山東省東營市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線的傾斜角為，則m的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)傾斜角求出直線的斜率，根據(jù)過兩點(diǎn)的斜率公式列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以該直線的斜率為.所以，解得.故選:C.2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則它的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，將代入中可求出，從而由可求出離心率.【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以離心率，故選：D3.在三棱錐中，G是的重心，M是線段的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，用基底表示出相關(guān)向量，根據(jù)空間向量基本定理，即可求得答案.【詳解】如圖在三棱錐中，連接并延長(zhǎng)交于D，則D為的中點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，G是的重心，則,故，故.故選：A4.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線平行可用幾何法找到兩異面直線所成的平面角，再利用銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】取中點(diǎn),連接,，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，由于分別為的中點(diǎn)，則，又在正方體中，易得，所以，故異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，故，所以在直角三角形中，，易知異面直線與所成角為銳角，所以其余弦值為.故選：D..5.如圖，“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙三個(gè)部分.假設(shè)有6名航天員(4男2女)在天宮空間站開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排4人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，且兩名女航天員不在一個(gè)艙內(nèi)，則不同的安排方案種數(shù)為（）A.14 B.18 C.30 D.36【答案】B【解析】【分析】先求出總的安排方案數(shù)，再求出兩名女航天員在一個(gè)艙內(nèi)的方案數(shù)，兩者相減即可.【詳解】將6名航天員安排在3個(gè)實(shí)驗(yàn)艙的方案數(shù)為其中兩名女航天員在一個(gè)艙內(nèi)的方案數(shù)為所以滿足條件的方案數(shù)為種.故選:B.6.已知點(diǎn)P為圓C：上一點(diǎn),，，則的最大值為（）A.5 B.7 C.10 D.14【答案】D【解析】【分析】設(shè)，表示出，繼而得，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)到的距離的最大值問題，可得答案.【詳解】設(shè)，則，∵，，∴，，則，故，而的幾何意義為圓上的動(dòng)點(diǎn)到的距離，其最大值為，∴的最大值為，故選：7.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是等腰三角形，，且球O的直徑，則該三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正弦定理求出△ABC外接圓半徑，利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，結(jié)合三棱錐體體積公式即可求解.【詳解】由△ABC是等腰三角形，，,易得，如圖，設(shè)△ABC外接圓圓心為M，則平面ABC，作平面ABC,又，,故，則，,故選：C.8.《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對(duì)的．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離的比是常數(shù)．若某條直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“成雙直線”．則下列結(jié)論正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B.動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓：沒有公共點(diǎn)C.直線：為成雙直線D.若直線與點(diǎn)的軌跡相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡上不同于，的一點(diǎn)，且直線，的斜率分別為，，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意先求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為橢圓，再借助判別式判斷直線、圓與橢圓的位置關(guān)系即可；選項(xiàng)D直接計(jì)算的值．【詳解】解：設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，故A錯(cuò)；聯(lián)立消y得，整理得，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓：有兩個(gè)公共點(diǎn)，故B錯(cuò)；聯(lián)立消去y得，，故直線上存在這樣的點(diǎn)，所以直線：為成雙直線，故C對(duì)；聯(lián)立消整理得，解得，故，不妨設(shè)，設(shè)，故，則，，將代入上式，，故D對(duì)．故選：CD．【點(diǎn)睛】本題D的結(jié)論應(yīng)當(dāng)記住，也即．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，而這個(gè)結(jié)論是顯然的，可以幫助我們記憶上述結(jié)論．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知是兩條不相同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則m與β相交B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，判斷m與可能相交也可能平行；對(duì)于B，根據(jù)線面垂直以及面面平行的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)平面的法向量可判斷正誤；對(duì)于D，根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A,若，，則m與可能相交也可能平行，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，由于，則，正確；對(duì)于C，若，，則可在直線m上取向量作為的法向量，在直線n上取向量作為的法向量，因?yàn)?，故，即有，正確；對(duì)于D,由，，可得或，由于，故，正確，故選：BCD10.某高一學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門課程中選三門作為選科科目，則下列說法正確的有（）A.若不選擇政治，選法總數(shù)為種B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為種D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為種【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)判斷A；若物理和化學(xué)至少選一門，分物理和化學(xué)選一門和物理和化學(xué)都選，求出選法數(shù)，判斷B；物理和歷史不能同時(shí)選，即六門課程中任意選3門減去物理和歷史同時(shí)選的選法數(shù)，判斷C；物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，分三種情況考慮，求得選法數(shù)，判斷D.【詳解】對(duì)于A,若不選擇政治，選法總數(shù)為種,正確；對(duì)于B，若物理和化學(xué)選一門，選法總數(shù)為，若物理和化學(xué)都選，則選法數(shù)有種，故物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)種，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若物理和歷史不能同時(shí)選，即六門課程中任意選3門有種選法，減去物理和歷史同時(shí)選選法數(shù)，故選法總數(shù)為種，C正確；對(duì)于D,當(dāng)物理和化學(xué)中只選物理時(shí)，有種選法；當(dāng)物理和化學(xué)中只選化學(xué)時(shí)，有種選法；當(dāng)物理和化學(xué)中都選時(shí)，有種選法，故物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為種，而，D錯(cuò)誤，故選：11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識(shí)來判斷各選項(xiàng)命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項(xiàng)正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；，，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查與拋物線相關(guān)的命題真假的判斷，涉及拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.12.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，，AC與BD相交于點(diǎn)O，將△ABD沿BD折起來，使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M的位置，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，二面角的大小為60°D.直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°【答案】ABD【解析】【分析】通過證明平面可判斷A；當(dāng)為等邊三角形時(shí)，是棱長(zhǎng)為2的四面體,根據(jù)體積公式可判斷B；時(shí)，是棱長(zhǎng)為2的四面體，求解二面角可判斷C；先找出線面角，然后考慮其正弦值范圍即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，依題易知，因?yàn)槠矫?所以平面.

又MC平面MOC，所以，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于B,當(dāng)為等邊三角形時(shí)，是棱長(zhǎng)為2的四面體，，的外接圓半徑為，故四面體的高為,所以,故選項(xiàng)B正確.對(duì)于C,取BC的中點(diǎn)H，連接DH,MH，由知：，又,平面，

所以平面.因?yàn)槠矫?，則，于是，故是棱長(zhǎng)為2的四面體.

設(shè)二面角的大小為，由選項(xiàng)B的解析可得,故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)M在平面BCD射影為Q，則∠MDQ是直線DM與平面BCD所成角，

則，

易知，所以當(dāng)最大時(shí)，，此時(shí)最大為，則直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°．選項(xiàng)D正確．故選:ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線l：與直線m：互相平行，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩直線方程，判斷斜率存在，由題意可得，解出a后，驗(yàn)證是否符合題意，可得答案.【詳解】由題意可知直線l：的斜率為，因?yàn)橹本€l：與直線m：互相平行，故直線m：的斜率存在，且為，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線l：與直線m：重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線l：與直線m：互相平行，故答案為：14.已知，則______．【答案】10【解析】【分析】，根據(jù)二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，是展開式的系數(shù)，令，可得.故答案為:10.15.已知直線：，則圓截直線所得的弦長(zhǎng)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求出直線所過的定點(diǎn)、圓心及半徑，根據(jù)垂徑定理可求弦長(zhǎng)的最小值，最大值為直徑的長(zhǎng)度.【詳解】直線的方程即，故直線恒過定點(diǎn).圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為4，因?yàn)?，所以在圓內(nèi)，直線恒與圓相交.圓心到點(diǎn)距離為，則圓截直線所得的弦長(zhǎng)的最小值為，最大值為直徑的長(zhǎng)度.所以圓截直線所得的弦長(zhǎng)的取值范圍是.故答案為:.16.Cassini卵形線是由法國天文家Jean—DominiqueCassini（1625—1712）引入的．卵形線的定義：線上的任何點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)，的距離的乘積等于常數(shù)．b是正常數(shù)，設(shè)，的距離為2a，如果，就得到一個(gè)沒有自交點(diǎn)的卵形線；如果，就得到一個(gè)雙紐線；如果，就得到兩個(gè)卵形線．若，．動(dòng)點(diǎn)P滿足．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為______：若A和是軌跡C與y軸交點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)，則面積的最大值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】由題意可得，即可確定曲線形狀，結(jié)合，可求得曲線方程；由此可求出A和的坐標(biāo)，利用曲線的對(duì)稱性，可考慮P在第一象限內(nèi)情況，要求面積的最大值，需求的P點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由題意可得，，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙紐線，設(shè)，因?yàn)椋?，即，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為；令，可得，解得或,所以不妨設(shè)，由對(duì)稱性，故可考慮P在第一象限的情況，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以面積最大時(shí)，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)最大，又即，所以，令，則因?yàn)?，所以，故，?dāng)時(shí)，取得最大值1，即的最大值為1，則x的最大值為1，所以的最大值為，故面積的最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求出曲線的方程，可判斷曲線形狀，由此求的面積的最大值時(shí)，根據(jù)曲線的對(duì)稱性，考慮點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，要利用方程，采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的最大值.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．17.已知向量，（1）求與的夾角；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解；(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.小問1詳解】，，，，，令與的夾角為，則，則與的夾角為.【小問2詳解】，，又與垂直，，即，解得.18.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對(duì)其求解．條件①：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件②：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256．問題：在展開式中，（1）求的值與展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）這個(gè)展開式中是否存在有理項(xiàng)？若存在，將其一一列出；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）選三個(gè)中的任意一個(gè)，；展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．（2）存在，展開式中有理項(xiàng)分別為；；．【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的性質(zhì)列方程即可求得的值，利用賦值法即可求得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，由x的冪次為整數(shù)列方程即可求得展開式中有理項(xiàng).【小問1詳解】選①，第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，所以；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選②，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，解得；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選③，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則，解得：．令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．【小問2詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：．依題意可知，當(dāng)，3，6時(shí)，二項(xiàng)展開的項(xiàng)都是有理項(xiàng)．所以：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以展開式中有理項(xiàng)分別為；；．19.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，E為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作平面于點(diǎn)I，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)K，連接，需證明I在上，再證明，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.【小問1詳解】證明：如圖，在平行六面體中，底面是菱形，連接，交于O點(diǎn)，則O為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，故,因?yàn)槠矫?，平面，故平面；【小?詳解】證明：作平面于點(diǎn)I，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)K，連接，因?yàn)椋?故≌,所以,∵平面，平面，∴,故≌,故,又平面，平面,故,又，平面,故平面，平面，故,同理可證,結(jié)合，可知I在的平分線上，即I在上，則平面，而平面，平面,故,又底面是菱形，則,平面，故平面.20.已知圓C與圓M：相外切，且圓心C與點(diǎn)關(guān)于直線l：對(duì)稱．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)圓C的切線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）得到點(diǎn)在直線上，從而得到關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是其本身，確定圓心坐標(biāo)，由兩圓外切，列出方程，求出半徑，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）考慮直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出切線方程.【小問1詳解】因?yàn)?，故點(diǎn)在直線上，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是其本身，故圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳AC與圓M：相外切，設(shè)圓C的半徑為，所以，解得：，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)圓心到的距離為3，等于半徑，故滿足相切關(guān)系，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)為，則圓心到直線的距離，解得：，故切線方程為，即，所以切線方程為或.21.如圖所示，在多面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，，，(為大于零的常數(shù))，為等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，，（1）求的長(zhǎng)，使得；（2）在（1）的條件下，求二面角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，（1）通過向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解；（2）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求二面角的平面角的大小即可.【詳解】平面平面，為等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，,，由已知可得，，，令，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，由題可設(shè)，（1），，，，即，，于是，四邊形為矩形，故.（2）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，平面，，而為等腰直角三角形，，平面，為平面的一個(gè)法向量，而.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，而，，又，，即，令，則，，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的平面角為.【點(diǎn)睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算．(2)設(shè)分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等.求