人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修三）同步講義第16講 7.5 正態(tài)分布（教師版）

第08講7.5正態(tài)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過誤差模型初步了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。②并能通過具體的實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀性，了解正態(tài)分布的特征，了解正態(tài)密度函數(shù)的性質(zhì)。③了解正態(tài)分布的均值、方差及含義。④了解3δ原則，能通過具體的實(shí)例求會(huì)求指定區(qū)間的概率，以及解決簡(jiǎn)單的正態(tài)分布問題.。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求在了解正態(tài)分布的含義基礎(chǔ)上，能解決與正態(tài)分布相關(guān)的問題，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，增減性，求特定區(qū)間的概率，相應(yīng)的參數(shù)及解決簡(jiǎn)單的正態(tài)分布的應(yīng)用問題。知識(shí)點(diǎn)1：正態(tài)曲線（1）連續(xù)型隨機(jī)變量除了離散型隨機(jī)變量外，還有大量問題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.（2）正態(tài)的曲線的定義函數(shù)fx=1σ2π顯然對(duì)于任意x∈R，fx>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱①函數(shù)的自變量為x,定義域?yàn)镽②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)π和e,這兩個(gè)是無理數(shù)，其中π為圓周率，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)③解析式中含兩個(gè)參數(shù)μ和σ,其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ>0,不同的正態(tài)曲線μ和σ的取值是不同的.④解析式的前面是一個(gè)系數(shù)1σ2π，后面是一個(gè)以e為底的指數(shù)函數(shù)的形式,指數(shù)為?(x?（3）正態(tài)曲線的幾何意義由正態(tài)曲線，過點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)的兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形（圖中陰影部分）的面積，就是X落在區(qū)間[a,b]的概率的近似值.（4）正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；③曲線在x=μ時(shí)達(dá)到峰值1σ④當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近.⑤曲線與x軸之間的面積為1；⑥μ決定曲線的位置和對(duì)稱性；當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定；如下圖所示，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移。⑦σ確定曲線的形狀；當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定。σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。知識(shí)點(diǎn)2：正態(tài)分布（1）正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fx=1σ2πe?(x?μ)22σ2【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X～N4,σ2，若PX>m=0.8A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【詳解】由題意知，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x=4，m與8?m關(guān)于x=4對(duì)稱，所以PX<8?m所以PX>8?m故選：A．（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布若隨機(jī)變量X～N(μ,σ2),則當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X【即學(xué)即練2】（2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？计谀┌Ⅵ紊蠈W(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．P(X>30)+P【答案】D【詳解】觀察圖象知，X~N30,對(duì)于A，Y的密度曲線瘦高、X的密度曲線矮胖，即隨機(jī)變量Y的標(biāo)準(zhǔn)差小于X的標(biāo)準(zhǔn)差，即σ1因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對(duì)于B，顯然P(X≤34)>1對(duì)于C，顯然P(X≤38)<P(Y≤38)，則當(dāng)有38min可用時(shí)，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對(duì)于D，顯然P(X>30)=12,P(Y≤30)<P(Y<34)=故選：D知識(shí)點(diǎn)3：正態(tài)分布的3σ原則：正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值假設(shè)X～N(μ?，?σ2)，可以證明：對(duì)給定的k∈特別地，P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.上述結(jié)果可用右圖表示.此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞)，但在一次試驗(yàn)中，X在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ?3σ,μ+3σ]【即學(xué)即練3】（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某市高三年級(jí)男生的身高X（單位：SKIPIF1<0）近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于SKIPIF1<0內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（

）參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.997．A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480【答案】A【詳解】由題意可知，μ=171，σ=4，所以SKIPIF1<0．故選：A題型01正態(tài)密度函數(shù)【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究?應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全，農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：SKIPIF1<0）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為fx=1102πe?(x?100)2200，xA．該地水稻的平均株高為100B．該地水稻株高的方差為100C．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在90,100和在SKIPIF1<0（單位：cm）的概率一樣大【答案】C【詳解】依題意μ=100,σ=10，所以平均數(shù)為100cm，方差為σ依題意PX≥100+20而PX≤80>PX≤70P100?10<X<100故選：C【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)f(x）=1102πA．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10【答案】B【詳解】∵密度函數(shù)f(x）=1∴該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線x=80對(duì)稱，且50與110也關(guān)于直線x=80對(duì)稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，若一個(gè)隨機(jī)變量X服從某正態(tài)分布X~Nμ,σ2，且已知函數(shù)fx=1σ【答案】51【詳解】由圖可知，當(dāng)x=5時(shí)，fx=1所以μ=5,σ=1，所以X~N5,1，所以EX=μ=5故答案為:5;1.【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【答案】B【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，σ的意義，結(jié)合圖象可知f2x，f3且都在f1x的右側(cè)，即比較f1x和f2又f3x的離散程度比f1x和故選：B【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,p，那么當(dāng)n比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其密度函數(shù)φμ,σx=12πσe?x?μ22σ2，x∈A．tB．當(dāng)x>0時(shí)，PC．隨機(jī)變量X～Nμ,σ2，當(dāng)μ減小，σD．隨機(jī)變量X～Nμ,σ2，當(dāng)μ，σ【答案】AC【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：t(?x)=P(Z<?x)=P(Z≥x)=1?P(Z<x)=1?t(x)，故A正確；對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，tx對(duì)于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中σ代表標(biāo)準(zhǔn)差，μ代表均值,x=μ即為圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)3σ原則可知X數(shù)值分布在μ?σ,μ+σ中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由P(|X?μ|<σ)=P(μ?σ<X<μ+σ)可知，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC【變式3】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其密度函數(shù)SKIPIF1<0的曲線如圖所示，若從中隨機(jī)取一件，則下列結(jié)論正確的是（

）．（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，A．σ=3B．長(zhǎng)度誤差落在(?3,3)內(nèi)的概率為0.6826C．長(zhǎng)度誤差落在(3,6)內(nèi)的概率為0.1359D．長(zhǎng)度誤差落在(3,9)內(nèi)的概率為0.1599【答案】ABC【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得σ=3，A選項(xiàng)正確；又由圖像可知μ=0，則長(zhǎng)度誤差落在(?3,3)內(nèi)的概率為P?3<X<3長(zhǎng)度誤差落在(3,6)內(nèi)的概率為P3<X<6=12[P(?6<X<6)?P(?3<X<3)]=1長(zhǎng)度誤差落在(3,9)內(nèi)的概率為P3<X<9故選：ABC.題型02概率分布曲線的認(rèn)識(shí)【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，ξ的分布密度曲線如圖所示，若P(ξ<0)=p，則P(0<ξ<1)與SKIPIF1<0分別為（

）A．12?p,12 B．p,【答案】C【詳解】根據(jù)題意，且P(ξ<0)=p，則P(0<ξ<1)=1?2p由正態(tài)曲線得ξ~N1,12故選：C．【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φix=12πσiA．μ1=μ3>μC．μ1=μ3>μ【答案】C【詳解】由題圖中y=φixy=φ1x與y=所以σ1故選：C【典例3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布Nμ1,σ1（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為f(x)=12π?σA．甲類水果的平均質(zhì)量μB．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ【答案】A【詳解】由題圖可知甲圖象關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱，所以μ1=0.4，μ2因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”（曲線越“高瘦”，σ越小，表示總體的分布越集中），所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于均值左右，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橐覉D象的最高點(diǎn)為(0.8,1.99)，即12π?σ故選：A．【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，X~Nμ1,62,Y~NμA．D(X)=6 B．SKIPIF1<0C．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【答案】C【詳解】對(duì)于A中，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X~Nμ可得隨機(jī)變量X的方差為σ2=62，即SKIPIF1<0，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機(jī)變量μ1所以μ1對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得X≤38時(shí)，隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)的曲線與x圍成的面積小于Y≤38時(shí)隨機(jī)變量Y對(duì)應(yīng)的曲線與x圍成的面積，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正確；對(duì)于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)X~Nμ1,σ1A．SKIPIF1<0 B．σ1>σ2C．PY≥μ【答案】D【詳解】因?yàn)閄~Nμ1,σ1所以由圖可知，μ1因?yàn)閄的分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，所以σ1所以PY≥μ2所以C錯(cuò)誤，D正確，故選：D【變式3】（多選）（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～Nμ

A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性【答案】AC【詳解】X，Y均服從正態(tài)分布，X～結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，可得μ1=μ故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯(cuò)誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC題型03標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用【典例1】（2023下·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）我省高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)，如果某次高考模擬考試物理科目的原始成績(jī)X～N(50,256)，那么附：①若X～N(μ,σ2)，Y=②當(dāng)Y～N(0,1)時(shí)，P(Y≤1.5)≈0.9.A．23 B．29 C．26 D．43【答案】C【詳解】由題意知：從低到高，即E到D等級(jí)人數(shù)所占比例為10%，若D等級(jí)的原始分最高為X，則P(Y≤X?5016)=0.1所以P(Y≤X?5016)=1?P(Y≤1.5)所以P(Y≤X?5016)=P(Y≤?1.5)，即X?50故選：C【典例2】（多選）（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N0,1，定義函數(shù)fx為X取值不超過x的概率，即fx=PX≤xA．f?x=1?fC．fx在0,+∞上是減函數(shù) D．【答案】AD【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N0,1所以f?xf2x=PX≤2x,2fx所以f2x因?yàn)閤>0，所以當(dāng)x增大時(shí)，fxP=1?21?f(x)故選：AD.【典例3】（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2020年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)．為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若X~Nμ,σ2，令Y=X?μσ，則Y~N（ⅰ）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求PX≤10（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過10小時(shí)的人數(shù)，求PZ≥1（結(jié)果精確到0.001）以及Z參考數(shù)據(jù)：1.64≈1.28，0.773420≈0.0059．若【答案】（1）9，1.64；（2）（?。?.7734，（ⅱ）0.994，4.532.【詳解】解：（1）x=6×0.02+7×0.1+8×0.2+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9s2（2）（?。┯深}知SKIPIF1<0，σ2=1.64，所以X~N9,1.64，σ=1.64≈1.28所以PX≤10（ⅱ）由（ⅰ）知PX>10=1?PX≤10PZ≥1故Z的數(shù)學(xué)期望EZ【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：2020年高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B+，B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91,100，[81,90]，71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)，如果山東省某次高考模擬考試物理科目的原始成績(jī)X～N50,256，那么D等級(jí)的原始分最高大約為（

附：①若X～SKIPIF1<0，Y=X?μσ，則Y～N0,1；②當(dāng)Y～N0,1時(shí)，PY≤1.3A．23 B．29 C．36 D．43【答案】B【詳解】由題意知：X～N50,256則有μ=50，設(shè)D等級(jí)的原始分最高大約為x，對(duì)應(yīng)的等級(jí)分為40，而P(等級(jí)分≥40)∴有P(原始分SKIPIF1<0x?5016)=0.9而PY≤1.3≈0.9∴有x?5016=?1.3故選：B【變式2】（多選）（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量ξ~N0,1，Φx=Pξ≤x，其中A．Φ?x=1?ΦC．Pξ≤x【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知Pξ≤?x所以，Φ?x對(duì)于B選項(xiàng)，Φ2x對(duì)于C選項(xiàng)，P=Φx對(duì)于D選項(xiàng)，Pξ故選：ACD.【變式3】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X~N(0，1)，fx=PX≤x，其中xA．f(-x)=1-f(x) B．fC．f(x)在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù) D．P【答案】ACD【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N0,1，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)于A，因?yàn)閒x=PX≤x，所以f對(duì)于B，當(dāng)x=1時(shí)，f1=PX≤1>0.5,2f1對(duì)于C，結(jié)合正態(tài)曲線，易得fx在0,+∞上是單調(diào)增函數(shù)，故C對(duì)于D,PX≤x=P故選：ACD題型04特殊區(qū)間的概率【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)后，每天小籠包的銷售量SKIPIF1<0（單位：個(gè)），估計(jì)300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個(gè)的天數(shù)大約是（

）（若隨機(jī)變量X～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【詳解】由題可知，μ=1000，σ=50，P950≤X≤1100=Pμ?σ≤X≤μ+2σ故選：B．【典例2】（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N25,0.16，其中X∈24.6,26.2參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2，則P【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X～N25,0.16，則μ=25,σ=0.4所以P=0.6827即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84，故答案為：0.84【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司定期對(duì)流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N15,9，其中X∈6,18參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.84/21【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X～N(15,9)，則μ=15,σ=3，所以P(6≤X≤18)=P(15?3≤X≤15+3×3)=P(μ?σ≤X≤μ+3σ)=P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=1P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=1所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，所以P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，即P(6≤X≤18)=0.84.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84.故答案為：0.84.【變式1】（多選）（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N100,102，則下列選項(xiàng)正確的是（參考數(shù)值：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布NPμ?σ≤ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤ξ≤μ+2σA．EX=100C．PX≥90≈0.84135【答案】AC【詳解】∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N100,1正態(tài)曲線關(guān)于直線X=100對(duì)稱，且EX=100，根據(jù)題意可得，P90≤X≤110≈0.6827，∴PX≥90X≤120與SKIPIF1<0不關(guān)于直線X=100對(duì)稱，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【變式2】（2024·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，用樣本平均數(shù)x和標(biāo)準(zhǔn)差S分別作為μ、σ的近似值，其中樣本標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為50，現(xiàn)任取一輛汽車，則它的單次最大續(xù)航里程X（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.8186【詳解】X+405×0.001×50=300，故X～N300,50=1?1故答案為：0.8186【變式3】（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┠呈薪y(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值xi(i=1,2,3,?,100)，經(jīng)計(jì)算i=1100xi=7200，參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】97.7%【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x方差s2所以μ的估計(jì)值為μ=72，σ的估計(jì)值為σ=6．設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X，由P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，得P(72?12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.9545，P所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.9545+1故答案為：97.7%.題型05指定區(qū)間的概率【典例1】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X（單位：小時(shí)），且X～N5.5,σ2，SKIPIF1<0．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（

A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【詳解】由題意得P(x>5.5)=0.5，則P(5.5<x<6)=0.5?0.2=0.3，則P(5<x<6)=0.3×2=0.6，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為C3故選：B.【典例2】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）己知隨機(jī)變量X～N3,σ2,PX≤1A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【詳解】由X～N3,σ2，P故P1≤X≤5故選：C.【典例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1,σ2σ>0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】0.4/2【詳解】由SKIPIF1<0可得PX<0=1?0.9=0.1，則PX>2=PX<0所以P1<X<2故答案為：0.4.【變式1】（2024上·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量X～N10,σ2，且P(X<11)=0.7，則P(10≤X<11)=A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【詳解】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得P(10≤X<11)=P(X<11)?P(X<10)=0.7?0.5=0.2故選：B.【變式2】（多選）（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）某市對(duì)歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X~N3.5,0.25，則下列結(jié)論正確的是（

A．該正態(tài)分布的均值為3.5 B．PC．P4<X≤4.5≥【答案】AB【詳解】因?yàn)閄~N3.5,0.25對(duì)于A選項(xiàng)，該正態(tài)分布的均值為μ=3.5，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，PX>3.5對(duì)于C選項(xiàng)，P4<X≤4.5對(duì)于D選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，PX≤3故選：AB.【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N8,σ2，且PX<5【答案】0.2【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N8,σ2又由PX<5=0.3，則所以P8≤X≤11故答案為：0.2題型06正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X～N10,4，現(xiàn)在抽取10000件進(jìn)行檢查，則直徑在12,14之間的零件大約有（注：P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ?3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974）【答案】1359【詳解】∵X滿足正態(tài)分布X～P(6<X≤14)≈0.9544,∴∴直徑在12,14之間的零件大約有1359件.故答案為：1359【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2023年國(guó)家公務(wù)員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)和申論兩科，滿分均為100分，行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)中，考生成績(jī)X服從正態(tài)分N80,σ2．若P【答案】36125/【詳解】由正態(tài)分布可得：考生的成績(jī)高于85的概率PX>85所以恰有2名考生的成績(jī)高于85的概率P=C故答案為：36125【典例3】（2024上·全國(guó)·高三期末）據(jù)相關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查表明我國(guó)中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項(xiàng)身體指標(biāo)（如肺活量?柔?度?力量?速度?耐力等）自2000年起呈下降趨勢(shì)，并且下降趨勢(shì)明顯，在國(guó)家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量?柔?度?力量?速度?而力等多項(xiàng)指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖?近視等問題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，學(xué)校在一次百米短跑測(cè)試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績(jī)（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）.

(1)估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績(jī)X～Nμ,σ2，其中μ近似為女生短跑平均成績(jī)x,σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s附參考數(shù)據(jù)：5.79≈2.41，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ【答案】(1)16.16(2)0.073【詳解】（1）估計(jì)樣本中女生短跑成績(jī)的平均數(shù)為：11×0.04+13×0.12+15×0.36+17×0.28+19×0.12+21×0.06+23×0.02=16.16.（2）由題意知X～則μ?2σ=11.34,μ+2σ=20.98，故該校女生短跑成績(jī)?cè)?1.34,20.98內(nèi)的概率p=P(μ?2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，由題意可得Y～所以PY=9PY=10所以PY≤8【變式1】（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)活動(dòng)，高一年級(jí)測(cè)評(píng)分值X近似服從正態(tài)分布N(72,25).為了調(diào)查參加測(cè)評(píng)的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段67,n內(nèi)抽取學(xué)生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.則該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段67,n內(nèi)的人數(shù)為人（附：P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）【答案】11【詳解】因?yàn)镻(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545?∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，由已知，該班在[67,82)內(nèi)抽取了11人，他們的分?jǐn)?shù)為68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案為：11.【變式2】（2024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費(fèi)為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為0.25%，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為X.(1)求EX(2)二項(xiàng)分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問題，我們知道若X～Bn,p，則DX=np1?p，當(dāng)n較大且SKIPIF1<0較小時(shí)，我們?yōu)榱撕?jiǎn)化計(jì)算，常用EX的值估算D請(qǐng)根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)為50~100萬元的概率；②該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2【答案】(1)EX(2)①0.683；②0.0015【詳解】（1）由題可知X～則EX記該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)為變量Y，則Y=200?5X，所以EY（2）因?yàn)閄～Bn,p，當(dāng)n較大且SKIPIF1<0較小時(shí)，EX=25，則DX=25由于n較大，X～Nμ,σ2若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)Y=200?5X∈50,100，則XPY=200?5X若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)Y=200?5X<0，則X>40，P(Y=200?5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)=1?0.997答：（1）EX（2）①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)為50～②虧損的概率為0.0015.【變式3】（2024上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校考階段練習(xí)）紅松樹分布在我國(guó)東北的小興安嶺到長(zhǎng)白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長(zhǎng)了4年的紅松樹的生長(zhǎng)狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，并測(cè)量了它們的樹干直徑xiSKIPIF1<0123456789101112x28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計(jì)算得：i=112(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值μ與樣本方差s2(2)假設(shè)生長(zhǎng)了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.記事件A：在森林公園內(nèi)再從中隨機(jī)選取12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間[22,38].①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求PA②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長(zhǎng)了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布N30,82.在這個(gè)條件下，求參考公式：若Y～則PY?μ參考數(shù)據(jù)：0.6827【答案】(1)μ=30，s2(2)①PA≈0.57；②【詳解】（1）樣本均值μ=1樣本方差s=112×10992?2×30×360+12×302（2）①由題意可得，樹干直徑Y(jié)（單位：cm)近似服從正態(tài)分布N在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間22,38的概率是0.9545，所以PA②若樹干直徑Y(jié)近似服從正態(tài)分布N30,在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間22,38的概率是0.6827，則PA此時(shí)事件A發(fā)生的概率遠(yuǎn)小于①中根據(jù)測(cè)量結(jié)果得出的概率估計(jì)值.事件A是一個(gè)小概率事件，但是第一次隨機(jī)選取的12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，事件A發(fā)生了，所以認(rèn)為護(hù)林員給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的.題型073δ原則【典例1】（2024下·全國(guó)·高三期末）某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).(1)若甲第一關(guān)通過的概率為SKIPIF1<0，第二關(guān)通過的概率為56，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量Z～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)70(2)①能，理由見解析②假【詳解】（1）設(shè)Ai：第i次通過第一關(guān)，Bi：第i次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P=PSKIPIF1<0.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X～Nμ,σ2.①由題意可知μ=171，因?yàn)?72500=0.0228，且SKIPIF1<0所以μ+2σ=351，則σ=351?1712=90且SKIPIF1<0，所以前400名參賽者的最低得分高于μ+σ=261，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)；②假設(shè)乙所說為真，則μ=201，PX≥μ+2σ而572500=0.0228，所以σ=351?201而PX≥μ+3σ所以X≥μ+3σ為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假.【典例2】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的UEG地球聯(lián)合政府機(jī)械設(shè)備，均出自中國(guó)工程機(jī)械領(lǐng)導(dǎo)者品牌—徐工集團(tuán).電影中有很多硬核的裝備，其實(shí)并不是特效，而是用國(guó)產(chǎn)尖端裝備設(shè)計(jì)改造出來的，許多的裝備都能在現(xiàn)實(shí)中尋找到原型.現(xiàn)集團(tuán)某車間新研發(fā)了一臺(tái)設(shè)備，集團(tuán)對(duì)新設(shè)備的具體要求是：零件內(nèi)徑（單位：mm）在199.82,200.18范圍之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為次品；零件內(nèi)徑X滿足正態(tài)分布X～N200,0.0036(1)若該車間對(duì)新設(shè)備安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑（單位：mm）分別為：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，試根據(jù)3σ原則判斷這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？并說明你的理由．(2)若該設(shè)備符合集團(tuán)的生產(chǎn)要求，現(xiàn)對(duì)該設(shè)備生產(chǎn)的10000個(gè)零件進(jìn)行跟蹤調(diào)查．①10000個(gè)零件中大約有多少個(gè)零件的內(nèi)徑可以超過200.12mm？②10000個(gè)零件中的次品的個(gè)數(shù)最有可能是多少個(gè)？參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X~Nμ,σ2，則PPμ?3σ<X<μ+3σ≈0.997，0.997【答案】(1)這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試，理由見解析(2)①225件；②30【詳解】（1）方法1：因?yàn)閄~N200,0.0所以P200?3×0.06<X<200+3×0.06即P199.82<X<200.08所以五個(gè)零件的內(nèi)徑中恰有1個(gè)不在μ?3σ,μ+3σ的概率為C5又因?yàn)樵嚠a(chǎn)的5個(gè)零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個(gè)不在μ?3σ,μ+3σ內(nèi)，所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)3σ原則，這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試．方法2：因?yàn)镻199.82<X<200.08故至少有1個(gè)次品的概率為1?0.997又因?yàn)樵嚠a(chǎn)的5個(gè)零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個(gè)不在μ?3σ,μ+3σ內(nèi)，所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)3σ原則，這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試．（2）①因?yàn)棣?200，σ=0.06，所以PX>200.12生產(chǎn)的10000件零件中內(nèi)徑超過200.12mm的件數(shù)Y服從二項(xiàng)分布B（10000，0.0225），則EY答：大約有225件零件的內(nèi)徑可以超過200.12mm．②次品的概率為1?P198.82<X<200.12抽取10000個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)次品數(shù)為ξ，則ξ~B10000,p，其中p=0.003故Pξ=k=C則C10000即10000!k!即pk解得10001p?1≤k≤10001pk因?yàn)閜=0.003，所以10001p=30.003，10001p?1=29.003，故k=30．從而10000件零件中的次品數(shù)最可能是30．答：這10000件零件中的次品數(shù)最可能是30．【典例3】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：SKIPIF1<0），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)x和方差s2(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布Nμ,σ2，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值x作為μ的估計(jì)值μ，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為σ（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了μ?3σ,μ+3σ之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用μ和σ判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在μ?3σ,μ+3σ之外的零件個(gè)數(shù)，求PX≥1及X參考公式：直方圖的方差s2=i=1nx參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973，0.011≈0.105，【答案】(1)1；0.011(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；（ii）PX≥1≈0.0267【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得x=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1s2（2）（i）由（1）可知μ=1，σ所以μ?3σ=1?0.315=0.685顯然抽查中的零件指標(biāo)1.33>1.315，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在μ?3σ,μ+3σ之內(nèi)的概率為0.9973，所以抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在μ?3σ,μ+3σ之外的概率為1?0.9973=0.0027，故X～B10,0.0027，所以PX的數(shù)學(xué)期望EX【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司定期對(duì)流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N15,9，其中X∈6,18參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.84/21【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X～N(15,9)，則μ=15,σ=3，所以P(6≤X≤18)=P(15?3≤X≤15+3×3)=P(μ?σ≤X≤μ+3σ)=P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=1P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=1所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，所以P(μ?σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，即P(6≤X≤18)=0.84.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84.故答案為：0.84.【變式2】（2023下·福建泉州·高二?？计谥校┠耻囬g生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：SKIPIF1<0）：9797設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ．(1)求μ與σ；(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z（單位：SKIPIF1<0）服從正態(tài)分布Nμ,σ2．從這批零件中隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑小于87cm的個(gè)數(shù)為X，求E4X+3參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545【答案】(1)μ=105，σ=6(2)3.027【詳解】（1）解：μ=1σ2=1（2）解：由（1）可知，X~N105,36，則87=105?3×6=μ?3σ所以，PZ<87由題意可知，X~B5,0.00135，則E由期望的性質(zhì)可得E4X+3【變式3】（2023下·江蘇南京·高二南京外國(guó)語學(xué)校校考期中）新高考改革后江蘇省采用“SKIPIF1<0”高考模式，“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理、歷史里選一門；“2”指考生要在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門中選擇2門.(1)若按照“SKIPIF1<0”模式選科，求甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績(jī)，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試、滿分450分，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布N240,6①估計(jì)4000名學(xué)生中成績(jī)介于180分到360分之間有多少人；②某校對(duì)外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，有10名同學(xué)獲得425分以上的高分”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析上述宣傳語的可信度.附：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)60(2)①3274人；②不可信.【詳解】（1）甲乙兩個(gè)學(xué)生必選語文、數(shù)學(xué)、外語，若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門，有C21種，在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門中甲乙選擇不同的2門，則C4若另一門相同的選擇生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門中的一門，則有A2所以甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)共12+48=60種方法.（2）①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試的成績(jī)記為X，則X～由題知μ=240，σ=60，μ+2σ=240+120=360，μ?σ=240?60=180，則P180≤X≤360所以4000×0.8186=3274.4，所以估計(jì)4000名學(xué)生中成績(jī)介于180分到360分之間有3274人；②不可信.μ+3σ=240+3×60=420<425，則PX≥μ+3σ4000名學(xué)生中成績(jī)大于420分的約有4000×0.00135=5.4人，這說明4000名考生中，也會(huì)出現(xiàn)約5人的成績(jī)高于420分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，有10名同學(xué)獲得425分以上的高分”，說法錯(cuò)誤，此宣傳語不可信.題型08根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【典例1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,4，若PX>a?2=PX<6?3a，則A．?2 B．SKIPIF1<0 C．12 D．1【答案】B【詳解】由題意隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,4，即正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3因?yàn)镻X>a?2故a?2+(6?3a)2故選：B【典例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N1,4，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則b=．【答案】3【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，則2a+b=2b?a，所以b=3a=3.故答案為：3.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0,且Pξ≤0=Pξ≥a，若x+y=ax>0，y>0,則1x+2【答案】3【詳解】ξ～N1,σ2又Pξ≤0=Pξ≥a，∴則1x當(dāng)且僅當(dāng)y=2x，即故答案為：32【變式1】（2024上·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量ξ～N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，則A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【詳解】由隨機(jī)變量ξ～N1,4，所以函數(shù)曲線關(guān)于直線ξ=1又Pξ≤m=Pξ>m，且P故選：B【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，若P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，則下列結(jié)論正確的為（

）A．μ=3 B．PC．Dξ=【答案】AD【詳解】因?yàn)镻(ξ<2)=P(ξ>4)=a，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可知，μ=2+4根據(jù)對(duì)稱性可知，P3≤ξ≤4因?yàn)棣巍玁(μ,7)，所以Dξ根據(jù)對(duì)稱性可知，P2≤ξ≤3故選：AD【變式3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：SKIPIF1<0），其尺寸X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，且PX≤20=0.2，PX<26=0.8，則【答案】23【詳解】因?yàn)閄服從正態(tài)分布Nμ,σ2，且P則PX≥26所以，μ=20+26故答案為：23.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X～N4,σ2，若PX>m=0.8A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【詳解】由題意知，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x=4，m與8?m關(guān)于x=4對(duì)稱，所以PX<8?m所以PX>8?m故選：A．2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N2,σ2，且Pξ≤0=0.2，則SKIPIF1<0等于（

A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】D【詳解】因ξ服從正態(tài)分布N2,σ2，且P于是P(2<ξ≤4)=故選：D.3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某市高三年級(jí)男生的身高X（單位：SKIPIF1<0）近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于SKIPIF1<0內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（

）參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.997．A．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480【答案】A【詳解】由題意可知，μ=171，σ=4，所以SKIPIF1<0．故選：A4．（2024上·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？计谀┌Ⅵ紊蠈W(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．P(X>30)+P【答案】D【詳解】觀察圖象知，X~N30,對(duì)于A，Y的密度曲線瘦高、X的密度曲線矮胖，即隨機(jī)變量Y的標(biāo)準(zhǔn)差小于X的標(biāo)準(zhǔn)差，即σ1因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對(duì)于B，顯然P(X≤34)>1對(duì)于C，顯然P(X≤38)<P(Y≤38)，則當(dāng)有38min可用時(shí)，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對(duì)于D，顯然P(X>30)=12,P(Y≤30)<P(Y<34)=故選：D5．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）據(jù)統(tǒng)計(jì)2023年“五一”假期哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N2000,1002附：X~Nμ,σ2，SKIPIF1<0，P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545，SKIPIF1<0A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987【答案】C【詳解】依題意，μ=2000,P=1?故選：C6．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X（單位：小時(shí)），且X～N5.5,σ2，SKIPIF1<0．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（

A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【詳解】由題意得P(x>5.5)=0.5，則P(5.5<x<6)=0.5?0.2=0.3，則P(5<x<6)=0.3×2=0.6，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為C3故選：B.7．（2024上·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量ξ～N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，則A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【詳解】由隨機(jī)變量ξ～N1,4，所以函數(shù)曲線關(guān)于直線ξ=1又Pξ≤m=Pξ>m，且P故選：B8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某快遞公司的200名快遞員每人每月派送的快遞件數(shù)X服從正態(tài)分布，且X~N3000,σ2A．40 B．60 C．70 D．80【答案】A【詳解】由題意知，每月派送的快遞件數(shù)不低于4000的快遞員所占比例為60200故每月派送的快遞件數(shù)在2000,3000的快遞員所占比例為1?0.3×22故每月派送的快遞件數(shù)在2000,3000的快遞員人數(shù)為200×0.2=40人．故選：A.二、多選題9．（2024上·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）某市對(duì)歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X~N3.5,0.25，則下列結(jié)論正確的是（

A．該正態(tài)分布的均值為3.5 B．PC．P4<X≤4.5≥【答案】AB【詳解】因?yàn)閄~N3.5,0.25對(duì)于A選項(xiàng)，該正態(tài)分布的均值為μ=3.5，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，PX>3.5對(duì)于C選項(xiàng)，P4<X≤4.5對(duì)于D選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，PX≤3故選：AB.10．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某工廠有甲乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號(hào)的機(jī)械零件，產(chǎn)品的尺寸分別記為X,Y，已知X,Y均服從正態(tài)分布，X～NμA．甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性B．甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性低于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性C．甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值等于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值D．甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值小于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值【答案】AC【詳解】由圖可知，甲乙兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品尺寸的平均值相等，甲的正態(tài)分布密度曲線瘦高，即甲生產(chǎn)線產(chǎn)品尺寸的方差更小，故甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性，故選：AC．三、填空題11．（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X～N10,4，現(xiàn)在抽取10000件進(jìn)行檢查，則直徑在12,14之間的零件大約有（注：P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ?3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974）【答案】1359【詳解】∵X滿足正態(tài)分布X～P(6<X≤14)≈0.9544,∴∴直徑在12,14之間的零件大約有1359件.故答案為：135912．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)活動(dòng)，高一年級(jí)測(cè)評(píng)分值X近似服從正態(tài)分布N(72,25).為了調(diào)查參加測(cè)評(píng)的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段67,n內(nèi)抽取學(xué)生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.則該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段67,n內(nèi)的人數(shù)為人（附：P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）【答案】11【詳解】因?yàn)镻(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545?∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，由已知，該班在[67,82)內(nèi)抽取了11人，他們的分?jǐn)?shù)為68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案為：11.四、解答題13．（2024上·全國(guó)·高三期末）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達(dá)到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對(duì)人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護(hù)社團(tuán)組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對(duì)參會(huì)人員就講座內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績(jī)（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定a的值，再求出這100份樣本試卷成績(jī)的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為此次測(cè)試的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)0.0480.048；眾數(shù)是82.5，75%分位數(shù)是86.6(2)75.4分【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得：(0.008+0.018+a+0.064+0.038+0.016+0.008)×5=1，解得a=0.048，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為SKIPIF1<0，由(0.008+0.018+0.048+0.064)×5=0.69，則這100份樣本試卷成績(jī)的75%分位數(shù)是85+0.75?0.69（2）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)??1所以P(X≥μ?σ)=P(X≥82.15?6.75)=P(X≥SKIPIF1<0，所以測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為75.4分．14．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┪覈?guó)一科技公司生產(chǎn)的手機(jī)前幾年的零部件嚴(yán)重依賴進(jìn)口，2019年某大國(guó)對(duì)其實(shí)施限制性策略，該公司啟動(dòng)零部件國(guó)產(chǎn)替代計(jì)劃，與國(guó)內(nèi)產(chǎn)業(yè)鏈上下游企業(yè)開展深度合作，共同推動(dòng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展．2023年9月該公司最新發(fā)布的智能手機(jī)零部件本土制造比例達(dá)到」90%，以公司與一零部件制造公司合作生產(chǎn)某手機(jī)零部件，為提高零部件質(zhì)量，該公司通過資金扶持與技術(shù)扶持，幫助制造公司提高產(chǎn)品質(zhì)量和競(jìng)爭(zhēng)力，同時(shí)派本公司技術(shù)人員進(jìn)廠指導(dǎo)，并每天隨機(jī)從生產(chǎn)線上抽取一批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．下面是某天從生產(chǎn)線上抽取的10個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)（總分1000分，分?jǐn)?shù)越高質(zhì)量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設(shè)該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，并把這10個(gè)樣本質(zhì)量分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x作為μ的值．參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2(1)求μ的值；(2)估計(jì)該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個(gè)零部件中，有多少個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940？(3)若從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取n個(gè)零件中恰有ξ個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在940,980內(nèi)，則n為何值時(shí)，Pξ=10【答案】(1)μ=960(2)160(3)n=14【詳解】（1）x=900+所以μ=960．（2）由（1）知，X~N960,2PX<940該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個(gè)零部件中，質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940的個(gè)數(shù)約為0.16×1000=160．（3）每個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在940,980內(nèi)的概率為Pμ?σ≤X≤μ+σ由題意可知ξ~Bn,0.68則Pξ=10設(shè)fn=C則fn+1令0.32n+0.32n?9>1，得所以當(dāng)n≤13時(shí)，fn+1令0.32n+0.32n?9<1，得所以當(dāng)n≥14時(shí)，fn+1所以n=14時(shí)，fn最大，故使Pξ=10最大的B能力提升1．（2024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費(fèi)為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為0.25%，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為X.(1)求EX(2)二項(xiàng)分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問題，我們知道若X～Bn,p，則DX=np1?p，當(dāng)n較大且SKIPIF1<0較小時(shí)，我們?yōu)榱撕?jiǎn)化計(jì)算，常用EX的值估算D請(qǐng)根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)為50~100萬元的概率；②該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2【答案】(1)EX(2)①0.683；②0.0015【詳解】（1）由題可知X～則EX記該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)為變量Y，則Y=200?5X，所以EY（2）因?yàn)閄～Bn,p，當(dāng)n較大且SKIPIF1<0較小時(shí)，EX=25，則DX=25由于n較大，X～Nμ,σ2若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)Y=200?5X∈50,100，則XPY=200?5X若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)Y=200?5X<0，則X>40，P(Y=200?5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ