2022年河北省唐山市高考數學第一次模擬試卷及答案解析

第第頁2022年河北省唐山市高考數學第一次模擬試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）復數z在復平面內對應的點為（﹣1，2），則5zA．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．2+i2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣4＜x＜4}，則A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜1}3．（5分）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側面積的比值為（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．2：34．（5分）已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點A（﹣1，3）在角α的終邊上，則sin2α＝（）A．310 B．35 C．-35．（5分）已知向量a→=(2，1)，|b→|=10，A．45° B．60° C．120° D．135°6．（5分）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，A為雙曲線C上一點，直線AF⊥x軸，與雙曲線C的一條漸近線交于A．41515 B．233 7．（5分）已知函數f（x）＝x3+ax2+x+b的圖象關于點（1，0）對稱，則b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱BB1的中點，平面A1DM將該正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2（V1＜V2），則V1A．519 B．13 C．717二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）有一組互不相等的數組成的樣本數據x1，x2，…，x9，其平均數為a（a≠xi，i＝1，2，…，9），若插入一個數a，得到一組新的數據，則（）A．兩組樣本數據的平均數相同 B．兩組樣本數據的中位數相同 C．兩組樣本數據的方差相同 D．兩組樣本數據的極差相同（多選）10．（5分）設函數f(x)=2sin(3x-πA．f（x）在[-π9B．f（x）在[0，2π]內有6個極值點 C．f（x）的圖象關于直線x=-π12D．將y＝2sin3x的圖象向右平移π4個單位，可得y＝f（x（多選）11．（5分）已知直線l：x＝ty+4與拋物線C：y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則（）A．y1?y2為定值 B．k1?k2為定值 C．y1+y2為定值 D．k1+k2+t為定值（多選）12．（5分）已知a＞1，x1，x2，x3為函數f（x）＝ax﹣x2的零點，x1＜x2＜x3，下列結論中正確的是（）A．x1＞﹣1 B．x1+x2＜0 C．若2x2＝x1+x3，則x3D．a的取值范圍是(1，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）設函數f（x）=x2+1，x≤0lgx，x＞0，若f（a）＝0，則14．（5分）記Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和，若a3＝S5，a1a4＝a5，則an＝．15．（5分）為了監(jiān)控某種食品的生產包裝過程，檢驗員每天從生產線上隨機抽取k（k∈N*）包食品，并測量其質量（單位：g）．根據長期的生產經驗，這條生產線正常狀態(tài)下每包食品質量服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．假設生產狀態(tài)正常，記ξ表示每天抽取的k包食品中其質量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包數，若ξ的數學期望E（ξ）＞0.05，則k的最小值為．附：若隨機變量Y服從正態(tài)分布N（μ，σ2）則P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．16．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）是圓C：（x﹣1）2+y2＝3上的動點，當|PA|?|PB|最大時，x0＝；|PA|+|PB|的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知數列{an}的各項均不為零，Sn為其前n項和，且anan+1＝2Sn﹣1．（1）證明：an+2﹣an＝2；（2）若a1＝﹣1，數列{bn}為等比數列，b1＝a1，b2＝a3.求數列{anbn}的前2022項和T2022．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知∠BAC＝60°，a=23（1）若C＝45°，求b；（2）若D為BC的中點，且AD=5，求△ABC19．（12分）甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制，根據以往數據，在決勝局（在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽）中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為0.5；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4．（1）若采用五局三勝制，直到比賽結束，共進行了ξ局比賽，求隨機變量ξ的分布列，并指出進行幾局比賽的可能性最大；（2）如果你是甲隊的領隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？20．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D為BC的中點，E為棱AA1上一點，AD⊥DC1．（1）求證：BC⊥平面A1AD；（2）若二面角A1﹣DE﹣C1的大小為30°，求直線CE與平面C1DE所成角的正弦值．21．（12分）已知函數f(x)=e（1）討論f（x）的單調性；（2）證明：f(x)≥x22．（12分）已知橢圓C：x2a2+（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點為A1，A2，不與坐標軸垂直且不過原點的直線l與C交于M，N兩點（異于A1，A2），點M關于原點O的對稱點為點P，直線A1P與直線A2N交于點Q，直線OQ與直線l交于點R．證明：點R在定直線上．

2022年河北省唐山市高考數學第一次模擬試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）復數z在復平面內對應的點為（﹣1，2），則5zA．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．2+i【解答】解：∵復數z在復平面內對應的點為（﹣1，2），∴5z=5故選：B．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣4＜x＜4}，則A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜1}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|﹣4＜x＜4}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．故選：C．3．（5分）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側面積的比值為（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．2：3【解答】解：設圓柱的底面直徑和高都為2R，故球的表面積為S球圓柱的側面積為S側故S球：S側＝1：1．故選：A．4．（5分）已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點A（﹣1，3）在角α的終邊上，則sin2α＝（）A．310 B．35 C．-3【解答】解：∵點A（﹣1，3）在角α的終邊上，∴|OA|=(-1則sinα=310=3∴sin2α＝2sinαcosα＝2×3故選：D．5．（5分）已知向量a→=(2，1)，|b→|=10，A．45° B．60° C．120° D．135°【解答】解：根據題意，設a→與b→的夾角為向量a→=(2，1)，則|a→又由|a→-b→|=5，則a→2﹣2a→?b→又由0°≤θ≤180°，則θ＝135°，故選：D．6．（5分）已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，A為雙曲線C上一點，直線AF⊥x軸，與雙曲線C的一條漸近線交于A．41515 B．233 【解答】解：由題意得F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y=±b由雙曲線的對稱性，不妨設A，B均為第一象限點，當x＝c時，c2a2-y當x＝c時，y=bca，所以因為|AB|＝|AF|，所以|BF|＝2|AF|，所以bca=2b2所以a=c所以雙曲線的離心率為e=c故選：B．7．（5分）已知函數f（x）＝x3+ax2+x+b的圖象關于點（1，0）對稱，則b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：由函數f（x）＝x3+ax2+x+b的圖象關于點（1，0）對稱，可得f（1+x）+f（1﹣x）＝0，即（1+x）3+a（1+x）2+（1+x）+b+（1﹣x）3+a（1﹣x）2+（1﹣x）+b＝0，即1+3x+3x2+x3+a+ax2+2ax+1+x+b+1﹣3x+3x2﹣x3+a+ax2﹣2ax+1﹣x+b＝0，化為（6+2a）x2+（4+2a+2b）＝0，可得6+2a＝0，且4+2a+2b＝0，解得a＝﹣3，b＝1，故選：C．8．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱BB1的中點，平面A1DM將該正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2（V1＜V2），則V1A．519 B．13 C．717【解答】解：如圖，取BC的中點N，連接MN，ND，B1C，因為M為棱BB1的中點，所以MN∥B1C，MN=1因為A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以B1C∥A1D，B1C＝A1D，所以MN∥A1D，MN=1所以梯形MNDA1為平面A1DM所在的截面，則V1為三棱臺BMN﹣AA1D的體積，不妨設正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，因為S△BMN所以V=1所以V2所以V1故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）有一組互不相等的數組成的樣本數據x1，x2，…，x9，其平均數為a（a≠xi，i＝1，2，…，9），若插入一個數a，得到一組新的數據，則（）A．兩組樣本數據的平均數相同 B．兩組樣本數據的中位數相同 C．兩組樣本數據的方差相同 D．兩組樣本數據的極差相同【解答】解：對于A，新數據的平均數為110(9a+a)=a，與原數據的平均數相等，故對于B，不妨設x1＜x2＜???＜x9，則原數據的中位數為x5，若a＜x5，則中位數為12若a＞x5，則中位數為12(x對于C，新數據的方差為s2=110[(x1對于D，不妨設x1＜x2＜???＜x9，則x1＜a＜x9，故新數據的極差也為x9﹣x1，故D正確．故選：AD．（多選）10．（5分）設函數f(x)=2sin(3x-πA．f（x）在[-π9B．f（x）在[0，2π]內有6個極值點 C．f（x）的圖象關于直線x=-π12D．將y＝2sin3x的圖象向右平移π4個單位，可得y＝f（x【解答】解：對于函數f(x)=2sin(3x-π在[-π9，π9]上，3x-π4∈﹣[7π12在[0，2π]內，3x-π4∈[-π4，23π6]，函數f令x=-π12，可得f（x）＝﹣2，為最小值，可得f（x）的圖象關于直線x=-π將y＝2sin3x的圖象向右平移π4個單位，可得y＝2sin（3x-3π4故選：BC．（多選）11．（5分）已知直線l：x＝ty+4與拋物線C：y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別記為k1，k2，則（）A．y1?y2為定值 B．k1?k2為定值 C．y1+y2為定值 D．k1+k2+t為定值【解答】解：由x=ty+4y2=4x可得，y2由韋達定理可得，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣16，對于A，y1y2＝﹣16為定值，即可求解，對于B，k1k2對于C，y1+y2＝4t，不為定值，故C錯誤，對于D，k1+k2+t=y1x則k1+k2+t為定值，故D正確．故選：ABD．（多選）12．（5分）已知a＞1，x1，x2，x3為函數f（x）＝ax﹣x2的零點，x1＜x2＜x3，下列結論中正確的是（）A．x1＞﹣1 B．x1+x2＜0 C．若2x2＝x1+x3，則x3D．a的取值范圍是(1，【解答】解：∵a＞1，f(?1)=a∴﹣1＜x1＜0，故A正確；當0≤x≤1時，1≤ax≤a，0≤x2≤1，f（x）必無零點，故x2＞1，∴x1+x2＞0，故B錯誤；當2x2＝x1+x3時，即ax1=所以4log聯(lián)立方程x22=-由于x2＞0，x3＞0，x3x2考慮f（x）在第一象限有兩個零點：即方?ax＝x2有兩個不同的解，兩邊取自然對數得xlna＝2lnx有兩個不同的解，設函數g(x)=xlna-2lnx，g′(x)=lna-2則x=x0=2lna當x＞x0時，g′（x）＞0，當x＜x0時，g（x）＜0，所以gmin要使得g（x）有兩個零點，則必須g（x0）＜0，即ln(2解得a＜e2e故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）設函數f（x）=x2+1，x≤0lgx，x＞0，若f（a）＝0，則【解答】解：∵函數f（x）=x當a≤0時，則a2+1＝0，方程無解，故a＞0，則f（a）＝lga＝0，解得a＝1，故答案為：1．14．（5分）記Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和，若a3＝S5，a1a4＝a5，則an＝3﹣n．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，∵a3＝S5，a1a4＝a5，∴a1+2d＝5a1+5×42d，a1（a1+3d）＝a1+4解得a1＝2，d＝﹣1，則an＝2﹣（n﹣1）＝3﹣n，故答案為：3﹣n．15．（5分）為了監(jiān)控某種食品的生產包裝過程，檢驗員每天從生產線上隨機抽取k（k∈N*）包食品，并測量其質量（單位：g）．根據長期的生產經驗，這條生產線正常狀態(tài)下每包食品質量服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．假設生產狀態(tài)正常，記ξ表示每天抽取的k包食品中其質量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包數，若ξ的數學期望E（ξ）＞0.05，則k的最小值為19．附：若隨機變量Y服從正態(tài)分布N（μ，σ2）則P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：由已知可得X～N（μ，σ2），P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973，每天從生產線上隨機抽取k（k∈N*）包食品中其質量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包數為ξ，而每天抽取的k包食品中其質量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率為1﹣0.9973＝0.0027，所以ξ～B（k，0.0027），故E（ξ）＝k×0.0027＞0.05，解得k≥19，即k的最小值為19．故答案為：19．16．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）是圓C：（x﹣1）2+y2＝3上的動點，當|PA|?|PB|最大時，x0＝1；|PA|+|PB|的最大值為42【解答】解：∵P（x0，y0）是圓C：（x﹣1）2+y2＝3上的動點，∴(x0-1)2+y|PA|?|PB|=[(當且僅當1+x0＝3﹣x0，即x0＝1時，|PA|?|PB|取得最大值，∵|PA|2＝6+6x0，|PB|2＝6﹣2x0，∴|PA|2+3|PB|2＝24，設|PA|=26cosθ，|PB|=22∴|PA|+|PB|=26cosθ+22∵0＜θ＜π∴π3＜θ+π3＜5π6，當θ+π3此時|PA|2＝6+6x0=24cos2π6故答案為：1；42四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知數列{an}的各項均不為零，Sn為其前n項和，且anan+1＝2Sn﹣1．（1）證明：an+2﹣an＝2；（2）若a1＝﹣1，數列{bn}為等比數列，b1＝a1，b2＝a3.求數列{anbn}的前2022項和T2022．【解答】（1）證明：因為anan+1＝2Sn﹣1①所以an+1an+2＝2Sn+1﹣1②②﹣①得an+1（an+2﹣an）＝2an+1，因為an+1≠0，所以an+2﹣an＝2．（2）解：由a1＝﹣1得a3＝1，于是b2＝a3＝1，由b1＝﹣1得{bn}的公比q＝﹣1．所以bn=(-1)由a1a2＝2a1﹣1得a2＝3，由an+2﹣an＝2得a2022﹣a2021＝a2020﹣a2019＝???＝a2﹣a1＝4，因此T2022＝﹣a1+a2﹣a3+a4???﹣a2021+a2022＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+???+（a2022﹣a2021）＝1011×（a2﹣a1）＝1011×4＝4044．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知∠BAC＝60°，a=23（1）若C＝45°，求b；（2）若D為BC的中點，且AD=5，求△ABC【解答】解：（1）因為C＝45°，所以sinB＝sin（∠BAC+C）＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=22（32在△ABC中，由正弦定理得，asin∠BAC所以b=asinB（2）在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，所以12＝b2+c2﹣2bc?12，即b2+c2﹣bc＝12①因為D為BC的中點，所以BD=CD=3在△ABD中，由余弦定理得，cos∠ADB=B在△ACD中，由余弦定理得，cos∠ADC=C由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，得b2+c2＝16②，聯(lián)立①②可得，bc＝4，所以△ABC的面積S=12bcsin∠BAC=119．（12分）甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制，根據以往數據，在決勝局（在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽）中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為0.5；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4．（1）若采用五局三勝制，直到比賽結束，共進行了ξ局比賽，求隨機變量ξ的分布列，并指出進行幾局比賽的可能性最大；（2）如果你是甲隊的領隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？【解答】解：（1）ξ的所有可能取值為3，4，5，P（ξ＝3）＝（0.6）3+（0.4）3＝0.28，P（ξ＝4）=CP（ξ＝5）=C故ξ的分布列為：ξ345P0.280.37440.3456∵0.3744＞0.3456＞0.28，∴進行4局比賽的可能性最大．（2）采用三局兩勝時，甲獲勝概率P1=(0.6)采用五局三勝時，甲獲勝概率P2＝（0.6）3+(C∵P2＞P1，∴如果我是甲隊領隊，采用五局三勝制．20．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D為BC的中點，E為棱AA1上一點，AD⊥DC1．（1）求證：BC⊥平面A1AD；（2）若二面角A1﹣DE﹣C1的大小為30°，求直線CE與平面C1DE所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AD?底面ABC，則CC1⊥AD；又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1?平面BCC1B1，DC1?平面BCC1B1，于是AD⊥平面BCC1B1，又BC?平面BCC1B1，故AD⊥BC．由直三棱柱知AA1⊥底面ABC，BC?底面ABC，則AA1⊥BC，又因為AD∩AA1＝A，AD?平面A1AD，AA1?平面A1AD，故BC⊥平面A1AD．（2）由（1）知AD⊥BC，又D為BC中點，故AB＝AC．以D為坐標原點，DC→的方向為x軸正方向，DA→的方向為y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣則D（0，0，0），C（1，0，0），B（﹣1，0，0），A(0，3，0)，C設AE＝t（0≤t≤2），則E(0，3由（1）知平面A1DE的法向量可取BC