第二章-線性方程組習題答案與解答

PAGEPAGE1第二章線性方程組習題答案與解答習題二對于數(shù)字計算題，僅給出Maple程序與答案.證明題答案僅供參考。1.用消元法解下列方程組(1)>A:=[[1,-1,2],[1,-2,-1],[3,-1,5],[-1,0,2]]:b:=[1,2,3,-2]:linsolve(A,b);>A:=[[1,-2,3,-1,2],[3,-1,5,-3,1],[2,1,2,-2,-1]]:b:=[2,6,8]:linsolve(A,b);(3)>A:=[[1,2,3],[3,5,7],[2,3,4]]:b:=[4,9,5]:linsolve(A,b,'r',c);(4)>A:=[[2,-2,1,-1,1],[1,-4,2,-2,3],[3,-6,1,-3,4],[1,2,-1,1,-2]]:b:=[2,3,5,-1]:linsolve(A,b,'r',c);(5)>A:=[[1,1,2,3],[2,3,5,2],[3,-1,-1,-2],[3,5,2,-2]]:b:=[1,-3,-4,-10]:linsolve(A,b,'r',c);(6)>A:=[[2,-4,5,3],[3,-6,4,2],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);(7)>A:=[[1,3,-2,-1],[2,6,-3,0],[3,9,-9,-5]]:b:=[3,13,8]:linsolve(A,b,'r',c);(8)>A:=[[1,-1,2,-3,1],[2,-2,7,-10,5],[3,-3,3,-5,0]]:b:=[2,5,5]:linsolve(A,b,'r',c);2.當k取何值時,下面的齊次線性方程組有非零解,并求出此非零解.>A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,k]]);E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);k1:=solve(det(A)=0,k);A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,-3]]);b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);3.當k取何值時,下面的線性方程組無解?有解?,在方程組有解時,求出它的解..4.當a取何值時,線性方程組無解?有唯一解?有無窮多解?在方程組有解時,求出它的解.時,方程組無解.5.已知向量計算(1);(2).>alpha:=[2,-1,0,1];beta:=[-1,4,2,3];2*alpha-beta;(1/2)*(alpha+3*beta);6.設求求向量解7.已知向量,而向量滿足求向量.解>alpha1:=[3,2,0,-1];alpha2:=[0,4,3,3];alpha3:=[-1,6,5,8];beta:=(1/6)*(2*alpha1-3*alpha2+alpha3);8.把向量表示為其余向量的線性組合.(1)>beta:=[4,5,6];alpha1:=[3,-3,2];alpha2:=[-2,1,2];alpha3:=[1,2,-1];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta);(2)>beta:=[-1,1,3,1];alpha1:=[1,2,1,1];alpha2:=[1,1,1,2];alpha3:=[-3,-2,1,-3];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta);無法表示.(3)>beta:=[1,0,-1/2];alpha1:=[1,1,1];alpha2:=[1,-1,-2];alpha3:=[-1,1,2];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta,'r',c);取得特解9.向量可由向量線性表示,但不能由向量組(I):線性表示.記向量組試證不能由(I)線性表示,但可由(II)線性表示.證如果可由(I)線性表示,那么就可以用(I)線性表示,又可由向量線性表示,則可由(I)線性表示,此與假設矛盾.故不能由(I)線性表示.由于可由向量線性表示,故存在數(shù)使得(*)其中的否則,將有于是可由線性表示,與假設矛盾.故必有由上面的(*),得即可由(II)線性表示.10.判定下列向量是線性相關,還是線性無關?(1)解(1)線性無關.因為兩個向量線性相關,必對應分量成比例.(2)用做行向量組成矩陣,把矩陣用初等行變換化成階梯形,非零行的行數(shù)如果小于向量數(shù),則線性相關,等于行數(shù),則線性無關.線性相關.(3)線性無關.11.已知向量組試求為何值時,向量組線性相關?線性無關?解向量個數(shù)等于向量維數(shù)時,如果有字母出現(xiàn),可考慮用相應行列式是否等于零,判斷線性相關和線性無關.或3時線性相關,否則線性無關.12.證明定理2.4:個維向量線性相關的充分必要條件是行列式證方程相當于齊次線性方程組(注意的系數(shù)是第個向量的分量,而第個方程的系數(shù)是各個向量的第個分量)而此方程組有非零解的充分必要條件是行列式13.證明定理2.5:定理n+1個n維向量線性相關.證明n+1個n維向量都有線性表示個向量用個向量線性表示，根據(jù)定理“若個向量用個向量線性表示，，則前面?zhèn)€向量向量必定線性相關”，線性相關.14.如果向量組線性無關,試證向量組線性無關.證法一第一個向量組記作I,第二個向量組記作II.II顯然可用I線性表示,又,I可用II線性表示,I~II,II的秩等于其向量個數(shù),故II線性無關.證法二.用PPT文件中的下例中的方法.15.已知向量組線性無關,設試問當為何值時,向量組線性無關,?線性相關?解由13題證法二得一般結論:當個向量的向量組I可用個線性無關向量的向量組II表示時,向量組I線性相關的充分必要條件是表示對應的矩陣的行列式等于零.于是考察滿足的方程當或或時,線性相關,當且且時,線性無關.16.已知向量可由向量組:(1)試把向量組由向量組線性表示.(2)這兩個向量組是否等價.解17.設維向量組.試證:向量組與維單位向量組等價.證已經(jīng)知道線性無關,根據(jù)14題,線性無關,個維向量線性相關,線性無關,故可用線性表示,已知可用線性表示,故兩個向量組等價.18.證明:如果維基本單位向量組可以用維向量組線性表示,則向量組線性無關.證向量組可以用維向量組線性表示,也可以用線性表示,二者等價,它們的秩相同,線性無關,其秩為,故的秩為,從而線性無關.19.設向量組的秩為,證明:中任意個線性無關的向量都是它的一個極大線性無關組.證不妨設是的一個線性無關向量組.任取,向量組線性相關,因否則,與假設矛盾.線性相關,而線性無關,故用線性表示.故是的一個極大線性無關組.20.已知向量組和如果各向量組的秩分別為證明向量組的秩為4.證(I)的秩是3,等于向量個數(shù),表明(I)線性無關,(II)的秩是3,其部分組線性無關,說明是(I)的線性組合.(III)的秩是4,表明(III)線性無關,從而不是(I)的線性組合,結合是(I)的線性組合,得不是(I)的線性組合,否則將是(I)的線性組合,矛盾.由于(I)線性無關,又不是(I)的線性組合,故線性無關,從而其秩為4.21.如果向量組可以由向量組線性表示.證明證設并且是其極大線性無關組.設并且是其極大線性無關組.可以由向量組線性表示,線性無關,故,因為如果,根據(jù)有關定理將有線性相關.22.證明證(1)可用線性表示,由上題得(1).(2)的證明雷同.23.判斷下述命題是否正確.如果命題成立,請簡述理由,否則請舉出反例.(1)若存在全為零的數(shù)使得則向量線性無關.錯誤.對于全為零的數(shù)總有豈不任何向量組都線性無關.正確說法是若必有(2)如果向量組線性相關,則其任一部分組也線性相關.錯誤如(1,1),(2,2)線性相關,但(1,1)線性無關.正確說法是如果向量組線性無關,則其任一部分組也線性無關.(3)如果向量組線性相關,則其任一向量都可以由其余向量線性表示.錯誤例如(0,0),(1,1)線性相關,(11)不能用(0,0)線性表示.正確說法是:如果向量組線性相關,則其中某一向量可以由其余向量線性表示.(4)向量組線性無關的成分必要條件是其中任一向量都不能由其余個向量線性表示.正確.證明如下.如果線性無關,而某一向量,不妨設可以由其余可以由其余個向量線性表示,即存在數(shù)使得,于是線性相關,矛盾.如果中任一向量都不能由其余個向量線性表示,則線性無關,否則如果線性相關,則存在不全為零的數(shù)不妨設,使得于是(5)如果兩個向量組等價,則它們含有的向量數(shù)相同.錯誤.例如(1,1)和(2,2),(3,3)等價,但含有的向量數(shù)分別為1和2.(6)如果,則中任意個向量都線性無關.錯誤.例如向量組(1,1),(0,0)的秩為1,但(0,0)作為一個線性組,線性相關.正確說法是:如果,則中存在個向量線性無關,并且其余向量都可以由它們線性表示.(7)如果,則中任意個向量都線性相關.正確.因為如果中存在個向量線性無關,的秩將大于或等于.(8)如果,則向量組中任意部分都線性無關.正確.因為表明線性無關,如果一個部分組線性相關,整個組將線性相關,矛盾.24.把下列矩陣化為等價標準形,并且求矩陣的秩.25.已知矩陣(1)計算的所有三階子式;(2)利用(1)的結果求矩陣的秩.解>D1:=det([[3,3,0],[-1,-4,3],[1,-5,6]]);D2:=det([[3,3,2],[-1,-4,0],[1,-5,-2]]);D3:=det([[3,0,2],[-1,3,0],[1,6,-2]]);D4:=det([[3,0,2],[-4,3,0],[-5,6,-2]]);(2)根據(jù)(1),26.把下列矩陣化成階梯形矩陣,求矩陣的秩.27.求下面向量組的一個極大無關組,并且把其余向量用此極大無關組線性表示.解用向量為行向量組成矩陣,旁邊標上向量記號,對矩陣做出等行變換,把它化成階梯形,并且注意用旁邊的向量記號表示對應的初等行變換.最后的零行給出相應的線性表示,再結合秩確定一個極大無關組.線性無關,并且.解以所給向量作為列向量組成矩陣,對于矩陣進行初等行變換,這樣做不改變列向量的線性關系,即如果原來有關系則初等行行變換后所得列向量仍保持關系反之亦然.注意前后兩個等式的系數(shù)是同樣的.于是,并且線性無關,28.求下列齊次線性方程組的一個基礎解系,并且用此基礎解系表示方程組的一般解.>A:=[[1,1,-1,1],[1,-1,2,-1],[3,1,0,1]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);基礎解系一般解>A:=[[1,-2,-1,-1],[2,-4,5,3],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b);基礎解系:一般解為任意常數(shù).>>A:=[[2,1,-1,-1,1],[1,-1,1,1,-2],[3,3,-3,-3,4],[4,5,-5,-5,7]]:b:=[0,0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);基礎解系一般解29.判斷下列線性方程組是否有解.若方程組有解,試求其解[在有無窮多解時,用基礎解系表示其一般解].A:=[[2,-4,-1,0],[-1,-2,0,-1],[0,3,1,2],[3,1,0,3]]:b:=[4,4,1,-3]:rankxsh:=rank(A);rankzg:=rank([op(A),b]);linsolve(A,b);方程無解.Maple解>A:=[[2,-1,4,-3],[1,0,1,-1],[3,1,1,0],[7,0,7,-3]]:b:=[-4,-3,1,3]:linsolve(A,b,'r',c);特解:=[3,?8,0,6],導出組基本解系:(?1,2,1,0).一般解Maple解>A:=[[1,1,1,1,1],[3,2,1,1,-3],[0,1,2,2,6],[5,4,3,3,-1]]:b:=[-1,-5,2,-7]:linsolve(A,b,'r',c);特殊解[?3,2,0,0,0],導出組:[1,?2,1,0,0],[1,?2,0,1,0],[5,?6,0,0,1].Maple解>A:=[[2,3,-1,-5],[1,2,-1,1],[1,1,1,1],[3,1,2,3]]:b:=[-2,-2,5,4]:linsolve(A,b,'r',c);30.已知線性方程組當取何值時,方程組無解?有唯一解?有無窮多解?在方程有無窮多解的情況下,試求其一般解.Maple解時方程有唯一解.時,時無解.時,特解=(-8,3,0,2),導出組基礎解系(0,-2,1,0),一般解為任意常數(shù).31.設有三維向量問為何值時(1)可由線性表示,且表達式是唯一的.(2)