湖南省高三普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考前演練二數(shù)學(xué)試題

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考前演練二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，則為（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（）A.0B.1C.D.23.某騎行愛(ài)好者在專(zhuān)業(yè)人士指導(dǎo)下對(duì)近段時(shí)間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分12345用時(shí)小時(shí)）9.58.87.876.1由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（）參考數(shù)據(jù)：.參考公式：相關(guān)系數(shù).A.身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)正相關(guān)B.身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較弱C.身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較強(qiáng)D.身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合4.已知二項(xiàng)式（其中且）的展開(kāi)式中與的系數(shù)相等，則的值為（）A.5B.6C.7D.85.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù).當(dāng)時(shí)..則的值為（）A.0B.1C.D.6.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，則的最小值為（）A.6B.5C.4D.37.湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，A，C，D在水平地面上，來(lái)雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來(lái)雁塔AB的高度約為（）（，精確到）A.B.C.D.8.已知圓，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減10.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.函數(shù)在上的最小值為2.則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在實(shí)數(shù)集單調(diào)遞減C.D.或11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，則異面直線與所成角的大小為B.若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的體積為定值C.若點(diǎn)在線段上，則D.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.在中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則的值為_(kāi)_________.13.已知，則等于__________.14.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率取值范圍為_(kāi)_________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.等比數(shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)；（2）若求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖1，在五邊形中，連接對(duì)角線，將三角形沿折起，連接，得四棱錐（如圖2），且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）求證：平面平面；（2）若平面和平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).17.（本小題滿(mǎn)分15分）三人籃球賽是籃球愛(ài)好者的半場(chǎng)籃球比賽的簡(jiǎn)化版，球場(chǎng)為米，比賽要求有五名球員.某高校為弘揚(yáng)體育精神，豐富學(xué)生業(yè)余生活?組織“挑戰(zhàn)擂王”三人籃球賽，為了增強(qiáng)趣味性和觀賞性，比賽賽制為三局二勝制，即累計(jì)先勝兩局者贏得最終比賽勝利（每局積分多的隊(duì)獲得該局勝利，若積分相同則加時(shí)決出勝負(fù)）.每局比賽中犯規(guī)次數(shù)達(dá)到4次的球員被罰出場(chǎng)（終止本場(chǎng)比賽資格）.該校的勇士隊(duì)挑戰(zhàn)“擂王”公牛隊(duì)，李明是公牛隊(duì)的主力球員，據(jù)以往數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)，若李明比賽沒(méi)有被罰出場(chǎng)，公牛隊(duì)每局比賽獲勝的概率都為，若李明被罰出場(chǎng)或李明沒(méi)有上場(chǎng)比賽，公牛隊(duì)每局比賽獲勝的概率都為，設(shè)李明每局比賽被罰出場(chǎng)的概率為且（1）若李明參加了每局的比賽，且（i）求公牛隊(duì)每局比賽獲勝的概率；（ii）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為了增強(qiáng)比賽的娛樂(lè)性，勇士隊(duì)和公牛隊(duì)約定：李明全程上場(chǎng)比賽，但若李明被罰出場(chǎng)，則李明將不參加后面的所有局次比賽.記事件A為公牛隊(duì)2：0獲得挑戰(zhàn)賽勝利，求事件A的概率的最小值.18.（本小題滿(mǎn)分17分）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上.且，三角形的面積為.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)作斜率不為0的直線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn).直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn).試證明：為定值，并求出該定值.19.（本小題滿(mǎn)分17分）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）證明：若，則.2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考前演練二數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)1234567891011答案DBCABABDABDACBCD一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.D【解析】由，得，又集合，所以，故選D.2.B【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和，故選.3.C【解析】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù).即相關(guān)系數(shù)近似為與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.所以選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，C正確.故選C.4.A【解析】因?yàn)榍?，由題意知，得，求得，故選.5.B【解析】由已知為偶函數(shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，.故選B.6.A【解析】由拋物線的定義可知，，所以，所以?huà)佄锞€的方程為，過(guò)點(diǎn)作垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)和三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故選A.7.B【解析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在Rt中，因?yàn)?，所以，在Rt中，因?yàn)?，所以，則.故選B.8.D【解析】依題意圓是以為直徑的圓，當(dāng)最大時(shí)，圓的面積最大，因?yàn)?，得，又，?dāng)時(shí)，此時(shí)或，取最大值，所以圓的面積最大值為，故選D.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.）9.ABD【解析】依題意函數(shù)的周期為，所以選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，又，所以，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，又，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D正確，故選ABD.10.AC【解析】為偶函數(shù)，，又為奇函數(shù)，，，①，即，②由得：，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，又，?dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，令，設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則，解得或（舍）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：，不符合題意.綜上，所以選項(xiàng)C正確，錯(cuò)誤.故選.11.BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，又點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，所以是異面直線與所成角，其大小為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)槭莻?cè)棱的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在線段上，所以三棱錐的體積（定值），故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，則，又因?yàn)闉檎叫?，則，且平面，則平面，且平面，可得，同理可得，且平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，記與的交點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，則，又，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的圓心，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故D正確.故選BCD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.【解析】由題意可得：.所以.13.【解析】.14.【解析】因?yàn)?，由橢圓的定義可得，所以.又因?yàn)?，由余弦定理可得?化簡(jiǎn)得，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.可得，所以橢圓的離心率取值范圍為.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15.【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，又，所以解得故.因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)為正的遞增數(shù)列，設(shè)公比為，且，因?yàn)椋?，得，又，所以，即，解得，從而，所?（2）由（1）得所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和（或）.16.【解析】（1）連接，則，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，所以，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，即又因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平?（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則即取又，設(shè)平面的法向量為，則即取，所以，所以，或（舍），線段的長(zhǎng)為1.17.【解析】（1）（i）記表示事件“第局公牛隊(duì)獲勝”，表示事件“球員李明第局沒(méi)有被罰出場(chǎng)”，.由全概率公式公牛隊(duì)每局比賽獲勝的概率為.（ii）由已知隨機(jī)變量的可能取值為2，3.，，隨機(jī)變量的分布列如下表：23.（2）依題意事件擂王公牛隊(duì)獲得挑戰(zhàn)賽勝利的可能情形是：兩局比賽李明均沒(méi)有被罰出場(chǎng)；第一局李明沒(méi)有被罰出場(chǎng)，第二局被罰出場(chǎng)；第一局李明被罰出場(chǎng)，第二局不能參加比賽.所以.又，則當(dāng)時(shí).即事件的概率的最小值為.18.【解析】（1）因?yàn)椋?，得，又三角形的面積為，得，所以，得代入雙曲線方程得，得（舍），所以雙曲線的方程為：.（2）由題意，，且斜率存在且不為0，設(shè)，由幾何性質(zhì)可知，聯(lián)立方程得，恒成立，，同理可得：，直線方程：，令，得，同理：，因?yàn)?，所以，所?19.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，