第二十四章《圓》同步單元基礎(chǔ)與培優(yōu)高分必刷卷（全解全析）

第二十四章《圓》同步單元基礎(chǔ)與培優(yōu)高分必刷卷全解全析1．A【分析】根據(jù)圓、圓心角、弧、弦的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：圓心角性質(zhì)是在同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此①錯(cuò)誤；平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，因此②項(xiàng)錯(cuò)誤；不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，因此③錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，因此④正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓圓、圓心角、弧、弦等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)和定理．2．B【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）列式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由題意得：，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟知圓錐的底面圓周長(zhǎng)為半圓形鐵皮的周長(zhǎng)（不包括直徑）是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)垂徑定理可得,再利用勾股定理直接求得的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)半徑為，，，根據(jù)垂徑定理得：，，在中，，，，解得，即的半徑為5．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理得出結(jié)論，列式計(jì)算．5．A【分析】首先連接OC，由切線的性質(zhì)可得OC⊥CE，又由圓周角定理，可求得∠COB的度數(shù)，繼而可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】利用勾股定理易得圓錐的底面半徑，利用底面周長(zhǎng)即為扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算即可．【詳解】解：圓錐的高為4，母線長(zhǎng)為5，由勾股定理得：圓錐的底面半徑為：，展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面積公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用圓錐的高，母線長(zhǎng)，底面半徑組成直角三角形這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．7．C【分析】作FG⊥AC，F(xiàn)H⊥CB，垂足分別為G、H，然后證明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即可求出DE的長(zhǎng)度．【詳解】解：作FG⊥AC，F(xiàn)H⊥CB，垂足分別為G、H，如圖則四邊形BCGF是矩形，，，∵，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴，∴四邊形BCGF是正方形，∴∠GFH=90°，∵DE是直徑，則∠DFE=90°，∴，∴，∵，，∴△DFG≌△EFH，∴DF=EF，∵在直角△DFG中，，，∴，在直角△DEF中，；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，證明DF=EF．8．D【分析】根據(jù)圓中弦的概念可判斷①，根據(jù)等弧的概念結(jié)合圓心角與弧的關(guān)系可判斷②，根據(jù)垂徑定理的推論可判斷③，根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定方法可判斷④，根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷⑤，從而可得答案．【詳解】解：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；說(shuō)法正確，故①符合題意；等弧是能夠互相重合的弧，則等弧所對(duì)的圓心角相等；說(shuō)法正確，故②符合題意；平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦；原說(shuō)法不準(zhǔn)確，故③不符合題意；對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓；這是四點(diǎn)共圓的判定方法，說(shuō)法正確，故④符合題意；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，說(shuō)法正確，故⑤符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓中的基本概念，垂徑定理，弧，圓心角的關(guān)系，四點(diǎn)共圓的判定，切線的性質(zhì)定理，掌握以上基本概念與定理是解本題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角推出∠ACB=90°，再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，進(jìn)而根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等推出∠D=∠B=40°．【詳解】解：∵AB是直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，正確理解在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點(diǎn)的位置不確定所以要分類(lèi)討論．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，∵圓外一點(diǎn)和圓周的最短距離為2cm，最長(zhǎng)距離為7cm，∴圓的直徑為7﹣2＝5（cm），∴該圓的半徑是2.5cm；②當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，∵點(diǎn)到圓周的最短距離為2cm，最長(zhǎng)距離為7cm，∴圓的直徑＝7+2＝9（cm），∴圓的半徑為4.5cm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵．11．D【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則邊心距，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定可得是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：邊心距，六邊形是正六邊形，，是等邊三角形，，，，解得，則正六邊形的周長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的邊心距、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．110°##110度【分析】根據(jù)同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得到∠AEC的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求得∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴∠AED=∠CED=35°，∴∠AEC=70°，∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=110°．故答案為：110°【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．14．70【分析】首先連接OA，OB，由PA、PB是⊙O的切線，即可得∠PAO=∠PBO=90°，又由∠APB=40°，即可求得∠AOB的度數(shù)，然后由圓周角定理，即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB=40°，∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故答案為：70．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)與圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．20【分析】設(shè)圓的半徑為rcm，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到，求出r即可．【詳解】解：設(shè)圓的半徑為rcm，如圖，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D，∵，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，∴OD=（r-8）cm，在Rt△AOD中，即，解得：r=20，即該圓的半徑為20cm．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)，利用圖形得到直角三角形，然后用勾股定理計(jì)算求出圓的半徑．16．【分析】先作出輔助線，進(jìn)而得出兩個(gè)弓形的面積相等，即可確定陰影部分的面積等于△BCD的面積，計(jì)算求解即可.【詳解】如圖，連接BD．∵菱形ABCD中∠A=60°，∴△ABD和△BCD是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形．∴BD與圍成的弓形面積等于CD與圍成的弓形面積．∴陰影部分的面積等于△BCD的面積．過(guò)點(diǎn)D作，于點(diǎn)E，在Rt△CDE中，CD=4cm，CE==2cm，∴，∴△BCD的面積等于（cm2），即陰影部分的面積等于cm2．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求陰影部分的面積等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．17．##【分析】作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，，由題意可得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)通過(guò)作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方式可以將進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，．可得，在以為直徑的圓上，，為直角三角形，點(diǎn)M在以CD為直徑的圓上，為斜邊的中點(diǎn)，，此時(shí)當(dāng)，，三邊共線時(shí)，有長(zhǎng)度的最小值等于，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，長(zhǎng)度的最小值為，

，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理及圓的基本性質(zhì)，本題的重難點(diǎn)在于找出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中等題．18．(1)∠CAD=35°；(2)DE=4-．【分析】（1）由OD⊥AC，求出∠AOD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OAD，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；（2）由勾股定理求出BC，根據(jù)垂徑定理得出AE=EC，再根據(jù)三角形中位線定理求出OE，結(jié)合圖形進(jìn)一步計(jì)算即可求解．（1）解：∵OD⊥AC，∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，∵OA=OD，∴∠OAD==55°，∴∠CAD=55°-20°=35°；（2）解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠C=90°，∵AB=8，AC=6，∴BC=，∵OD⊥AC，∴AE=EC，∵OA=OB=OD=4，∴OE=BC=，∴DE=4-．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．(1)見(jiàn)解析；(2)12【分析】（1）連接OB，證明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，則可得出結(jié)論；（2）由切線長(zhǎng)定理可得出答案．（1）證明：連接OB，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，在△APO和△BPO中，，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB與⊙O相切；（2）解：∵PA，PB是⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線，PA=6，∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，∴△PMN的周長(zhǎng)=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接OD，由切線性質(zhì)得∠ODF=，進(jìn)而證明∠BDF+∠A=∠A+∠B=，得∠B=∠BDF，便可得BF=DF；（2）設(shè)半徑為r，連接OD，OF，則OC=4-r，求得DF，再由勾股定理，利用OF為中間變量列出r的方程便可求得結(jié)果．（1）解：（1）連接OD，如圖1，∵過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F，∴∠ODF=，∴∠ADO+∠BDF=，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD+∠BDF=，∵∠C=，∴∠OAD+∠B=，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF；（2）連接OF，OD，如圖2，設(shè)圓的半徑為r，則OD=OE=r，∵AC=4，BC=3，CF=1，∴OC=4-r，DF=BF=3-1=2，∵∴∴．故圓的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，已知切線，往往連接半徑為輔助線，第（2）題關(guān)鍵是由勾股定理列出方程．21．(1)60°(2)∠BOC=90°-∠A，見(jiàn)解析【分析】（1）方法一：先根據(jù)平角的定義求出∠EBC和∠DCF的度數(shù)，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70°，據(jù)此理由三角形內(nèi)角和定理求解即可；方法二：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質(zhì)可知，證明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，先求出∠A的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠EOF=120°，則∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．（2）同（1）方法二求解即可．（1）解：方法一：由題意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，由切線長(zhǎng)定理可知，∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70°，∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；方法二：如圖，連接OD，OE，OF，則由切線的性質(zhì)可知，∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，∴∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，在四邊形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，∴∠EOF=120°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．（2）解：同（1）方法二可得，∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．22．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：線段是的直徑，，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．23．(1)見(jiàn)解析(2)2cm【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)易得到，進(jìn)而推出，結(jié)合易得，即可求解；（2）設(shè)半徑為r，進(jìn)而求出，然后根據(jù)勾股定理求解．（1）證明：連接OC，∵是⊙O的切線，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴BC平分∠PBD；（2）解：設(shè)半徑為r，則，則，在Rt△POC中，由勾股定理得：，∴，∴，即⊙O的半徑是2cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．24．(1)B（1，）