《光學設計及Zemax應用》課件第二章

2.1球差2.2彗差2.3像散及場曲2.4畸變2.5正弦差2.6位置色差2.7倍率色差2.8波像差2.1球差2.1.1球差的定義及表示方法由實際光線的光路計算公式知,當物距L為定值時,像距L'與入射高度h及孔徑角U有關,隨著孔徑角的不同,像距L'是變化的,即如圖2.1所示:軸上點A發(fā)出的光束,對于光軸附近的光用近軸光路計算公式,像點為A'(看作高斯像點),對于實際光線采用實際光計算公式,成像于A″(實際像點)。顯然實際像與理想像之間存在著沿軸的差異,把實際像點與理想像點的偏移稱為球差,用δL'表示,即由于球差的存在,導致點物經系統之后所成的不再是點像,而是一個彌散斑。當用接收屏沿軸移動時,光斑的大小不同,其光斑大小也充分體現了球差的另一種表示方法,即垂軸球差。垂軸球差的表示形式為可見對于球差可用兩種方式加以表示:一為沿軸度量;二為垂軸度量。由于軸上點發(fā)出的光束是軸對稱的,所以子午面內的球差只計算上半部分即可。每一條光線對應一個球差值,如果把不同孔徑所對應的球差值全部計算出來,并且將它們繪制成圖,就稱此圖為球差曲線,球差曲線非常直觀地表達了系統球差的大小,通過球差曲線可以非常形象地對球差進行表征,如圖2.2所示。2.1.2球差的校正從上述分析知,球差與孔徑密切相關,對于單透鏡來說,sinU越大則球差值越大,也就是說單透鏡自身不能校正球差。單正透鏡產生負球差,單負透鏡則產生正球差,分別見圖2.3和圖2.4。因此,將正負透鏡組合起來就能使球差得到校正,組合光組稱為消球差光組。最簡單的消球差光組是圖2.5(a)中的雙分離透鏡組或2.5(b)中的雙膠合透鏡組。圖2.6所示為消球差系統的球差曲線。橫坐標為δL',縱坐標為h/hm,h是光線為U角時的入射高度,hm是光線的最大入射高度。圖中h=0.7hm的帶區(qū)具有最大的剩余球差,孔徑中央和邊緣球差為零。單透鏡的球差與焦距、相對孔徑、透鏡形狀及折射率有關。對于給定孔徑、焦距和折射率的透鏡,通過改變其形狀可以使球差達到最小。2.1.3球差的分布式首先對光學系統中任一個折射面進行分析。如圖2.7所示,該面前面的各個折射面產生的球差δL是該折射面的物方球差,其后面的球差δL'為像方球差。δL'不能認為是給定折射面產生的球差值,它包含了前面幾個面的球差貢獻。也不能認為該球差是前幾個面產生球差的簡單相加。實際上該球差是由兩部分組成,一部分是該折射面本身所產生的球差,以δL*表示,另一部分是折射面物方球差δL乘以該面的轉面倍率α,可用下式表示折射面的像方球差δL':1897年克爾伯(T.Berber)考慮了遠軸光的影響,采用了下式表示的轉面倍率:將式(2.4)代入式(2.3),得或寫為令則有把三角光路計算公式中的(L'-R)sinU'=rsinI'和相應的近軸公式乘以n',得n'u'(l-r)=n'i'r=nir,代入上式得設符號此式稱為克爾伯公式,在計算中是比較方便的。而且其中的近軸光線(l,u)和實際光(L,U)不一定要由同一物點發(fā)出,也可以由光軸上任意兩點發(fā)出,只要它們通過同一光學系統,上式就成立。該公式在其他像差分布公式的推導中也是有用的,所以這個公式具有普遍意義。根據式(2.6)和式(2.7)可得單個折射面球面的球差表示式為整個系統的球差表示式為若在近軸區(qū)內,2.1.4齊明點齊明點指的是單個折射面的三對無球差點。為便于分析折射球面球差分布系數的特性,即確定折射面的無球差點的位置和球差正負號等,而把球差分布系數寫成便于分析的形式。在式(2.8)的推導過程中有最后得通過上式可以看出單個折射球面的球差與L、I、I'、U間的關系。由上式可導出單個折射球面在以下三種情況時球差為零:(1)L=0,由三角光路計算公式可知,此時L'必為零,即物點、像點均與球面頂點重合。在頂點處,放大率β=1;(2)sinI-sinI'=0,這只能在I'=I=0的條件下才能滿足。(3)sinI'-sinU=0或I'=U。2.1.5球差的級數展開式球差是軸上點的像差。由于軸上點發(fā)出的光束對稱于光軸,當孔徑角U或入射高度h改變符號時,軸向球差δL'不改變符號,故在δL'的展開式中不應包括U或h奇次方項,又由于當U或h為零時,δL'必為零,展開式中也沒有常數項,δL'是軸上點像差,與視場無關,故不存在包含y的項。所以δL'的級數展開式為由垂軸像差公式δT'=δL'tanU'可知,其符號隨h或U的符號改變而改變,但數值不變,所以垂軸球差的展開式中只應包含h或U的奇次方項,即如果在球差展開式中以二級球差項表示高級球差的存在,寫為或寫為若對邊緣光校正了球差,即h=hm時,δL'm=0,代入上式有A1=-A2h2m,故可得為求球差的極大值,將上式對h求導,并使之為零,得可得δL'極大值的入射高度為將此值代入δL'm=0時的級數展開式,即我們給出以下結論:(1)包括二級球差的球差展開式所得球差值與光路計算所得的精確球差值較為一致,所以一般光學系統考慮到二級球差就足夠精確了。(2)對一般光學系統當邊緣光球差校正后,只需計算帶光球差,便可了解球差曲線的全貌了。(3)光學系統在某一帶上校正了球差,是因為在該帶上初級球差和高級球差互相抵消之故,因此校正球差的系統中初級球差和高級球差異號。球差曲線正是初級球差和高級球差合成的結果。(4)光學系統對邊緣光校正球差時,帶光球差約為邊緣光二級球差的四分之一,因此高級球差愈大,帶光球差也愈大?；蛘哒f當光學系統邊緣光校正為零時,帶光球差表征了高級球差。若以(h/hm)2為縱坐標軸畫出球差曲線和初級球差曲線,如圖2.10所示。(5)當光學系統孔徑角很大時,如高倍顯微物鏡,高級球差很大,除二級球差外,三級球差也不可忽視,其球差展開式應取三項:2.2彗差2.2.1彗差的定義彗差表示的是軸外物點寬光束經系統成像后失對稱的情況。由位于主軸外的某一軸外物點,向光學系統發(fā)出的單色圓錐形光束,經該光學系統折射后,若在理想像平面處不能結成清晰點,而是結成拖著明亮尾巴的彗星形光斑,則此光學系統的成像誤差稱為彗差。具體地說,是在軸外物點發(fā)出的光束中,對稱于主光線的一對光線經光學系統后,失去對主光線的對稱性,使交點不再位于主光線上,對整個光束而言,是與理想像面相截形成一彗星狀光斑的一種非軸對稱性像差。彗差通常用子午面和弧矢面上對稱于主光線的各對光線經系統后的交點相對于主光線的偏離來度量,分別稱為子午彗差和弧矢彗差,用K'T和K'S來表示。下面以子午彗差為例進行說明,如圖2.11所示。B點發(fā)出充滿入瞳的光束,z為主光線,a為上光線;b為下光線。如果系統沒有存在彗差,則這三條光線的像方光線應該相交于一點,但是如果存在彗差,則三條共軛光線可能會不再相交共點,而失去了對稱性。則稱上、下光線的交點到主光線z'的垂軸距離叫子午彗差,用K'T表示,其表達式為彗差是一有符號數,當交點位于主光線之下為“-”,當交點位于主光線之上為“+”。彗差是軸外像差之一,其危害是使物面上的軸外點成像為彗星狀的彌散斑,破壞了軸外視場的成像清晰度,且隨孔徑及視場的變化而變化,所以又稱彗差為軸外像差。以上主要說的是子午彗差,對于弧矢彗差是同理的,其表達式為2.2.2彗差的級數展開式彗差與物方孔徑角U及物高y有關,當U改變符號時,彗差符號不變,故在彗差展開式中只能有U的偶次項;當y反號時,彗差亦反號,在展開式中只能有y的奇次項;現以弧矢彗差為例,如果只保留二級彗差,可得級數展開式如下式中,第一項為初級彗差,第二、三項同為二級彗差。對于大孔徑小視場光學系統,彗差主要由前兩項決定,即式中,第二項為孔徑二級彗差,若把孔徑邊緣彗差校正到零,和上述對球差的推導方法一樣,在帶孔徑處可得最大剩余彗差值為即最大剩余彗差值K'Smn為孔徑二級彗差的四分之一,且異號。當系統視場較大,而相對孔徑較小,彗差主要由K'S的級數展開式的第一、三兩項組成式中,第二項為視場二級彗差,如果使邊緣視場ym的彗差校正到零,可得初級彗差系數代入K'Sy表示式中,得對y求導,并使之為零得即當y=0.58ym時,K'Sy有極值。把y代入K'Sy的表示式,得2.2.3彗差的校正彗差屬于軸外像差之一,它的危害是使物方一點的像成為彗星狀彌散斑,從而破壞了軸外視場的成像清晰度,使成像質量降低,所以彗差必須校正。彗差與球差同屬于遠軸寬光束成像所致,消除的途徑也基本類似。彗差對于大孔徑系統或望遠系統影響很大。它的大小與光束的寬度、物體的大小、光闌位置、光組內部結構(如透鏡的折射率、曲率、孔徑等)有關。校正彗差,首先想到的是光闌,因為彗差與光闌的位置有關。如圖2.12(a)所示,主光線和輔軸重合,光束沿輔軸通過折射面不會失去對稱性,沒有彗差產生。如果把入射光瞳繼續(xù)向右移,如圖2.12(b)所示,上、下光線的交點B'T將在主光線以上,這是因為對于單個折射面,上光線和主光線接近輔軸。折射后偏折小,而下光線遠離輔軸,故折射后偏折大。所以彗差變成正值。由此可知,彗差是和光闌位置有關的。下面按上述方法對彎月形正透鏡的彗差進行分析。如圖2.13(a)所示,彎月透鏡對軸外點B成像。2.2.4彗差的分布式由于彗差分為子午彗差和弧矢彗差,其分布式也分為兩種:子午彗差:弧矢彗差:2.3像散及場曲2.3.1像散1.像散的定義由位于主軸外的某一軸外物點,向光學系統發(fā)出的斜射單色圓錐形光束,經該光學系統折射后,不能結成一個清晰像點,而只能結成一彌散光斑,則此光學系統的成像誤差稱為像散。只要是軸外點發(fā)出了寬光束則彗差不可避免。但當把入瞳尺寸減少到無限小,小到只允許主光線的無限細光束通過時,彗差消失了,即上、下、主光線的共軛光線又交于一點。但此時成像仍是不完善的,因為還有像散及場曲的存在,如圖2.14所示。設這是一個有像散的系統,當軸外點以細光束成像時,這時K'T=0,沒有彗差,于是上、下、主光線的共軛光線交于一點B't,之后又散開交輔軸于B's,我們稱B't、B's分別為子午像與弧矢像。很明顯二者并不重合,則稱二者分開的軸向距離為像散,用x'ts表示。這里用小寫表示細光束的像散。像散是物點遠離光軸時的像差,且隨著視場的增大而迅速增大。如果光學系統只存在像散,則子午光束和弧矢光束均分別交于主光線上的一點。兩交點的位置不重合,光束結構如圖2.15所示。當我們用一個接收屏來進行接收時,若令屏沿光軸前后移動,就會發(fā)現成像光束的截面積形狀變化很大,當接收屏位于不同位置時,有時是很亮很亮的短線,有時是橢圓、有時是圓,形狀差異非常大,并且能量差異也很大。當是短線時能量最為集中,而為其他形狀時能量相對彌散。垂直于子午面的短線為子午焦線,垂直于弧矢面的短線為弧矢焦線,如圖2.16所示,兩者之間的距離就是像散。2.像散的校正方法由于像散的存在,導致軸外一點像成為互相垂直的兩條短線,嚴重時軸外點得不到清晰的像,影響的也是軸外像點的清晰程度。所以對于大視場系統而言,像散必須校正。與彗差相類似,由于若想令像散為零,只有iz=0,即與光闌的位置有關,當光闌位于球心處時,或者說是齊明點處時,沒有像散。平面物的像散成像如圖12.17所示。3.像散的級數展開式細光束的像散只與視場有關,與孔徑無關。當只取二級像散時,有:4.像散的分布式當對邊緣視場校正像散時,在0.707處有最大的剩余像散,值為視場邊緣處高級像散的-1/4,其像散分布式為2.3.2場曲1.場曲的定義垂直于主軸的平面物體經光學系統所結成的清晰影像,若不在一垂直于主軸的像平面內,而在一以主軸對稱的彎曲表面上,即最佳像面為一曲面,則此光學系統的成像誤差稱為場曲。當系統存在像散時,軸外物點發(fā)出細光束成像將分別形成子午像點與弧矢像點,而軸上點則不產生像散,因為像散屬于軸外像差。軸上點只有一個像。從圖2.18中看,有三個面:高斯像面,子午像面,弧矢像面。且三個面都不重合,只有高斯面是平面,其他兩個全是曲面。則稱:子午像點相對于高斯像面的距離為x't,為子午場曲;弧矢像點相對于高斯像面的距離為x's,為弧矢場曲。可見,場曲也分為兩個,分別為子午場曲和弧矢場曲。子午寬光束交點相對于理想像面的偏離,稱為寬光束子午場曲,見圖2.19,用符號X'T表示:弧矢寬光束交點相對于理想像面的偏離,稱為寬光束弧矢場曲,見圖2.19,用符號X'S表示:細光束弧矢場曲與寬光束弧矢場曲之差為軸外點弧矢球差。如果光學系統不存在像散(即子午像和弧矢像重合),垂直于光軸的一個物平面經實際光學系統后所得到的像面也不一定是與理想像面重合的平面。由于T、S的重合點隨視場的增大偏離理想像面越嚴重,所以仍形成一個曲面,此時的像面彎曲稱為匹茲伐爾場曲(純場曲),用x'p表示,此時的像面為匹茲伐爾像面。2.場曲的級數展開式同樣,細光束的場曲也只與視場有關:3.場曲的分布式4.場曲的校正當光學系統存在嚴重的場曲時,就不能使一個較大平面物體各點同時成清晰像,當把中心調焦清楚了,邊緣就模糊,反之亦然,所以大視場系統必須校正場曲。(1)用高折射率的正透鏡、低折射率的負透鏡,并適當拉開距離,即所謂的正負透鏡分離。(2)用厚透鏡。當對邊緣光視場校正場曲時,在0.707處有最大的剩余場曲,值為視場邊緣處高級場曲的-1/4。(3)對于單個透鏡,場曲可以通過在透鏡前適當位置上放置一小孔屏(見圖2.20)來校正,像散則需要通過復雜的透鏡組來完成。2.4畸變2.4.1畸變的定義畸變也是幾何像差之一,它主要是指主光線的像差。由于球差的影響,不同視場的主光線通過系統后其與高斯像面的交點與理想像高并不相等,設理想像高為y'0,主光線與高斯像面交點的高度為y'z,則兩者之間的差別就是系統的畸變,用δy'z表示。描述畸變有兩種方法,一種是用線畸變δy'z,即因為畸變是在垂軸方向上度量的,故它屬于垂軸像差,但實際上在設計中應用較多的并不是線畸變,而是相對畸變。相對畸變是指線畸變δy'z與理想像高y'0的百分比,用符號q表示,則2.4.2畸變的分類畸變分為枕形畸變和桶形畸變。枕形畸變又稱為正畸變,是指實際像高大于理想像高時的畸變,如圖2.21(b)所示。桶形畸變又稱為負畸變,是指實際像高小于理想像高時的畸變,如圖2.21(c)所示。2.4.3畸變的校正畸變與其他像差不同,它僅由主光線的光路決定,引起像的變形,并不影響成像清晰度。對于一般的光學系統,只要眼睛感覺不出像的明顯變形(相當于q≈4%)則無礙。究竟產生何種畸變,與成像系統中孔徑光闌的位置有關。對于凸透鏡,孔徑光闌在其前側時可能產生桶形畸變,在其后側時可能產生枕形畸變。因此,一般消除或校正畸變的有效方法是,在適當的位置加小孔屏作為孔徑光闌,并采用對稱透鏡組。對于結構完全對稱的光學系統,若以β=-1的放大率成像,所有垂軸像差都能自動消除?；兪且环N垂軸像差,自然也能消除。單個薄透鏡或薄透鏡組,當孔徑光闌與之重合時,也不產生畸變。這是因為此時主光線通過主點,沿理想方向射出的緣故。但是單個光組不可能很薄,因此實際上還有小畸變。由此推知,當光闌位于單透鏡組之前或之后時即產生畸變,且兩種情況的畸變符號相反,如圖2.22所示。由此,制版物鏡的光闌置于諸透鏡的中間時,能較好地校正畸變。2.4.4畸變的級數展開式畸變只和物高y有關,且隨y的符號改變而改變符號,故在其級數展開式中,只能有y的奇次項。其級數展開式為式中,第一項為初級畸變,第二項為二級畸變。如對邊緣視場ym處校正了畸變,則有代入式(2.45)得對y求導,并使之為零,得可得代入δy'z表示式,得2.4.5畸變的分布式初級畸變的分布式為2.5正弦差2.5.1余弦定律光學成像中對兩個無限接近的點,即鄰近點成完善像的條件就是余弦定律。兩鄰近點構成的小線段可以是任意方向的。利用余弦定律可以導出正弦條件及赫歇爾條件等。如圖2.23所示,為方便計,首先在光軸上取點A,且系統對其成完善像。點B為點A的鄰近點,設它也被系統成完善像于點B',η為由點A到點B的長度,η'為點A'到點B'間的長度。過點A引一光線OA與線段AB成角ε,此光線經折射以后為光線O'A',與線段AB的像A'B'成角ε'。過點B引一光線OB,其與線段AB成角ε+Δε,經光學系統射出后為光線O'B',與線段A'B'成角ε'+Δε'。此處Δε、Δε'均為微小角度差。根據費馬原理,對點O和O'來說,光程(AOO'A')應等于光程(OBB'O'),即或以點O為中心,以OB為半徑作圓弧交光線OA于點Q,因Δε很小,可把圓弧看作直線,從三角形ABQ可得把以上二式代入式(2.52),得由于A'是A的完善像,B'是B的完善像,根據費馬原理知A和A'及B和B'之間的光程均應為極值,即d(AA')=0,d(BB')=0。因此,(AA')和(BB')各為一常量,以C表之,有這個關系稱余弦定律,即光學系統對無限接近的兩點成完善像的條件。點A的任意鄰近點只要滿足余弦定律,也成完善像。2.5.2正弦條件如圖2.24所示,兩鄰近點A和B構成的小線段垂直于光軸。為方便計,只考慮子午面內的情況。由軸上點A引兩條任意光線AM1和AM2,分別與垂軸線段AB的像A'B'成ε1和ε2角,且與光軸成U1和U2角。若點A'和點B'分別是點A和點B的完善像,則應滿足余弦條件式中,y和y'分別表示垂軸小線段AB和A'B'。因為ε1和ε2分別與U1和U2互為余角,上式可寫為如果由點A所引光線AM1和AM2不在子午面內,仍可證明即式(2.55)總能成立。若令以上兩條光線AM1和AM2中有一條沿光軸,則因有U1=U'1=0,故可得C=0,則有或這就是所要導出的正弦條件。2.5.3赫歇爾條件光學中的赫歇爾條件是當光學系統成完善像時,在沿軸方向的鄰近點成完善像應滿足的條件。設沿軸小線段AB=dx,通過光學系統成完善像A'B'=dx',按余弦定律,可寫為現只考慮沿軸光線U=U'=0,得用此式取代上式中的常數C,可得即由于軸向放大率

，代入上式,可得上式即為赫歇爾條件的表示式,它是光軸上一對鄰近點成完善像的充分與必要條件。比較由式(2.56)表示的正弦條件和由式(2.60)表示的赫歇爾條件,可寫出顯然以上兩式只在U=U'=0的條件下才能同時滿足。這表明正弦條件和赫歇爾條件不能同時滿足,即一對共軛點對垂軸平面內的鄰近點滿足正弦條件,對沿軸的鄰近點不能滿足赫歇爾條件。光學系統對一垂軸物平面成完善像,而對其附近的物平面就不能成完善像。故不存在對一個空間成完善像的光學系統。2.5.4弧矢不變量與正弦條件的關系圖2.25中PcBS和PdBS是一對弧矢光線,相交于BS點,做BS與曲率中心C的連線BSC為點BS的輔軸。按折射定律:入射光線、折射光線和法線應在一個平面以內,故PcBS光線經球面折射以后,其折射光線應在PcBSC平面內,同理PdBS光線經球面折射后,其折射光線應在PdBSC平面內。這兩個平面的交線顯然是輔軸BSC。又由于光線PcBS和PdBS對稱于子午面,其折射后的交點BS也應在子午面以內,且在輔軸BSC上。如圖2.26所示,點A和A'是軸上點邊緣光線在球面折射前、后與光軸的交點。過點AP作垂直于光軸的平面ABS,在此平面內點A的鄰近點BS就是圖2.26中光線PcBS和dBS的交點BS。這兩條光線經球面折射后,應交于BSC線上的點B'S。由于ABS很小,像面彎曲等軸外像差可忽略不計,故認為點B'S位于過點A'的垂直于光軸的平面內。YS和Y'S分別表示BS和B'S到光軸的垂直距離,由三角光路計算公式相除可得或寫為由于三角形BSCA和三角形B'SCA'相似,得代入上式,得或對于第i個和第i+1個相鄰折射面,有按此關系,把式(2.61)用于光學系統的第一面到第k面,得此式是一個不變量,稱為弧矢不變量,只要物體垂直于光軸,用任意大的光束成像,上式均成立。此處Ys和Y's是弧矢光束交點的高度,不是主光線與物平面和理想面交點的高度。按弧矢彗差的定義,點B's到主光線的垂直于光軸的距離BsQ'為弧矢彗差K's。由于考慮到在小視場的情況下,可忽略像散、場曲和畸變等像差,但有球差δL'和彗差K's存在,如圖2.27所示,則弧矢不變量可寫為由圖可知,當光學系統無彗差時,點B's和點Q'重合。如果無彗差同時又無球差時,則點B's和點B'0重合,即為理想象高,則得此即前面所講討論的正弦條件。2.5.5正弦條件的其他表示形式正弦條件可表示為另外一種形式當,則lsinU=h,則有得物體位于無限遠時的正弦條件為根據軸上點光線光路計算的結果,由式(2.56)和式(2.63)可方便地判斷光學系統是否滿足正弦條件。數值表示可以按下述處理,當物體在有限距離,并對邊緣光線校正了球差,按光路計算結果求得，值,若其等于按近軸光計算求得的橫向放大率β,則表示滿足正弦條件,如不相等,令其差為δβ來表示正弦條件的偏離對于物體在無限遠的情況下,按式(2.63)可得可用δf'表示物體在無限遠時的正弦條件的偏離。即使球差已校正,仍會由于彗差存在而不能滿足正弦條件。2.5.6在不暈點處的正弦條件校正了球差并滿足正弦條件的一對共軛點,稱為不暈點或齊明點。現在也可證明它們是滿足正弦條件的,即證明由所決定的一對共軛點是單個折射球面滿足正弦條件的不暈點,這對共軛點的放大率為由式(2.17)知,這對共軛點還有以下關系:由此可得或這表明該對共軛點滿足正弦條件。2.5.7等暈條件正弦條件是垂軸小線段完善成像的條件。實際上光學系統對軸上點消球差只能使某一帶球差為零,其他帶仍有剩余球差存在。所以,軸上點也不能成完善像,所得到的像是一個彌散斑,只是由于剩余球差不大,致使彌散斑很小,仍認為像質是好的。因此,對軸外鄰近點的成像最多也只能要求和軸上像點一樣,是一個僅由剩余球差引起的足夠小的彌散斑。也就是說,軸上點和鄰近點具有相同的成像缺陷,稱之為等暈成像,欲達到這樣的要求,光學系統必須滿足等暈條件。等暈條件如圖2.28所示。如果鄰近點存在彗差,則系統不滿足等暈條件,如圖2.27所示?，F以描述等暈條件的偏離,以SC'表示之,稱為正弦差或相對弧矢彗差。SC'=0時表示系統滿足等暈條件,即相對弧矢彗差為零,由圖2.27可知式中的Y'S可用弧矢不變量公式(2.62)求出A'Q'可由圖2.27中三角形P'A'Q'的關系中求出則S'C'可寫為再利用垂軸放大率公式代入上式,得當物體位于無限遠時,sinU和u相消,u'=-fh',則得當進行球差計算時,由邊緣光和第一近軸光光路計算中求得sinU,sinU',u,u',L',l',只要再作一條第二近軸光的光路計算求得l'z,即可按以上兩式求得光學系統的正弦差。這在小視場光學系統中作像質估計是很方便的。為和系統的球差δL'聯系起來,式(2.66)可寫為以下形式式中最后一項中,由于系統校正了球差,δL'是近于零的值,且分母是一個大數,故此項對整個SC'影響很小,把sinU和sinU'展開成級數后取第一項,上式可寫為當物體位于無限遠時,上式可寫為以上兩式也是計算中常用的形式。當K'S=0時,SC'=0,但是δL'不一定為零,這說明是等暈成像。所以,SC'=0能滿足等暈條件,即光軸鄰近點沒有彗差存在。反之,SC'≠0,就是系統偏離等暈條件,光軸鄰近點有彗差存在。如果SC'=0,同時δL'=0,式(2.68)可寫為用拉赫不變量nuy=n'u'y'取代上式中的u和u',可得或這正是正弦條件。所以說,等暈條件是正弦條件的推廣。有時,在計算中也可把正弦差表示為與放大率有關的形式。用代入式(2.64a),得代入式(2.68),得當物體在無限遠時,把式(2.64b)代入式(2.69),得對于一般的望遠物鏡或對稱式照相物鏡,可把L'-l'z近似地看做f',則對于這類光學系統,當δf'和δL'相等時,表示滿足等暈條件。可把δf'曲線畫在球差δL'的曲線圖上,兩條曲線的偏離就表示對等暈條件偏離的程度。2.5.8正弦差描述小視場成像寬光束不對稱性的像差稱為正弦差。也就是說,正弦差和彗差都是指軸外物點寬光束成像的失對稱性,但彗差是針對大視場的,而正弦差是針對小視場的,它表示的是一個比值。通常都用弧矢彗差K'S與實際像高A'B'的比值來表示正弦差,因此又稱為相對弧矢彗差,記為OSC或SC'。正弦差的表達式為正弦差的像曲線如圖2.29所示。2.6位置色差2.6.1位置色差的產生原因及定義當以復色光照明時,波長越小,像距越小。從而形成按波長由短至長,各自像點離透鏡由近至遠排列在光軸上,形成位置色差,如圖2.30所示。位置色差是指軸上點兩種色光成像位置的差異,也叫軸上色差。其數學形式為這是具有普遍意義的式子。2.6.2消色差譜線的選擇光學材料有色散性質,對不同色光有不同的折射率。因此光學系統對不同色光有不同的像差值,任何光學系統都不能同時對所有色光校正好像差。因而在設計光學系統時,就應考慮對什么譜線校正單色像差和對什么譜線校正色差的問題。一般來說,消像差譜線的選擇主要取決于光學系統接收器的光譜特性。應對接收器最靈敏的譜線消單色像差。對接收器所能接受的波段范圍兩邊緣附近的譜線校正色差。為使整個系統有高的效率,應使接收器、光學系統和光源匹配好,即光源輻射的波段和最強譜線、光學系統透過的波段和最強譜線、接收器所能接收的波段和最靈敏譜線相一致。在實際計算中,消像差譜線按上述原則選取與所選波長相近的夫朗和費譜線,以便直接從玻璃目錄中查取相應的折射率。按接收器的不同可將常用的光學系統分為幾類,并討論其消像差的淺的選擇。1.目視光學系統在實際計算中,常用折射率nD和阿貝常數νD作為在目視光學系統中選用光學玻璃的參量指標我們通常所說的消色差系統也只是指使某一帶色差為0,通常對帶光光線校正色差,即C、F光的像點在0.707交于一點,即在0.707處有ΔL'FC=0,如圖2.31(a)所示,圖2.31(b)為三種色光的球差曲線。2.普通照相系統普通照相系統的接收器是照相底片?？紤]到照相乳劑的光譜靈敏度,在設計這種系統時,一般對F光校正單色像差,對D光和G'光校正色差。光學材料相應的參量指標為3.不需目視調焦的照相系統天文照相、航空照相不需目視調焦?？紤]到大氣的性質,通常對h光和F光校正色差,對G光校正單色像差。在光學設計時相應的光學參量為4.特殊光學系統現代的許多光學儀器,其應用范圍已擴展到可見光譜之外。設系統用于由λ1到λ2光譜區(qū)域內,在設計該系統時應取2.6.3二級光譜一般消色差光學系統只能做到對兩種色光校正位置色差。如果光學系統中λ1和λ2兩種色光的公共像點相對于第三種色光λ3的像點位置仍有差異,這種差異就是二級光譜。若C、F光在0.707帶相交,即校正了位置色差,但是兩色光的交點與D光的球差曲線并不重合,則稱該交點到D光曲線的軸向距離為二級光譜,如圖2.31(b)所示,表示為ΔL'FCD,其數學形式為2.6.4色球差當系統在帶光校正了色差之后,邊緣帶色差與近軸光色差并不相等,其差值為色球差,也可理解為不同波長的球差之差,用公式表示為也可表示為2.6.5位置色差的級數展開式位置色差也可以像球差一樣展開成級數。位置色差是軸上點像差,只與半孔徑h或孔徑角u有關,與視場無關。當h或u改變符號時,位置色差不變符號。因此,在位置色差的展開式中只能包括h或u的偶次方項。當h或u為零時,色差不為零,展開式中存在常數項。位置色差的級數展開式可寫為或為求上式中的系數a0,a1,…,把ΔL'FC寫為把F光和C光的球差δL'F和δL'C展開成級數,即與式(2.79)相比,有即色差展開式(2.79)中,第一項為近軸光的位置色差,其他各項分別為二級、三級色差等。如果在色差展開式中只取兩項,第二項為F光和C光初級球差之差。與式(2.78)相比較,上式正是色球差。在校正色差時,如只顧及消除近軸色差Δl'FC,由于色球差的存在,邊緣光的色差還是很大的。最好的色差校正方案是使近軸色差Δl'FC和孔徑邊緣色差ΔL'FCm數值相等,符號相反,即把ΔL'FCm只取級數展開式的兩項可得2.6.6位置色差的分布式初級位置色差,即近軸區(qū)色差的分布公式為2.6.7消色差系統光焦度分配1.完全消色差的密接薄透鏡系統由兩塊或兩塊以上相互接觸或以極小空氣間隙分離的薄透鏡組成的薄透鏡系統,稱為密接薄透鏡系統,例如雙膠合或雙分離型式的透鏡組。對于這類薄透鏡系統,可認為各個透鏡上的入射高度相等,消色差條件可表示為對于雙膠合和雙分離物鏡,有把光組組合的光焦度公式和上式聯立,可求得兩透鏡的光焦度為由上式可知:(1)具有一定光焦度的雙膠合或雙分離透鏡,只有用不同玻璃制造的正負透鏡才可能使兩個透鏡產生的位置色差互相補償,而光焦度不互相補償,從而保證一定的光焦度。為使光焦度φ1和φ2數值不至于太大,兩種玻璃的阿貝常數相差應盡可能大些。通常選取冕牌和火石兩類玻璃中的各一種牌號來組合。(2)若光學系統的總光焦度為正(Φ>0),不管冕牌玻璃在前(第一塊透鏡),還是火石玻璃在前,正透鏡必然用冕牌玻璃,負透鏡為火石玻璃。反之,光學系統的總光焦度為負(Φ<0例)2,則1正透鏡用火石玻璃,而負透鏡用冕牌玻璃。2.保留一定剩余位置色差的密接薄透鏡系統保留一定的初級位置色差的目的在于:一方面和其他光學零件產生的色差相補償,另一方面為了補償系統本身的高級色差,以便使系統能在帶光處消色差。當物鏡需保留一定的初級色差值Δl'FC時,由色差分布系數CⅠ的表達式和式(2.82)可得對雙透鏡的密接薄透鏡組,有若光學系統在空氣中時,有當物體在無限遠時,l'=f',有用此式與光焦度公式φ=φ1+φ2聯立,得3.由兩塊具有一定空氣間隔的薄透鏡組成的系統對于這種系統,光線在兩塊透鏡上的入射高度不同,其消色差條件可以表示為系統的總光焦度為當已知物距和孔徑角時,h1便可確定。當物體在無限遠時,h1是已知的,則h2可由下式確定:得若已知d,解以下方程組由上式消去φ2、h2,得φ1的方程式為若已知ν1、ν2、d、Φ,即可求得消色差條件下的φ1,然后可求出h2和φ2。由式(2.92)可知,消色差的解必然是一塊正透鏡和一塊負透境。一般來說,d值是根據結構上的要求確定的。如圖2.33所示的系統,d值是由后工作距的要求確定的。根據幾何光學中的公式導出得將此d代入式(2.93),得由上式知,正負兩塊透鏡以一定間隔所組成的系統,并不是任何給定l'z值或d值都能獲得消色差的結果。當第一塊透鏡為正透鏡時,必須滿足以下條件:或才能有解。即使,仍有可能使φ1值很大,這樣的結果也沒有實用價值。如果分離系統的兩塊透鏡用同一種玻璃,即ν1=ν2,消色差方程式(2.93)可寫為若光學系統是會聚的(Φ>0)只有dΦ≥4時,上式才有解,這時φ1>0,φ2<0。若取dΦ=4,則由上式可知,,即。。這樣的系統的焦點位于兩透鏡之間,且第二透鏡為負,最后必為虛像,如圖2.34所示,這種系統無實用意義。

2.7倍率色差2.7.1倍率色差的定義同位置色差產生的原因相似,對于不同的色光而言,其放大倍率并不相同。倍率色差是指軸外物點發(fā)出的兩種色光的主光線在消單色光像差的高斯像面上交點的高度之差,或者同一光學系統對不同色光的放大率的差異,如圖2.35所示。對于目視光學系統,倍率色差是以C光、F光的主光線在D光高斯像面上的交點高度之差來表示,即近軸光倍率色差為(稱為初級倍率色差)式中y'F和y'C為色光的第二近軸光像高。2.7.2倍率色差的校正倍率色差是在高斯像面上度量的,故為垂軸(橫向)像差的一種,它只與視場有關。倍率色差嚴重時,物體的像有彩色邊緣,即各種色光的軸外點不重合。它破壞了軸外點成像的清晰度,造成白光像的模糊。倍率色差隨視場增大而變得嚴重,所以大視場光學系統必須校正倍率色差。所謂倍率色差的校正,是指對所規(guī)定的兩種色光在某一視場使倍率色差為零。倍率色差為負時為校正不足,反之為校正過頭。倍率色差的校正方法主要是使用對稱式結構,或者將光闌放置在球心處,或將物體置于球面的頂點處。其次,若將兩塊由同一材料制成的且相距一定間隔的透鏡組合在一起,則該透鏡組可以實現對橫向放大率色差的校正。2.7.3倍率色差的級數展開式倍率色差和物高y成比例,當y改變符號時,倍率色差必改變符號,故它的級數展開式中只包括y的奇次項。當y為零時,ΔY'FC亦為零,所以展開式中無常數項?，F只取展開式中的兩項,即倍率色差按定義可寫為在物方空間,令YzF=YzC=y,則式(2.95)中的第二項為由上式可知,倍率色差展開式的第二項就是F光和C光的初級畸變之差,稱為色畸變。若在視場邊緣帶處使倍率色差校正為零,由ΔY'FC的級數展開式可得代回原級數展開式,即對y微分,并使之為零,得由此得到視場邊緣ym處的倍率色差為零時的最大剩余倍率色差為即當邊緣視場倍率色差為零時,在0.58ym處有最大剩余倍率色差ΔY'FCm≈-0.38b2y3m。2.7.4倍率色差的分布式初級倍率色差的分布式為CⅡ為初級倍率色差分布系數。2.8波像差2.8.1波像差的定義波像差是指實際波面與理想波面的光程差。點光源發(fā)出的是球面波