第二章-線性方程組習(xí)題答案與解答

PAGEPAGE1第二章線性方程組習(xí)題答案與解答習(xí)題二對于數(shù)字計(jì)算題，僅給出Maple程序與答案.證明題答案僅供參考。1.用消元法解下列方程組(1)>A:=[[1,-1,2],[1,-2,-1],[3,-1,5],[-1,0,2]]:b:=[1,2,3,-2]:linsolve(A,b);>A:=[[1,-2,3,-1,2],[3,-1,5,-3,1],[2,1,2,-2,-1]]:b:=[2,6,8]:linsolve(A,b);(3)>A:=[[1,2,3],[3,5,7],[2,3,4]]:b:=[4,9,5]:linsolve(A,b,'r',c);(4)>A:=[[2,-2,1,-1,1],[1,-4,2,-2,3],[3,-6,1,-3,4],[1,2,-1,1,-2]]:b:=[2,3,5,-1]:linsolve(A,b,'r',c);(5)>A:=[[1,1,2,3],[2,3,5,2],[3,-1,-1,-2],[3,5,2,-2]]:b:=[1,-3,-4,-10]:linsolve(A,b,'r',c);(6)>A:=[[2,-4,5,3],[3,-6,4,2],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);(7)>A:=[[1,3,-2,-1],[2,6,-3,0],[3,9,-9,-5]]:b:=[3,13,8]:linsolve(A,b,'r',c);(8)>A:=[[1,-1,2,-3,1],[2,-2,7,-10,5],[3,-3,3,-5,0]]:b:=[2,5,5]:linsolve(A,b,'r',c);2.當(dāng)k取何值時(shí),下面的齊次線性方程組有非零解,并求出此非零解.>A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,k]]);E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);k1:=solve(det(A)=0,k);A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,-3]]);b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);3.當(dāng)k取何值時(shí),下面的線性方程組無解?有解?,在方程組有解時(shí),求出它的解..4.當(dāng)a取何值時(shí),線性方程組無解?有唯一解?有無窮多解?在方程組有解時(shí),求出它的解.時(shí),方程組無解.5.已知向量計(jì)算(1);(2).>alpha:=[2,-1,0,1];beta:=[-1,4,2,3];2*alpha-beta;(1/2)*(alpha+3*beta);6.設(shè)求求向量解7.已知向量,而向量滿足求向量.解>alpha1:=[3,2,0,-1];alpha2:=[0,4,3,3];alpha3:=[-1,6,5,8];beta:=(1/6)*(2*alpha1-3*alpha2+alpha3);8.把向量表示為其余向量的線性組合.(1)>beta:=[4,5,6];alpha1:=[3,-3,2];alpha2:=[-2,1,2];alpha3:=[1,2,-1];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta);(2)>beta:=[-1,1,3,1];alpha1:=[1,2,1,1];alpha2:=[1,1,1,2];alpha3:=[-3,-2,1,-3];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta);無法表示.(3)>beta:=[1,0,-1/2];alpha1:=[1,1,1];alpha2:=[1,-1,-2];alpha3:=[-1,1,2];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta,'r',c);取得特解9.向量可由向量線性表示,但不能由向量組(I):線性表示.記向量組試證不能由(I)線性表示,但可由(II)線性表示.證如果可由(I)線性表示,那么就可以用(I)線性表示,又可由向量線性表示,則可由(I)線性表示,此與假設(shè)矛盾.故不能由(I)線性表示.由于可由向量線性表示,故存在數(shù)使得(*)其中的否則,將有于是可由線性表示,與假設(shè)矛盾.故必有由上面的(*),得即可由(II)線性表示.10.判定下列向量是線性相關(guān),還是線性無關(guān)?(1)解(1)線性無關(guān).因?yàn)閮蓚€(gè)向量線性相關(guān),必對應(yīng)分量成比例.(2)用做行向量組成矩陣,把矩陣用初等行變換化成階梯形,非零行的行數(shù)如果小于向量數(shù),則線性相關(guān),等于行數(shù),則線性無關(guān).線性相關(guān).(3)線性無關(guān).11.已知向量組試求為何值時(shí),向量組線性相關(guān)?線性無關(guān)?解向量個(gè)數(shù)等于向量維數(shù)時(shí),如果有字母出現(xiàn),可考慮用相應(yīng)行列式是否等于零,判斷線性相關(guān)和線性無關(guān).或3時(shí)線性相關(guān),否則線性無關(guān).12.證明定理2.4:個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是行列式證方程相當(dāng)于齊次線性方程組(注意的系數(shù)是第個(gè)向量的分量,而第個(gè)方程的系數(shù)是各個(gè)向量的第個(gè)分量)而此方程組有非零解的充分必要條件是行列式13.證明定理2.5:定理n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).證明n+1個(gè)n維向量都有線性表示個(gè)向量用個(gè)向量線性表示，根據(jù)定理“若個(gè)向量用個(gè)向量線性表示，，則前面?zhèn)€向量向量必定線性相關(guān)”，線性相關(guān).14.如果向量組線性無關(guān),試證向量組線性無關(guān).證法一第一個(gè)向量組記作I,第二個(gè)向量組記作II.II顯然可用I線性表示,又,I可用II線性表示,I~II,II的秩等于其向量個(gè)數(shù),故II線性無關(guān).證法二.用PPT文件中的下例中的方法.15.已知向量組線性無關(guān),設(shè)試問當(dāng)為何值時(shí),向量組線性無關(guān),?線性相關(guān)?解由13題證法二得一般結(jié)論:當(dāng)個(gè)向量的向量組I可用個(gè)線性無關(guān)向量的向量組II表示時(shí),向量組I線性相關(guān)的充分必要條件是表示對應(yīng)的矩陣的行列式等于零.于是考察滿足的方程當(dāng)或或時(shí),線性相關(guān),當(dāng)且且時(shí),線性無關(guān).16.已知向量可由向量組:(1)試把向量組由向量組線性表示.(2)這兩個(gè)向量組是否等價(jià).解17.設(shè)維向量組.試證:向量組與維單位向量組等價(jià).證已經(jīng)知道線性無關(guān),根據(jù)14題,線性無關(guān),個(gè)維向量線性相關(guān),線性無關(guān),故可用線性表示,已知可用線性表示,故兩個(gè)向量組等價(jià).18.證明:如果維基本單位向量組可以用維向量組線性表示,則向量組線性無關(guān).證向量組可以用維向量組線性表示,也可以用線性表示,二者等價(jià),它們的秩相同,線性無關(guān),其秩為,故的秩為,從而線性無關(guān).19.設(shè)向量組的秩為,證明:中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組.證不妨設(shè)是的一個(gè)線性無關(guān)向量組.任取,向量組線性相關(guān),因否則,與假設(shè)矛盾.線性相關(guān),而線性無關(guān),故用線性表示.故是的一個(gè)極大線性無關(guān)組.20.已知向量組和如果各向量組的秩分別為證明向量組的秩為4.證(I)的秩是3,等于向量個(gè)數(shù),表明(I)線性無關(guān),(II)的秩是3,其部分組線性無關(guān),說明是(I)的線性組合.(III)的秩是4,表明(III)線性無關(guān),從而不是(I)的線性組合,結(jié)合是(I)的線性組合,得不是(I)的線性組合,否則將是(I)的線性組合,矛盾.由于(I)線性無關(guān),又不是(I)的線性組合,故線性無關(guān),從而其秩為4.21.如果向量組可以由向量組線性表示.證明證設(shè)并且是其極大線性無關(guān)組.設(shè)并且是其極大線性無關(guān)組.可以由向量組線性表示,線性無關(guān),故,因?yàn)槿绻?根據(jù)有關(guān)定理將有線性相關(guān).22.證明證(1)可用線性表示,由上題得(1).(2)的證明雷同.23.判斷下述命題是否正確.如果命題成立,請簡述理由,否則請舉出反例.(1)若存在全為零的數(shù)使得則向量線性無關(guān).錯(cuò)誤.對于全為零的數(shù)總有豈不任何向量組都線性無關(guān).正確說法是若必有(2)如果向量組線性相關(guān),則其任一部分組也線性相關(guān).錯(cuò)誤如(1,1),(2,2)線性相關(guān),但(1,1)線性無關(guān).正確說法是如果向量組線性無關(guān),則其任一部分組也線性無關(guān).(3)如果向量組線性相關(guān),則其任一向量都可以由其余向量線性表示.錯(cuò)誤例如(0,0),(1,1)線性相關(guān),(11)不能用(0,0)線性表示.正確說法是:如果向量組線性相關(guān),則其中某一向量可以由其余向量線性表示.(4)向量組線性無關(guān)的成分必要條件是其中任一向量都不能由其余個(gè)向量線性表示.正確.證明如下.如果線性無關(guān),而某一向量,不妨設(shè)可以由其余可以由其余個(gè)向量線性表示,即存在數(shù)使得,于是線性相關(guān),矛盾.如果中任一向量都不能由其余個(gè)向量線性表示,則線性無關(guān),否則如果線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)不妨設(shè),使得于是(5)如果兩個(gè)向量組等價(jià),則它們含有的向量數(shù)相同.錯(cuò)誤.例如(1,1)和(2,2),(3,3)等價(jià),但含有的向量數(shù)分別為1和2.(6)如果,則中任意個(gè)向量都線性無關(guān).錯(cuò)誤.例如向量組(1,1),(0,0)的秩為1,但(0,0)作為一個(gè)線性組,線性相關(guān).正確說法是:如果,則中存在個(gè)向量線性無關(guān),并且其余向量都可以由它們線性表示.(7)如果,則中任意個(gè)向量都線性相關(guān).正確.因?yàn)槿绻写嬖趥€(gè)向量線性無關(guān),的秩將大于或等于.(8)如果,則向量組中任意部分都線性無關(guān).正確.因?yàn)楸砻骶€性無關(guān),如果一個(gè)部分組線性相關(guān),整個(gè)組將線性相關(guān),矛盾.24.把下列矩陣化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,并且求矩陣的秩.25.已知矩陣(1)計(jì)算的所有三階子式;(2)利用(1)的結(jié)果求矩陣的秩.解>D1:=det([[3,3,0],[-1,-4,3],[1,-5,6]]);D2:=det([[3,3,2],[-1,-4,0],[1,-5,-2]]);D3:=det([[3,0,2],[-1,3,0],[1,6,-2]]);D4:=det([[3,0,2],[-4,3,0],[-5,6,-2]]);(2)根據(jù)(1),26.把下列矩陣化成階梯形矩陣,求矩陣的秩.27.求下面向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,并且把其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.解用向量為行向量組成矩陣,旁邊標(biāo)上向量記號,對矩陣做出等行變換,把它化成階梯形,并且注意用旁邊的向量記號表示對應(yīng)的初等行變換.最后的零行給出相應(yīng)的線性表示,再結(jié)合秩確定一個(gè)極大無關(guān)組.線性無關(guān),并且.解以所給向量作為列向量組成矩陣,對于矩陣進(jìn)行初等行變換,這樣做不改變列向量的線性關(guān)系,即如果原來有關(guān)系則初等行行變換后所得列向量仍保持關(guān)系反之亦然.注意前后兩個(gè)等式的系數(shù)是同樣的.于是,并且線性無關(guān),28.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,并且用此基礎(chǔ)解系表示方程組的一般解.>A:=[[1,1,-1,1],[1,-1,2,-1],[3,1,0,1]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);基礎(chǔ)解系一般解>A:=[[1,-2,-1,-1],[2,-4,5,3],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b);基礎(chǔ)解系:一般解為任意常數(shù).>>A:=[[2,1,-1,-1,1],[1,-1,1,1,-2],[3,3,-3,-3,4],[4,5,-5,-5,7]]:b:=[0,0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);基礎(chǔ)解系一般解29.判斷下列線性方程組是否有解.若方程組有解,試求其解[在有無窮多解時(shí),用基礎(chǔ)解系表示其一般解].A:=[[2,-4,-1,0],[-1,-2,0,-1],[0,3,1,2],[3,1,0,3]]:b:=[4,4,1,-3]:rankxsh:=rank(A);rankzg:=rank([op(A),b]);linsolve(A,b);方程無解.Maple解>A:=[[2,-1,4,-3],[1,0,1,-1],[3,1,1,0],[7,0,7,-3]]:b:=[-4,-3,1,3]:linsolve(A,b,'r',c);特解:=[3,?8,0,6],導(dǎo)出組基本解系:(?1,2,1,0).一般解Maple解>A:=[[1,1,1,1,1],[3,2,1,1,-3],[0,1,2,2,6],[5,4,3,3,-1]]:b:=[-1,-5,2,-7]:linsolve(A,b,'r',c);特殊解[?3,2,0,0,0],導(dǎo)出組:[1,?2,1,0,0],[1,?2,0,1,0],[5,?6,0,0,1].Maple解>A:=[[2,3,-1,-5],[1,2,-1,1],[1,1,1,1],[3,1,2,3]]:b:=[-2,-2,5,4]:linsolve(A,b,'r',c);30.已知線性方程組當(dāng)取何值時(shí),方程組無解?有唯一解?有無窮多解?在方程有無窮多解的情況下,試求其一般解.Maple解時(shí)方程有唯一解.時(shí),時(shí)無解.時(shí),特解=(-8,3,0,2),導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系(0,-2,1,0),一般解為任意常數(shù).31.設(shè)有三維向量問為何值時(shí)(1)可由線性表示,且表達(dá)式是唯一的.(2)