2019-2020學(xué)年北京市東城區(qū)某中學(xué)八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2019-2020學(xué)年北京市東城區(qū)景山學(xué)校八年級(jí)第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)

試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.反比例函數(shù)y=Z的圖象位于（）

x

A.第一、三象限B.第二、三象限

C.第一、二象限D(zhuǎn).第二、四象限

2.如圖，△A8C的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cosNA4c的值為（）

B

3.把RtZiABC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則銳角4的余弦值（）

A.不變B.縮小為原來(lái)的

C.擴(kuò)大為原來(lái)的3倍D.擴(kuò)大為原來(lái)的9倍

4.如圖，在平行四邊形A8CZ）中，尸為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)E,使ZJE:AD=1:3,

連接E尸交OC于點(diǎn)G,則S7,EG：SACFG等于（）

A.4:9B.2:3C.9:4D.3:2

5.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，兩個(gè)三角形是位似圖形，則它們的位似中心

是（）

A.點(diǎn)OB.點(diǎn)、PC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

6.一次函數(shù)yi=ax+6（a=#0）與反比例函數(shù)L=乂"（A手0）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中

X

的圖象如圖所示，當(dāng)”>以時(shí)，x的取值范圍是（）

C.xV-1或x>3D.-IVxVO或x>3

7.如圖，矩形ABCO是由三個(gè)全等矩形拼成的，AC與OE、EF、FG、HG、分別交于

點(diǎn)尸、Q、K、M.N,設(shè)△￡P(guān)。、AGKM、△8NC的面積依次為5卜S2.S3.若S1+S3

=30,則S2的值為（）

AEGB

A.6B.8C.10D.12

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將橫縱坐標(biāo)之積為1的點(diǎn)稱為"好點(diǎn)”，則函數(shù)y=|x|-3

的圖象上的“好點(diǎn)”共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

9.如果tanCl=亨，那么銳角a=°.

L-4.9

10.已知反比例函數(shù)的表達(dá)式為它的圖象在各自象限內(nèi)具有y隨X的增大而增大

的特點(diǎn)，則A的取值范圍是.

11.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O,E分別在邊AB,AC上，添加一個(gè)條件使得△AOEsZkAQ?,

添加的一個(gè)條件是.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)A（-1,口），8（2,力），C（3,為）在反比例函

數(shù)7=義（k>0）的圖象上，則乃，J2,）3的大小關(guān)系是.

13.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：

“今有竿不知其長(zhǎng)，量得影長(zhǎng)一丈五尺，立一標(biāo)桿，長(zhǎng)一尺五寸，影長(zhǎng)五寸，問(wèn)竿長(zhǎng)幾

何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺，同時(shí)

立一根一尺五寸的小標(biāo)桿（如圖所示），它的影長(zhǎng)五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10

寸），則竹竿的長(zhǎng)為.

14.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△A8C和△C0E的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么NA4C+

ZCDE=_______°.

AB

DE

Q1

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知函數(shù)%=—（x>0）和及=-（xVO）,點(diǎn)

xx

M為y軸正半軸上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，過(guò)M作y軸的垂線分別交為，力的圖象于A,

B兩點(diǎn)、,連接AN,BN,則△48N的面積為.

16.如圖，分別過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)尸作x,)，軸的平行線，與y,x軸分別交于點(diǎn)A,B,與

雙曲線y=殳分別交于點(diǎn)C,D.下面三個(gè)結(jié)論，

X

①存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P使SA4OC=SAB。。；

②存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)尸使S&POA=SAPOB；

③存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)尸使SWitwOAPB=S^ACD-

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題

17.計(jì)算3tan30°+4cos45°-2sin60°.

A

18.如圖，在△48C中，NB=30°,tanC=—,4O_LBC于點(diǎn)O.若45=8,求8c的長(zhǎng).

3

19.如圖，在△A8C中，AD平分NBAC,E是AO上一點(diǎn)，且BE=BD.

(1)求證：AABE^AACD;

(2)若80=1,CD=2,求空■的值.

AD

A

E

20.如圖，直線y=ax-4（a豐0）與雙曲線》=區(qū)（4*0）只有一個(gè)公共點(diǎn)4（1,-2）.

x

（1）求4與a的值；

（2）在（1）的條件下，如果直線y=ax+b（a豐0）與雙曲線》=上（左手0）有兩個(gè)公共

x

點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍.

21.由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C

處有生命跡象.在廢墟一側(cè)地面上探測(cè)點(diǎn)4、B相距2米，探測(cè)線與該地面的夾角分別

是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點(diǎn)C的深度.（參考數(shù)據(jù)：匠”.414,

愿，1.732,結(jié)果精確到（）.1）

22.在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素中，已知2個(gè)元素（其中至少有1個(gè)是邊），

就可以求出其余的3個(gè)未知元素.對(duì)于任意三角形，我們需要知道幾個(gè)元素就可以求出

其余的未知元素呢？思考并解答下列問(wèn)題：

（1）觀察圖①?圖④，根據(jù)圖中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序號(hào)

是

783=10

乂37。\垓7。6科/\37。60]

12

①②③

(2)如圖⑤，在△A8C中，已知NA=37°,AB=12,AC=10,能否求出的長(zhǎng)度？

如果能，請(qǐng)求出5c的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin37°弋0.60,cos37°

Q0.80,tan37°*0.75)

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象和△A5C都在第

X

一象限內(nèi)，AB=AC=p3C〃x軸，且BC=4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,5).

(1)若反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)優(yōu)求此反比例函數(shù)的解析式；

x

(2)若將△A8C向下平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，A,C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)同時(shí)落在反比

學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)后，對(duì)于一些特殊的不等式，我們可以借助函數(shù)圖象來(lái)求出它的解集，例

如求不等式x-3>國(guó)的解集，我們可以在同一坐標(biāo)系中，畫出直線yi=x-3與函數(shù)力

X

=心的圖象(如圖1),觀察圖象可知：它們交于點(diǎn)A(-1,-4),B(4,1).當(dāng)-

x

A

l<x<0,或x>4時(shí)，即不等式x-3>M的解集為-IVxVO,或X>4.

x

小東根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)求不等式1+3』_工-3>0的解集進(jìn)行了探究.下面

是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

3A

「?：??丁?:..；5一?：??：???；??：??：

｝十?”…”-+十彳-+《

：??丫?-；1r-J**1r--T---?

*一%;巨三m-m

1一:--:;:二］::”-”一?

Y?十+2-

-:--1=3-；---:--

--------?--------r=4----------1--------?--------L--T--:

;一'—:.一一:一,一巧一一—二二一」

圖2

（1）將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化

當(dāng)x=0時(shí)，原不等式不成立；x>0時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為f+3x-1>三；

x

當(dāng)xVO時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為;

（2）構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象

設(shè)山=*2+3*-1,J4=—,在同一坐標(biāo)系（圖2）中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.

X

（3）借助圖象，寫出解集

觀察所畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，確定兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合（1）的討論結(jié)果，可

知：不等式工3+3#-*-3>0的解集為.

25.閱讀下面材料：

小軍遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在△ABC中，A8=AC,尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

NPAC=NPCB=NPBA.若NACB=45°,AP=1,求5尸的長(zhǎng).

小軍的思路是：根據(jù)已知條件可以證明△ACPS^QJ尸，進(jìn)一步推理可得6尸的長(zhǎng).

請(qǐng)回答：'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

VZPCB=ZPBA,

:.ZPCA=.

VZPAC=NPCB,

:.△ACPs^CBP.

.APPCAC

?,記,而

VZACB=45°,

AZBAC=9()°.

?.?AC~_~?

CB----

'：AP=\,

：.PC=yf2-

:.PB=.

參考小軍的思路，解決問(wèn)題：

如圖2,在△ABC中，AB=AC,尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，NPAC=NPCB=NPBA.若N

ACB=30°,求延■的值；

BP

26.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,2),正方形045c的頂點(diǎn)8在函

數(shù)y=K(A#=0,x<0)的圖象上，直線/:y=-x+b與函數(shù)y=K(A羊0,xVO)的圖

xx

象交于點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求A的值；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).

①當(dāng)一次函數(shù)y=-x+方的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，直接寫出△OCE內(nèi)的整點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若△OCE內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)恰有6個(gè)，結(jié)合圖象，求分的取值范圍.

J巾

27.如圖，RtZViBC中，ZACB=90°,4C=8C,O是線段AB上一點(diǎn)(OVAOV38).過(guò)

點(diǎn)5作BE_LC。，垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CF,連接

AF,EF.設(shè)N3CE的度數(shù)為a.

（1）①依題意補(bǔ)全圖形.

…FF

②若a=60°,則NC4F=_______°;—=_______;

AB

（2）用含a的式子表示與48之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的

直角三角形ABC,NA是銳角，那么

_NA的對(duì)邊_NA的鄰邊，/A的對(duì)邊NA的鄰邊

s-~MIT_*ZAK）W8-NA的對(duì)邊

為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：

設(shè)有一個(gè)角a,我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸。x,建立直角

坐標(biāo)系（圖2）,在角a的終邊上任取一點(diǎn)P,它的橫坐標(biāo)是X,縱坐標(biāo)是y,點(diǎn)P和原

點(diǎn)（0,0）的距離為r=7x2+y2（r總是正的），然后把角a的三角函數(shù)規(guī)定為：

.yx4_y,x

sina=—,cosa=—,tana=—,cota=一

rrxy

我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同

樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角a的大小有關(guān)，而與點(diǎn)尸在角a的終邊位置無(wú)關(guān).

比較圖1與圖2,可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)

第二種定義回答下列問(wèn)題，

（1）若270°<a<360°,則角a的三角函數(shù)值sina、cosa、tana、cota,其中取正值

的是；

(2)若角a的終邊與直線y=2x重合，則sina+cosa=:

(3)若角a是鈍角，其終邊上一點(diǎn)P(x,代)，且cosa=^^x，則tana

(4)若0°Wa/90°,則sina+cosa的取值范圍是.

參考答案

一、選擇題

1.反比例函數(shù)y=2的圖象位于（）

x

A.第一、三象限B.第二、三象限

C.第一、二象限D(zhuǎn).第二、四象限

【分析】由反比例函數(shù)4>（）,函數(shù)經(jīng)過(guò)一三象限即可求解；

解：VA=2>0,

...反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限；

故選：A.

2.如圖，△A3C的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cosNA4c的值為（）

B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

解：過(guò)8作B"_LAC交AC的延長(zhǎng)線于

AB22=

'"~VAH+BHV32+42=5>A“=3,

AcosZBAC=—=—,

AB5

故選：C.

3.把Rt/VIBC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則銳角4的余弦值（）

B.縮小為原來(lái)的看

A.不變

C.擴(kuò)大為原來(lái)的3倍D.擴(kuò)大為原來(lái)的9倍

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.

解：三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，

則所得的三角形與原三角形相似，

，銳角A的大小不變，

二銳角A的余弦值不變，

故選：A.

4.如圖，在平行四邊形A8CZ）中，F(xiàn)為8c的中點(diǎn)，延長(zhǎng)4D至點(diǎn)E,使。E:AZ）=1:3,

連接E廠交OC于點(diǎn)G,則SADEG：SACFC等于（）

A.4:9B.2:3C.9:4D.3:2

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)即可求出答案.

解：設(shè)。E=x,AD=3x,

在cABCD中，

：.AD=BC=3x,

?.?點(diǎn)廠為8c的中點(diǎn)，

'.,DE//BC,

:.△DEGs^CFG,

.S^DEG_,DFx2=（2）2=J4

_

*'SACFGCF3_9'

故選：A.

5.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，兩個(gè)三角形是位似圖形，則它們的位似中心

是（）

A.點(diǎn)OB.點(diǎn)、PC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

［分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得出位似中心即可.

解：如圖所示：兩個(gè)三角形的位似中心是：點(diǎn)P.

故選：B.

1

-4

I

"I

-4

I

T

J

6.一次函數(shù)yi=ox+b(a^=0)與反比例函數(shù)力=，(&手0)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中

x

的圖象如圖所示，當(dāng)”>以時(shí)，x的取值范圍是()

A.-l<x<3B.xV-1或0VxV3

C.x<-1x>3D.-IVxVO或x>3

IT

【分析】根據(jù)一次函數(shù)yi=ax+b(a#:0)與反比例函數(shù)竺=，(*=#0)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可

x

得到結(jié)論.

解：由圖象得，當(dāng)了1>以時(shí)，x的取值范圍是XV-1或0VxV3,

故選：B.

7.如圖，矩形ABCD是由三個(gè)全等矩形拼成的，AC與OE、E尸、FG、HG、分別交于

點(diǎn)產(chǎn)、。、K、M、N,設(shè)△GKM、△BNC的面積依次為&、S2,S3.若S1+S3

=30,則S2的值為()

AEGB

A.6B.8C.10D.12

【分析】先證明aEP0s△GKMs/s.BNC,再證明△AEQS/^4GM得到還>=3員=2

MGAG2

SiI1Q1Q

——=—,所以S]=―S?,同理得到S3=—SJ,所以——&!=30,從而得到S2的值.

S244444

解：:矩形A5CD是由三個(gè)全等矩形拼成，

:.AADE出AEFGq八GHB,

：.ZAED=NEGF=NGBH,

:.NDEF=NFGH=NHBC,

9：FE//HG//BC,

：.NAQE=ZAMG=NACB,

：.AEPQsAGKMsABNC,

*:QE//MG9

:.AAEQ<^>AAGM9

.QE=AE=1

??而一而一于

?￡L=(QE)2=I

,S2MG4，

；.S1=-^S2,

4

'：MG//CB,

J.AAGM^^ABC,

.MG_AG_2

??而一而―石，

?包=回2=1

飛3%)9'

9

?*?53=—Sz,

4

VSI+S3=30,

19

.:"Sz=30,

44

.??$2=12.

故選：D.

EGB

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將橫縱坐標(biāo)之積為1的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，則函數(shù)y=|x|-3

的圖象上的“好點(diǎn)”共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】分x》0及xVO兩種情況，利用“好點(diǎn)”的定義可得出關(guān)于x的一元二次方程，

解之即可得出結(jié)論.

解：當(dāng)x'0時(shí)，x（x-3）=1,

解得：辦=三'豆（不合題意，舍去），勾=也義亙；

22

當(dāng)xVO時(shí)，x（-X-3）=1,

解得：片名正，M=衛(wèi)迤.

22

函數(shù)y=|x|-3的圖象上的“好點(diǎn)”共有3個(gè).

故選：C.

二、填空題

9.如果tanCl=亨，那么銳角a=30°.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

解：?.?tana=U,

3

二銳角a=30".

故答案為：30.

10.已知反比例函數(shù)的表達(dá)式為）=妃2,它的圖象在各自象限內(nèi)具有y隨x的增大而增大

X

的特點(diǎn)，則」的取值范圍是kV-2.

【分析】由于反比例函數(shù)》=里2圖象在每個(gè)象限內(nèi)y的值隨x的值增大而增大，可知

X

比例系數(shù)為負(fù)數(shù)，據(jù)此列出不等式解答即可.

解：?.?反比例函數(shù)少=空2圖象在每個(gè)象F艮內(nèi)了的值隨工的值增大而大，

x

：.k+2<0,

解得k<-2.

故答案為k<-2.

11.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O,E分別在邊AB,AC上，添加一個(gè)條件使得△4OES44C3,

添加的一個(gè)條件是NAED=NB(答案不唯一).

【分析】由相似三角形的判定方法即可得出答案.

解：添加條件為NAEZ)=N8,理由如下：

'：ZA=ZA,ZAED=ZB,

:.△ADEs^ACB;

故答案為：ZAED=ZB(答案不唯一).

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)4(-1,ji),B(2,以)，C(3,玲)在反比例函

數(shù)7=—(A>0)的圖象上，則力，J,V3的大小關(guān)系是用<23<22.

X2

【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到y(tǒng)y=-k,力=gl，”=J也然后求

出力，J2,力的值，從而得到它們的大小關(guān)系.

解：?.?點(diǎn)A(-1,jj),B(2,y),C(3,力)在反比例函數(shù)y=—(A>0)的圖象

2X

上，

??.-lXyi=K2y2=k93y3=鼠

???丁1=一左，J2=^fe,力=小，

而我>0,

故答案為J1<J3<J2.

13.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：

“今有竿不知其長(zhǎng)，量得影長(zhǎng)一丈五尺，立一標(biāo)桿，長(zhǎng)一尺五寸，影長(zhǎng)五寸，問(wèn)竿長(zhǎng)幾

何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺，同時(shí)

立一根一尺五寸的小標(biāo)桿（如圖所示），它的影長(zhǎng)五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10

寸），則竹竿的長(zhǎng)為四丈五尺.

【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比可得出結(jié)論.

解：設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為x尺，

,竹竿的影長(zhǎng)=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長(zhǎng)=一尺五寸=1.5尺，影長(zhǎng)五寸=0.5尺，

?x_1.5

?下一言'

解得x=45（尺），

45尺=四丈五尺.

故答案為：四丈五尺.

14.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC和△C0E的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么N8AC+

NCDE=45

【分析】連接AO,構(gòu)建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：ZADC=90°,

ZDAC=ZACD=45°,最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論.

解：連接AO,

由勾股定理得：AD2=l2+32=10,CD2=l2+32=10,AC2=22+42=20,

222

:?AD=CD,AD+CD=AC9

：.ZA￡>C=90°,

：.ZDAC=ZACD=45°,

?:AB〃DE,

AZBAD+ZADE=18()°,

AZBAC+ZCDE=180°-90°-45°=45°,

故答案為：45°.

o1

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知函數(shù)乃=—(x>0)和)2=-—(x<0)，點(diǎn)

xx

M為y軸正半軸上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，過(guò)M作y軸的垂線分別交力的圖象于A,

【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)得出矩形3E0M面積為：1,矩形

M0E4面積為：3,則矩形3EE4的面積為4,進(jìn)而得出答案.

解：過(guò)點(diǎn)〃作軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作A產(chǎn)_Lx軸于點(diǎn)尸，

由題意可得，四邊形3EE4是矩形，

Q1

\?函數(shù)乃=—(x>0)和》2=一-(x<0),

XX

，矩形5E0M面積為：1,矩形M0E4面積為：3,

則矩形BEFA的面積為4,

則△AbN的面積為：--S短彩BEFA=2.

16.如圖，分別過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)尸作x,y軸的平行線，與y,x軸分別交于點(diǎn)A,B,與

雙曲線別交于點(diǎn)C,D.下面三個(gè)結(jié)論，

x

①存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P使SAAOC=SABOD；

②存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P使S?POA=SAPOR；

③存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P使S臼邊給OAPB=S^ACD?

所有正確結(jié)論的序號(hào)是一①②③.

【分析】如圖，設(shè)C(.m,—),D(n,—),則P(〃，旦)，利用反比例函數(shù)我的幾

mnm

何意義得到SAA.C=3,SABG=3,則可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形面積公式可對(duì)②進(jìn)行

判斷；通過(guò)計(jì)算S.皿OAPB和SAACW得到m與"的關(guān)系可對(duì)對(duì)③進(jìn)行判斷.

解：如圖，設(shè)C(.m,—),D(〃，—),則P,

mnm

VSAAOC=3,SABOD=3,

：,SAAOC=S&BOD；所以①正確；

=

,:S&POA=一士"X—--SAPOB=-X—=—-

21nm92mm

：,SAPOA=S&POB；所以②正確；

66n

四邊形OAPB=一〃X-------------,S^ACD=—^mX

mm2mn

二當(dāng)_空=3_昆即in2-inn-2，J=0,所以m=2n（舍去）或m=-n,此時(shí)P點(diǎn)

mn'

為無(wú)數(shù)個(gè)，所以③正確.

故答案為①②③.

三、解答題

17.計(jì)算3tan30°+4cos45--2sin60".

【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算.

解：3tan300+4cos45°-2sin60°

=3X返+4X返—2X返

322

=2&.

4

18.如圖，在△ABC中，ZB=30°,tanC=—,AD工BC于點(diǎn)、D,若A6=8,求BC的長(zhǎng).

3

【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可以求得的長(zhǎng)，然后

即可求得80的長(zhǎng)，再根據(jù)AO的長(zhǎng)和tanC=*,可以求得C。的長(zhǎng)，從而可以求得8c

3

的長(zhǎng)，本題得以解決.

解：'：AD±BC,

/.ZADB=ZADC=90°.

?..在RtZkAO〃中，N8=30°,AB=8,

：.AD=4,80=4^,

4

???在RtZkADC中，tanC苦,AD=4,

o

：.CD=3.

:.BC=BD+CD=4>/3+3.

19.如圖，在△ABC中，AD平分NBAC,E是AO上一點(diǎn)，JLBE=BD.

(1)求證：△ABES^AC。；

(2)若80=1,CD=2,求鯉■的值.

AD

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到N8AE=NC4O,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N

BED=NBDE,由等角的補(bǔ)角相等得到NAE3=NAZJC,根據(jù)相似三角形的判定定理即

可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到嫗理，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.

ADCD

【解答】（1）證明：平分N8AC,

：.ZBAD=ZCAD.

'：BE=BD,

：.NBED=ZBDE.

，NAEB=Z.ADC.

.,.△ABE^AACZ）.

（2）解：VAABE^AACD,

.AEBE

ADCD

9

：BE=BD=1,CD=29

.AE

??.

AD2

20.如圖，直線y=or-4(4=#0)與雙曲線y=K(A豐0)只有一個(gè)公共點(diǎn)A(1,-2).

X

(1)求4與4的值；

(2)在(1)的條件下，如果直線y=ox+b(〃手0)與雙曲線了=區(qū)(4#=0)有兩個(gè)公共

x

點(diǎn)，直接寫出力的取值范圍.

【分析】(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入直線y=ax-4與雙曲線求出左和。的值

x

即可；

(2)將直線y=ax+5代入y=K,整理得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式4

x

>0即可得出結(jié)果.

解：(1),?,直線y=ax-4與雙曲線y=K只有一個(gè)公共點(diǎn)A(1,-2),

x

'-2=a-4

(a=2

；?,k，解得：

-9=-lk=-2

1

故k=-2,。=2;

(2)若直線y=2x+5(a=#0)與雙曲線y=-上有兩個(gè)公共點(diǎn),

x

"y=2x+b

則方程組、2有兩個(gè)不同的解，

y=一

x

9

即2x+b=-互有兩個(gè)不相等的解，

x

整理得：2/+岳：+2=0,

△=戶-16>0,

解得：*<-4,或力>4.

21.由于發(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C

處有生命跡象.在廢墟一側(cè)地面上探測(cè)點(diǎn)4、8相距2米，探測(cè)線與該地面的夾角分別

是30°和60°(如圖所示)，試確定生命所在點(diǎn)C的深度.(參考數(shù)據(jù)：&21.414,

愿，1.732,結(jié)果精確到0.1)

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得點(diǎn)C到地面的距離，從而可以解答本題.

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,

由題意可知，NC4O=30°,ZCBD=6Q°,

設(shè)C￡>=x米，

則BD=——J—,AD=——J

tan60tan30

米，AD=AB+BD,

：.AD=2+BD,

：.2_三__=_工_

+tan60°tan300'

解得，x?1.7

即生命所在點(diǎn)C的深度是1.7米.

22.在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素中，已知2個(gè)元素(其中至少有1個(gè)是邊)，

就可以求出其余的3個(gè)未知元素.對(duì)于任意三角形，我們需要知道幾個(gè)元素就可以求出

其余的未知元素呢？思考并解答下列問(wèn)題:

(1)觀察圖①?圖④，根據(jù)圖中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序號(hào)是

③④.

(2)如圖⑤，在△ABC中，已知NA=37°,AB=12,AC=1(),能否求出8c的長(zhǎng)度？

如果能，請(qǐng)求出BC的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos37°

=0.80,tan37°=0.75）

【分析】（1）圖①已知一個(gè)角與這個(gè)角所對(duì)的邊，則另兩個(gè)角可以任意變動(dòng)；圖②已

知三個(gè)角，則三個(gè)邊可以任意變動(dòng)；圖③、圖④已知兩個(gè)角，則第三個(gè)角是固定的，并

已知一個(gè)邊，過(guò)第三個(gè)角的頂點(diǎn)向已知兩個(gè)角的公共邊作垂線即可求出其余未知兩個(gè)邊

的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。，CD=AC?sim4=6,AD=AC*cos4=8,BD=AB-

AD=4,由勾股定理得出BC={CI）2+BD2=2413.

解：（1）..?圖①已知一個(gè)角與這個(gè)角所對(duì)的邊，則另兩個(gè)角可以任意變動(dòng)，

二圖①不能求出其余未知元素；

?.?圖②已知三個(gè)角，則三個(gè)邊可以任意變動(dòng)，

二圖②求出其余未知元素；

?.?圖③、圖④已知兩個(gè)角，則第三個(gè)角是固定的，并已知一個(gè)邊，過(guò)第三個(gè)角的頂點(diǎn)向

已知兩個(gè)角的公共邊作垂線即可求出其余未知兩個(gè)邊的長(zhǎng)，

圖③、圖④可以求出其余未知元素；

故答案為：③④；

（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)O,如圖⑤所示：

在RtZkAOC中，NA=37°,

：.CD=AC*sinA=10Xsin37°210X0.60=6,

AD=AC'cosA=10Xcos370弋10X0.80=8,

BD=AB-AD=12-8=4,

.?.在Rt/XCDB中，722=^y§,

BC=7CD2+BD2=6+42

即3c的長(zhǎng)度為2底.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象和△A5C都在第

X

R

一象限內(nèi)，AB=AC=^95C〃x軸，且6c=4,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,5).

(1)若反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,求此反比例函數(shù)的解析式；

x

(2)若將aABC向下平移m(,n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，A,C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)同時(shí)落在反比

【分析】(1)根據(jù)已知求出8與C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)

的解析式；

(2)表示出相應(yīng)的平移后A與C坐標(biāo)，將之代入反比例函數(shù)表達(dá)式即可求解.

解：(1)VAB=AC=y,5c=4,點(diǎn)A(3,5).

:.B(1,看)，C(5,各，

若反比例函數(shù)尸石(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)5,則

x21

解得，k=三,

...反比例函數(shù)的解析式為y=-^—,

2x

(2)1?點(diǎn)A(3,5).C(5,-y),

將△ABC向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，

7

：.A(3,5-m),C(.5,y-/n),

VA,C兩點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)圖象上，

.*.3(5-MI)=5(--tn),

2

24.閱讀下面材料:

學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)后，對(duì)于一些特殊的不等式，我們可以借助函數(shù)圖象來(lái)求出它的解集，例

如求不等式x-3>之的解集，我們可以在同一坐標(biāo)系中，畫出直線少=工-3與函數(shù)力

x

=9的圖象(如圖1),觀察圖象可知：它們交于點(diǎn)A(-1,-4),B(4,1).當(dāng)-

X

l<x<0,或x>4時(shí)，yi>y>29即不等式x-3>—的解集為-1VxVO,或x>4.

X

小東根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)求不等式1+3工2-x-3>0的解集進(jìn)行了探究.下面

是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化

當(dāng)x=O時(shí)，原不等式不成立；x>0時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為f+3x-1>?；

當(dāng)xVO時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為f+3x-iv3；

X一

(2)構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象

設(shè)力=y+3x-1,j4=—,在同一坐標(biāo)系(困2)中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.

X

(3)借助圖象，寫出解集

觀察所畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，確定兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合(1)的討論結(jié)果，可

知：不等式F+3x2-x-3>0的解集為-3VxV-l或.

【分析】(1)由題意得：x2+3x-l<—,即可求解；

x

Q

(2)畫出力=x2+3x-1與以=—的圖象如圖所示；

x

(3)由圖象可得：-3VxV-l或%>1.

解：(1)由題意得：x2+3x-l<—,

故答案為：X2+3X-1<—;

X

Q

(2)畫出力=x2+3x-l與山=&的圖象如圖所示:

x

(3)由圖象可得：-3VxV-l或x>l;

故答案為：-3VxV-l或x>l.

25.閱讀下面材料：

小軍遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在△ABC中，A3=AC,尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn),

NPAC=NPCB=NPBA.若NACB=45°,AP=1,求8P的長(zhǎng).

圖1圖2

小軍的思路是：根據(jù)已知條件可以證明△ACPs^QSP,進(jìn)一步推理可得8尸的長(zhǎng).

請(qǐng)回答：'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

VNPCB=ZPBA,

AZPCA=ZPBC.

'：ZPAC=ZPCB,

:.△ACPsMBP.

.APPCAC

**PC=PB"CB'

VZACB=45°,

：.ZBAC=90°.

.AC_V2

?*1—.

CB~2~

'：AP=1,

：.PC=42-

:.PB=2.

參考小軍的思路，解決問(wèn)題：

如圖2,在△A8C中，AB=AC,尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZPAC=ZPCB=ZPBA.若N

AC8=30°,求延■的值；

BP

【分析】閱讀材料：證明△4CPs2\C8P.得出世注理.由等腰直角三角形的性

PCPBCB

質(zhì)得出C8=揚(yáng)C得出黑=返.尸C=&4P=&.得出PB=&PC=2.

CB2

解決問(wèn)題：證明△ACPs^CBP.得出空注/=返，設(shè)AP=a,則PC=J^軟，

PCPBBC3

得出PB=3,a.即可得出處』.