山西省長治市潞州區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（含解析）

2023～2024學年第一學期九年級期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（華師大版）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．全卷共6頁，滿分120分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷相應的位置，3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該選項涂黑）1．若二次根式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．如圖，與關(guān)于點位似，且相似比為，則與的比為（

）A． B． C． D．4．若，則的值為(

)A． B．3 C．4 D．5．如圖，，直線，與這三條平行線分別交于點A，C，F(xiàn)和點B，D，E．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．有一個實數(shù)根7．如圖，是的中線，E、F分別是，的中點，連結(jié)．若，則的長為（

）A．4 B．3 C．6 D．58．將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項式，也可以將表示為…，從而達到“降次”的目的，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．若，則的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．20229．在設計人體雕像時，如果使雕像上部（腰部以上）與雕像下部（腰部以下）的高度比等于雕像下部與雕像全部的高度比，那么就可以增加視覺美感．若按此比例設計一座如圖所示的高度為的雷鋒雕像，則該雕像上部的高度（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）約為（

）A． B． C． D．10．如圖，一張底邊長為、底邊上的高為的等腰三角形紙片，沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為的矩形紙條．若剪得的紙條是一張正方形，則這張正方形紙條是（

）

A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分．請將答案直接寫在答題卡相應的位置）11．計算：=．12．全世界大約有14000余種蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亞馬孫河流域品種最多，在世界其他地區(qū)除了南北極寒冷地帶以外都有分布．如圖是一只蝴蝶標本，將其放在適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼抵?，若翅膀兩端B，C兩點的坐標分別為，，則蝴蝶“尾部”點A的坐標為．13．如圖，某景區(qū)計劃在一塊長、寬的矩形空地上修建一個停車場，在停車場中修建四塊大小相同的矩形停車區(qū)域，使停車區(qū)域的面積之和為．若四塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相同的行車通道，則行車通道的寬度為多少？設行車通道的寬度為，根據(jù)題意可列方程為．14．如圖，在中，是邊上一點，連結(jié)．若，，，的面積為，則的面積為．

15．如圖，在中，D是的中點，過點C作交BD的延長線于點E，連結(jié)．若，，則的長為．

三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．計算：(1)；(2)17．解下列方程：(1)；（用配方法求解）(2)18．在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是，，．(1)畫出于y軸對稱的，并直接寫出點的坐標．(2)畫出以點為位似中心，相似比為的，并直接寫出點的坐標．19．閱讀材料，并回答下列問題觀察方程及其根的特征：①方程的根是，；方程的根是，．②方程的根是，方程的根是，．……猜想：方程的根與方程的根之間的關(guān)系是．(1)請你證明材料中的猜想(2)依照材料中的解題方法，解方程：．20．如圖，在中，過點的直線交的延長線于點，分別交，于點，．(1)若，，，求的長．(2)在（1）的條件下，若，求的長．21．近年來，電商直播帶貨成了一個火熱的職業(yè)．某電商在抖音平臺上對一款成本為60元/件的服裝進行直播銷售，如果按每件100元銷售，那么每天可售出20件．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件，設每件服裝降價x元（降價后不得低于成本）．(1)平均每天銷售量增加件，每件服裝盈利元．（用含x的代數(shù)式表示）(2)當每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元？(3)商家平均每天盈利能達到1350元嗎？請說明理由．22．鸛雀樓（如圖1）位于山西省永濟市蒲州古城西面的黃河東岸，始建于北周時期，是現(xiàn)存最大的仿唐建筑．某校數(shù)學興趣小組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量鸛雀樓的高度．如圖2，該小組成員選取與底端B在同一水平地面上的E，G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為的標桿和，兩標桿間隔約為．從標桿后退到點D處（即），從點D處觀察頂端A處，使A，F(xiàn)，D三點共線；從標桿后退到點C處（即），從點C處觀察頂端A處，使A，H，C三點共線，其中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H均在同一平面內(nèi)．請根據(jù)上述測量數(shù)據(jù)，求鸛雀樓的高度．23．綜合與實踐問題情境：在“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖，在矩形紙片中，，，將矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的直角三角形紙片和，將固定不動，繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，其中點的對應點為點，點的對應點為點．如圖，當點落在邊上時，連結(jié)，求的長．數(shù)學思考：（1）請你解答老師提出的問題．深入探究：（2）老師將圖2中的繞點C繼續(xù)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，讓同學們提出新的問題①“善思小組”提出問題：如圖3，當點落在的延長線上時，連結(jié)，求的長；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當點落在的延長線上時，連結(jié)，求的長．參考答案與解析1．A【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，解得：．故選A．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件．掌握被開方數(shù)為非負數(shù)是解題關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、是最簡二次根式，故本選項符合題意；D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．3．A【分析】本題考查了位似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似比為，即可求解．【詳解】解：∵與位似，點是它們的位似中心，且相似比為，∴，故選：A．4．B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)；利用比例的性質(zhì)進行計算，即可解答．【詳解】解：，，，，，故選：B．5．D【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，由此即可得．【詳解】解：，，，，故選：D．6．C【分析】本題考查一元二次方程根的情況，直接利用根的判別式判斷即可．【詳解】解：∵∴一元二次方程沒有實數(shù)根.故選：C．7．B【分析】根據(jù)三角形的中線的概念求出，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：∵是的中線，，∴，∵E、F分別是，的中點，∴是的中位線，∴，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】此題考查一元二次方程，整體代入法：根據(jù)方程變形得到，，仿照已知整體代入化簡即可得到答案，正確理解整體代入法達到降次解方程的目的是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，，∴故選：B．9．C【分析】本題主要考查了黃金分割，設該雕像上部的高度為，則雕像下部的高度為，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設該雕像上部的高度為，則雕像下部的高度為，由題意得，，∴，∴，解得或，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，∴該雕像上部的高度約為，故選C．10．C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．設剪得正方形紙條是第張，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到，從而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形對應邊成比例是解題關(guān)鍵．【詳解】解：字母標注如圖，由題意可知，，，，設剪得正方形紙條是第張，，，，，解得：，即剪得正方形紙條是第張，故選：C．

11．．【詳解】解：=；故答案為．點睛：此題考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的運算法則：乘法法則是本題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)翅膀兩端B，C兩點的坐標分別為，建立平面直角坐標系求解即可．【詳解】解：由題意得蝴蝶“尾部”點A的坐標為．故答案案為：．【點睛】本題考查了平面直角坐標系的應用，根據(jù)題意建立坐標系是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)據(jù)停車區(qū)域面積之和為拼起來矩形的面積，列出一元二次方程，然后求解即可，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，可得，故答案為：．14．【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：首先證明，得，從而，即可得出答案．【詳解】解：，，，，，的面積為，，故答案為：．15．##【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，作，先證，求出，再證求出，進而求出，根據(jù)勾股定理求出結(jié)論即可，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．【詳解】解：作，垂足分別為F、M、N，

在中，，，，，，，，，是的中點，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，故答案為：．16．(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的運算，（1）先化簡二次根式，再加減即可；（2）先運用乘法公式進行計算，再加減即可．解題關(guān)鍵是熟記二次根式運算法則，準確應用公式進行計算．【詳解】（1）．（2）．17．(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，（1）利用配方法，即可解答；（2）利用公式法，即可解答；選擇合適的方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵?！驹斀狻浚?）解：，化為，配方，得，即直接開平方，得所以，；（2）解：由方程可得：，，，，所以所以，．18．(1)作圖見解析，點的坐標為(2)作圖見解析，點的坐標為或【分析】本題考查了圖形的變換，熟練掌握軸對稱和位似是解題的關(guān)鍵，分別根據(jù)點、、的坐標關(guān)于y軸的對稱點、、的坐標，連接各點即可得到，可直接得到點的坐標；根據(jù)位似的定義，以的相似比分別找到點、、的坐標，連接各點即可得到，同時可得點的坐標．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，∴點的坐標為．（2）解：如圖所示，即為求，∴點的坐標為或．19．(1)見解析(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程；（1）求根公式，得方程的根是，方程的根是，即可得出，即可得證；（2）解方程，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）證明：根據(jù)求根公式，得方程的根是，方程的根是

∵，∴，即．（2）解：根據(jù)材料，得方程的根與方程的根之間的關(guān)系是∵解方程，得，，∴方程的根是，20．(1)(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；（1）根據(jù)平行四邊形和平行線的性質(zhì)，證明△ADG∽△ECG，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）勾股定理求得，由（1），得．得出，證明，得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，．∴，∴∴，即

解得（2）∵，∴由（1），得．∴，即．解得．∵，∴，．∴∴，即．解得．∴．21．(1)，(2)當每件服裝降價10元或20元時，商家平均每天能盈利1200元(3)不能，理由見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，一元二次方程的根的判別式的應用．（1）根據(jù)題意直接列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意直接列出方程，解方程即可求解；（3）根據(jù)題意直接列出方程，根據(jù)方程的根的情況即可判斷．【詳解】（1）根據(jù)題意有：平均每天銷售量增加件，每件服裝盈利元，故答案為：，；（2）根據(jù)題意，得．解得，．經(jīng)檢驗，或均符合本題要求．答：當每件服裝降價10元或20元時，商家平均每天能盈利1200元（3）不能理由：根據(jù)題意，得．化簡，得．∵，∴方程沒有實數(shù)根，∴商家平均每天盈利不能達到1350元．22．鸛雀樓的高度約為【分析】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)的應用，設，則，，首先證明，得到，同理可證，得到，從而，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：設，則，，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，同理，得，∴，即，∴，解得．∴．答：鸛雀樓的高度約為．23．（1）；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，根據(jù)勾股定理可得；（2）①當點落在的延長線上時，過點作于點，交于點，得四邊形是矩形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，求出，，根據(jù)勾股定理可得的長；②連接，過點作于點，過點作于點，證明，再證明，得，，，根據(jù)勾股定理可得的長．