側(cè)，當(dāng)MN＝2PN時(shí)，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，綜上所述，t的值為：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、點(diǎn)是【M，N】的美好點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于平面內(nèi)的兩點(diǎn)M、N，若直線MN上存在點(diǎn)P，使得MP=NP成立，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)M、N的“和諧點(diǎn)”，但點(diǎn)P不是點(diǎn)N、M的“和諧點(diǎn)”.(1)如圖1，點(diǎn)A、B在直線l上，點(diǎn)C、D是線段AB的三等分點(diǎn)，則是點(diǎn)A、B的“和諧點(diǎn)”（填“點(diǎn)C或“點(diǎn)D”）；(2)如圖2，已知點(diǎn)E、F、G在數(shù)軸上，點(diǎn)E表示數(shù)－2，點(diǎn)F表示數(shù)1，且點(diǎn)F是點(diǎn)E、G的“和諧點(diǎn)”，求點(diǎn)G表示的數(shù)；(3)如圖3，數(shù)軸上的點(diǎn)P表示數(shù)5，點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)P出發(fā)，以每秒10個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā).在M、N、P三點(diǎn)中，若點(diǎn)M是另兩個(gè)點(diǎn)的“和諧點(diǎn)”，則OM=.【答案】(1)點(diǎn)C(2)-5或7(3)45或或【分析】（1）點(diǎn)C、D是線