17.1 第1課時 勾股定理 教學(xué)設(shè)計

人教版八下17.1.1勾股定理（第1課時）教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖概念解析勾股定理是初中平面幾何的重要定理，是學(xué)習(xí)了直角三角形與角有關(guān)的性質(zhì)后繼續(xù)探究與邊有關(guān)的性質(zhì)，是解直角三角形的基礎(chǔ)，為斜邊直角邊定理的證明，四邊形及圓中的有關(guān)計算和證明提供了方法.勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，中國對它的研究更早一些，體現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的水平，也是傳統(tǒng)文化的一部分．概念解析勾股定理研究的是直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，可以看作高中余弦定理的特殊情況，“由形（直角三角形）定數(shù)（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）”是幾何研究的一個重要方面，是數(shù)形結(jié)合的典型體現(xiàn)．勾股定理的發(fā)現(xiàn)與無理數(shù)緊密關(guān)聯(lián)，再次凸顯了推理與證明的必要性．思想方法對勾股定理探索并證明的過程是合情推理和邏輯推理并重的過程，也是研究一些定理的一般方法．證明勾股定理用到的面積法是幾何常用的證明方法，對于培養(yǎng)幾何直觀也有著重要的作用．知識類型勾股定理是概念型知識，概念的獲得要經(jīng)歷“觀察特例—提出猜想—嘗試推廣—歸納定理—完成證明—定理應(yīng)用”這一從特殊到一般的探索過程．教學(xué)重點探究并證明勾股定理．教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)1.能從一些特殊直角三角形入手，借助網(wǎng)格計算正方形（以直角三角形三邊為邊）的面積，進而發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系，并能用文字語言、符號語言、圖形語言敘述勾股定理．2.經(jīng)歷探索勾股定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．3.能利用“趙爽弦圖”中的邊長、面積的關(guān)系證明勾股定理．目標(biāo)解析目標(biāo)1達成的標(biāo)志是能用三種語言描述勾股定理，會用面積法證明勾股定理，能運用勾股定理求直角三角形邊長．目標(biāo)2達成的標(biāo)志是能在發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊關(guān)系、舉例研究直角邊長為整數(shù)的直角三角形后，主動提出繼續(xù)研究任意直角三角形的三邊是否具有相同的數(shù)量關(guān)系，能在探究后清晰地敘述探究的過程．目標(biāo)3達成的標(biāo)志是能解釋趙爽證明勾股定理的方法，并上網(wǎng)查閱中國古代取得的與勾股定理有關(guān)的成就．教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生在現(xiàn)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形，等腰三角形等特殊的三角形，對于如何研究一個幾何圖形的性質(zhì)有了初步的認(rèn)識，對于等積問題也有過一定的接觸，學(xué)生的思維能力在現(xiàn)階段逐漸形成．與本課目標(biāo)的差距分析學(xué)生雖然對于如何研究一個圖形的性質(zhì)有過了解，但是獨立提出一個猜想的能力還有所欠缺，對于如何運用面積法進行圖形性質(zhì)的證明還是沒有很多經(jīng)驗的，從特殊到一般的研究方法也并不能熟練地使用．存在的問題勾股定理是一個普及程度較高的定理，很多學(xué)生可能在之前的學(xué)習(xí)或者課外的閱讀中都有過接觸，但是掌握到什么程度還是參差不齊的，利用面積法進行證明對于學(xué)生而言不能夠主動地應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的一個障礙．應(yīng)對策略在教學(xué)中必須首先了解學(xué)情，做好充分的調(diào)研，了解學(xué)生對于勾股定理的認(rèn)識達到何種水平，做好課堂預(yù)案.在用面積法進行勾股定理證明的過程中充分對斜邊為邊長的面積的求法做關(guān)注，利用割補的方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形面積之間的關(guān)系，從而證明勾股定理．教學(xué)難點：用面積法證明勾股定理，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．教學(xué)支持條件分析教學(xué)過程設(shè)計課前檢測1.你知道勾股定理嗎？你能描述一下它的內(nèi)容嗎？2.觀察下列算式，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，……請用一個等式表示上述算式的規(guī)律：_________.3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．請在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC，并求△ABC的面積.設(shè)計意圖：第1題對學(xué)生是否知道勾股定理的內(nèi)容做檢測，以確定后續(xù)教學(xué)的方式；第2題考查學(xué)生能否具備從特殊到一般的意識；第3題考查學(xué)生是否能夠利用面積的割補解決問題，為勾股定理的證明做準(zhǔn)備．新課學(xué)習(xí)1．探究新知，得到猜想方案一：如果多數(shù)學(xué)生能在前測第1題中大致說出勾股定理的內(nèi)容．活動1：多數(shù)同學(xué)都對勾股定理有一定的了解，你能用畫圖的方式描述勾股定理嗎？師生互動設(shè)計：學(xué)生闡述勾股定理的內(nèi)容，畫出圖形解釋勾股定理，用符號語言描述勾股定理的內(nèi)容．教師作指導(dǎo)，幫助學(xué)生理解定理的條件和結(jié)論.設(shè)計意圖：基于前測呈現(xiàn)的結(jié)果，大部分學(xué)生能夠說出勾股定理的內(nèi)容，能夠進行描述，但是能夠證明的人很少．通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)小組合作能夠促進學(xué)生知道并記住勾股定理的內(nèi)容，會畫圖，會用符號語言進行描述，完成三種語言的轉(zhuǎn)化.活動2：你能舉一個例子驗證勾股定理嗎？請小組討論說明你如何設(shè)計要舉的例子，寫出設(shè)計驗證流程．師生互動設(shè)計：各小組設(shè)計例子驗證勾股定理，畫出圖形，并說明自己設(shè)計的驗證方案．弄清已知條件是直角三角形，通過度量可以得到直角三角形的三條邊長．驗證的是兩條直角邊的平方和是否等于斜邊的平方．學(xué)生能夠想到通過度量計算的方式驗證勾股定理的內(nèi)容．設(shè)計意圖：學(xué)生設(shè)計驗證流程和畫圖，進一步鞏固三種幾何語言的轉(zhuǎn)換，明確定理的條件與結(jié)論，滲透研究一個問題的方法是通過設(shè)計實驗——優(yōu)化實驗——證明結(jié)論這一過程實現(xiàn)的，建立學(xué)生的科學(xué)精神．活動3：比較了幾組同學(xué)的驗證過程，發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)都是將直角三角形的直角邊長度設(shè)計為整數(shù)，畫出圖形，通過度量斜邊長后再計算驗證勾股定理．然而度量畢竟是有誤差的，如何能讓誤差盡可能消失呢？提到了邊的平方你能想到什么相關(guān)的知識呢？請優(yōu)化你的設(shè)計．師生互動設(shè)計：學(xué)生通過小組合作，從平方運算想到正方形的面積計算；為了更容易將圖畫準(zhǔn)確，有學(xué)生可以想到將直角三角形放在網(wǎng)格中，使頂點與格點重合，直角邊與網(wǎng)格的格邊重合，通過計算直角邊形成正方形的面積進行驗證．有條件的學(xué)校在此驗證時可以充分使用信息技術(shù)（如圖形計算器畫圖，度量，驗證）大量驗證．設(shè)計意圖：通過優(yōu)化方案，體會如何進行實驗設(shè)計，發(fā)現(xiàn)驗證勾股定理不能將所有直角三角形一一驗證，且具有一定的局限性．因此舉例驗證與科學(xué)證明還是有著明顯的查別，要驗證一個命題的正確性還是要進行證明的，引導(dǎo)學(xué)生從驗證的實驗設(shè)計中受到啟發(fā)，形成證明的思路．方案二：如果多數(shù)學(xué)生不能在前測第1題中說出勾股定理的內(nèi)容．問題1：國際數(shù)學(xué)家大會是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會議，被譽為數(shù)學(xué)界的“奧運會”．2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會．右圖就是大會會徽的圖案．你見過這個圖案嗎？它由哪些我們學(xué)過的基本圖形組成？這個圖案有什么特別的意義？前面我們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的知識，我們知道，三角形有三個角和三條邊．三個角的數(shù)量有什么關(guān)系？三條邊的數(shù)量有什么關(guān)系？師生互動設(shè)計：教師引導(dǎo)學(xué)生回答，三角形三個內(nèi)角的和是180°，三條邊的數(shù)量關(guān)系是兩邊之和大于第三邊．設(shè)計意圖：回顧三角形的內(nèi)角和是180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生思考三角形三邊之間是否存在等量關(guān)系．問題2：相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．三個正方形A，B，C的面積有什么關(guān)系？師生互動設(shè)計：學(xué)生觀察圖形，分析、思考其中隱含的規(guī)律．通過直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù)，或者用割補的方法將小正方形A，B中的等腰直角三角形補成一個大正方形，得出結(jié)論：小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積．追問：由這三個正方形A，B，C的邊長構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長之間有怎樣的特殊關(guān)系？師生互動設(shè)計：教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．設(shè)計意圖：從最特殊的直角三角形入手，通過觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，對等腰直角三角形邊長關(guān)系進行初步的一般化．問題3：想一想等腰直角三角形的條件如果去掉等腰或者去掉直角兩個條件中的一個還能夠得到上述結(jié)論嗎？在網(wǎng)格中的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A，B，C的面積是否也有類似的關(guān)系？登陸優(yōu)教平臺，點擊“【探究動畫】定理幾何證明”操作、演示、探究了解師生互動設(shè)計：學(xué)生通過分別計算三個正方形的面積，驗證在問題2中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立．追問：正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關(guān)系？師生互動設(shè)計：學(xué)生獨立思考后分組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形面積，可由師生共同總結(jié)得出通過割、補兩種方法求出其面積，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上歸納方法——割補法．可求得C的面積為13，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．設(shè)計意圖：為方便計算，網(wǎng)格中的直角三角形邊長通常設(shè)定為整數(shù)，進一步體會面積割補法，為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ)，提供方法．從特殊到一般，將等腰直角三角形一般化為直角三角形．問題4：通過前面的探究活動，思考：直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系？師生互動設(shè)計：教師引導(dǎo)學(xué)生表述：如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．設(shè)計意圖：在經(jīng)歷兩次探究后，形成對定理的猜想，并用三種語言表達．一方面使學(xué)生感受猜想有時并不是從一個特例發(fā)現(xiàn)的，而是建立在一定的研究基礎(chǔ)上的；另一方面規(guī)范的定理表達有利于學(xué)生繼續(xù)探究定理的證明，并掌握勾股定理．2．證明猜想，得到定理問題5：我們已經(jīng)通過對特殊的直角三角形的進行研究得到了，如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，對于一般的直角三角形，這個結(jié)論成立嗎？師生互動設(shè)計：學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并提出問題，把握研究方向，明確從特殊到一般的研究過程．也有學(xué)生可能會提出還應(yīng)該試試“直角邊長不是整數(shù)的直角三角形”，教師同樣要予以鼓勵，如果有圖形計算器的支撐，可以確實驗證一下．要求學(xué)生通過獨立思考．如圖，用“割”的方法可得；用“補”的方法可得

．這兩個式子經(jīng)過整理都可以得到a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．設(shè)計意圖：從網(wǎng)格驗證到脫離網(wǎng)格，通過割補構(gòu)造圖形和計算推導(dǎo)出一般結(jié)論．問題6：我國古代的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)勾股定理比畢達哥拉斯還要早！之后還有很多具體的應(yīng)用，但是一直到趙爽才對對勾股定理進行了證明，下面大家試試看，你能讀懂古人的智慧嗎？師生互動設(shè)計：教師展示“弦圖”，并介紹：這個圖案是公元3世紀(jì)三國時期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形（朱實）可以如圖圍成一個大正方形，中間部分是一個小正方形（黃實）．我們剛才用割的方法證明使用的就是這個圖形，教師介紹勾股定理相關(guān)史料，勾股定理的證明方法據(jù)說有400多種，請同學(xué)們課下完成實踐活動，搜集一下勾股定理的證明方法，可以在網(wǎng)絡(luò)（教研網(wǎng)等）、圖書館等地方進行搜集，下節(jié)課我們分小組匯報研究成果．設(shè)計意圖：通過拼圖活動，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．學(xué)生通過主動參加拼圖、推理等數(shù)學(xué)活動，提升學(xué)習(xí)的興趣，對定理的理解更加準(zhǔn)確，同時體會其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想．通過對趙爽弦圖的介紹，了解我國古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻，增強民族自豪．典例精析歸納總結(jié)3．定理運用，加深理解【例題1】設(shè)直角三角形的兩條直角邊為a和b，斜邊長為c．（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a．師生互動設(shè)計：學(xué)生計算，教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題．學(xué)生靈活地使用勾股定理進行計算，然后進行交流．如果有做錯的學(xué)生，教師要關(guān)注錯因是定理使用不正確還是計算錯誤，并及時引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯因．設(shè)計意圖：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．通過對等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系．通過解決例題，學(xué)生能夠體會在直角三角形中，已知兩直角邊