2020-2021學(xué)年廣東省深圳某中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.己知，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)磊-=（）

43.D.--+^-i

A.iB.-iC.----------1

5555

2.從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1

個(gè)白球”，則與事件A互斥的事件是（）

A.所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球

B.所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球

C.所取的3個(gè)球都是黑球

D.所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球

3.已知a,0是平面，機(jī)，〃是直線.下列命題中不正確的是（）

A.若m〃n,則〃J_aB.若”z〃a,aA^=n,則

C.若〃z_La,m±p,貝!Ja〃BD.若加_La,wcp,貝！|a_L0

4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰

好與圓柱的高相等.據(jù)說(shuō)阿基米德對(duì)這個(gè)圖最引以為自豪.在該圖中，圓柱的體積與球

的體積之比為（）

A.2：1B.巡：2C.3：2D.4：3

5.為了了解高二學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出其頻率

分布直方圖（如圖），已知從左到右各長(zhǎng)方形高的比為2：3：5：6：3：1,則該班學(xué)生

數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,100）之間的學(xué)生人數(shù)是（）

A.32人B.27人C.24人D.33人

6.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬.若四

棱錐P-ABCQ為陽(yáng)馬，底面ABC。為矩形，PAJ_平面ABC。，AB=2,AD=4,二面角

P-BC-A為60°,則四棱錐P-ABC。的外接球的表面積為（）

64

A.16-rtB.20TTC.—TTD.32Tt

3

7.已知。為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足示+入麗+（1+入）羽=柞若△OAB的面積與4

OAC的面積比值為3,則入的值為（）

A.—B.1C.2D.3

2

8.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=26sinA,則cosA+sinC

的取值范圍是（）

A.（當(dāng),Vs）B.（乎,y）C.Vs）D.e,F）

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（2-0=i0為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為工貝I（）

C.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為-1

D.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限

10.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法正確的有（）

A.A：B：C=a：b：c

口aa+b+c

B.—......=----------；--------；-----

sinAsinA+sinB+sinC

C.若sinAVsin8貝AVB

D.若sin2A=sin2B,則a=b

11.如圖，在三棱錐尸-ABC中，D、E、尸分別為棱PC、AC.A3的中點(diǎn)，24,平面ABC,

ZABC=90°,AB=PA=6,8C=8,貝U()

D

A.點(diǎn)P與點(diǎn)2到平面。跖的距離相等

B.直線尸8與直線。尸垂直

C.三棱錐。-3所的體積為18

D.平面。EF截三棱錐P-ABC所得的截面面積為12

12.八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八

邊形ABCDEFGH,其中|OA|=1,則下列結(jié)論正確的有()

圖2

圖1

A.OA*OD=-岑

B.OB+OH=-V20E

C-AH-HO=BC-BO

D.蔗在標(biāo)向量上的投影為-零

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若向量a=(l,2)>b=(0,1)，ka-b與a+2b共線，則實(shí)數(shù)2-

14.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)為.

15.某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)均需

該組織2位同學(xué)參加.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立，隨機(jī)地發(fā)

給2位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息

的概率為.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中ABC。-AIBICLDI,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在底面

ABC。內(nèi)(包括邊界)，若3P〃平面ALBM,則CIP與底面ABC。所成角的正切值的取

值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知向量；=(1,2)，b=(-3,k).

⑴若；底,求￡|的值;

(2)若Z1G+2E)，求實(shí)數(shù)人的值；

(3)若Z與E的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

18.如圖，△ABC中，AC=BC=J^AB,A8EQ是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面平面

2

ABC,若G、尸分別是EC、8。的中點(diǎn).

(1)求證：GP〃平面ABC；

(2)求證：8cl,平面ACD；

(3)求8。和平面AC。所成角的大小,

19.在流行病學(xué)調(diào)查中，潛伏期指自病原體侵入機(jī)體至最早臨床癥狀出現(xiàn)之間的一段時(shí)間.某

地區(qū)一研究團(tuán)隊(duì)從該地區(qū)500名A病毒患者中，按照年齡是否超過(guò)60歲進(jìn)行分層抽樣，

抽取50人的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到如表格：

潛伏期（單位：天）[0,2](2,4](4,6](6,8](8,(10,(12,

10]12]14]

人60歲及以上2587521

數(shù)60歲以下0224921

（1）估計(jì)該地區(qū)500名患者中60歲以下的人數(shù)；

（2）以各組的區(qū)間中點(diǎn)值為代表，計(jì)算50名患者的平均潛伏期（精確到0.1）；

（3）從樣本潛伏期超過(guò)10天的患者中隨機(jī)抽取兩人，求這兩人中恰好一人潛伏期超過(guò)

12天的概率.

RR

20.①J^cos8=2-2sin崇os為

②J^6sinC=ccosB,

③（b+a）（b-a）=〃-J&c三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解

答.

已知△ABC的三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,若a=4,c—yf^b,,

（1）求5

（2）求△ABC的面積.

21.某超市舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)的促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定每位顧客購(gòu)物滿(mǎn)1000元，可參與抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)箱

中放有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)小球.小球除編號(hào)不同外，其余均相同.活動(dòng)

規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號(hào)為3,則獲得獎(jiǎng)金20元；若抽

到的小球編號(hào)為偶數(shù)，則獲得獎(jiǎng)金10元；若抽到其余編號(hào)的小球，則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客

依次有放回的抽獎(jiǎng)兩次.

(1)求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；

(2)求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為20元的概率.

22.如圖，正方體ABC。-棱長(zhǎng)為a,E,歹分別為AS、8C上的點(diǎn)，＞AE^BF

(1)當(dāng)了為何值時(shí)，三棱錐B,-BEF的體積最大？

(2)求三棱錐囪-BE尸的體積最大時(shí)，二面角Bi-EF-2的正切值;

(3)求異面直線4E與BE所成的角的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.已知，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)釜-=()

4242

A.iB.-iC.-—^-iD.---^-i

5555

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

解.上g_=(-2+i)(l-2i)&

解,l+2i(l+2i)(l-2i)-5-1,

故選：A.

2.從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1

個(gè)白球”，則與事件A互斥的事件是()

A.所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球

B.所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球

C.所取的3個(gè)球都是黑球

D.所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球

【分析】事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”即所取的3個(gè)球是3黑或2黑1

白，由此能求出與事件A互斥的事件.

解：從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，

事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”即所取的3個(gè)球是3黑或2黑1白，

與事件A互斥的事件是所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球.

故選：B.

3.已知a,0是平面，”7,w是直線.下列命題中不正確的是()

A.若m〃n,m_La,則w_LaB.若小〃a,aA則

C.若機(jī)_1_0,則?！?D.若加J_a,mcp,則a_L0

【分析】4根據(jù)兩條平行線中一條垂直某平面，另一條也垂直這平面可判定；

B,若加〃a,aAp=n,則相〃〃或異面，；

C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定判定；

。，根據(jù)面面垂直的判定；

解：對(duì)于4根據(jù)兩條平行線中一條垂直某平面，另一條也垂直這平面可判定A正確；

對(duì)于8,若〃z〃a,al~lp=n,則機(jī)〃〃或異面，故錯(cuò)；

對(duì)于C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定，可知C正確；

對(duì)于。，根據(jù)面面垂直的判定，可。正確；

故選：B.

4.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰

好與圓柱的高相等.據(jù)說(shuō)阿基米德對(duì)這個(gè)圖最引以為自豪.在該圖中，圓柱的體積與球

的體積之比為（）

A.2：1B.爬:2C.3：2D.4：3

【分析】本題先找出圓柱底面和高分別與內(nèi)切球的半徑的關(guān)系，然后根據(jù)公式進(jìn)行推理

運(yùn)算即可得到結(jié)果.

解：由題意，圓柱底面半徑『=球的半徑R,

圓柱的高〃=2R,貝！|/球=4117?3,

V柱=71產(chǎn)/Z=H?R2?2R=2TIR3

,也=空貯=3

?,詬等兀R?一彳

5.為了了解高二學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出其頻率

分布直方圖（如圖）,已知從左到右各長(zhǎng)方形高的比為2：3：5：6：3：1,則該班學(xué)生

數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,100）之間的學(xué)生人數(shù)是（）

A.32人B.27人C.24人D.33人

【分析】根據(jù)題意可得該班六個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率比例依次為2：3：5：6：3：1,進(jìn)而得到

成績(jī)?cè)?80,90)與(90,100)之間的學(xué)生人數(shù)的概率，即可得到答案.

解：由題意可得：從左到右各長(zhǎng)方形高的比為2：3：5：6：3：1,

所以(60,70),(70,80),(80,90),(90,100),(100,110),(110,120)

各分?jǐn)?shù)段的概率之比為2：3：5：6：3：1,

所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?80,90)與(90,100)之間的學(xué)生人數(shù)的概率分別為：《，三.

410

所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?80,100)之間的學(xué)生人數(shù)是：60X([*)=33.

故選：D.

6.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬.若四

棱錐尸-ABC。為陽(yáng)馬，底面A8C。為矩形，PAL平面A8CZ),AB=2,AD=4,二面角

P-BC-A為60。，則四棱錐P-ABC。的外接球的表面積為()

A.16TlB.20TtC.%64tD.32Tl

3

【分析】由題意可得/PBA為二面角尸-8C-A是60。，進(jìn)而由題意可得PA的長(zhǎng)度，

再由題意可得四棱錐P-ABCD的外接球就是以AB,AD,AP為鄰邊的長(zhǎng)方體的三條棱

的外接球，有長(zhǎng)方體的對(duì)角線等于外接球的直徑求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的

表面積.

【解答】解因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，PAJ_平面ABCZ),所以PALBC,AB±BC,而尸A

HAB=A,所以3。_1面尸43,所以BC_LPB,

所以/P8A為面角P-8C-A為60°,即NPBA=60°,

在△PA2中，PA=AB?tan600=2??=2證，

由題意可得四棱錐P-ABCD的外接球就是以AB,AD,AP為鄰邊的長(zhǎng)方體的三條棱的

外接球，設(shè)外接球的半徑為R,

則2R=〃B2+AD2+Ap2ri2+4+16=V^,

所以四棱錐P-ABCD的外接球的表面積S=4itR2=32n,

7.已知。為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足示+入神+(1+人)祈=五，若△。48的面積與4

OAC的面積比值為3,則人的值為()

A.—B.1C.2D.3

2

【分析】如圖D,E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的

條件得到最=_入而①；由于正三角形A8C,結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到正，

②.由①②可得。分。E所成的比，從而得出入的值.

解：OA+XQB+(1+X)OC=0'

變?yōu)橼A+OC+X(OB+OC)^.

如圖，D,E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，

由平行四邊形法則知禰+枳=2根，(OB+OC)=2^0D

故無(wú)=-人而①

在正三角形ABC中，

SS

,AAOC至AAOB3*5*SAABC=qSAABC=ySAADC)

且三角形AOC與三角形AOC同底邊AC,

故。點(diǎn)到底邊AC的距離等于D到底邊AC的距離的三分之一，

故麗■五，今羽=-'m②

O/

由①②得入二^，

8.已知銳角三角形A3C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,且〃=2bsinA,貝!JcosA+sinC

的取值范圍是()

A.烏,V3)B.(亨,1)C.噂,V3)D.哈,V3)

【分析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinA不為0求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，

進(jìn)而表示出A+C的度數(shù)，用A表示出C,代入所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式

化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A的范圍求

出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出范圍即可.

解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinA=2sinBsinA,

?sinAWO,

sinB=—,

2

???3為銳角，

：.B=30°,BPA+C=150°,

cosA+sinC=cosA+sin(150°-A)=cosA+—cosA+sinA=—cosA+-^-sinA=A/Q

2222

(^^-cosA+-^-sinA)=A/^sin(A+60°),

V60°<A<90°,

.?.120°<A+60°<150°,

A—<sin(A+60°)<丑，即返C^sin(4+60°)<—,

2222

則cosA+sinC的取值范圍是(Y3,1).

22

故選：B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z（2-/）=i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為工貝I（）

B,白叵

z5

C.復(fù)數(shù)z的實(shí)部為-1

D.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限

【分析】把己知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)

得答案.

解：由5=,彳。裊凝凝廠得卓，

.?.|z|=J（蔣產(chǎn)+（1_）2=手故A錯(cuò)誤;

1=上答，故8正確;

5

復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為-看，故C錯(cuò)誤；

5

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（［,■!）,在第二象限，故。正確.

55

故選：BD.

10.在△A3C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,下列說(shuō)法正確的有（）

A.A：B：C=a：b：c

口

B.—.a..=-----a--+；b--+-c--；---

sinAsinA+sinB+sinC

C.若sinA<sinB,則A<B

D.若sin2A=sin2B,則a=b

【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可求解.

解：對(duì)于A,若A=B=-^-9C=-^—,可得A：B：C=-^-：-^-=3：2：1,

236236

由正弦定理一7^—二上―二—二2R,可得〃：b：c=sinA：sinB：sinC=1：—=

sinAsinBsinC22

2：V3：1,

則A：B,CW〃：b：c,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由正弦定理號(hào)-==2R，

sinAsinDsinC

可得右邊=..a+b。2RsinA：2,inByRsinC=2R=左邊,故正確；

sinA+sinB+sinCsinB+sinC

對(duì)于C,在AABC中，由正弦定理可得sinAVsinB

=a<b

oA<8,

因止匕在△ABC中，A<8是sinA>sin8的充要條件，故C正確；

對(duì)于。，由sin2A=sin28,可得A=B,或2A+28=n,即A=8,或A+B=』-,

2

所以：a—b,或a2+%2=c2,故。錯(cuò)誤；

故選：BC.

11.如圖，在三棱錐P-ABC中，D、E、尸分別為棱PC、AC,AB的中點(diǎn)，PAL平面ABC,

ZABC=90°,AB=PA=6,BC=8,貝I()

A.點(diǎn)P與點(diǎn)B到平面DEF的距離相等

B.直線PB與直線。尸垂直

C.三棱錐。-BEE的體積為18

D.平面。EF截三棱錐尸-A8C所得的截面面積為12

【分析】取尸8的中點(diǎn)M,連接。M,FM,證明平面。EF即為平面即可判斷選

項(xiàng)A,假設(shè)直線PB與直線垂直，然后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理，

即可判斷選項(xiàng)B,利用錐體的體積公式進(jìn)行求解,即可判斷選項(xiàng)C,由截面為四邊形DEFM

是矩形，求解面積即可判斷選項(xiàng)D

解：對(duì)于A,取尸8的中點(diǎn)M,連接DM,FM,

因?yàn)镸、D、E、尸分別為棱尸8、PC、AC,AB的中點(diǎn)，

所以。河〃BC,EF//BC,MF//PA,DE//PA,

故MF〃DE,EF//MD,

則平面DEF即為平面MDEF,

故直線尸2與平面ATOEF相交于點(diǎn)且M為PB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)P與點(diǎn)B到平面DEF的距離相等，

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于8,假設(shè)直線與直線垂直，

因?yàn)镻A_L平面ABC,BCu平面ABC,

故PAJ_BC,XBC±AB,PAHAB=A,PA,A8u平面尸A8,

所以BC_L平面尸48,又PBu平面PA8,

則BCLPB,

因?yàn)镋/〃BC,則EFJ_P8,

XPB±DF,S.EFr\DF=F,EF,。尸u平面。所，

則PB_L平面DEF,這與AB1.平面DEF矛盾,

所以假設(shè)不成立，則直線P8與直線。尸不垂直，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?。，E分別為PC,AC的中點(diǎn)，

則PA//DES.D￡=yPA=3，

又PA_L平面ABC,貝！J￡>￡_!_平面ABC,

又EF=4,BF=3,

所以五-BEF4-SABEF遮4XN3X4X3=6，

故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)A,可知平面。EF截三棱錐尸-ABC所得的截面為四邊形。EFM,

因?yàn)?A8C=90°,則四邊形。為矩形，

貝代△DEF4'X3X4=6'

所以SDEFM—2S^DEF=12,

故選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

p

B

12.八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八

邊形ABCDEFGH,其中|。4|=1,則下列結(jié)論正確的有（）

B.OB+OH=-V20E

CAH-HO=BC-BO

D.燕在標(biāo)向量上的投影為-平■

【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：圖2中的正八邊形ABCOEFGH,其中|OA|=1,

對(duì)于A：OA*OD=lxlXcos-^~=-故正確.

對(duì)于2：OB+OH=V2OA=-V2OE（故正確.

對(duì)于C...|而|=|血I，|而1=1而|,但對(duì)應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立.故錯(cuò)誤.

對(duì)于。：族在旋向量上的投影Im|COS等二-堂旗,lAHl^l,故錯(cuò)誤.

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若向量二=(1,2)，b=(0,1)，kZV與之+2芯共線,則實(shí)數(shù)%=―.

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，求出kZ-E與2+2弓再由向量共線的性質(zhì)列方程，能

求出k.

解：2)>b=(0,I),

ka-b=k(l,2)-(0,1)=(k,2k-l'>

a+2b=(l,2)+2(0,1)=(1,4；，

,ka-b與a+2b共線，

.,.4k-(2k-1)=0,解得k=—

故答案為：-

14.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)為4.5.

【分析】因?yàn)?OX8O%=8,將數(shù)據(jù)從小到大排序第8個(gè)數(shù)據(jù)和第9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第

80%分位數(shù).

解：將數(shù)據(jù)從小到大排序：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,共10個(gè)數(shù)據(jù).

因?yàn)?0X80%=8,所以第8個(gè)數(shù)據(jù)和第9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第80%分位數(shù),為竽=4.5.

故答案為：4.5.

15.某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)均需

該組織2位同學(xué)參加.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立，隨機(jī)地發(fā)

給2位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知的信息

的概率為金.

一25一

【分析】設(shè)A表示“甲同學(xué)收到李老師所發(fā)活動(dòng)信息”，設(shè)B表示“甲同學(xué)收到張老師

所發(fā)活動(dòng)信息”，由題意尸(A)=P(B)=q，p(A+B)=P(A)+P(2)-P(A)P

5

(8),能求出甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率.

解：設(shè)A表示“甲同學(xué)收到李老師所發(fā)活動(dòng)信息”，

設(shè)B表示“甲同學(xué)收到張老師所發(fā)活動(dòng)信息”，

由題意尸(A)=三=《，P(B)=三4，

105105

...甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率為:

p(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=J

~25'

故選：

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中ABCO-ABCLDI,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在底面

ABC。內(nèi)（包括邊界）,若6P〃平面A1BM,則CiP與底面48。所成角的正切值的取

值范圍是—[1,V51_.

【分析】取的中點(diǎn)N,連接QN、BiN、BiD,利用面面平行的判定定理可證得面BOV

〃面ALBM,從而確定點(diǎn)P在線段。N上運(yùn)動(dòng)；連接CP、CiP,則/GPC為直線CiP與

面ABC。所成的角，而tan/GPC=—1=￡,于是求出線段CP的取值范圍即可得解.

CPCP

解：如圖所示，取8c的中點(diǎn)N,連接ON、BiN、BiD,則DN//BM,

■:BiNCDN=N,BiN、DNu面BiDN,AiMQBM=M,AiM,BMu面

.?.面SON〃面

「BP〃平面且點(diǎn)尸在底面A8CD上，...點(diǎn)尸在線段0V上運(yùn)動(dòng).

連接CP、CiP,則/GPC為直線CiP與面A8CD所成的角,

〔=

tanZCiPC=cc2

~CP~CP

在RtZ\C￡>N中，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，CP最長(zhǎng)為2；

當(dāng)CPLOV時(shí)，CP最短為2,

tanZCiPCe[l,

故答案為：口，丁目.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知向重a=(l,2)，b=(-3,k)-

⑴若Z鹿，求后|的值；

(2)若￡1(7+2三)，求實(shí)數(shù)上的值；

(3)若z與石的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【分析】(1)利用向量平行的性質(zhì)求出k=-6,由此能求出|b|的值.

(2)利用向量垂直的性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)上

(3)由Z與E的夾角是鈍角，得到；?2三<0且Z與E不共線.由此能求出實(shí)數(shù)上的取值

范圍.

解：(1)因?yàn)橄蛄縜=(l,2)>b=(-3,k),且aIIb，

所以1XA:-2X(-3)=0,解得左=-6,

所以EI=V(-3)2+(-6)2=3>/5-

(2)因?yàn)?+2三=(-5,2+2k)，且W1(；+2E>

所以IX(-5)+2X(2+2左)=0,解得

4

(3)因?yàn)閆與三的夾角是鈍角，

則Z?2E<o且之與E不共線.

即IX(-3)+2XhC0且上#-6,

所以k<微且y-6.

18.如圖，△ABC中，AC=BC=^AB,ABED是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面平面

2

ABC,若G、尸分別是EC、8。的中點(diǎn).

(1)求證：GF〃平面ABC；

(2)求證：BC_L平面AC。；

(3)求和平面AC。所成角的大小,

【分析】(1)取BE的中點(diǎn)連接族，GH.通過(guò)證明平面HG尸〃平面A8C.然后說(shuō)

明GF〃平面ABC-

(2)由已知得AO_LAB,結(jié)合平面A8￡Z)_L平面4BC,可得AD_L平面ABC,進(jìn)一步得

到AOL8C,再由勾股定理證得ACL8C,即可得到8CL平面A。；

(3)由(2)可知N2OC為2。和平面AC。所成的角，求解三角形得答案.

【解答】(1)證明：如圖，取BE的中點(diǎn)X,連接成，GH.

VG,尸分別是EC和8。的中點(diǎn)，

C.HG//BC,HF//DE.

又：四邊形ADEB為正方形，

：.DE//AB,Affi]HF//AB.

：8Cu平面ABC,HGC平面ABC,；.HG〃平面ABC,

同理HF〃平面ABC,又HGCHF=H,

：.平面HGF//平面ABC,貝！]GF〃平面ABC-,

(2)證明：防為正方形，：.AD±AB.

又；平面ABED_L平面ABC,且平面ABEDCl平面ABC^AB,

.?.AO_L平面ABC,則AD_L8C,

AB=1,；.AC=BC=^，

貝ijCA2+C￥=AB2,得AC_LBC.

又A￡>CAC=A,，BC_L平面AC￡)；

(3)解：由(2)知，BC±￥ffiACD,

:./BDC為BD和平面ACD所成的角,

在Rt/XBCD中，8C=返，BD=?Asin/返

BC21，

2ZBDC-

BD-V2-2

可得NBDC=30°,

即BD和平面ACD所成角的大小為30°.

19.在流行病學(xué)調(diào)查中，潛伏期指自病原體侵入機(jī)體至最早臨床癥狀出現(xiàn)之間的一段時(shí)間.某

地區(qū)一研究團(tuán)隊(duì)從該地區(qū)500名A病毒患者中，按照年齡是否超過(guò)60歲進(jìn)行分層抽樣,

（1）估計(jì)該地區(qū)500名患者中60歲以下的人數(shù)；

（2）以各組的區(qū)間中點(diǎn)值為代表，計(jì)算50名患者的平均潛伏期（精確到0.1）；

（3）從樣本潛伏期超過(guò)10天的患者中隨機(jī)抽取兩人，求這兩人中恰好一人潛伏期超過(guò)

12天的概率.

【分析】（1）調(diào)查的50名A病毒患者中，年齡在60歲以下的有20人，由此能求出該

地區(qū)A病毒患者中，60歲以下的人數(shù).

（2）利用頻數(shù)分布表能求出50名患者的平均潛伏期.

（3）樣本潛伏期超過(guò)10天的患者共六人，其中潛伏期在10?12天的四人編號(hào)為：1,2,

3,4,潛伏期超過(guò)12天的兩人編號(hào)為：5,6,從六人中抽取兩人，利用列舉法能求出這

兩人中恰好一人潛伏期超過(guò)12天的概率.

解：(1)調(diào)查的50名A病毒患者中，年齡在60歲以下的有20人，

因此該地區(qū)A病毒患者中，60歲以下的人數(shù)估計(jì)有駕500=200人；

(2)50名患者的平均潛伏期為：

-1-I

X-77-(1X2+3X7+5X10+7X11+9X14+11X4+13X2)^><346=6.92(天)；

bU&U

(3)樣本潛伏期超過(guò)10天的患者共六人，

其中潛伏期在10?12天的四人編號(hào)為：1,2,3,4,

潛伏期超過(guò)12天的兩人編號(hào)為：5,6,

從六人中抽取兩人包括15個(gè)基本事件，分別為：

1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；

4,6；5,6.

記事件“恰好一人潛伏期超過(guò)12天”為事件A,則事件A包括8個(gè)，

所以這兩人中恰好一人潛伏期超過(guò)12天的概率p(A)咯.

15

RR

20.①<>/^cos8=2-2sin-^-cos-^-,

②FbsinC=ccosB,

③(6+a)(b-a)=理-三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解

答.

已知△ABC的三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,若。=4,c=?6,,

(1)求8；

(2)求△A8C的面積.

【分析】(1)若選①，利用兩角和的正弦公式可求sin(8+3)=1,進(jìn)而可得2的值；

若選②，利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanB的值，結(jié)合B的范圍可求2

的值；

若選③，利用余弦定理可得cosB,進(jìn)而可求3

(2)由正弦定理可求sinC,可得C=m或紂，進(jìn)而分類(lèi)討論利用三角形的面積公式

33

即可求解.

解：(1)若選①，^/gcosB=2-2sin^cos^-,

可得J"§cosB+sinB=2,

可得：sin(8+——)=1,

3

因?yàn)榧?0,Tl),

—r/日C冗/兀4兀、

可行5H~——6(--y--)，

333

—r”曰n兀兀

O乙

可得B=2L；

6

若選②，J"§/?sinC=ccosB,

由正弦定理可得J"§sin5sinC=sinCcosB,

因?yàn)閟inCWO,

可得J^sin5=cos3,即tanB=^^-,

因?yàn)?0,n),可得3=4-；

6

若選③，因?yàn)?b+a)(b-a)=c2-

可得(:2+〃2-^2=yj^aCj

可得c°sB=yitH=?￡=返，

2ac2ac2

因?yàn)锽e(0,F),可得8=』-；

6

(2)結(jié)合(1)因?yàn)閏=?6,利用正弦定理可得學(xué)與=￡=F，

sinob

所以sinC=Y3,所以。=烏或

233

當(dāng)時(shí)，4=萼，

因?yàn)椤?4,

所以b=2,c=2娓,

可得：S"8c="^bc=*X2X2J§=2

當(dāng)。=與時(shí)，人=3，

36

所以A=2,又因?yàn)閍=4,所以b=4,

S^BC=—absinC=』X4X4義返=4y.

222

21.某超市舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)的促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定每位顧客購(gòu)物滿(mǎn)1000元，可參與抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)箱

中放有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)小球.小球除編號(hào)不同外，其余均相同.活動(dòng)

規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號(hào)為3,則獲得獎(jiǎng)金20元；若抽

到的小球編號(hào)為偶數(shù)，則獲得獎(jiǎng)金10元；若抽到其余編號(hào)的小球，則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客

依次有放回的抽獎(jiǎng)兩次.

（1）求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率;

（2）求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為20元的概率.

【分析】（1）先列舉所有的結(jié)果，兩次都沒(méi)有中獎(jiǎng)的情況有（1，1）,（1，5）,（5,

1）,（5,5）,共4種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可,

（2）分類(lèi)求出顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為100元的概率，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可.

解：（1）該顧客有放回的抽獎(jiǎng)兩次的所有的結(jié)果如下:

(1,1),(1,2)(1,3),(1,4)(1,5),

(2,1),(2,2)(2,3),(2,4)(2,5),

(3,1),(3,2)(3,3),(3,4)